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3.4基本不等式(第1课时)


3.4 基本不等式

ab ?

a?b 2

(第 1 课时)

一.学习目标 学会推导并掌握基本不等式, 理解这个基本不等式的几何意义, 并掌握定理中的不等号 “≥”取等号的条件是:当且仅当这两个数相等; 二.学习过程 预习教材 97、98 页并完成相应的导学案 (一)课前准备 1.重要不等式:对于任意实数 a , b ,有 a2 ? b2 ____ 2ab ,当且仅当________时,等号成立. a?b ) ,则 2.基本不等式:设 a, b ? (0, ?? _____ ab ,当且仅当___ _时,不等式取等号. 2

(二)新课导学 ※ 学习探究
探究 1:基本不等式 ab ?

a?b 的几何背景: 2 如图是在北京召开的第 24 界国际数学家大会的会标, 会标是根据中国 古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的明暗使它看上去象一个风车,代表 中国人民热情好客. 你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗?

将图中的“风车”抽象成如图,

在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为 a,b 那 么正方形的边长为____________.这样,4 个直角三角形的面积的和是___________,正方形 的面积为_________.由于 4 个直角三角形的面积______正方形的面积, 我们就得到了一个不 2 2 等式: a ? b ? 2ab . 当直角三角形变为等腰直角三角形,即 a=b 时,正方形 EFGH 缩为一个点,这时有 _______________ 结论:一般的,如果 a, b ? R ,我们有 a 2 ? b2 ? 2ab 当且仅当 a ? b 时,等号成立. 探究 2:你能给出它的证明吗?

1

特别的,如果 a ? 0 , b ? 0 ,我们用 a 、 b 分别代替 a 、 b ,可得 a ? b ? 2 ab , a?b 通常我们把上式写作: ab ? (a>0,b>0) 2 a?b 问:由不等式的性质证明基本不等式 ab ? ? 2 用分析法证明: a?b 证明:要证 (1) ? ab 2 a?b? 只要证 (2) 要证(2),只要证 a ? b ? ____ ? 0 (3) 要证(3),只 要证 (_____ ? _____)2 ? 0 (4) 显然,(4)是成立的. 当且仅当 a=b 时,(4)中的等号成立.

a?b 的几何意义 2 探究:课本第 98 页的“探究” 在右图中,AB 是圆的直径,点 C 是 AB 上的一点,AC=a,BC=b. 过点 C 作垂直于 AB 的弦 DE, 连接 AD、 BD. 你能利用这个图形得出 a?b 基本不等式 ab ? 的几何解释吗? 2
3)理解基本不等式 ab ?

结论:基本不等式 ab ?

a?b 几何意义是 2

评述:

a?b 看作是正数 a 、 b 的等差中项, ab 看作是正数 a 、 b 的等比中项,那么该定 2 理可以叙述为:
1.如果把 2.在数学中,我们称 可叙述为:

a?b 为 a 、 b 的算术平均数,称 ab 为 a 、 b 的几何平均数.本节定理还 2 .

※ 典型例题 例 1 (1)用篱笆围成一个面积为 100m 2 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所 用篱笆最短. 最短的篱笆是多少?

2

(2)段长为 36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时, 菜园的面积最大,最大面积是多少?

※ 动手试试 练 1. 把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小?

练 2. 把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?

练 3. x ? 0 时,当 x 取什么值时, x ?

1 的值最小?最小值是多少? x

3

练 4. 已知直角三角形的面积等于 50,两条直角边各为多少时,两条直角边之和最小,最小 值是多少?

(三)总结提升 ※ 学习小结 在利用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三相等. ※ 知识拓展 两个正数 x, y 1.如果和 x ? y 为定值 S 时,则当 x ? y 时,积 xy 有最大值是 2. 如果积 xy 为定值 P 时,则当 x ? y 时,和 x ? y 有最小值是

. .

三. 学习评价 (时量:10 分钟 满分:10 分)计分: 81 1. 已知 x ? 0,若 x+ 的值最小,则 x 为( ). x A. 81 B. 9 C. 3 D.16 2. 若 0 ? a ? 1 , 0 ? b ? 1 且 a ? b ,则 a ? b 、 2 ab 、 2 ab 、 a 2 ? b2 中最大的一个是( A. a ? b B. 2 ab C. 2 ab D. a ? b a b a ? b ? 2 3 ? 3 3. 若实数 a,b,满足 ,则 的最小值是(
2 2

).

).

D. 3 2 81 4. 已知 x≠0,当 x=_____时,x + 2 的值最小,最小值是________. x 5. 做一个体积为 32 m3 ,高为 2 m 的长方体纸盒,底面的长为_______,宽为________时, 用纸最少. 6. 一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长 18 m ,问这个矩形的长、宽 各为多少时,菜园的面积最大?最大面积是多少?
2

A.18

B.6

C. 2 3

4


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