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高一数学对数与对数函数复习题及解答


高一数学对数与对数函数复习题
一、 选择题 a 1.若 3 =2,则 log38-2log36 用 a 的代数式可表示为( ) (A)a-2 (B)3a-(1+a)2 (C)5a-2 (D)3a-a2 2.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则 (A)

M 的值为( N



1 4


(B)4

(C)1 (D)4 或 1

3.已知 x2+y2=1,x>0,y>0,且 loga(1+x)=m,loga (A)m+n (B)m-n

1 y ? n, 则 loga 等于( ) 1? x 1 1 (C) (m+n) (D) (m-n) 2 2
) (C)35
? 1 2

4.如果方程 lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0 的两根是α 、β ,则α ·β 的值是( (A)lg5·lg7 (B)lg35 (D)

1 35

5.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x (A)

等于(

) (D)

1 3

(B)

1 2 3

(C)

1 2 2


1 3 3

6.函数 y=lg( (A)x 轴对称

2 ? 1)的图像关于( 1? x
(B)y 轴对称

(C)原点对称 )

(D)直线 y=x 对称

7.函数 y=log(2x-1) 3x ? 2 的定义域是(

2 ,1) ? (1,+ ? ) 3 2 (C) ( ,+ ? ) 3
(A) (
2

(B) (

1 ,1) ? (1,+ ? ) 2 1 (D) ( ,+ ? ) 2
) (D)[3,+ ? ]

8.函数 y=log 1 (x2-6x+17)的值域是( (A)R

(B)[8,+ ? ] (C) ? ,-3) ()
2

9.函数 y=log 1 (2x2-3x+1)的递减区间为( (A) (1,+ ? ) (B) ? , (10.函数 y=(

3 1 ] (C) ( ,+ ? ) 4 2


(D) ? , (-

1 ] 2

1 x 2 +1 ) +2,(x<0)的反函数为( 2

1

(A)y=- log 1
2

( x ?2)

? 1( x ? 2)
5 ? 1( 2 ? x ? ) 2

(B) log 1
2

( x ?2)

? 1( x ? 2)
5 ? 1( 2 ? x ? ) 2

(C)y=- log 1
2

( x?2)

(D)y=- log 1
2

( x?2)

11.若 logm9<logn9<0,那么 m,n 满足的条件是( ) (A)m>n>1 (B)n>m>1 (C)0<n<m<1

(D)0<m<n<1

2 ? 1 ,则 a 的取值范围是( 3 2 (A) (0, ) ? (1,+ ? ) 3 2 (C) ( ,1 ) 3
12.loga




2 ,+ ? ) 3 2 2 (D) (0, ) ? ( ,+ ? ) 3 3
(B) (

13.若 1<x<b,a=log bx,c=logax,则 a,b,c 的关系是( ) (A)a<b<c (B)a<c<b (C)c<b<a (D)c<a<b 14.下列函数中,在(0,2)上为增函数的是( ) (A)y=log 1 (x+1)(B)y=log2 x 2 ? 1 (C)y=log2
2

1 (D)y=log 1 (x2-4x+5) 2 x


15.下列函数中,同时满足:有反函数,是奇函数,定义域和值域相同的函数是(

e x ? e?x 1? x (A)y= (B)y=lg (C)y=-x3 2 1? x

(D)y= x

16.已知函数 y=loga(2-ax)在[0,1]上是 x 的减函数,则 a 的取值范围是( ) (A) (0,1) (B) (1,2) (C) (0,2) (D)[2,+ ? ) 17.已知 g(x)=loga x ? 1 (a>0 且 a ? 1)在(-1,0)上有 g(x)>0,则 f(x)=a
x ?1

是( )

(A)在(- ? ,0)上的增函数 (B)在(- ? ,0)上的减函数 (C)在(- ? ,-1)上的增函数 (D)在(- ? ,-1)上的减函数 b a 18.若 0<a<1,b>1,则 M=a ,N=logba,p=b 的大小是( ) (A)M<N<P (B)N<M<P (C)P<M<N (D)P<N<M 19. “等式 log3x2=2 成立”是“等式 log3x=1 成立”的( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 20.已知函数 f(x)= lg x ,0<a<b,且 f(a)>f(b),则( (A)ab>1 (B)ab<1 (C)ab=1 二、填空题 1.若 loga2=m,loga3=n,a2m+n= 。 )

(D)(a-1)(b-1)>0

2

2.函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域是 3.lg25+lg2lg50+(lg2)2= 。 4.函数 f(x)=lg( x ?1 ? x )是
2



(奇、偶)函数。 。

5.已知函数 f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则 f(3)与 f(4)的大小关系为 6.函数 y=log 1 (x -5x+17)的值域为
2
2

。 。 。

7.函数 y=lg(ax+1)的定义域为(- ? ,1) ,则 a= 8.若函数 y=lg[x2+(k+2)x+

5 ]的定义域为 R,则 k 的取值范围是 4


10 x 9.函数 f(x)= 的反函数是 1 ? 10 x
10. 已知函数 f(x)=( 则当 x<0 时,g(x)= 三、解答题

1 x ) ,又定义在 (-1, 上的奇函数 g(x), x>0 时有 g(x)=f-1 1) 当 (x) , 2


1. 若 f(x)=1+logx3,g(x)=2log x 2 ,试比较 f(x)与 g(x)的大小。

10 x ? 10 ? x 2. 已知函数 f(x)= x 。 10 ? 10 ? x
(1)判断 f(x)的单调性; (2)求 f-1(x)。

3. 已知 x 满足不等式 2(log2x)2-7log2x+3 ? 0,求函数 f(x)=log2 值。

x x ? log2 的最大值和最小 2 4

4. 已知函数 f(x2-3)=lg (1)f(x)的定义域;

x2 , x2 ? 6
(2)判断 f(x)的奇偶性;
3

(3)求 f(x)的反函数;

(4)若 f[ ? (x ) ]=lgx,求 ? (3) 的值。

5. 设 0<x<1,a>0 且 a ? 1,比较 log a (1 ? x) 与 log a (1 ? x) 的大小。

6. 已知函数 f(x)=log3

mx 2 ? 8 x ? n 的定义域为 R,值域为[0,2],求 m,n 的值。 x2 ?1

7. 已知 x>0,y ? 0,且 x+2y=

1 ,求 g=log 2

1 2

(8xy+4y2+1)的最小值。

y?

8.求函数

4 ? x2 lg(| x | ? x )

的定义域.

9.已知函数 y ? log a (2 ? ax) 在[0,1]上是减函数,求实数 a 的取值范围.

10.已知 f ( x ) ? log a ( x ? 1 ? a ) ,求使 f(x)>1 的 x 的值的集合.

4

对数与对数函数
一、选择题 题号 答案 题号 答案 1 A 11 C 2 B 12 A 3 D 13 D 4 D 14 D 5 C 15 C 6 C 16 B 7 A 17 C 8 C 18 B 9 A 19 B 10 D 20 B

二、填空题 2.{x 1 ? x ? 3 且 x ? 2 }

1.12

?3 ? x ? 0 ? 由 ?x ? 1 ? 0 ?x ? 1 ? 1 ?

解得 1<x<3 且 x ? 2 。

3.2 4.奇

? x ? R且f (? x) ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? lg

1 x ?1 ? x
2

? ? lg( x 2 ? 1 ? x) ? ? f ( x),? f ( x)

为奇函数。 5.f(3)<f(4) 设 y=log0.5u,u=-x2+4x+5, 由 -x2+4x+5>0 解 得 -1<x<5 。 又 ? u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, ∴ 当 x ? (-1,2)时,y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减;当 x ? [2,5]时,y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减,∴ f(3)<f(4) 6.(- ? ,?3 ) 7.-1 8.- 5 ? 2 ? k ? 5 ? 2 ∵x -6x+17=(x-3) +8 ? 8 ,又 y=log
2 2
1u 2

单调递减,∴ y ? ?3

? y=lg[x2+(k+2)x+

5 5 2 ]的定义域为 R, x2+(k+2)x+ >0 恒成立, ?(k+2) -5<0, ∴ 则 4 4

即 k2+4k-1<0,由此解得- 5 -2<k< 5 -2 9.y=lg

x (0 ? x ? 1) 1? x

y=

10 x y y ? 0,? 0 ? y ? 1, 又x ? lg ,? 反 函 数 为 y=lg , 则 10x= x 1? y 1? y 1 ? 10

x (0 ? x ? 1) 1? x

5

1 (-x) 2 1 1 1 已知 f(x)=( )x,则 f-1(x)=log x,∴当 x>0 时,g(x)=log x,当 x<0 时,-x>0, ∴g(-x) 2 2 2 1 1 =log (-x),又∵g(x)是奇函数,∴ g(x)=-log (-x)(x<0) 2 2
10.-log 三、解答题 1. f(x)-g(x)=logx3x-logx4=logx 时,f(x)<g(x);当 x>

4 4 3x 当 0<x<1 时, f(x)>g(x);当 x= 时, f(x)=g(x);当 1<x< . 3 3 4

4 时,f(x)>g(x)。 3

10 2 x ? 1 , x ? R.设x1 , x 2 ? (?? ,?? ) , 2. (1)f(x)= 2 x 10 ? 1
,且 x1<x2,f(x1)-f(x2)= f(x)为增函数。

10 2 x1 ? 1 10 2 x2 ? 1 2(10 2 x1 ? 10 2 x2 ) ? 2 x2 ? <0,(∵102x1 <102x2)∴ 10 2 x1 ? 1 10 ? 1 (10 2 x1 ? 1)(10 2 x2 ? 1)

10 2 x ?1 1? y . (2)由 y= 2 x 得 102x= 1? y 10 ? 1
∵102x>0, ∴-1<y<1,又 x=

1 1? y 1 1? x lg . ? f ?1 ( x) ? lg ( x ? (?1,1) )。 2 1? y 2 1? x
2

3. 由

1 ? log2x ? 3 。 ∵ 2 3 1 3 x x f(x)=log2 ? log2 ? (log2 x ? 1) (log2x-2)=(log2x- )2- ,∴当 log2x= 时,f(x)取得 2 4 2 2 4 1 最小值- ;当 log2x=3 时,f(x)取得最大值 2。 4
2 ( log2x ) -7log2x+3

?

0

解 得

4. (1)∵f(x2-3)=lg

( x 2 ? 3) ? 3 x2 x?3 ? 0 得 x2-3>3,∴ f(x)的定义 ,∴f(x)=lg ,又由 2 2 ( x ? 3) ? 3 x ?6 x ?3

域为(3,+ ? ) 。 (2)∵f(x)的定义域不关于原点对称,∴ f(x)为非奇非偶函数。 (3)由 y=lg

3(10 y ? 1) 3(10 x ? 1) x?3 ( x ? 0) ,? x>3,解得 y>0, ∴f-1(x)= , 得 x= 10 y ? 1 10 x ? 1 x ?3

6

(4) ∵f[ ? (3) ]=lg

? (3) ? 3 ? (3) ? 3 ? lg 3 ,∴ ? 3 ,解得 ? (3)=6。 ? (3) ? 3 ? (3) ? 3
lg( ? x) 1 lg a
-

5.∵ loga (1 ? x) ? loga (1 ? x) ?

lg(1 ? x) lg a

??

1 lg(1 ? x 2 ) ? 0 ? x ? 1, 则 lg(1 ? x 2 ),? lg a



log a (1 ? x) ? log a (1 ? x) ? 0,即 log a(1 ? x) ? log a (1 ? x)
mx 2 ? 8 x ? n y 6 . 由 y=log3 ,得 3= 2 x ?1 mx 2 ? 8 x ? n y 2 y , 即 ( 3 -m ) x -8x+3 -n=0. ∵ x2 ?1

y x ? R,? ? ? 64 -4(3y-m)(3y-n) ? 0, 32y-(m+n)· y+mn-16 ? 0 。 0 ? y ? 2 , 1 ? 3 ? 9 即 3 由 得

,由根与系数的关系得 ?

?m ? n ? 1 ? 9 ,解得 m=n=5。 ?mn ? 16 ? 1 ? 9

7.由已知 x=

1 1 -2y>0,? 0 ? y ? ,由 g=log 2 4 1 4 1 1 1 1 (8xy+4y2+1)=log (-12y2+4y+1)=log [-12(y- )2+ ], ? 当 y= ,g 的 最 小 值 为 2 2 2 6 3 6 4 3

log 1
2

? ?4 ? x 2 ? 0 ?? 2 ? x ? 2 ? ? ?| x | ? x ? 0 ? ?x ? 0 ?| x | ? x ? 1 ? 1 ? ?x ? 2 ? 8.解:
1 1 0?x? 或 ?x?2 2 2 ∴ 1 1 (0, ) ? ( ,] 2 2 . ∴ 函数的定义域是 2

9.解:∵ 是对数的底数 a
7

∴ a>0 且 a≠1 ∴ 函数 u=2-ax 是减函数 ∵ 函数 y ? log a (2 ? ax) 是减函数 ∴ a>1( log a u 是增函数)
2 ? ax ? 0 ? x ? 2 a

∵ 函数的定义域是

2 ( ?? , ) a ∴ 定义域是

∵ 函数在区间[0,1]上有意义是减函数

2 [0, ? (??, ) 1] ? a ∴
2 ?1? a ? 2 a ∴

∴ 1<a<2. 10.解:f(x)>1 即
log a ( x ? 1 ? a ) ? 1

当 a>1 时
?x ? 1 ? a ? 0 ?x ? a ? 1 ?? ? ?x ? 1 ? a ? a ?x ? 2a ? 1

∴ 解为 x>2a-1 当 0<a<1 时
?x ? 1 ? a ? 0 ?x ? a ? 1 ?? ? ?x ? 1 ? a ? a ?x ? 2a ? 1

∵ a-1<2a-1 ∴ 解为 a-1<x<2a-1
8

∴ a>1 时,{x|x>2a-1} 当 当 0<a<1 时,{x|a-1<x<2a-1}均能使 f(x)>1 成立.

9


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