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2015届高考数学人教A版(理)一轮复习讲义:第一章第一节+集合


第一章

集合与常用逻辑用语

一. 考纲传真
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系; 能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集; 理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集; 能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

二.考点梳理
1.集合的基本概念 (1)集合的概念:把一些元素组成的______叫集合; (2)集合中元素的三个特性:______、______、________; (3)集合的三种表示方法:_______、描述法、________. 2.集合间的基本关系 (1)子集:若对?x∈A,都有 x∈B,则 A?B; (2)真子集:若 A?B,但______________,则 A B; (3)相等:若 A?B,且______,则 A=B; (4)?是______集合的子集,是____________集合的真子集. 3.集合的基本运算 并集 符号 表示 图形 表示 _______ 交集 _______ 补集 若全集为 U,则集合 A 的补 集为_____

意义

____________

_______

?UA=_____________

三. 学情自测
1.(2014·广东高考) 已知集合 M ? {?1, 0,1}, N ? {0,1, 2}, 则 M ? N ? ( A. {?1, 0,1} B. {?1, 0,1, 2}
1

)

C. {?1, 0, 2}

D. {0,1}

答案:B 2.(2014·北京高考)已知集合 A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {0,1, 2} ,则 A B ? (
A.{0} B.{0,1} C. {0, 2} D.{0,1, 2}

)

解析:解方程 x2 ? 2 x ? 0 ,得 x ? 0或x ? 2 ,故 A ? ?0,2? ,所以 A B ? ?0, 2? . 答案:C 3.(2014·大纲全国卷)设集合 M ? {x | x2 ? 3x ? 4 ? 0} , N ? {x | 0 ? x ? 5} , 则M
N ?(

) B. [0, 4) C. [?1, 0) D. (?1, 0]
N ? [0, 4) .

A. (0, 4]

解析:解不等式 x 2 ? 3x ? 4 ? 0 ,得 ?1 ? x ? 4 ,由数轴得 M

答案:B

4. (2014·重庆高考)设全集 U ? ?n ? N|1 ? n ? 10? , A ? ?1,2,3,5,8?, B ? ?1,3,5,7,9? , 则 ? CU A? B ? ______. 解析: 因为 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10? , 所以 CU A ? ?4,6,7,9,10? , 所以 ? CU A? B ? ?7,9? . 答案: ?7,9? 5. (2014·福建高考)若集合 {a, b, c, d } ? {1,2,3,4}, 且下列四个关系:① a ? 1 ; ② b ? 1 ;③ c ? 2 ;④ d ? 4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组
(a, b, c, d ) 的个数是_________.

解析:由题意知,①不成立,否则②成立,即可得 a ? 1 ,以下分三类: 1) 若②成立, 则由 b ? 1 , 可知 b ? 2,3,4 , 有序数对为 (3, 2,1, 4),(2,3,1, 4) 共两种情况; 2) 若③成立,有序数对为 (3,1, 2, 4) 共一种情况; 3) 若④成立,则由 d ? 4 ,可知 d ? 1,2,3 ,有序数对为 (3,1, 4, 2),(4,1,3, 2),(2,1, 4,3) 共 三种情况.所以,符合条件的有序数对一共有 6 个. 答案:6

2

典例探究

[例 1](2014·大纲全国卷) 设集合 M ? {1, 2, 4,6,8}, N ? {1, 2,3,5,6,7} ,则 M 中元素的个数为( A.2 解析: M B. 3 ) C.5 D.7 答案:B

N

N ? ?1,2,6? ,故元素个数为 3.

[ 例 2](2014·湖北高考 ) 设 U 为全集, A, B 是集合,则“存在集合 C 使得

A ? C, B ? CU C ”是“ A ? B ? ? ”的(
A. 充分而不必要条件 C. 充要条件



B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

解析:依题意,若 A ? C ,则 CU C ? CU A .当 B ? CU C ,可得 A ? B ? ? ;反之不 成立. 答案:A

[例 3] (2011·江西高考)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则 集合{5,6}等于 A.M∪N [自主解答] B.M∩N [答案] ( ) D.(?UM)∩(?UN)

C.(?UM)∪(?UN) D

五.当堂达标
1. (2014·广东高考文)已知集合 M ? ?2,3,4?, N ? ?0,2,3,5? , A. ?0,2? B. ?2,3? C. ?3,4? 则 M ? N 等于( )

D. ?3,5?
N ?(

2. (2014·陕西高考)已知集合 M ? {x | x ? 0}, N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M
A.[0,1] B. [ 0 , 1) C. ( 0 , 1] D.(0,1)



3. ( 2013· 重庆高考)已知全集 U ? ?1, 2,3, 4? , 集合 A= ?1 3? , 则 , 2? , B= ?2,
3

CU ? A B? ? (
A. ?1 , 3, 4?

) B. ?3, 4? C.

?3?

D.

?4?

4.(2012· 辽宁高考)已知全集 U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合 A={0,1,3,5,8},集合 B={2,4,5,6,8},则(?UA)∩(?UB)=( A. {5,8} B. {7,9} ) D. {2,4,6} )

C. {0,1,3}

5.(2013· 天津高考)已知集合 A ={x∈R||x|≤2}, A ={x∈R|x≤1}, 则 A ? B ?( A. (??, 2] B. [1,2] C. [2,2] D. [-2,1]

6. ( 2013· 山 东 高 考 文 ) 已 知 集 合 A、B 均 为 全 集 U ? {1,2,3,4} 的 子 集 , 且

CU ? A B ? ? ?4? , B ? {1, 2} ,则 A CU B ? (
A.{3} B.{4}

) D. ? .

C.{3,4}

7.(2014·江苏高考)已知集合 A={ ?2,?1,3,4 }, B ? {?1,2,3} ,则 A ? B ? 选做题 ? ? 1 1.若集合 A=?y?y=lg x, ≤x≤10 10 ? ? 则下列结论正确的是( A.A∩B={-1,1} C.A∪B=(-2,2) ) B.( CU A )∪B=[-1,1] D.( CU A )∩B=[-2,2]

? ?,B={-2,-1,1,2},全集 U=R, ?

2.已知全集 U=R,集合 M={x|x+a≥0},N={x|log2(x-1)<1},若 M∩( C M N) ={x|x=1,或 x≥3},那么( A.a=-1 B.a≤1 ) C.a=1 D.a≥1

3.给定集合 A,若对于任意 a,b∈A,有 a+b∈A,且 a-b∈A,则称集合 A 为 闭集合,给出如下三个结论: ①集合 A={-4,-2,0,2,4}为闭集合; ②集合 A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合; ③若集合 A1,A2 为闭集合,则 A1∪A2 为闭集合. 其中正确结论的序号是________.

4

4. (2014·广东高考)设集合 A= ?? x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ? xi ?{?1, 0,1}, i ? 1, 2,3, 4,5? , 那么 集合 A 中满足条件“ 1 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ? 3 ”的元素个数为( A.60 练习答案 1.选 B 2.选 B 3. 选 D 4.选 B ={7,9}. 5. 选 D 6. 选 A 7. ?1,3? 选做题 1.选 A 2.选 A ?1 ? ∵x∈? ,10?,∴y∈[-1,1],∴A∩B={-1,1}. ?10 ? 由题意得 M={x|x≥-a},N={x|1<x<3},所以 C M N={x|x≤1,或 因为 A∪B={0,1,2,3,4,5,6,8},所以( CU A)∩( CU B)= CU (A∪B) B. 90 C. 120 D. 130 )

? M ? [0,??), N ? (-1, 1),? M ? N ? [0,1).

x≥3},又 M∩( C M N)={x|x=1,或 x≥3},因此-a=1,a=-1.
3.② ①中,-4+(-2)=-6 ? A,所以不正确;②中设 n1,n2∈A,n1=3k1,

n2=3k2,k1,k2∈Z,则 n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;③令 A1={-4,0,4}, A2={-2,0,2},则 A1,A2 为闭集合,但 A1∪A2 不是闭集合,所以③不正确.
4.选 D
1 的元素个数为 : C1 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x 可取 1 , 2 ,. 3和为1 2 C5 ? 10; 5

2 2 3 1 1 2 和为2的元素个数为 : C1 和为3的元素个数为 : C1 2 C5 ? A 5 ? 40; 2 C5 ? C2 C5 C4 ? 80.

故满足条件的元素总的个数为10 ? 40 ? 80 ? 130.

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