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湖北省黄冈市黄州区一中2013届高三模拟试卷数学(理)试题


黄冈市黄州区一中 2013 届高三数学模拟试卷(理)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设 i 是虚数单位,则复数(1-i)2- A.0 B.2

4 ? 2i 等于 1 ? 2i
C. 4i D. ? 4i

2.若 Sn 是

等差数列 {an } 的前 n 项和,且 S8 ? S3 ? 20 ,则 S11 的值为 A.44 B.22 C.

3.已知直线 m 、 n 、 l 不重合,平面 ? 、 ? 不重合,下列命题正确的是 A.若 m ? ? , n ? ? , m // ? , n // ? ,则 ? // ? B.若 m ? ? , n ? ? , l ? m, l ? n ,则 l ? ? C.若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n ; D. 若 m ? ? , m // n ,则 n ? ? 4.如图给出的是计算

220 3

D.88

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 的值的一个程序框图,其中判断 2 4 6 20
C.i>20? D.i<20?

框内应填入的条件是 A.i>10? B.i<10?

5.已知向量 a, b,其中| a | ? 2 ,| b | ? 2 ,且( a-b )⊥a,则向量 a 和 b 的夹角是 A. ( B. )

?
4

?
2

C.

3? 4

D. ?

第4题

6.函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象如下图所示,为了得到 g ( x) ? ? A cos?x 的图像,可 以将 f (x) 的图像

5? 个单位长度 12 5? D.向左平移 个单位长度 12 3? 3? ) 的图象与直线 x ? 7.由函数 y ? cos x (0 ? x ? 及 y ? 1 所围成的一个封闭图形 2 2
A.向右平移 B.向右平移

? 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 12

第 1 页 共 11 页

的面积是 A. 4 B.

3? ?1 2

C.

? ?1 2

D. 2?

?x ? y ? 2 ? 0 ? 8.已知实数 x, y 满足条件 ?0 ? x ? 3 ,则目标函数 z ? 2 x ? y ?y ? 0 ?

A.有最小值 0,有最大值 6 C.有最小值 3,有最大值 6

B.有最小值 ?2 ,有最大值 3 D.有最小值 ?2 ,有最大值 6 C. ?1

9.若点 P 是 ?ABC 的外心,且 PA ? PB ? ? PC ? 0 , ?C ? 1200 ,则实数 ? 的值为 A.

1 2

B. ?

1 2

D. 1

10.下列四个命题中不正确的是 ... A.若动点 P 与定点 A(?4, 0) 、 B(4, 0) 连线 PA 、 PB 的斜率之积为定值 迹为双曲线的一部分 B.设 m, n ? R ,常数 a ? 0 ,定义运算“ ? ” m ? n ? (m ? n) 2 ? (m ? n) 2 ,若 x ? 0 ,则 : 动点 P( x, x ? a ) 的轨迹是抛物线的一部分 C.已知两圆 A : ( x ? 1) ? y ? 1 、圆 B : ( x ?1) ? y ? 25 ,动圆 M 与圆 A 外切、与圆 B 内
2 2 2 2

4 ,则动点 P 的轨 9

切,则动圆的圆心 M 的轨迹是椭圆 D.已知 A(7,0), B(?7,0), C (2,?12) ,椭圆过 A, B 两点且以 C 为其一个焦点,则椭圆的另一 个焦点的轨迹为双曲线 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡对应位置上. 11. 2 ? x

?

? 展开式中不含 x 项的系数的和为 ..
8
4

.

12.一个几何体的三视图如右图所示,其中正视图和侧视图是腰长为 6 的两个全等的等腰直角三角形.则它的体积为 . 13. 已知函数 f ( x) ? ax ? (b ? 1) x ? b ?1 ,且 a ? (0, 3) ,则对于任意
2

正 视 图

侧 视 图

的b?R , 函数 F ( x) ? f ( x) ? x 总有两个不同的零点的概率是

.

俯 视 图

14. 从某地高中男生中随机抽取 100 名同学, 将他们的体重 (单位:kg)数据绘制成如下的频率分布直方图.由图中数 据可知体重的平均值为 kg;若要从体重在[ 60 ,

70) ,[70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用分层抽样的方

第 2 页 共 11 页

法选取 12 人参加一项活动,再从这 12 人选两人当正、副队长,则这两人体重不在同一组 内的概率为 ___ .

15.(考生注意:请在下面两题中任选一题作答,如果都做,则按所做第 1 题评分) (1) (坐标系与参数方程选做题)

1 ? ? x ? ?2 2 ? 2 t ? x ? 1 ? cos ? ? (t为参数) 曲线 C1 : ? ( ? 为参数)上的点到曲线 C 2 : ? 上的点 1 y ? sin ? ? ? y ? 1? t ? ? 2
的最短距离为 .

(2) (几何证明选讲选做题) 如图,已知: △ ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上, AD 是圆 O 的切线, 若 ?B ? 30? , AC ? 1 ,则 AD 的长为 .

D

C
B

O

A

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知 f ( x) ? 3sin ? x cos ? x ? 3 cos
2

? x ? 2sin 2 (? x ?

?
12

)?

3 (其中 ? ? 0 )的最小正 2

周期为 ? 。 )求 f ( x ) 的单调递增区间;试卷 (Ⅰ (Ⅱ )在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a ? 1, b ? 2, f ( A) ? 1 , 求角 C。 17.(本小题满分 12 分) 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有 3 个白球、2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个 球,若摸出的白球不少于 2 个,则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ )求在 1 次游戏中, (i)摸出 3 个白球的概率; (ii)获奖的概率; (Ⅱ )求在 2 次游戏中获奖次数 ? 的分布列及数学期望 E? .

第 3 页 共 11 页

18.(本小题满分 12 分) 设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 an?1 ? 2Sn ? 2(n ?N ).
*

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ) an 与 an ?1 之间插入 n 个数, 在 使这 n+2 个数组成公差为 d n 的等差数列, 求数列 ? 的前 n 项和 Tn . 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 1,FD⊥平面 ABCD,EB⊥平面 ABCD,FD=BE=1,M 为 BC 边上的动点. (Ⅰ)证明:ME∥平面 FAD; (Ⅱ)试探究点 M 的位置,使平面 AME⊥平面 AEF.

?1? ? ? ? dn ? ?

F E D M A B C

20.(本小题满分 13 分) 已知抛物线 D 的顶点是椭圆 (Ⅰ )求抛物线 D 的方程;

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点重合. 4 3

(Ⅱ )已知动直线 l 过点 P?4,0? ,交抛物线 D 于 A 、 B 两点.

?i ? 若直线 l 的斜率为 1,求 AB 的长; ?ii ? 是否存在垂直于 x 轴的直线 m 被以 AP 为直径的圆 M

所截得的弦长恒为定值?如

果存在,求出 m 的方程;如果不存在,说明理由. 21. (本小题满分 14 分) 已 知 A 、 B 、 C 是 直 线 l 上 不 同 的 三 点 , O 是 l 外 一 点 , 向 量 OAOB OC 满 足 : , ,

3 OA ? ( x 2 ? 1) ? OB ? [ln( 2 ? 3x ) ? y] ? OC ? 0. 记 y=f(x). 2
(Ⅰ )求函数 y=f(x)的解析式: (Ⅱ )若对任意 x ? [ , ], 不等式|a-lnx|-ln[f '(x)-3x]>0 恒成立,求实数 a 的取值 范围:

1 1 6 3

第 4 页 共 11 页

(Ⅲ) 若关于 x 的方程 f(x)=2x+b 在 (0, 1]上恰有两个不同的实根, 求实数 b 的取值范围.

黄冈市黄州区一中 2013 届高三数学模拟试卷
(理科)(答案详解)
1.【标准答案】D 解答:(1-i)2-

(4 ? 2i )(1 ? 2i ) 4 ? 2i 4 ? 8i ? 2i ? 4 =-2i- =-2i- (1 ? 2i )(1 ? 2i ) 1 ? 2i 5

=-2i-2i=-4i. 故选 D. 2.【标准答案】A 解答: S8

? S3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? a8 ? 5a6 ? 20,?a6 ? 4.

s11 ?

11? a1 ? a11 ? ? 11a6 ? 44. 2

故选 A 3.【标准答案】D 解答: 选项A, B中当m ? n,不合题意 , 选项C中, m, n都平行于?,? 交线时不满足。 故选 D. 4.【标准答案】A 5.【标准答案】A 解答:∵( a-b )⊥a,∴( a-b )· = a2 -a· ? 0 ,设 ? 为向量 a,b 的夹角,则 a b
2 ? 2 2 cos? ? 0 ,即 cos? ?
2 ? ,又 ? ?[0, ? ] ,∴向量 a,b 的夹角为 。 2 4

故选 A。 6.【标准答案】B 解答:由图像可求得A ? 1,? ? 2,? ? 故选 B 7.【标准答案】B 解答:由题意知, S = 故选 B 8.【标准答案】D

?
3

,将选项代入检验即可。

?

3? 2 0

( 1-cosx)dx ? ? x ? sin x ?02 ?

3?

3? ?1 2

第 5 页 共 11 页

解答: 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示。当目标函数 z ? 2 x ? y 过直 线 x ? 3 与直线 y ? 0 的交点(3, 0), 目标函数取得最大值 6; 当目标函数 z ? 2 x ? y 过直线 x ? 0 与直线 x ? y ? 2 ? 0 的交点(0, 2)时,目标函数取得最小值 ?2 。 故选 D。 9.【标准答案】C 解答:取 AB 中点 D,则 PA ? PB ? 2 PD ,则 P,D,C 三点共线,用几何性质得 D 为 PC 中点 故选 C 10.【标准答案】D 解答:A 中是双曲线去掉与 X 轴交点,B 中的抛物线取 X 轴上半部分,C 中符合椭圆定义 是正确,D 中应为双曲线一支。 故选 D 11.【标准答案】0
8 解答: 采用赋值法,令 x=1 得:系数和为 1,减去 x 项系数 C8 20 (?1)8 ? 1 即为所求,
4

??? ??? ? ?

??? ?

故答案为 0. 12.【标准答案】72 解答:几何体底面是边长为 6 的正方形,高是 6,其中一条棱与底面垂直的四棱锥

1 V ? ? 6 ? 6 ? 6 ? 72 3 1 13.【标准答案】 3
解答: F ( x) ? ax2 ? bx ? b ?1, ?1 ? b2 ? 4(b ?1)>0 恒成立。 即 b2 ? 4ab ? 4a>0, ?2 ? 16a2 ?16a ? 0,?0 ? a ? 1, 由几何概率可得 P= 14.【标准答案】64.5

1 3

2 3

1 1 1 1 1 1 C6C4 ? C6C2 ? C4C2 2 解答:用分层抽样在三个组中分别抽取 6,4,3 人, p ? ? 2 C12 3

15.【标准答案】 (1)1 (2) 3 16.解: (I) f ( x) ?

3 3 ? 3 sin 2? x ? (1 ? cos 2? x) ? 1 ? cos 2(? x ? ) ? 2 2 12 2
试 卷

3 3 ? ? sin 2? x ? cos ? x ? cos(2? x ? ) ? 1 2 2 6
? 3 sin(2? x ? ) ? cos(2? x ? ) ? 1 6 6

?

?

第 6 页 共 11 页

? 2sin(2? x ? ) ? 1 3

?

? T ? ? , ? ? 0?T ? ,

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) ? 1 3
(II) f ( A) ? 2sin(2 A ?

?

2? ?? ? ? , 2?

1 5?     k Z ] ? 12

故所求递增区间为 [k? ?

?

?

??

?
3

? 2A ?

?
3

?

即A ?

?
6

5? 3

3

) ? 1 ? 1    ? sin(2 A ? ) ? 0 试卷 试卷 3
试 卷

?

12

,k ? ?

?2A ?

?

   或A ?

2? 3

3

? 0   或2A ?

?
3

??





又a ? b    A ? B,    故A ? ?


? 2?  舍 去,? A ? 6 3

a b 2 ? 3? ,试卷 ? 得 sin B ? ,    B ? 或B ? ? sin A sin B 2 4 4

若 B?

?
4

,则 C ?

7? 3? ? ,则 C ? .若 B ? . 12 4 12

17.解: (i)解:设“在 1 次游戏中摸出 i 个白球”为事件 Ai ? (i ? 0,1, 2,3), 则 (I)

P( A3 ) ?

1 C32 C2 1 ? 2? . C52 C3 5

(ii)解:设“在 1 次游戏中获奖”为事件 B,则 B ? A2 ? A3 ,又

P( A2 )?

2 1 1 1 C32 C2 C2 C2 C2 1 ? 2? ? ? , C52 C 3 C 52 C 32 2

且 A2,A3 互斥,所以 P ( B ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ?

1 1 7 ? ? . 2 5 10

(II)解:由题意可知 X 的所有可能取值为 0,1,2.

7 2 9 ) ? , 10 100 7 21 1 7 P( X ? 1) ? C2 (1 ? ) ? , 10 10 50 7 49 P( X ? 2) ? ( ) 2 ? . 10 100 P( X ? 0) ? (1 ?
21 50 9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? 100 50 100 5 * 18.解: (Ⅰ)由 an?1 ? 2Sn ? 2(n ? Z )
所以 X 的分布列是 X P 0 1 2

9 100

49 100

第 7 页 共 11 页

* 得 an ? 2Sn?1 ? 2(n ? Z , n ? 2 ) ,????????????2 分

两式相减得: an?1 ? an ? 2an ,
*

????????????4 分 则 2a1 ? 2 ? 3a1 ,∴ a1 ? 2 ,

即 an?1 ? 3an (n ? Z , n ? 2 ) ,又 a2 ? 2a1 ? 2, ∵ {an } 是等比数列,所以 a2 ? 3a1 ∴ an ? 2? 3
n ?1

. ??????????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 an?1 ? 2? n , an ? 2??n?1 3 3 n 1 ∵ an?1 ? an ? (n ? 1)d n ,∴ d n ? 令 Tn ? 则 Tn ?

4?3 ,????????8 分 n ?1

1 1 1 1 ? ? ??? , d1 d 2 d 3 dn

2 3 3 n ?1 ? ? ??? ① 0 1 2 4?3n ?1 4 ? 3 4?3 4?3 1 2 2 n n ?1 Tn ? ? ? ?? ? ②??????????????10 分 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3n 2 2 1 1 1 n ?1 ? ? ? ?? ? ①-②得 Tn ? 0 1 2 n ?1 3 4?3 4?3 4?3 4?3 4?3n 1 1 (1 ? n ?1 ) 1 1 3 n ? 1 5 2n ? 5 3 ??????????????11 分 ? ? ? ? ? ? 1 2 4 4?3n 8 8?3n 1? 3 15 2n ? 5 ?Tn ? ? ??????????????12 分 16 16? n ?1 3
19.解: )∵ FD⊥平面 ABCD,EB⊥平面 ABCD (Ⅰ ∴FD∥EB 又 AD∥BC 且 AD∩FD=D,BC∩BE=B ∴平面 FAD∥平面 EBC,ME ? 平面 EBC ∴ME∥平面 FAD ……………………4 分

(Ⅱ 以 D 为坐标原点, ) 分别以 DA、 DC、 所在直线为 x、 z 轴, DF y、 建立空间直角坐标 D-xyz, 依题意,得 D(0,0,0),A(1,0,0),F(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),E(1,1,1), 设 M(λ,1,0),平面 AEF 的法向量为 n1 =(x1,y1,z1),平面 AME 的法向量为

n 2 =(x2,y2,z2)
∵ AE =(0,1,1), AF =(-1,0,1),

?n1 ? AE ? 0 ∴? ?n1 ? AF ? 0

∴?

? y1 ? z 1 ? 0 ? z1 ? x1 ? 0

第 8 页 共 11 页

取 z1=1,得 x1=1,y1=-1

∴ n1 =(1,-1,0)

又 AM =(λ-1,1,0) , AE =(0,1,1),

? n2 ? AE ? 0 ∴? ?n2 ? AM ? 0

∴?

y2 ? z2 ? 0 ? x 2 (? ? 1) ? y 2 ? 0 ?


取 x2=1 得 y2=1-λ,z2=λ-1 若平面 AME⊥平面 AEF,则 n1 ⊥ n 2 ∴ 1-(1-λ)+(λ-1)=0,解得λ= 此时 M 为 BC 的中点.

n 2 =(1,1-λ,λ-1) ? n 2 =0,

∴ n1

1 , 2

所以当 M 在 BC 的中点时, 平面 AME⊥平面 AEF. 20.解: (Ⅰ )由题意,可设抛物线方程为 y 2 ? 2 px? p ? 0? .

……………12 分 ????1 分

2 2 由 a ? b ? 4 ? 3 ? 1 ,得 c ? 1 . ? 抛物线的焦点为错误! 不能通过编辑域代码创建对象。 ,

错误!不能通过编辑域代码创建对象。.

? 抛物线 D 的方程为 y 2 ? 4 x .
(Ⅱ )设 A?x1 , y1 ? , B?x2 , y2 ? .

????3 分

?i ? 直线 l 的方程为: y ? x ? 4 ,
?y ? x ? 4 ? y ? 4x
2

????4 分 ????5 分

联立 ?

,整理得: x ? 12x ? 16 ? 0
2
2

? AB = (1 ? 1) 2 [?x1 ? x 2 ? ? 4 x1 x 2 ? 4 10 .????7 分
(ⅱ) 设存在直线 m : x ? a 满足题意,则圆心 M ?

? x1 ? 4 y1 ? , ? ,过 M 作直线 x ? a 的垂线, 2? ? 2

垂足为 E ,设直线 m 与圆 M 的一个交点为 G .可得:

EG

2

? MG ? ME ,
2 2
2

????9 分
2

即 EG =

? MA ? ME
2

?x1 ? 4?2 ? y1 2 =
4
2

1 2 ?x1 ? 4? ? ?x1 ? 4? y1 ? ? a?x1 ? 4? ? a 2 4 4 2 2 = x1 ? 4 x1 ? a?x1 ? 4? ? a = ?a ? 3?x1 ? 4a ? a
2

?x ?4 ? ?? 1 ? a? ? 2 ?

2

????11 分

当 a ? 3 时, EG

2

? 3 ,此时直线 m 被以 AP 为直径的圆 M 所截得的弦长恒为定值 2 3 .
????12 分

第 9 页 共 11 页

因此存在直线 m : x ? 3 满足题意 21、

????13 分

3 3 ? 3x, ∴原不等式为 | a ? ln x | ? ln( ) ? 0. 2 ? 3x 2 ? 3x 3 3 , 或 a ? ln x ? ln , ①??4 分 得 a ? ln x ? ln 2 ? 3x 2 ? 3x 3 2 x ? 3x 2 3 3x ? ln , h( x) ? ln x ? ln ? ln , 设 g ( x) ? ln x ? ln 2 ? 3x 3 2 ? 3x 2 ? 3x 1 1 依题意知 a<g(x)或 a>h(x)在 x∈ [ , ] 上恒成立, 6 3
(2)? f ?( x) ?
? g ' ( x) ?

2 ? 3x 3(2 ? 3x) ? 3x ? 3 2 ? ? ? 0, 2 3x ( 2 ? 3x) x(2 ? 3 x) 1 1 ∴g(x)与 h(x)在 [ , ] 上都是增函数,要使不等式①成立, 6 3 1 1 1 5 当且仅当 a ? g ( ) 或 a ? h( ), ∴ a ? ln( ) ,或 a ? ln .??8 分 3 6 3 36 3 2 (3)方程 f(x)=2x+b 即为 ln( 2 ? 3x) ? x ? 2 x ? b, 2 3 2 变形为 ln( 2 ? 3x) ? x ? 2 x ? b. 2 3 2 ( 1] 令? ( x) ? ln(2 ? 3 x) ? x ? 2 x, x ? 0, , 2 3 9 x 2 ? 1 (3x ? 1)(3x ? 1) ? 3x ? 2 ? ? ? ??10 分 ? ? ' ( x) ? 2 ? 3x 2 ? 3x 2 ? 3x h' ( x ) ?
列表写出 x,?'(x),?(x)在[0,1]上的变化情况: x 0 (0,

3 1 2 ? 6x ? (2 ? 6 x) ? ? 0, 2 2 x ? 3x 3 2 x ? 3x 2

1 ) 3

1 3
0 取极小值

(

1 ,1) 3

1

?'(x) ?(x)
ln2

小于 0 单调递减

大于 0 单调递增

ln 5 ?

1 2

第 10 页 共 11 页

ln 3 ?

1 2
??12 分

显然?(x)在(0,1]上的极小值也即为它的最小值 ln 3 ? 现在比较 ln2 与 ln 5 ?

1 . 2

1 的大小; 2 1 5 1 25 1 25 1 ? ln 5 ? ? ln 2 ? ln ? ln ? ln ? 0, ln 5 ? ? ln 2. ? 2 2 2 e 2 4e 2 4 ? 3 1 ∴要使原方程在(0,1]上恰有两个不同的实根,必须使 ln 3 ? ? b ? ln 2. 2 1 即实数 b 的取值范围为 ln 3 ? ? b ? ln 2. ??14 分 2

第 11 页 共 11 页


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