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广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题 2


2007 年广州市高中数学青年教师解题比赛 决 赛 试 题
2007-4-15 下午 2:00-4:00 第一部分 选择题(共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的.请将答案代号填在答题卷的相应位置上. 1.已知点 A(-1,0) 、B(1,3) ,

向量 a ? ? 2k ?1, 2? ,若 AB ? a ,则实数 k 的值为 A.-2 C.1 B.-1 D .2

2.设 a ? log2 3 , b ? log4 6 , c ? log8 9 ,则下列关系中正确的是 A. a ? b ? c C. c ? b ? a
2

B. a ? c ? b D. c ? a ? b

2 3.已知圆 ? x ? a ? ? y ? 4 被直线 x ? y ? 1 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为

A.0 或 4 C.-2 或 6

B .1 或 3 D .-1 或 3

4.已知 ? , ? , ? 为平面,命题 p:若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? // ? ;命题 q:若 ? 上不共线的 三点到 ? 的距离相等,则 ? // ? .对以上两个命题,下列结论中正确的是 A.命题“p 且 q”为真 C.命题“p 或 q”为假 5.设 ? ? ? B.命题“p 或 ? q ”为假 D.命题“ ? p ”且“ ? q ”为假

1 3 4 ? i ,且 ? x ? ? ? ? a4 x 4 ? a3 x3 ? a2 x 2 ? a1 x ? a0 ,则 a2 等于 2 2
B. ?

A. ?

3 3 3 ? i 2 2

3 3 3 ? i 2 2

C. ?3 ? 3 3i

D. ?3 ? 3 3i

x2 y2 6.椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的四个顶点为 A、B、C、D,若四边形 ABCD 的内切圆恰 a b
好过椭圆的焦点,则椭圆的离心率是 A.

3? 5 2

B.

3? 5 8

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 4

2007 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题

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7.已知函数 y ? f ? x ? 的大致图像如图所示,则函数 y ? f ? x ? 的解 析式应为 A. f ? x ? ? x ?
2

y

ln x x

B. f ? x ? ? x ?

ln x x
O x

ln x C. f ? x ? ? x ? x

ln x D. f ? x ? ? x ? x
2

? x ? 0, x ? 2y ? 3 ? 8.设 x,y 满足约束条件 ? y ? x, 则 的取值范围为 x ?1 ? 4 x ? 3 y ? 12. ?
A. ?1,5? B. ? 2, 6? C. ? 2,10? D. ?3,11?

9.如图, ?PAB 所在的平面 ? 和四边形 ABCD 所在的平 面 ? 互 相 垂 直 , 且 AD ? ? , BC ? ? , AD ? 4 ,

?
A

P B

BC ? 8 , AB ? 6 ,若 tan ?ADP ? 2 tan ?BCP ? 10 , 则点 P 在平面 ? 内的轨迹是
A.圆的一部分 C.双曲线的一部分 B.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分

?

D

C

2 2 2 2 2 2 10.已知 x, y , z 满足方程 x ? ( y ? 2) ? ( z ? 2) ? 2 ,则 x ? y ? z 的最大值是

A.4 2

B.2 3

C. 3 2

D. 2

第二部分

非选择题(共 100 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 请将答案填在答题卷的相应位 置上. 11.等差数列有如下性质:若 ?an ? 是等差数列,则数列 bn ?

a1 ? a2 ? n

? an

也是等差数

列.类比上述性质,相应地,若 ?cn ? 是正项等比数列,则数列 dn ? _______________ 也是等比数列.
2 12.已知集合 A ? x x ? 3x ? 4 ? 0 , B ? x mx ? 1 ? 0 ,若 B ? A ,则 m 所能取的一

?

?

?

?

切值构成的集合为



13.在△ABC 中,若 tan A tan B ? 1 ,则 sin ? C ?

? ?

? ? _____________. 12 ?

? ?

14.在四面体 ABCD 中,已知 AB=CD=5,AC=BD=5,AD=BC=6.则四面体 ABCD 的 体积为 ;四面体 ABCD 外接球的面积为 .
2007 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题 第 2 页 共 4 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 15. (本小题满分 12 分) 已知向量 a ? (1, 2sin x) , b ? (1,cos x ? sin x) ,函数 f ( x) ? a b . (Ⅰ)求函数 y ? f ( x) 的最小值以及取得最小值时 x 的值; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调递增区间. 16. (本小题满分 12 分) 箱中装有 12 张大小、重量一样的卡片,每张卡片正面分别标有 1 到 12 中的一个号码, 正面号码为 n 的卡片反面标的数字是 n ? 9n ? 22 . (卡片正反面用颜色区分)
2

(Ⅰ)如果任意取出一张卡片,试求正面数字不大于反面数字的概率; (Ⅱ)如果同时取出两张卡片,试求他们反面数字相同的概率. 17. (本小题满分 14 分) 如图,在矩形 ABCD 中,AB=2,BC=a,又 PA⊥平面 ABCD,PA=4. (Ⅰ)若在边 BC 上存在一点 Q,使 PQ⊥QD,求 a 的取值范围; (Ⅱ)当边 BC 上存在唯一点 Q,使 PQ⊥QD 时,求二面角 A-PD-Q 的余弦值. P

A Q D C

B

18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x ( x ? 3a) ?
2

1 (a ? 0, x?R ) . 2

(Ⅰ)求函数 y ? f ? x ? 的极值; (Ⅱ)若函数 y ? f ? x ? 有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)
2 y2 已知点(x,y)在椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的第一象限上运动. a b

2007 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题

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(Ⅰ)求点 x , xy 的轨迹 C1 的方程;

?y ?

? ? (Ⅱ) 若把轨迹 C1 的方程表达式记为 y ? f ? x ? , 且在 ? 0, 3 ? 内 y ? f ? x ? 有最大值, ? 3 ?
试求椭圆 C 的离心率的取值范围. 20. (本小题满分 14 分)

? 1 ? a 2 ? an 已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? n , bn ? ? 1 ? ? (n ? N*) . 2 ? 2an ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;
(Ⅱ) 定理: 若函数 f ( x) 在区间 D 上是凹函数, 且 f ?( x ) 存在, 则当 x1 ? x2 ( x1 , x2 ? D) 时,总有

an

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ?( x1 ) . x1 ? x2

请根据上述定理,且已知函数 y ? xn?1 (n ? N*) 是 (0,??) 上的凹函数,判断 bn 与 bn ?1 的大小; (Ⅲ)求证:

3 ? bn ? 2 . 2

2007 年广州市高中数学青年教师解题比赛决赛试题

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