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杨唐高考复习必修一速度图像


第 3 讲 运动图像 追及相遇问题

知识点1

匀变速直线运动的图像



甲、乙两位同学进行百米赛跑,假如把他们的运动近似为
匀速直线运动来处理,他们同时从起跑线起跑,经过一段 时间后他们的位置如图所示,分别作出在这段时间内两人 运动的位移x、速度v与时间t的关系图像,正确的是( )



【解析】选B。由题图及题干可知,甲、乙均做匀速直线运动且 乙的速度比甲大,在x -t图像中,斜率表示速度,则乙的斜率大 于甲的斜率,A错,B正确;在v -t图像中,表示甲、乙两同学运动 的图线水平且乙在上,甲在下,故C、D均错误。

【知识梳理】

1.直线运动的x -t图像:

(1)物理意义:反映了物体做直线运动的
位移 时间 变化的规律。 ____ _随_____

(2)斜率的意义。

①图线上某点切线斜率的大小表示物体速
大小 度的_____ 。

②切线斜率的正负表示物体速度的方向 _____。

2.直线运动的v -t图像:

(1)物理意义:反映了物体做直线运动的
时间 变化的规律。 速度 随_____ _____

(2)斜率的意义。

①图线上某点切线斜率的大小表示物体加速
大小 。 度的_____

②图线上某点切线斜率的正负表示物体加速
方向 。 度的_____

2.直线运动的v -t图像:

(3)“面积”的意义。
位移 的大小。 ①图线与时间轴围成的面积表示相应时间内_____

正方向 。 ②a.若面积在时间轴上方,表示位移方向为______

负方向 。 b.若面积在时间轴下方,表示位移方向为_______

(4)速度正负的意义 ?速度是正值说明物体向正方向运动 ?速度是负值说明物体相反方向运动

深化 理解

两种图像的比较:

x -t图像 图 像

v -t图像

其中④为抛物线 其中④为抛物线 物理 反映的是位移随 反映的是速度随 意义 时间的变化规律 时间的变化规律

x -t图像

v -t图像

物 体 的 运 动 性 质

表示从正位移处开始一 表示先做正向匀减速 ① 直做反向匀速直线运动 运动,再做反向匀加 并越过零位移处 速运动
② 表示物体静止不动

表示物体做正向匀速 直线运动

表示物体从零位移开始 表示物体从静止做正 ③ 做正向匀速运动 向匀加速直线运动



表示物体做正向匀加速 表示物体做加速度增 直线运动 大的正向加速运动

x -t图像

v -t图像

斜率的大小表 斜率的意 示速度的大小, 义 斜率的正负表 示速度的方向 图线与坐 标轴围成 “面积” 的意义

斜率的大小表示 加速度的大小, 斜率的正负表示 加速度的方向

无实际意义

表示相应时间内 的位移

要求:会从图像上求速度和加速度

1、如图所示 为某物体的s-t 图象,请求出 物体在0到2秒、 2到4秒、4到8 秒内的速度

s/m

6
3 O -3 2

4

6

8

t/s

-6

2、如图所示为某 物体的v-t图象。请 求出物体在0到2秒、 2到4秒、4到8秒内 的加速度

<用面积求位移>

3.求出图中0-2s、0-3s、1s-3s、1s-4s内 的位移

4.<判断运动方向等>设物体运动的加速度为
a、速度为v、位移为x。现有四个不同物体的运 动图像如图所示,假设物体在t=0时的速度均为 零,则其中表示物体做单向直线运动的图像是< >

5、(会在图像是曲线的图上判断加速度)利用速 度传感器与计算机结合,可以自动作出物体运动 的图像。某同学在一次实验中得到的运动小车的 速度—时间图像如图所示,以下说法错误的是 ( )

A.小车先做加速运动, 后做减速运动 B.小车运动的最大速度 约为0.8 m/s C.小车做曲线运动

6.一辆汽车运动的v -t图像如图,则汽车 在0~2s内和2~3 s内相比( ) A.位移大小相等 B.加速度相同

知识点2

追及和相遇问题

【思维激活2】(多选)(2014·自贡模拟)两辆游戏赛车a、b在 两条平行的直车道上行驶,t=0时两车都在同一计时处,此时比 赛开始,它们在四次比赛中的v -t图像如图所示,其中哪些图对 应的比赛中,有一辆赛车追上了另一辆( )

【解析】选A、C。v -t图线与t轴所围图形的面积的数值表示 位移的大小,A、C两图中在t=20s时a、b两车的位移大小都相等,

故在20s时b车追上a车;B图中b车一直领先,间距越来越大;D图
中a车在前7.5s一直落后,在7.5~12.5s间尽管a车速度大于b车,

但由于前7.5s落后太多未能追上b车,12.5s后va<vb,故a车不能
追上b车。

【微点拨】

1.对运动图像的三点认识:

(1)匀速直线运动的v -t图像的斜率为零,
表示其加速度等于零。 (2)无论是x -t图像还是v -t图像都只能描

述直线运动。
(3)x -t图像和v -t图像不表示物体运动的

轨迹。

【学科素养升华】 可从v -t图像中读出的四个物理量

(1)运动速度:从速度轴上直接读出。

(2)运动时间:从时间轴上直接读出时刻,取差得到运动

时间。
(3)运动加速度:从图线的斜率得到加速度,斜率的大小

表示加速度的大小,斜率的正负反映了加速度的方向。
(4)运动的位移:从图线与时间轴围成的面积得到位移,

图线与时间轴围成的面积表示位移的大小,第一象限的面
积表示与规定的正方向相同,第四象限的面积表示与规定

的正方向相反。

1.(多选)(即时训练)甲、乙两 物体在t=0时刻经过同一位置沿x轴运 动,其v-t图像如图所示,则( )

A.甲、乙在t=0到t=1s
之间沿同一方向运动

B.乙在t=0到t=7s之间的位移为零
C.甲在t=0到t=4s之间做往复运动 D.甲、乙在t =6s时的加速度方向相同

2.(加固训练)某物体的位移图像如图所示,
则下列叙述正确的是( )

A.物体运动的轨迹是抛物线
B.物体运动的时间为8s

C.物体运动所能达到的最大
位移为80m D.在t=4s时刻,物体的瞬时速度为零

1.(加固训练)一物体运动的速度随时间变化的关 系如图所示,根据图像可知( )

A.4s内物体在做曲线运动
B.4s内物体的速度一直在

减小
C.物体的加速度在2.5s时 方向改变 D.4s内物体速度的变化量的大小为8m/s

?

猎狗能以最大速度v1=10m/s持续地奔跑。 一只野兔在离洞窟s=200m处的草地上玩耍, 猎狗发现后径直朝野兔追来。野兔立即以 8m/s的速度掉头跑向洞窟。设猎狗、野兔、 洞窟总在同一直线上,求野兔若要逃脱,则 野兔刚开始距狗应至少多远?

【知识梳理】

1.追及问题的两类情况:

(1)若后者能追上前者,追上时,两者处于同一
_____位置,且后者速度一定大于前者速度。

(2)若追不上前者,则当后者速度与前者速度 相等 _____时,两者相距最近。

2.同时同位 两物体相遇一定是同一时刻处在同一位置. (1)位移关系:x2=x0+x1

x0 表示开始运动时两物体间的距离, x1表示前面被追物
体的位移,x2表示后面追赶物体的位移.

(2)时间关系:t1=t2=t
即追及过程经历时间相同,但t1、t2不一定是两物体运动

的时间.

速度相等问题

【典题2】(12分)一辆汽车在十字路口等待绿灯, 当绿灯亮时汽车以a=3m/s2的加速度开始行驶,恰

在这时一辆自行车以
v0=6m/s的速度匀速驶来,从后边超过汽车,试问:

(1)汽车从路口开动后,在追上自行车之前经过多
长时间两车相距最远?最远距离是多大?

(2)当汽车与自行车再次相遇时汽车的速度是多
大?

【解题探究】

(1)分析汽车和自行车的运动情况,明确以下两个问题:
速度相等 。 ①两车相距最远的条件是_________ 位移相等 。 ②两车再次相遇的条件是_________ (2)请画出汽车和自行车的速度—时间图像。 提示:

【典题解析】(1)当汽车的速度为v1=v0=6m/s时,二者相距最 远, 所用时间为
v1 t 1= =2s a

(2分)

(2分)

最远距离为 Δx=v0t1- 1 at12=6m。 (2)两车再次相遇时有 v0t2= 1 at22 解得t2=4s 汽车的速度为v=at2=12m/s。
2 2

(2分)

(2分) (2分) (2分)

答案:(1)2s 6m

(2)12m/s

思想方法之1 1.二种方法:

巧解追及相遇问题的三种方法

(1)临界法:寻找问题中隐含的临界条件。例如, 速度小者加速追赶速度大者,在两物体速度相等

时有最大距离;速度大者减速追赶速度小者,若追
不上则在两物体速度相等时有最小距离。v1=v2.

当两物体速度相等时可能出现恰能追及、

恰好避免相撞、相距最远、相距最近等情况, 即该四种情况的临界条件为v1=v2.

2.从图上看相遇问题)甲、乙两个物体从同一地点出发,
在同一直线上做匀变速直线运动,它们的速度图像如图所示, 则( )

A.甲、乙两物体运动方向相反

B.t=4s时,甲、乙两物体相遇
C.在相遇前,t=4s时甲、乙两物体相距最远 D.在相遇前,甲、乙两物体的最远距离为20m

【解析】选C、D。由图像可知,甲、乙两物体速度方向相同,只

是甲做加速运动,乙做减速运动,且t=4s时甲、乙两物体速度相
同(此时,在相遇前甲、乙两物体相距最远,以后两物体距离越

来越小)。设t=4s时的速度为v,由速度—时间图像的面积等于
位移知,甲、乙两物体在t=4s时的距离为20m。

(2)图像法。 ①若用位移图像求解,分别作出两个物体的位移 图像,如果两个物体的位移图像相交,则说明两物

体相遇。
②若用速度图像求解,则注意比较速度图线与时

间轴包围的面积。

分析v-t图象

说明: (1)Δx是开始追及以后,后面物体
因速度大而比前面物体多运动的位移; (2)x0是开始追及以前两物体之间的距离;

(3)t2-t0=t0-t1;
(4) v 1 是前面物体的速度, v 2 是后面物体 的速度.

类型









匀加速 追匀速 ① t= t0 以前, 后面物体与前面 物体间距离增大. ② t= t0 时, 两物体相距最远为 x0+ Δx. ③ t= t0 以后, 后面物体与前面 物体间距离减小. ④能追及且只能相遇一次.

匀速追 匀减速

匀加速追 匀减速

类型









匀减速追 匀速

匀速追 匀加速

匀减速追 匀加速

开始追及时, 后面物体与前面 物体间的距离在减小, 当两物 体速度相等时,即 t= t0 时刻: ①若 Δx= x0, 则恰能追及, 两 物体只能相遇一次, 这也是避 免相撞的临界条件. ②若 Δx< x0, 则不能追及, 此 时两物体最小距离为 x0- Δx. ③若 Δx> x0, 则相遇两次, 设 t1 时刻 Δx1= x0,两物体第一 次相遇, 则 t2 时刻两物体第二 次相遇 .

3.解题思路和方法:

2.A、B两辆汽车在笔直的公路上同向行驶,

当B车在A车前84m处时,B车速度为4m/s,且
正以2m/s2的加速度做匀加速运动;经过一 段时间后,B车加速度突然变为零。A车一直 以20m/s的速度做匀速运动。经过12s后两 车相遇,B车加速行驶的时间是多少?

【题组通关方案】 【典题1】(多选)(2013·新课标全国卷Ⅰ)

如图,直线a和曲线b分别是在平直公路上行
驶的汽车a和b的位置—时间(x-t)图线。 由图可知( )

A.在时刻t1,a车追上b车 B.在时刻t2,a、b两车运动方向相反 C.在t1到t2这段时间内,b车的速率先减少后增加 D.在t1到t2这段时间内,b车的速率一直比a车的大

【解题探究】

(1)试由图像分析汽车b的运动情况。
减小 后_____ 增大 。 ①b车速率先_____ 正方向 后_______ 负方向 。 ②b车速度方向先_______ (2)试分析t1、t2两个时刻a、b两车的运动情况。 小于 车速度,两车速度方向_____ 相同 。 ①t1时刻,a车速度_____b

相反 。 ②t2时刻,a、b两车速度方向_____

【加固训练】

1.甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运 动,t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车 运动的v-t图像中,直线a、b分别描述了甲、乙两车在0~ 20s的运动情况。关于两车之间的位置关系,下列说法正 确的是( )

A.在0~10s内两车逐渐靠近 B.在10~20s内两车逐渐远离 C.在5~15s内两车的位移相等 D.在t=10s时两车在公路上相遇

【解析】选C。由v-t图像可知,0~10s内,v乙>v甲,两车逐渐远

离,t=10s时,v乙=v甲,两车相距最远,10~20s内,v乙<v甲,两车逐
渐靠近,故A、B、D错误;v-t图线与时间轴所围的面积表示位

移,5~15s内,两图线与t轴包围的面积相等,故两车的位移相
等,C正确。

【解析】设A车的速度为vA,B车加速行驶的时间为t,两车在t0 时相遇。 则有xA=vAt0 xB=vBt+ at2+(vB+at)(t0-t) xA、xB分别为A、B两车相遇前的位移。 依题意有xA=xB+x0 ③
1 2

① ②

联立①②③式,
解得t1=6s,t2=18s,t2=18s不合题意,舍去。 因此,B车加速行驶的时间为6s。 答案:6s

【资源平台】利用图像信息解决实际问题
(2014·南通模拟)被称为“史上最严交规”于2013年1月1日起

施行。对校车、大中型客货车、危险品运输车等重点车型驾驶
人的严重交通违法行为,提高了记分分值。如图是张明在2013 年元旦假期试驾中某次小轿车在平直公路上运动的0~25s内的 速度随时间变化的图像,由图像可知( A.小轿车在0~15s内的位移为350m B.小轿车在10~15s内加速度最大 C.小轿车在2~8s内的加速度大于16~24s内的加速度 )

D.小轿车在15s末运动方向发生改变

【解析】选C。根据面积的大小等于位移的大小,在0~15s内的

位移为200m,A错误;10~15s内小轿车做匀速运动,B错误;2~8s
内的加速度是2m/s2,16~24s内的加速度大小为1m/s2,故2~8s

内的加速度大,C正确;轿车的速度始终大于零,运动方向不变,D
错误。

【案例剖析】典题例证

深度剖析

在水平轨道上有两列火车A和B相距x,A车在后面做初速度为v0、 加速度大小为2a的匀减速直线运动,而B车同时做初速度为零、

加速度为a的匀加速直线运动,两车运动方向相同。要使两车不
相撞,求A车的初速度v0满足的条件。

【精讲精析】解法一:(物理分析法)A、B车的运动过程 (如图甲)利用位移公式、速度公式求解。 对A车有
1 xA=v0t+ ×(-2a)×t2 2

vA=v0+(-2a)×t 对B车有xB= at2 vB=at 对两车有x=xA-xB 追上时,两车不相撞的临界条件是vA=vB 联立以上各式解得v0= 6ax
1 2

故要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 6ax。

解法二:(极值法)利用判别式求解,由解法一可知 xA=x+xB,即v0t+ 1 ×(-2a)×t2=x+ 1 at2
2 2

整理得3at2-2v0t+2x=0

这是一个关于时间t的一元二次方程,当根的判别式Δ=(2v0)2-

4×3a×2x<0,即v0< 6ax 时,t无实数解,即两车不相撞,所以要
使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是v0≤ 6ax。

解法三:(图像法)利用速度—时间图像求解,先作A、B两车的 速度—时间图像,其图像如图乙所示,

设经过t时间两车刚好不相撞,则对A车有 vA=vt=v0-2at, 对B车有vB=vt=at 以上两式联立解得t=
v0 3a

经t时间两车发生的位移之差,即为原来两车间的距离x, 它可用图中的阴影面积表示,由图像可知
2 v v 1 1 0 0 x= v0·t= v0· ? 2 3a 6a 2

所以要使两车不相撞,A车的初速度v0应满足的条件是

v0≤ 6ax。
答案:v0≤ 6ax

【自我小测】小试身手

固本强基

甲车以10m/s的速度在平直的公路上匀速行驶,乙车以4m/s的速

度与甲车平行同向做匀速直线运动,甲车经过乙车旁边开始以
0.5m/s2的加速度刹车,从甲车刹车开始计时,求:

(1)乙车在追上甲车前,两车相距的最大距离;
(2)乙车追上甲车所用的时间。

【解析】方法一 临界值法 (1)当甲车速度减至等于乙车速度时两车的距离最大 ,设该减速

过程经过的时间为t,
则v乙=v甲-at

解得:t=12s
此时甲、乙间的距离为Δx=v甲t- 1 at2-v乙t
2 1 =10×12m- ×0.5×122m-4×12m=36m 2

(2)设甲车减速到零所需时间为t1,则有: t1= v甲 =20s

t1时间内:
x甲= v甲 t1 ? 10 ×20m=100m

a

x乙=v乙t1=4×20m=80m
此后乙车运动时间:t2=

2

2

故乙车追上甲车需t1+t2=25s

x甲 ? x乙 20 ? s =5s v乙 4

方法二

函数法

(1)设甲、乙两车距离为Δx

则Δx=v甲t- 1 at2-v乙t
=10t- 1 ×0.5t2-4t
2
2

=6t- t = ? 1 (t2-24t+144)+36
4 4 1 = ? (t-12)2+36 4

2

当t=12s时,Δxmax=36m

(2)当乙车追上甲车时Δx=0,t=24s 但甲刹车时间为t甲=
v甲 10 ? s =20s<24s a 0.5

故经过20s甲刹车停下,此后甲静止。
在20s内,x甲=
v甲 t甲 =100m 2
x 甲 ? x乙 v乙

x乙=v乙t甲=80m
此后乙运动时间t乙= =5s

故乙车追上甲车用时t=t甲+t乙=25s

方法三

图像法

(1)首先画出甲、乙两车的v -t图像

由图像可知当t=t1时,两车相距最远, v甲-at1=v乙 t1=12s 两车的最远距离为Δx= 1 (v甲-v乙)×t1
1 = ×(10-4)×12m=36m 2 2

(2)由图像可设t=t2时两车相遇(t2>20s) 则: ×10×20m=4t2 t2=25s
1 2

答案:(1)36m (2)25s


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