当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省肇庆市2015届高考数学三模试卷(文科)


广东省肇庆市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={1,2},则 A∪B=() A.{1} B.{0,1} C.{﹣1,0,2} D.{﹣1,0,1,2} 2. (5 分)设 i 为虚数单位,则复数 z=i(1﹣i)对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

3. (5 分)已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =() A.(3,7) B.(3,9)
x

C.(5,7)

D.(5, 9)

4. (5 分)设 f(x)=2 +x﹣4,则函数 f(x)的零点位于区间() A.(2,3) B.(1,2) C.(0,1) D.(﹣1,0) 5. (5 分)在△ ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=() A. B. C. D.

6. (5 分)执行如图的程序框图,则输出的值 P=()

A.12

B.10

C. 8

D.6

7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

8. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是() A. B. C. D.

9. (5 分)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A.若|AF|=3,则点 A 的坐标为() A.(2,2 ) B.(2,﹣2 ) C.(2,±2 ) D.(1,±2) 10. (5 分)对于非空集合 A,B,定义运算:A⊕B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B},已知 M={x|a <x<b},N={x|c<x<d},其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M⊕N=() A.(a,d)∪(b,c) B. (c,a]∪[b,d) C. (c,a)∪(d,b) D.(a,c]∪[d,b)

2

二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 15 分.(一)必做题(11~ 13 题) 11. (5 分)如图是某 2015 届高三学生进入高中三年来第 1 次到 14 次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为.

12. (5 分)函数 y=ln(x﹣2)+

的定义域.

13. (5 分)已知 Ω 为不等式组

所表示的平面区域,E 为圆(x﹣a) +(y﹣b)

2

2

=r (r>0)及其内部所表示的平面区域,若“点(x,y)∈Ω”是“点(x,y)∈E”的充分条件, 则区域 E 的面积的最小值为.

2

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)极坐标系(ρ,θ) (0≤θ<2π)中,点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的极坐 标是.

(几何证明选讲选做题) 15. 如图, AB 是圆 O 的直径, 且 AB=6, CD 是弦, BA、 CD 的延长线交于点 P, PA=4, PD=5, 则∠COD=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)= sin(π﹣x)sin( +x)﹣cos x
2

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 θ∈[﹣ ,0],f( + )= ,求 sin(2θ﹣ )的值.

17. (12 分)某校 2014-2015 学年高一年级有四个班,其中一、二班为数学课改班,三、四班 为数学非课改班.在期末考试中,课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表. 优秀 非优秀 总计 课改班 50 非课改班 20 110 合计 210 (1)请完成上面的 2×2 列联表,并判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩与课改有关”; (2)若采用分层抽样的方法从课改班的学生中随机抽取 4 人,则数学成绩优秀和数学成绩非 优秀抽取的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从中随机抽取 2 人,求两人数学成绩都优秀的概率. 18. (14 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PD⊥底面 ABCD, PD=AD, E 为 PC 的中点,F 为 PB 上一点,且 EF⊥PB.

(1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:AC⊥DF; (3)求三棱锥 B﹣ADF 的体积.

19. (14 分) 已知数列{an}满足: a1= , 3an+1﹣2an=1 (n∈N ) ; 数列{bn}满足: bn=an+1﹣a( . n n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

*

*

20. (14 分)已知直线 l:y=x+2 与双曲线 C:



=1(a>0,b>0)相交于 B、D 两点,

且 BD 的中点为 M(1,3) . (1)求双曲线 C 的离心率; (2)设双曲线 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|BF|?|DF|=17,试判断△ ABD 是否为直角三角 形,并说明理由. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣3x (1)讨论 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣m 在[﹣ ,3]上有三个零点,求实数 m 的取值范围; (3)设函数 h(x)=e ﹣ex+4n ﹣2n(e 为自然对数的底数) ,如果对任意的 x1,x2∈[ ,2], 都有 f(x1)≤h(x2)恒成立,求实数 n 的取值范围.
x 2 3

广东省肇庆市 2015 届高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)已知集合 A={﹣1,0,1},B={1,2},则 A∪B=() A.{1} B.{0,1} C.{﹣1,0,2} D.{﹣1,0,1,2}

考点: 并集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵A={﹣1,0,1},B={1,2}, ∴A∪B={﹣1,0,1,2}, 故选:D 点评: 本题主要考查集合的基本运算,比较基础. 2. (5 分)设 i 为虚数单位,则复数 z=i(1﹣i)对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接利用复数代数形式的乘法运算化简,求出复数对应点的坐标得答案. 解答: 解:由 z=i(1﹣i)=1+i, 得复数 z=i(1﹣i)对应的点的坐标为(1,1) ,位于第一象限. 故选:A. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义,是 基础题.

3. (5 分)已知向量 =(2,4) , =(﹣1,1) ,则 2 ﹣ =() A.(3,7) B.(3,9) C.(5,7) D.(5,9)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量的坐标运算求解即可. 解答: 解:向量 =(2,4) , =(﹣1,1) , 则 2 ﹣ =2(2,4)﹣(﹣1,1)=(5,7) . 故选:C. 点评: 本题考查向量的坐标运算,考查计算能力. 4. (5 分)设 f(x)=2 +x﹣4,则函数 f(x)的零点位于区间() A.(2,3) B.(1,2) C.(0,1) D.(﹣1,0) 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数零点的判定定理的条件检验是否满足,从而解得. x 解答: 解:∵f(x)=2 +x﹣4 在定义域 R 上连续, 且 f(1)=2+1﹣4<0,f(2)=4+2﹣4=2>0, 故函数 f(x)的零点位于区间(1,2)上, 故选:B.
x

点评: 本题考查了函数零点的判定定理的应用,属于基础题. 5. (5 分)在△ ABC 中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC=() A. B. C. D.

考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用余弦定理表示出 cos∠BAC,将三边长代入计算求出 cos∠BAC 的值,即可确定 出∠BAC 的度数. 解答: 解:∵在△ ABC 中,AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7, ∴由余弦定理得:cos∠BAC= ∵∠BAC 为△ ABC 的内角, ∴∠BAC= . = =﹣ ,

故选:C. 点评: 此题考查了余弦定理,熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 6. (5 分)执行如图的程序框图,则输出的值 P=()

A.12

B.10

C. 8

D.6

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值,当 S=208 时,不满足条件 S<100,退出循环,输出 P 的值为 10. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 k=1,S=0 满足条件 S<100,S=4,k=2 满足条件 S<100,S=16,k=3 满足条件 S<100,S=48,k=4 满足条件 S<100,S=208,k=5 不满足条件 S<100,退出循环,得 P=10,输出 P 的值为 10. 故选:B.

点评: 本题主要考查了循环结构的程序框图,依次写出每次循环得到的 S,k 的值是解题的 关键,属于基本知识的考查. 7. (5 分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是()

A.

B.

C.

D.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是一正方体去掉一个三棱锥,结合图中数据求 出它的体积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得; 该几何体是一棱长为 1 的正方体,去掉一三棱锥,

如图所示; ∴该几何体的体积是 V 几何体=1 ﹣
3

×1 ×1= .

2

故选:A. 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求体积的应用问题,是基础题目. 8. (5 分)设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是() A. B. C. D.

考点: 等比数列的性质. 专题: 计算题.

分析: 根据已知的等式变形,利用等比数列的性质求出公比 q 的值,然后分别根据等比数 列的通项公式及前 n 项和公式,即可找出四个选项中数值不能确定的选项. 解答: 解:由 8a2+a5=0,得到 =q =﹣8,故选项 A 正确;
3

解得:q=﹣2,则

=q=﹣2,故选项 C 正确;



=

=

,故选项 B 正确;



=

=

,所以数值不能确定的是选项 D.

故选 D 点评: 此题考查学生掌握等比数列的性质,灵活运用等比数列的通项公式及前 n 项和公式 化简求值,是一道基础题. 9. (5 分)过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于点 A.若|AF|=3,则点 A 的坐标为() A.(2,2 ) B.(2,﹣2 ) C.(2,±2 ) D.(1,±2) 考点: 抛物线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定抛物线 y =4x 的准线方程,利用抛物线的定义,可求 A 点的横坐标,即可得出 A 的坐标. 2 解答: 解:抛物线 y =4x 的准线方程为 x=﹣1,F(1,0) . 设 A(x,y) , ∵|AF|=3, ∴根据抛物线的定义可得|AF|=3=x+1, ∴x=2, ∴y= , ∴A 的坐标为(2, ) . 故选:C, 点评: 抛物线的定义告诉我们:抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离. 10. (5 分)对于非空集合 A,B,定义运算:A⊕B={x|x∈A∪B,且 x?A∩B},已知 M={x|a <x<b},N={x|c<x<d},其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab<cd<0,则 M⊕N=() A.(a,d)∪(b,c) B. (c,a]∪[b,d) C. (c,a)∪(d,b) D.(a,c]∪[d,b)
2 2

考点: 子集与交集、并集运算的转换. 专题: 新定义;函数的性质及应用. 分析: 本题可先由知 M={x|a<x<b},N={x|c<x<d},其中 a、b、c、d 满足 a+b=c+d,ab <cd<0,得到 a,b,0,c,d 的大小关系,再由新定义 M⊕N 的意义即可求出. 解答: 解:由已知 M={x|a<x<b},∴a<b,又 ab<0,∴a<0<b, 同理可得 c<0<d, 由 ab<cd<0,c<0,b>0,∴ 又∵a+b=c+d,∴a﹣c=d﹣b,∴ ,∴ , ,

又∵c<0,b>0,∴d﹣b<0,因此,a﹣c<0, ∴a<c<0<d<b, ∴M∩N=N,∴M⊕N={x|a<x≤c,或 d≤x<b}=(a,c]∪[d,b) . 故选 D. 点评: 本题综合考查了新定义、不等式的性质、集合的子集与交集并集的转换,充分理解 以上概念及运算法则是解决问题的关键. 二、填空题:本大题共 3 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 15 分.(一)必做题(11~ 13 题) 11. (5 分)如图是某 2015 届高三学生进入高中三年来第 1 次到 14 次的数学考试成绩茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 94.5.

考点: 茎叶图. 专题: 概率与统计. 分析: 根据中位数的概念和茎叶图中的数据,即可得到数据中的中位数. 解答: 解: 从茎叶图中可知 14 个数据排序为: 79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114, 所以中位数为 94 与 95 的平均数 94.5. 故答案为:94.5. 点评: 本题主要考查茎叶图的应用,以及中位数的求法,要注意在求中位数的过程中,要 把数据从小到大排好,才能确定中位数,同时要注意数据的个数. 12. (5 分)函数 y=ln(x﹣2)+ 的定义域(2,3].

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数 y 的解析式,列出使函数解析式有意义的不等式组,求出解集即可. 解答: 解:∵函数 y=ln(x﹣2)+ ,





解得 2<x≤3; ∴函数 y 的定义域是(2,3]. 故答案为: (2,3]. 点评: 本题考查了利用函数的解析式求函数定义域的应用问题,是基础题目.

13. (5 分)已知 Ω 为不等式组

所表示的平面区域,E 为圆(x﹣a) +(y﹣b)

2

2

=r (r>0)及其内部所表示的平面区域,若“点(x,y)∈Ω”是“点(x,y)∈E”的充分条件, .

2

则区域 E 的面积的最小值为

考点: 简单线性规划的应用;二元一次不等式(组)与平面区域. 专题: 常规题型;数形结合法. 分析: ①由线性约束条件画出可行域, ②求出可行域内两点间的最大距离, ③以最大距离 为直径求出圆的面积即为圆的最小面积. 解答: 解:根据约束条件画出可行域

∵“点(x,y)∈Ω”是“点(x,y)∈E”的充分条件 ∴阴影部分应在圆内或在圆上, 则r , = .

则圆的面积最小值为: 故答案为: .

点评: 本题考查了线性规划的相关知识,区域内两点间的最大距离的求法,及圆的面积公 式;综合性较强,同时也是对线性规划问题考查方式的创新. (二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)极坐标系(ρ,θ) (0≤θ<2π)中,点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的极坐 标是( , ) .

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 求出点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的直角坐标,再把它化为极坐标. 解答: 解:直线 2ρsinθ=1 即 y= ,点(1,0)关于直线 2ρsinθ=1 对称的点的直角坐标为(1, 1) , 故对称点的极坐标为( 故答案为: ( , ) . , ) ,

点评: 本题主要考查点的极坐标与直角坐标的互化,求一个点关于直线的对称点,属于基 础题. (几何证明选讲选做题) 15. 如图, AB 是圆 O 的直径, 且 AB=6, CD 是弦, BA、 CD 的延长线交于点 P, PA=4, PD=5, 则∠COD=60°.

考点: 弦切角. 专题: 立体几何. 分析: 直接利用圆的割线定理求出弦 CD 的长, 利用 AB 的长确定三角形 OCD 为正三角形, 进一步求出结果. 解答: 解:AB 是圆 O 的直径,CD 是弦,BA、CD 的延长线交于点 P, 利用割线定理得:PA?PB=PD?PC, 由于:AB=6,PA=4,PD=5, 所以:PA?(PA+AB)=PD?(PD+CD) , 解得:CD=3, 所以:△ OCD 为正三角形, 则:∠COD=60°. 故答案为:60°. 点评: 本题考查的知识要点:割线定理的应用,正三角形的性质,主要考查学生的应用能 力.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (12 分)已知函数 f(x)= sin(π﹣x)sin( +x)﹣cos x
2

(1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)若 θ∈[﹣ ,0],f( + )= ,求 sin(2θ﹣ )的值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)首先对函数的关系式进行恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一 步求出函数的周期. (2)利用函数的关系式和函数的值,进一步求出 解答: 解: (1)函数 f(x)= = = = , . (6 分) = sin(π﹣x)sin( , +x)﹣cos x
2

最后求出结果.

所以函数 f(x)的最小正周期 (2)由(1)得 = 由 解得: 由于 θ∈[﹣ 解得: 所以: 所以:sin(2θ﹣ )= , (7 分) , , ,0], , . (8 分) ,

, =﹣ . (12 分)

点评: 本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的周期的应用,利 用函数的关系式求函数的值,主要考查学生的应用能力.

17. (12 分)某校 2014-2015 学年高一年级有四个班,其中一、二班为数学课改班,三、四班 为数学非课改班.在期末考试中,课改班与非课改班的数学成绩优秀与非优秀人数统计如表. 优秀 非优秀 总计 课改班 50 非课改班 20 110 合计 210 (1)请完成上面的 2×2 列联表,并判断若按 99%的可靠性要求,能否认为“成绩与课改有关”; (2)若采用分层抽样的方法从课改班的学生中随机抽取 4 人,则数学成绩优秀和数学成绩非 优秀抽取的人数分别是多少? (3)在(2)的条件下,从中随机抽取 2 人,求两人数学成绩都优秀的概率. 考点: 独立性检验的应用;列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 计算题;概率与统计. 2 分析: (1)确定 2×2 列联表,计算 K ,与临界值比较,即可得出结论; (2)确定比例,即可求出数学成绩优秀和数学成绩非优秀抽取的人数; (3)利用列举法确定基本事件,即可求两人数学成绩都优秀的概率. 解答: 解: (1) 优秀 非优秀 总计 课改班 50 50 100 非课改班 20 90 110 合计 70 140 210 (2 分) K=
2

=23.86>6.635, (5 分)

所以按照 99%的可靠性要求,能够判断成绩与课改有关. (6 分) (2)数学成绩优秀抽取的人数 数学成绩非优秀抽取的人数 =2(人) , (7 分) =2(人) . (8 分)

(3)由(2)知,数学成绩优秀抽取的人数为 2 人,设为 A1、A2;数学成绩非优秀抽取的人 数为 2 人,设为 B1、B2;则所有基本事件有: (A1、A2) , (A1、B1) , (A1、B2) , (A2、B1) , (A2、B2) , (B1、B2)共 6 种. (10 分) 其中满足条件的基本事件有: (A1、A2)共 1 种, (11 分) 所以两人数学成绩都优秀的概率 P= . (12 分) 点评: 本题考查独立性检验的运用,考查分层抽样,考查概率的计算,考查学生的计算能 力,比较基础. 18. (14 分) 如图, 四棱锥 P﹣ABCD 的底面是边长为 1 的正方形, PD⊥底面 ABCD, PD=AD, E 为 PC 的中点,F 为 PB 上一点,且 EF⊥PB. (1)证明:PA∥平面 EDB; (2)证明:AC⊥DF; (3)求三棱锥 B﹣ADF 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的 判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 AC 交 BD 于点 G,连接 EG.由四边形 ABCD 是正方形,可得点 G 是 AC 的中点,利用三角形中位线定理可得 EG∥PA.再利用线面平行的判定定理即可证明. (2)由四边形 ABCD 是正方形,可得 AC⊥BD.再利用 PD⊥底面 ABCD,可得:AC⊥平面 PBD.即可证明. (3)过点 F 作 FH∥PD,交 BD 于 H.可得 FH⊥底面 ABCD.再利用 VB﹣ADF=VF﹣
ABD=

,即可得出.

解答: (1)证明:连接 AC 交 BD 于点 G,连接 EG. ∵四边形 ABCD 是正方形,∴点 G 是 AC 的中点, 又∵E 为 PC 的中点, 因此 EG∥PA. 而 EG?平面 EDB, ∴PA∥平面 EDB. (2)证明:∵四边形 ABCD 是正方形, ∴AC⊥BD. ∵PD⊥底面 ABCD,AC?底面 ABCD, ∴AC⊥PD. 而 PD∩BD=D, ∴AC⊥平面 PBD. 又 DF?平面 PBD, ∴AC⊥DF. (3)解:过点 F 作 FH∥PD,交 BD 于 H. ∵PD⊥底面 ABCD,FH∥PD, ∴FH⊥底面 ABCD. 由题意,可得 PB= ,PC= ,PE= ,PF= ,FH= = . = .

由 Rt△ PFE∽Rt△ PCB,得 由 Rt△ BFH∽Rt△ BPD,得 ∴VB﹣ADF=VF﹣ABD=

= . = ,

∴三棱锥 B﹣ADF 的体积为 .

点评: 本题考查了三角形中位线定理、线面面面平行与垂直的判定性质定理、正方形的性 质、三角形相似、三棱锥的体积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 19. (14 分) 已知数列{an}满足: a1= , 3an+1﹣2an=1 (n∈N ) ; 数列{bn}满足: bn=an+1﹣a( . n n∈N ) (1)求数列{an}的通项公式及其前 n 项和 Sn; (2)证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列. 考点: 等差关系的确定;数列的求和;数列递推式. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由已知条件得到数列{an﹣1}是以﹣ 为首项, 为公比的等比数列.由此得到 数列{an}的通项公式,然后利用前 n 项和的定义进行求和; (2)假设数列{bn}存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}为等 差数列,于是有 br>bs>bt,则只有可能有 2bs=br+bt 成立,代入通项公式,化简整理后发现等 式左边为偶数,右边为奇数,故上式不可能成立,导致矛盾. 解答: 解: (1)由 3an+1﹣2an=1,得 an+1﹣1= (an﹣1) . 因为 a1= ,所以 a1﹣1=﹣ , 因此数列{an﹣1}是以﹣ 为首项, 为公比的等比数列. 所以 an﹣1=﹣ × ,即 an=1﹣ × +…+ (n∈N ) . ],
* * *

所以 Sn=a1+a2+…+an=n﹣ [1+

=n﹣ ×

=

+n﹣ (n∈N ) .

*

(2)由(1) ,得 bn=an+1﹣an=[1﹣ ×

]﹣[1﹣ ×

]= ×



下面用反证法证明:数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列.

假设数列{bn}中存在三项 br,bs,bt(r<s<t)按某种顺序成等差数列,由于数列{bn}是首项 为 ,公比为 的等比数列,于是有 br>bs>bt,则只能有 2bs=br+bt 成立. 所以 2﹣ ×
t﹣1′ 1﹣r

= ×
s﹣r t﹣s

+ ×
t﹣r t﹣r



两边同乘 3 2 ,化简得 2?2 ?3 =3 +2 . 因为 r<s<t,所以上式左边为偶数,右边为奇数,故上式不可能成立,导致矛盾.故数列{bn} 中的任意三项不可能成等差数列. 点评: 本题主要考查了数列的递推式.对于用递推式确定数列的通项公式问题,常可把通 过递推式变形转换成等差或等比数列.

20. (14 分)已知直线 l:y=x+2 与双曲线 C:



=1(a>0,b>0)相交于 B、D 两点,

且 BD 的中点为 M(1,3) . (1)求双曲线 C 的离心率; (2)设双曲线 C 的右顶点为 A,右焦点为 F,|BF|?|DF|=17,试判断△ ABD 是否为直角三角 形,并说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)直线 y=x+2 和双曲线联立方程,利用中点公式,求出双曲线离心率. (2)利用(1)问关系列出|BF|、|DF|的关系式,进而解出 a 的值,然后利用圆的直径所对的 圆周角为直角得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)由题设知,l 的方程为:y=x+2, 2 2 2 2 2 2 2 化入 C 的方程,并化简,得(b ﹣a )x ﹣4a x﹣4a ﹣a b =0, 设 B(x1,y1) 、D(x2,y2) , 则 , ①

由 M(1,3)为 BD 的中点知 故 ,即 b =3a ,②
2 2





,所以 C 的离心率
2 2


2

(Ⅱ)由①、②知,C 的方程为:3x ﹣y =3a , A(a,0) ,F(2a,0) ,x1+x2=2,x1?x2=﹣ 故不妨设 x1≤﹣a,x2≥a, = =a﹣2x1, ,

=2x2﹣a, |BF|?|FD|=(a﹣2x1) (2x2﹣a)=﹣4x1x2+2a(x1+x2)﹣a =5a +4a+8, 又|BF|?|FD|=17, 故 5a +4a+8=17,解得 a=1 或 a= 故|BD|=
2 2 2

(舍去) , ,

连结 MA,则由 A(1,0) ,M(1,3)知|MA|=3, 从而 MA=MB=MD, 且 MA⊥x 轴,因此以 M 为圆心,MA 为半径的圆经过 A、B、D 三点,且在点 A 处与 x 轴相 切. 所以过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切.∴△ABD 为直角三角形. 点评: 本题主要考查双曲线的离心率的求解和直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用, 2015 届高考中历年常考.属 2015 届高考压轴大题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣3x (1)讨论 f(x)的单调区间; (2)若函数 g(x)=f(x)﹣m 在[﹣ ,3]上有三个零点,求实数 m 的取值范围; (3)设函数 h(x)=e ﹣ex+4n ﹣2n(e 为自然对数的底数) ,如果对任意的 x1,x2∈[ ,2], 都有 f(x1)≤h(x2)恒成立,求实数 n 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;函数零点的判定定理. 专题: 导数的概念及应用;导数的综合应用. 分析: (1)直接求导数,然后解不等式可得原函数的增减区间; (2)利用数形结合,将问题转化为函数 y=f(x)与 y=m 的交点问题,只需利用导数研究函数 y=f(x)的极值、最值即可; (3)因为 h(x)与 f(x)是两个不同的函数,所以该不等式恒成立只需 f(x)max≤h(x)min 即可. 2 解答: 解: (1)f(x)的定义域为 R,f′(x)=3x ﹣3=3(x+1) (x﹣1) . 因为当 x<﹣1 或 x>1 时,f′(x)>0;当﹣1<x<1 时,f′(x)<0; 所以 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣1)和(1,+∞) ,单调递减区间为(﹣1,1) . (2) 要使函数 g (x) =f (x) ﹣m 在[ , 3]上有三个零点, 就是要方程 f (x) ﹣m=0 在[ ,
x 2 3

3]上有三个实根,也就是只要函数 y=f(x)和函数 y=m 的图象在[﹣ ,3]上有三个不同的交 点. 由(1)知,f(x)在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上单调递增,在(﹣1,1)上单调递减; 所以 f(x)在 x=﹣1 处取得极大值 f(﹣1)=2,在 x=1 处取得极小值 f(1)=﹣2. 又 f( )= ,f(3)=18.

故实数 m 的取值范围为 (3)对任意的 f(x)max≤h(x)min 成立.

. ,都有 f(x1)≤h(x2)恒成立,等价于当 时,

由 (1) 知, f (x) 在[ , 1]上单调递减, 在[1, 2]上单调递增, 且 f(2)=2,所以 f(x)在[ ,2]上的最大值 f(x)max=2. 又 h′(x)=e ﹣e,令 h′(x)=0,得 x=1.
x



因为当 x<1 时,h′(x)<0;当 x>1 时,h′(x)>0;所以 h(x)在[ ,1]上单调递减,在 [1,2]上单调递增;故 h(x)在[ ,2]上的最小值 h(x)min=h(1)=4n ﹣2n. 所以 4n ﹣2n≥2,解得
2 2

或 n≥1,故实数 n 的取值范围是(﹣∞,﹣ ]∪[1,+∞) .

点评: 本题考查了利用导数研究函数单调性、极值和最值的方法,不等式恒成立问题的解 题思路,属于常规题目.


相关文章:
2015届高三文科数学肇庆一模试卷
x ? 1 高三数学(文科)第 4 页共 10 页 肇庆市 2015 届高中毕业班第一次统测 数学(文科)参考答案及评分标准 一、选择题 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4...
2015肇庆三模Word版 广东省肇庆市2015届高三第三次统一...
2015肇庆三模Word版 广东省肇庆市2015届高三三次统一检测数学(文)试题 Word...肇庆市 2015 届高中毕业班第一次统一检测题 数学(文科)试卷共 4 页,20 ...
广东省肇庆市2015届高考数学二模试卷(文科)(a卷)
广东省肇庆市2015届高考数学模试卷(文科)(a卷)_数学_高中教育_教育专区。...1. (5 分)设 i 为虚数单位,则复数 A.﹣4﹣3i B.﹣4+3i =() C.4...
广东省梅州市2015届高考数学三模试卷(文科)
广东省梅州市2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广东省梅州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 ...
2015-2016学年广东省肇庆市高三(上)期末数学试卷(文科)...
2015-2016学年广东省肇庆市高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)_数学_高中...复数模的求法,是基础题. 3.一个口袋内装有大小相同的 5 只球,其中 3 只...
陕西省安康市2015届高考数学三模试卷(文科)
(0,+∞) ,都有 xlnx> 成立. 陕西省安康市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四...
陕西省宝鸡市2015届高考数学三模试卷(文科)
陕西省宝鸡市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求...
广东2015届高三第三次联考数学文科试题及答案
广东2015届高三三次联考数学文科试题及答案_数学_高中教育_教育专区。2014—2015 学年度高三六校第三次联考模拟试题 高三文科数学(东莞中学) 一、选择题(本大题...
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题: (共 60 分,共 12 小题,每小题 ...
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)
广西梧州市2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。广西梧州市 2015 届高考数学三模试卷(文科)一、选择题: (共 60 分,共 12 小题,每小题 ...
更多相关标签: