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倍、半角公式


倍角、半角公式与恒等变形
知识要点
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α= (2)cos2α= (3)tan2α= 2.半角公式 α (1)sin = 2 α (3)tan2=
2

; = . -1=1- ;



α (2)cos = 2


/>
1-cosα sinα = = sinα . 1+cosα
2 2

3 .由 cos2α = 2cos α - 1 = 1 - 2sin α 可得降幂公式: cos α =

; sin2α .



;升幂公式 cos2α=



题型一 公式应用 例 1 求值: (1)sin10° · sin50° · sin70° ; (3)(tan10° - 3)sin40° . (2)sin6° sin42° sin66° sin78° ;

题型二 知值求值 π 3 3π π π 例 2 已知 cos( -α)= ,- <α<- .求 cos(2α- )的值. 4 5 2 2 4

题型三

恒等变形

1+cosx-sinx 1-cosx-sinx π 例 3 已知 f(x)= + 且 x≠2kπ+ ,k∈Z.且 x≠kπ+π,k∈Z. 2 1-sinx-cosx 1-sinx+cosx x 1+tan2 2 x (1) 化简 f(x);(2)是否存在 x,使得 tan · f(x)与 相等?若存在,求 x 的值;若不存 2 sinx 在,请说明理由.

题型四 例4

化简与三角函数性质

(1)函数 f(x)=sin4x+cos2x 的最小正周期为________.

(2)函数 f(x)=sin4x+2 3sinxcosx-cos4x 的值域为________.

练习: x 2sin22-1 x sin2cos2 D.8 π ,则 f ( x 12)的值为 (

1.(2013· 湖北八校)已知 f(x)=2tanx-

)

A.4 3

8 3 B. 3

C.4

2.若 3sinα+cosα=0,则 10 A. 3 5 B.3

1 的值为 ( cos α+sin2α
2

)

2 C.3

D.-2

3.(2013· 衡水调研卷)计算

π tan?4+α?· cos2α

的值为 ( π 2cos2?4-α? D.1

)

A.-2

B.2

C.-1

3 4.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanA· tanB,且 sinA· cosA= 4 ,则此三角 形为________.
α α ?1+sinα+cosα??sin -cos ? 2 2 5.化简: (π<α<2π). 2+2cosα

π π α 1 5 6.已知 0<α<2,2<β<π 且 tan2=2,sin(α+β)=13. α-β (1)分别求 cosα 与 cosβ 的值;(2)求 tan 2 的值.

倍角、半角公式与恒等变形
知识要点
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α= (2)cos2α= ; = -1=1- ;

2tanα kπ π π (3)tan2α= (α≠ + 且 α≠kπ+ ). 2 4 2 1-tan2α 2.半角公式 α (1)sin = 2 α (3)tan = 2
2



α (2)cos = 2



1-cosα sinα = = . sinα 1+cosα
2 2

3 .由 cos2α = 2cos α - 1 = 1 - 2sin α 可得降幂公式: cos α =

; sin2α .

= 题型一 公式应用

;升幂公式 cos2α=



例 1 求值: (1)sin10° · sin50° · sin70° ; (3)(tan10° - 3)sin40° . (1) 原 式 = cos20° cos40° cos80° = 2sin80° cos80° sin160° sin20° 1 = = = . 8sin20° 8sin20° 8sin20° 8 (2) 原 式 =

(2)sin6° sin42° sin66° sin78° ;

2sin20° cos20° cos40° cos80° 2sin40° cos40° cos80° = = 2sin20° 4sin20°

sin6° cos48° cos24° cos12°



24sin6° cos6° cos12° cos24° cos48° 24cos6°



23sin12° cos12° cos24° cos48° 22sin24° cos24° cos48° 2sin48° cos48° sin96° cos6° 1 = = = 4 = = . 4 2 cos6° 24cos6° 24cos6° 2 cos6° 24cos6° 16 sin10° - 3cos10° 2sin?10° -60° ? sin10° (3)原式=( - 3)sin40° = sin40° = cos50° cos10° cos10° cos10° sin50° cos50° sin100° =-2 =- =-1. cos10° cos10° 题型二 知值求值 π 3 3π π π 例 2 已知 cos( -α)= ,- <α<- .求 cos(2α- )的值. 4 5 2 2 4 π π 3 7 7π π 3π 【解析】 方法一 cos2(α- )=2cos2( -α)-1=2×( )2-1=- .∵- <α- <- ,且 4 4 5 25 4 4 4 π 3 π 4 π π π 24 π cos( -α)= >0,从而 sin(α- )= ,sin2(α- )=2sin(α- )cos(α- )= ,cos(2α- )= 4 5 4 5 4 4 4 25 4 π π 2 π π 31 cos[2(α- )+ ]= [cos2(α- )-sin2(α- )]=- 2. 4 4 2 4 4 50

π 3 2 3 18 方法二 由 cos( -α)= ,得 (cosα+sinα)= .①两边平方,得 1+2cosαsinα= . 4 5 2 5 25 7 7 32 7 3π sin2α=2cosαsinα=- ,(cosα-sinα)2=1-(- )= .根据 2cosαsinα=- <0 及- <α< 25 25 25 25 2 π 3π 4 2 - ,知- <α<-π,所以 cosα<0,sinα>0.故有 cosα-sinα=- .② 2 2 5 24 π 2 31 ①×②,得 cos2α=- .cos(2α- )= (cos2α+sin2α)=- 2. 25 4 2 50 题型三 恒等变形

1+cosx-sinx 1-cosx-sinx π 例 3 已知 f(x)= + 且 x≠2kπ+ ,k∈Z.且 x≠kπ+π,k∈Z. 2 1-sinx-cosx 1-sinx+cosx x 1+tan2 2 x (1)化简 f(x);(2)是否存在 x,使得 tan · f(x)与 相等?若存在,求 x 的值;若不存在, 2 sinx 请说明理由. 1+cosx-sinx 【解析】 (1)∵ = 1-sinx-cosx x x x x x x x 2cos2 -2sin cos 2cos ?cos -sin ? cos 2 2 2 2 2 2 2 = =- , x x x x x x 2x 2sin -2sin cos -2sin ?cos -sin ? sin 2 2 2 2 2 2 2

x x x x x sin cos sin cos2 +sin2 2 2 2 2 2 1-cosx-sinx 2 同理得 =- .∴f(x)=- - =- =- . x x x x x sinx 1-sinx+cosx cos sin cos sin · cos 2 2 2 2 2 π 且 x≠2kπ+ ,k∈Z. 2 x x x 1+tan2 2tan 1+tan2 2 2 2 x (2)若 tan · f(x)= ,则- = . 2 sinx sinx sinx 3π 此时 x=2kπ+ ,(k∈Z),即为存在的值. 2 题型四 例4 化简与三角函数性质 x 2tan 2

∴ =-1,即 sinx=-1. 2x 1+tan 2

(1)函数 f(x)=sin4x+cos2x 的最小正周期为________.

(2)函数 f(x)=sin4x+2 3sinxcosx-cos4x 的值域为________. 1-cos2x 2 1+cos2x 1 2 3 1 1+cos4x 3 【解析】 (1)f(x)=sin4x+cos2x=( )+ = cos 2x+ = · + 2 2 4 4 4 2 4 1 7 2π π = cos4x+ ,∴f(x)的最小正周期为 T= = . 8 8 4 2 (2)f(x)=sin4x+2 3sinxcosx-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)+ 3sin2x= 3sin2x-cos2x π =2sin(2x- ),∴f(x)的值域为[-2,2]. 6

练习:

1.(2013· 湖北八校)已知 f(x)=2tanx-

x 2sin22-1

π x x ,则 f(12)的值为 ( sin2cos2 D.8

)

A.4 3 解析 4

8 3 B. 3

C.4

cosx sinx cosx 1 4 π ∵ f(x)= 2(tanx+ sinx )= 2×(cosx + sinx )=2× cosx· = ,∴ f ( sinx sin2x 12 )=

π=8. sin6 2.若 3sinα+cosα=0,则 10 A. 3 5 B.3 1 的值为 ( cos α+sin2α
2

)

2 C.3

D.-2 sin2α+cos2α 1 = cos2α+sin2α cos2α+2sinαcosα

解析 由 3sinα+cosα=0,得 cosα=-3sinα.则 9sin2α+sin2α 10 = = ,故选 A. 9sin2α-6sin2α 3 π tan?4+α?· cos2α
2

3.(2013· 衡水调研卷)计算

的值为 ( π 2cos ?4-α? D.1

)

A.-2

B.2

C.-1

解析

π tan?4+α?· cos2α

cos2α cos2α = = = π π π π π π 2cos2?4-α? 2sin2?4+α?cos?4+α? 2sin?4+α?cos?4+α? sin2?4+α?

π sin?4+α?· cos2α

cos2α cos2α = π =cos2α=1,选 D. sin?2+2α? 3 4.在△ABC 中,tanA+tanB+ 3= 3tanA· tanB,且 sinA· cosA= 4 ,则此三角 形为________. 解析 ∵tanA+tanB+ 3= 3tanAtanB,∴tan(A+B)=- 3,得 A+B=120° . 3 3 又由 sinAcosA= 4 ,得 sin2A= 2 .∴A=60° (A=30° 舍去),∴△ABC 为等边三 角形.

α α ?1+sinα+cosα??sin -cos ? 2 2 5.化简: (π<α<2π). 2+2cosα α α α α α α α α α α α α α ?2cos2 +2sin cos ??sin -cos ? 2cos ?cos +sin ??sin -cos ? cos ?sin2 -cos2 ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 原式= = = α α α 2|cos | |cos | 4cos2 2 2 2 α α cos ?-cosα? -cos cosα 2 2 π α α = ,∵π<α<2π,∴ < <π.∴cos <0.∴原式= =cosα. α 2 2 2 α |cos | -cos 2 2

π π α 1 5 6.已知 0<α<2,2<β<π 且 tan2=2,sin(α+β)=13. α-β (1)分别求 cosα 与 cosβ 的值;(2)求 tan 2 的值. α α (1)cosα= cos2 2 - sin2 2 = α α cos22-sin22 α cos22+sin22 α 1-tan22 1+tan22 3 π = ,∵ 0 < α < α 5 2 ,∴ sinα

解析

α=

4 π 3π 5 12 =5.∵α+β∈(2, 2 ),sin(α+β)=13,∴cos(α+β)=-13.∴cosβ=cos[(α+β)- α] 12 3 5 4 16 =cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=(-13)· + · =- 5 13 5 65. β 16 β π π β 7 β 9 (2)∵2cos22-1=cosβ=-65且2∈(4,2),∴cos2= ,∴sin2= . 130 130 α-β β 9 ∴tan2=7.∴tan 2 = α β tan2-tan2 11 α β=-23. 1+tan2tan2


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