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2014-2015学年河北省承德市隆化县存瑞中学高二(下)期中数学试卷(文科 Word版含解析


2014-2015 学年河北省承德市隆化县存瑞中学高二(下)期中数学试卷(文科)

一、选择题(本大题共 12 小题,每题 5 分,计 60 分) 1. (5 分) (2014?红桥区二模)复数 =( )

A. 2﹣i B. 1﹣2i C. ﹣2+i D. ﹣1+2i 考点: 复数代数形式的混合运算. 专题: 计算题. 分析: 将分子、分

母同时乘以 1+2i,再利用多项式的乘法展开,将 i 用﹣1 代替即可. 解答: 解: =﹣2+i
2

故选 C 点评: 本题考查复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数. 2. (5 分) (2014?北京校级模拟)用反证法证明命题“若 a +b =0,则 a、b 全为 0(a、b∈R)”, 其反设正确的是( ) A. a、b 至少有一个不为 0 B. a、b 至少有一个为 0 C. a、b 全不为 0 D. a、b 中只有一个为 0 考点: 反证法与放缩法. 专题: 应用题. 分析: 把要证的结论否定之后,即得所求的反设. 解答: 解:由于“a、b 全为 0(a、b∈R)”的否定为:“a、b 至少有一个不为 0”, 故选 A. 点评: 本题考查用反证法证明数学命题,得到“a、b 全为 0(a、b∈R)”的否定为:“a、b 至 少有一个不为 0”,是解题的 关键. 3. (5 分) (2015 春?隆化县校级期中)复平面上有点 A,B 其对应的复数分别为﹣3+i 和﹣1 ﹣3i,O 为原点,那么△AOB 是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 考点: 复数的代数表示法及其几何意义. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 根据复数的几何意义,进行求解即可. 解答: 解:∵A,B 其对应的复数分别为﹣3+i 和﹣1﹣3i, 则 A(﹣3,1) ,B(﹣1,﹣3) , =(﹣3,1) , 则| |= ,| |= =(﹣1,﹣3) , ,
2 2

?

=3﹣3=0,即





故△AOB 是等腰直角三角形, 故选:C. 点评: 本题主要考查三角形形状的判断,利用复数的几何意义结合向量的性质是解决本题的 关键. 4. (5 分) (2011?山东)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x(万元)4 2 3 5 销售额 y(万元) 49263954 根据上表可得回归方程 = x+ 的 为 9.4, 据此模型预报广告费用为 6 万元时销售额为 ( A. 63.6 万元 B. 65.5 万元 C. 67.7 万元 D. 72.0 万元 考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: 首先求出所给数据的平均数,得到样本中心点,根据线性回归直线过样本中心点,求 出方程中的一个系数,得到线性回归方程,把自变量为 6 代入,预报出结果. 解答: 解:∵ =42, ∵数据的样本中心点在线性回归直线上, 回归方程 ∴42=9.4×3.5+a, ∴ =9.1, ∴线性回归方程是 y=9.4x+9.1, ∴广告费用为 6 万元时销售额为 9.4×6+9.1=65.5, 故选:B. 点评: 本题考查线性回归方程.考查预报变量的值,考查样本中心点的应用,本题是一个基 础题,这个原题在 2011 年山东卷第八题出现. 5. (5 分) (2015 春?隆化县校级期中)如图⊙O 中,弦 AB 与弦 CD 相交于点 P,∠B=38°, ∠APD=80°,则∠A 等于( ) 中的 为 9.4, =3.5, )

A. 38° B. 42° C. 80° D. 118° 考点: 弦切角.

专题: 计算题;推理和证明. 分析: 利用三角形内角和定理和圆周角定理求解. 解答: 解:在⊙O 中,弦 AB 与 CD 相交于 P 点, ∵∠B=38°,∠APD=80°, ∴∠BPD=100°, ∴∠D=180°﹣38°﹣100°=42°, ∴∠A=∠D=42°. 故选:B. 点评: 本题考查角的大小的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意三角形内角和定理和 圆周角定理的灵活运用.

6. (5 分) (2014?湖南校级模拟)曲线

(t 为参数)与坐标轴的交点是(



A. (0, ) 、 ( ,0) B. (0, ) 、 ( ,0) C. (0,﹣4) 、 (8,0) D. (0, ) 、 (8,0) 考点: 直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 直接令 x=0 与 y=0,分别求出相应的 t,从而求得曲线与坐标轴的交点. 解答: 解:当 x=0 时,t= ,而 y=1﹣2t,即 y= ,得与 y 轴交点为(0, ) ; 当 y=0 时,t= ,而 x=﹣2+5t,即 x= ,得与 x 轴的交点为( ,0) . 故选 B. 点评: 本题主要考查了直线的参数方程,以及求与坐标轴的交点问题,考查计算能力,属于 基础题. 7. (5 分) (2013?宝山区校级模拟)两个变量 y 与 x 的回归模型中,分别选择了 4 个不同模型, 它们的相关指数 R 如下,其中拟合效果最好的模型是( ) 2 2 A. 模型 1 的相关指数 R 为 0.98 B. 模型 2 的相关指数 R 为 0.80 2 2 C. 模型 3 的相关指数 R 为 0.50 D. 模型 4 的相关指数 R 为 0.25 考点: 相关系数. 专题: 常规题型. 2 分析: 两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R ,越接近于 1,这个模型的拟合效 果越好,在所给的四个选项中 0.98 是相关指数最大的值,得到结果. 2 解答: 解:两个变量 y 与 x 的回归模型中,它们的相关指数 R ,越接近于 1, 这个模型的拟合效果越好, 在所给的四个选项中 0.98 是相关指数最大的值, ∴拟合效果最好的模型是模型 1. 故选 A.
2

点评: 本题考查相关指数,这里不用求相关指数,而是根据所给的相关指数判断模型的拟合 效果,这种题目解题的关键是理解相关指数越大拟合效果越好. 8. (5 分) (2015 春?隆化县校级期中)设点 P 对应的复数为﹣3+3i,以原点为极点,实轴正半 轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标可能为( ) A. (3, π) B. (3, π) C. (3 , π) D. (3 , π)

考点: 专题: 分析: 解答:

复数的代数表示法及其几何意义;点的极坐标和直角坐标的互化. 数系的扩充和复数. 根据极坐标的定义先求出极坐标的轴长,后求出 P 点的角度即可. 解:复数对应点 P(﹣3,3) ; =3 ,

极轴长为:ρ=

所以有:



解得 θ=



故选:C 点评: 本题考查复数的基本运算,极坐标的应用,牢记极坐标的定义,一步一步的求出所要 的结果.

9. (5 分) (2015 春?隆化县校级期中)极坐标系中,以(9, 坐标方程为( ) ﹣θ) B. ρ=﹣18cos(

)为圆心,9 为半径的圆的极

A. ρ=18cos( ( ﹣θ)

﹣θ) C. ρ=18sin(

﹣θ) D. ρ=9cos

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: 可利用解三角形和转化为直角坐标来作,先将原极坐标的点化成直角坐标,求出圆的 方程,再利用互化公式将直角坐标方程化成极坐标方程即得. 解答: 解:将原极坐标点(9, 化成直角坐标( , )
2

) ,

∴圆的直角坐标方程为: (x﹣ ) +(y﹣ ∴圆的极坐标方程是 ρ=18cos( 故选:A. ﹣θ) .

) =81,即 x +y ﹣9x﹣9

2

2

2

y=0

点评: 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化,利用直角坐标与极坐标间的关系,即利用 ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ =x +y ,进行代换即得. 10. (5 分) (2015 春?隆化县校级期中)如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D,AC=12,BC=5,则 CD 的长为( )
2 2 2

A.

B.

C.

D.

考点: 解三角形. 专题: 解三角形. 分析: 由题意和勾股定理可得 AB 的值,由面积相等可得 CD 的方程,解方程可得. 解答: 解:由题意可得 AB= = =13,

由等面积可得 S△ABC= ×AC×BC= ×AB×CD, ∴CD= = = ,

故选:A. 点评: 本题考查解三角形,利用等面积是解决问题的捷径,属基础题. 11. (5 分) (2015 春?霍林郭勒市校级期中)下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A. 两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+ ∠B=180° B. 由平面三角形的性质,推测空间四面体性质 C. 某校高二共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班都超 过 50 人 D. 在数列{an}中 公式 考点: 演绎推理的基本方法. 专题: 阅读型. 分析: 演绎推理是由普通性的前提推出特殊性结论的推理.其形式在高中阶段主要学习了三 段论:大前提、小前提、结论,由此对四个命题进行判断得出正确选项. 解答: 解:A 选项是演绎推理,大前提是“两条直线平行,同旁内角互补,”,小前提是“∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角”,结论是“∠A+∠B=180°” B 选项“由平面三角形的性质,推测空间四面体性质”是类比推理; C 选项:某校高二共有 10 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班都 超过 50 人,是归纳推理; ,由此归纳出{an}的通项

D 选项中,在数列{an}中,a1=1,

,通过计算 a2,a3,a4

由此归纳出{an}的通项公式,是归纳推理. 综上得,A 选项正确 故选 A. 点评: 本题考查简单的演绎推理,易错点在于混淆合情推理与演绎推理的概念,属于基础题. 判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义,即是否是由特殊到 一般的推理过程. 判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义,即是否是由特殊到 与它类似的另一个特殊的推理过程. 判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义,能否从推理过程中 找出“三段论”的三个组成部分. 12. (5 分) (2012?北京)如图,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D,以 BD 为直径的圆与 BC 交于 点 E.则( )

A. CE?CB=AD?DB B. CE?CB=AD?AB C. AD?AB=CD D. CE?EB=CD

2

2

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 直线与圆. 分析: 连接 DE,以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E,DE⊥BE,由∠ACB=90°,CD⊥AB 于 点 D,△ACD∽△CBD,由此利用三角形相似和切割线定理,能够推导出 CE?CB=AD?BD. 解答: 解:连接 DE, ∵以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E, ∴DE⊥BE, ∵∠ACB=90°,CD⊥AB 于点 D, ∴△ACD∽△CBD, ∴
2



∴CD =AD?BD. 2 ∵CD =CE?CB, ∴CE?CB=AD?BD, 故选 A.

点评: 本题考查与圆有关的比例线段的应用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注 意三角形相似和切割线定理的灵活运用. 二.填空题(每题 5 分,共 20 分) 13. (5 分) (2015 春?隆化县校级期中) 用演绎推理证明“y=tanx 是周期函数”时, 大前提为 若 对定义域内任意的 x 都有:f(x+T)=f(x) ,则 f(x)为周期函数 . 考点: 演绎推理的意义. 专题: 推理和证明. 分析: 大前提是指一个一般的原理,证明“y=tanx 是周期函数”时,依据的原理就是周期函数 的定义,即若对定义域内任意的 x 都有:f(x+T)=f(x) ,则 f(x)为周期函数. 解答: 解:∵证明“y=tanx 是周期函数”时,依据的原理就是周期函数的定义,即若对定义域 内任意的 x 都有:f(x+T)=f(x) ,则 f(x)为周期函数, ∴用演绎推理证明“y=tanx 是周期函数”时,大前提为:若对定义域内任意的 x 都有:f(x+T) =f(x) ,则 f(x)为周期函数; 故答案为:若对定义域内任意的 x 都有:f(x+T)=f(x) ,则 f(x)为周期函数. 点评: 本题考查演绎推理的基本方法,考查证明函数的周期性,是一个基础题,这种问题经 常见到,我们做题的时候也经常用到,注意这种方法.

14. (5 分) (2015 春?隆化县校级期中)把椭圆
2 2

+

=1 经过伸缩变换 φ:

得到的

曲线方程是 x +y =4



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由题意,x=2x′,y= y′,代入 解答: 解:由题意,x=2x′,y= y′, + =1,化简即可得出结论.

代入
2

+
2

=1 可得



∴x′ +y′ =4, 2 2 ∴x +y =4, 2 2 故答案为:x +y =4. 点评: 本题考查椭圆、圆的方程,考查坐标变换,考查学生分析解决问题的能力,比较基础. 15. (5 分) (2013 春?蓟县期中)按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x=3,则输出的 x 的值是 231

考点: 程序框图. 专题: 阅读型. 分析:根据程序可知, 输入 x, 计算出 作为 x,输入 可. 解答: 解:∵x=3, ∴ ∵6<100, ∴当 x=6 时, ∴当 x=21 时, =21<100, =231>100,停止循环 =6, ,再计算 的值, 若 的值,直到 ≤100, 然后再把 >100,再输出 x 的值即

则最后输出的结果是 231, 故答案为:231. 点评: 此题考查的知识点是代数式求值, 解答本题的关键就是弄清楚题图给出的计算程序. 属 于基础题. 16. (5 分) (2013?天津)如图,在圆内接梯形 ABCD 中,AB∥DC,过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E.若 AB=AD=5,BE=4,则弦 BD 的长为 .

考点: 与圆有关的比例线段;余弦定理. 专题: 直线与圆. 分析: 连结圆心 O 与 A, 说明 OA⊥AE, 利用切割线定理求出 AE, 通过余弦定理求出∠BAE 的余弦值,然后求解 BD 即可. 解答: 解:如图连结圆心 O 与 A,因为过点 A 作圆的切线与 CB 的延长线交于点 E.所以 OA⊥AE, 因为 AB=AD=5,BE=4, 梯形 ABCD 中,AB∥DC,BC=5, 2 由切割线定理可知:AE =EB?EC,所以 AE= =6,

在△ABE 中,BE =AE +AB ﹣2AB?AEcosα,即 16=25+36﹣60cosα, 所以 cosα= ,AB=AD=5, 所以 BD=2×ABcosα= 故答案为: . .

2

2

2

点评: 本题考查切割线定理,余弦定理的应用,考查学生分析问题解决问题的能力以及计算 能力. 三、解答题(共 6 题,70 分) 17. (10 分) (2015 春?隆化县校级期中)某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元) 之间有如表对应数据: x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 (1)求回归直线方程; (2)试预测广告费支出为 10 百万元时,销售额多大?

=

, = ﹣



考点: 线性回归方程. 专题: 概率与统计. 分析: (1)先求出横标和纵标的平均数,得到这组数据的样本中心点,利用最小二乘法求 出线性回归方程的系数,代入样本中心点求出 a 的值,写出线性回归方程. (2)将 x=10 代入回归直线方程求出 y 的值即为当广告费支出 10(百万元)时的销售额的估 计值. 解答: 解: (1)∵ = (2+4+5+6+8)=5, = (30+40+60+50+70)=50.
2

xi =145,

xiyi=1380

则 =

=6.5,

= ﹣6.5 =50﹣6.5×5=17.5, 故回归方程为 =6.5x+17.5, (2)当 x=10 时, =6.5×10+17.5=82.5, 所以当广告费支出 10(百万元)时,销售额约为 82.5(百万元) . 点评: 本题考查线性回归方程,考查学生对线性回归方程的理解,属于中档题. 18. (12 分) (2010?辽宁)如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E. (1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC 的面积 S= AD?AE,求∠BAC 的大小.

考点: 圆內接多边形的性质与判定. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)要判断两个三角形相似,可以根据三角形相似判定定理进行证明,但注意观察 已知条件中给出的是角的关系,故采用判定定理 1 更合适,故需要再找到一组对应角相等, 由圆周角定理,易得满足条件的角. (2) 根据 (1) 的结论, 我们可得三角形对应对成比例, 由此我们可以将△ABC 的面积 转化为 S= AB?AC,再结合三角形面积公式,不难得到∠BAC 的大小. 解答: 证明: (1)由已知△ABC 的角平分线为 AD, 可得∠BAE=∠CAD 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD 故△ABE∽△ADC. 解: (2)因为△ABE∽△ADC, 所以 ,

即 AB?AC=AD?AE. 又 S= AB?ACsin∠BAC, 且 S= AD?AE, 故 AB?ACsin∠BAC=AD?AE. 则 sin∠BAC=1,

又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90°. 点评: 相似三角形有三个判定定理:判定定理 1:两角对应相等的两个三角形相似; 判定定 理 2:三边对应成比例的两个三角形相似;判定定理 3:两边对应成比例,并且夹角相等的两 个三角形相似.在证明三角形相似时,要根据已知条件选择适当的定理. 19. (12 分) (2015 春?隆化县校级期中)在△ABC 中,AB=14cm, AB,CD=12cm,求△ABC 的面积和周长.

= ,DE∥BC,CD⊥

考点: 平行线分线段成比例定理. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: 由 AB=14cm,CD=12cm 得 S△ABC=84,利用勾股定理求出 BC、AC,求△ABC 的周长. 解答: 解:∵在△ABC 中,AB=14cm,CD⊥AB,CD=12cm, ∴S△ABC= AB?CD= ×14×12=84(cm ) , ∵ = ,∴AD:AB=5:14,
2

∴BD=AB﹣AD=9cm, ∴在 Rt△ACD 中,AC=13(cm) , 在 Rt△BCD 中,BC=15(cm) , ∴△ABC 的周长为:AB+AC+BC=42(cm) . 点评: 此题考查了平行线性质以及勾股定理.此题难度适中,注意掌握数形结合思想的应用.

20. (12 分) (2012?江阴市模拟)求直线 截得的弦长. 考点: 专题: 分析: 解答:

(t 为参数)被圆

(α 为参数)

圆的参数方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程. 计算题;压轴题. 先得出直线和圆的直角坐标方程,再利用圆的性质求解. 2 2 解:直线的直角坐标方程为 x+y﹣2=0,圆的直角坐标方程为 x +y =9,圆心(0,0) = =2 , .

到直线的距离为 d= 所以弦长 2

点评: 本题考查了极坐标和直角坐标的互化及参数方程与普通方程的互化, 圆的弦长求解. 属 于基础题. 21. (12 分) (2015 春?隆化县校级期中)某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能 降耗技术改造,对所辖企业是否支持改造进行问卷调查,结果如表: 支持 不支持 合计 80 40 120 中型企业 240 200 440 小型企业 320 240 560 合计 (1)从上述 320 家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出 8 家,中小型企业 各应抽几家? (2)能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规 模”有关? 2 0.025 0.010 P(K ≥k0) 0.050 3.841 5.024 6.635 k0 K=
2



考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)由题意,可知“支持”的企业中,中、小企业数之比为 1:3,按分层抽样得到的 8 家中,中、小企业分别为 2 家和 6 家; 2 2 (2) 由题意知根据表中所给的数据, 利用公式可求 K 的值, 从临界值表中可以知道 K >5.024, 根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是 0.025,得到结论. 解答: 解: (1)由题意,可知“支持”的企业中,中、小企业数之比为 1:3, 按分层抽样得到的 8 家中,中、小企业分别为 2 家和 6 家; (2)K =
2

≈5.657,

因为 5.657>5.024, 所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关 点评: 本题考查独立性检验的应用,考查概率的计算,考查学生的计算能力,属于中档题.

22. (12 分) (2015?新余二模)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为

(α

为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin (θ+ )=4 .

(1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (1)由条件利用同角三角函数的基本关系把参数方程化为直角坐标方程,利用直角 坐标和极坐标的互化公式 x=ρcosθ、y=ρsinθ,把极坐标方程化为直角坐标方程. (2)求得椭圆上的点 到直线 x+y﹣8=0 的距离为 , 可得 d 的最小值, 以及此时的 α 的值, 从而求得点 P 的坐标. 解答: 解: (1)由曲线 C1: , 即曲线 C1 的普通方程为: 由曲线 C2: 即 ρsinθ+ρcosθ=8,所以 x+y﹣8=0, 即曲线 C2 的直角坐标方程为:x+y﹣8=0. (2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,椭圆上的点 ﹣8=0 的距离为 ∴当 时,d 的最小值为 ,此时点 P 的坐标为 , . 到直线 x+y . 得: , ,可得 ,两式两边平方相加得:

点评: 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公 式的应用,正弦函数的值域,属于基础题.


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