当前位置:首页 >> 数学 >>

2016年三角函数解三角形全国卷复习


C%2024%20Aug%202017%2007%3A29%3A25%20%2B0800&authorization=bce-auth-v1%2Ffa1126e91489401fa7cc85045ce7179e%2F2017-08-23T23%3A29%3A15Z%2F-1%2Fhost%2Fe89277675471316ff0d87ce439a043dbf60300c51d261c02aea6b8afd9467826&x-bce-range=0-13160&token=d4019c7a9348274763a8d3de21c48cbc09c2e6914b8336f86f0fbafe90ca1488&expire=2027-07-02T23:29:15Z" style="width: 100%;">
明师一对一

填写特殊角的度数与弧度数的对应表: 度 弧度 sin cos tan 一、任意角的三角函数: 1、三角函数的定义:角 ? 终边上一点 P 的坐标 ( x, y ) ,点到原点的距离是 r ?

0?

30?

120

135

150

180

270

360

? 3

? 2

?

3? 2

x2 ? y 2 :

sin ? ?
2、三角函数的符号:

y r

cos ? ?

x r

tan ? ?

y x

二、 (1)同角三角函数的基本关系: 1、平方关系: sin ? ? cos ? ? 1
2 2

2、商数关系: tan ? ?

sin ? cos ?

解题方法与思维升华 sin α (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化, 利用 =tan α 可以实现角 α 的弦切互化. cos α (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子, 利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.

1

明师一对一

三、两角和与差的三角函数: (唯一要背)

S? ? ? : sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ? S? ?? : sin(? ? ? ) ? sin ? ? cos ? ? cos ? ? sin ?
C? ? ? : cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ? C? ? ? : cos(? ? ? ) ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? sin ?

? ? ?) ? T? ?? : tan( ? ? ?) ? T? ?? : tan(

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

用和与差公式推导所有公式:

(1)诱导公式
(转 K 圈) sin( x ? 2 k? ) ? _________ cos( x ? 2k? ) ? ____________ tan( x ? 2k? ) ? ______________ (转半圈) sin(? ? x) ? ____________ cos(? ? x) ? ______________ tan(? ? x) ? ______________ (上下调) sin(? x) ? ______________ cos(? x) ? ______________

t a n? (x ?)______________

(再半圈) sin(? ? x) ? ____________ cos(? ? x) ? ______________ tan(? ? x) ? ______________ (转 90 度) sin( (转 90 度) sin(

?

?

? x) ? ___________ cos( ? x) ? ______________ 2 2 ? x) ? ___________ cos( ? x) ? ______________ 2 2

?

?

三角函数诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限 (2) 、二倍角公式:

S 2? : sin 2? ? 2sin ? cos ?

T2? : tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

C2? cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?

2

明师一对一

(3) 、和与差公式的逆运用:合一公式

把形如 y=asin x+bcos x 化为 y= a2+b2sin(x+φ),可进一步研究函数的周期、单调性、最 值与对称性.
利用“和与差公式”进行三种类型的构造: 复习 1(30° 和

60°) : (1) f ( x) ? sin x ?

1 2

3 cos x 2

构造 1:(1) f ( x) ? sin x ? 3 cos x

复习 2(45° ) : (2) y ?

2 2 sin x ? cos x ? 5 2 2

Y= 2(sin x ? cos x) 构造 2: (2)Y=sinα +cosα

复习 3(任意角度) (3) a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) , 其中sin ? ?

b a ?b
2 2

, cos ? ?

a a ?b
2 2

, tan ? ?

b a

构造(3) f ? x ? ? a sin x ? b cos x ? 1 练习(3) :y= 2 cos x ? 6 sin x

3

明师一对一

函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 的图象与性质
三角函数的图像和性质 三角 y ? sin x 函数
y y
3? 2

y ? cos x

y ? tan x

1
0

1
2? x
0

图像
? 2

?1
y

? 2

?

?1

? 2

?

3? 2

y

2? x
0
? ? 2
? 2

y
3? 2

?

x
3? 2

1
?

0

??
x

?

?1

? 2

?

? 2

1
0
? 2

?
x

?1

定义域 值域
当x ? 2k? ?

R
[ ?1,1]
?
2

R
[ ?1,1]
当x ? 2k?时, ? k ? Z ? ymax ? 1

{ x x ? k? ?

?
2

, k ? Z}

R
无最大值和最小值

? k ? Z ?时,ymin ? ?1

最值 周期 奇偶性 对称性

当x ? 2k? ?

?
2

? k ? Z ?时,ymax ? 1
2?

?
2

当x ? 2k? ? ?时, ? k ? Z ? ymin ? ?1

2?

对称中心(k? ?

?

?
2 , 0)k ? Z
k? 对称中心( , 0),k ? Z 2

对称中心(k? ,0)k ? Z

对称轴x ? k? ?
增区间[2k? ?

,k ?Z

对称轴x ? k? , k ? Z
增区间[2k? ? ? , 2k? ](k ? Z )
减区间[2k? , 2k? ? ? ](k ? Z )

无对称轴
增区间(k? ?

单调 区间

, 2k? ? ](k ? Z ) 2 ? 3? 减区间[2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) 2 2 2

?

?

?
2

, k? ? )(k ? Z ) 2

?

无减区间

二、正弦型、余弦型、正切型函数性质的研究 1、三角函数定义域 三角函数 定义域 2、三角函数值域 三角函数值域 3、三角函数周期 三角函数周期 解题方法与思维升华

y ? A sin(? x ? ? )
x?R

y ? A cos(? x ? ? )
x?R

y ? A tan(? x ? ? )

{ x ? x ? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z}

y ? A sin(? x ? ? )

y ? A cos(? x ? ? )

y ? A tan(? x ? ? )
y?R

y ?[? A , A ]
y ? A sin(? x ? ? ) 2π T? |ω|

y ?[? A , A ]
y ? A cos(? x ? ? ) 2π T? |ω|

y ? A tan(? x ? ? )

T?

? |? |

(1)五点法作简图:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, π 3 ,π, π,2π 来求出相应的 x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 2 2
4

明师一对一

【知识精讲】 1、三角函数单调性 ( A ? 0, ? ? 0) ① y ? A sin(? x ? ? ) 递增区间:解关于 x 的不等式 2k? ?

?
2

2 ? 3? 递减区间:解关于 x 的不等式 2k? ? ? ? x ? ? ? 2k? ? 即为所求递减区间. 2 2 ② y ? A cos(? x ? ? ) 递增区间:解关于 x 的不等式 2k? ? ? ? ? x ? ? ? 2k? 即为所求递增区间; 递减区间:解关于 x 的不等式 2k? ? ? x ? ? ? 2k? ? ? 即为所求递减区间. ③ y ? A tan(? x ? ? )
递增区间:解关于 x 的不等式 k? ? 2、对称性:对称中心和对称轴 对称中心 y=sin(ωx+φ) y=cos (ωx+φ) ωx+φ=kπ(k∈Z) π ωx+φ=kπ+ (k∈Z) 2 对称轴 π ωx+φ=kπ+ (k∈Z) 2 ωx+φ=kπ(k∈Z)

? ? x ? ? ? 2 k? ?

?

即为所求递增区间;

?
2

? ? x ? ? ? k? ?

?
2

即为所求递增区间;无递减区间

3、用“图象变换法”作图:函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤如下:

4.由图象求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式
根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的问题,主要从以下四个方面来考虑: 最大值-最小值 ①A 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 A= ; 2 最大值+最小值 ②k 的确定:根据图象的最高点和最低点,即 k= ; 2 2π ③ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= (ω>0)来确定 ω; ω φ ④φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为- ω

5

明师一对一

1.正弦定理、余弦定理 (1)在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos_A; 内容 a b c = = =2R(△ABC 外接圆半径) b2=c2+a2-2cacos_B; sin A sin B sin C c2=a2+b2-2abcos_C (1)a=2Rsin A,b=2Rsin_B,c=2Rsin_C; 变形 a b c (2)sin A= ,sin B= ,sin C= ; 2R 2R 2R (3)a∶b∶c=sin_A∶sin_B∶sin_C; (4)asin B=bsin A, bsin C=csin B, asin C=csin A 解决的 问题 ①已知两角和任一边,求其他两边和另一角, ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角 cos C= b2+c2-a2 cos A= ; 2bc cos B= c2+a2-b2 ; 2ac a2+b2-c2 2ab

①已知三边,求夹角; ②已知两边和它们夹角, 求第三边和其他两个角

abc 1 1 1 1 (2)S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B= = (a+b+c)· r(r 是三角形内切圆的半径), 2 2 2 4R 2 并可由此计算 R、r.

(3)在△ABC 中,已知 a、b 和 A 时,解的情况如下: A 为锐角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 A 为钝角或直角

解题方法与思维升华 (1) (2) (3) (4) 两角两边用正弦 一角三边用余弦 面积公式取决于角 余弦定理有时结合基本不等式

6

明师一对一

C 单元

三角函数
)

C1 角的概念及任意角的三角函数 2.[2014· 全国卷] 已知角 α 的终边经过点(-4,3),则 cos α =( 4 3 3 4 A. B. C.- D.- 5 5 5 5 2.D [解析] 根据题意,cos α = -4 (-4) +3
2 2=-5.

4

C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 C3 三角函数的图象与性质 π π 7.[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y=cos|2x|,②y=|cos x|,③y=cos?2x+ ?,④y=tan?2x- ?中, 6? 4? ? ? 最小正周期为π 的所有函数为( ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 7.A [解析] 函数 y=cos|2x|=cos 2x,其最小正周期为π ,①正确;将函数 y=cos x 的图像中位于 x 轴上方的图像不变,位于 x 轴下方的图像对称地翻转至 x 轴上方,即可得到 y=|cos x|的图像,所以其最小 π π 天正周期也为π ,②正确;函数 y=cos?2x+ ?的最小正周期为π ,③正确;函数 y=tan?2x- ?的最小 6? 4? ? ? π 正周期为 ,④不正确. 2 3.[2014· 全国卷] 设 a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b )

1 3.C [解析] 因为 b=cos 55°=sin 35°>sin 33°,所以 b>a.因为 cos 35°<1,所以 >1,所 cos 35° 以 sin 35° sin 35° >sin 35°.又 c=tan 35°= >sin 35°,所以 c>b,所以 c>b>a. cos 35° cos 35°

7

明师一对一

6. 、[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 如图 11,圆 O 的半径为 1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的 始边为射线 OA,终边为射线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M,将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π ]上的图像大致为( )

图 11

A

B

C 6. C

D

1 [解析] 根据三角函数的定义, 点 M(cos x, 0), △OPM 的面积为 |sin xcos x|, 在直角三角形 OPM 2

π 1 中, 根据等积关系得点 M 到直线 OP 的距离, 即 f(x)=|sin xcos x|= |sin 2x|, 且当 x= 时上述关系也成立, 2 2 故函数 f(x)的图像为选项 C 中的图像. 8、 [2015· 新课标全国卷Ⅰ]函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示, 则 f ( x ) 的单调递减区间为 ( )

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4 【答案】D
(A) ( k? ?

? ?1 ? +? ? ? ? ? ?4 2 【解析】试题分析:由五点作图知, ? ,解得 ?=? , ? = ,所以 f ( x) ? cos(? x ? ) , 4 4 ? 5 ? +? ? 3? ? ?4 2
令 2 k? ? ? x ?

?
4

? 2k? ? ? , k ? Z ,解得 2k ?

1 3 1 < x < 2 k ? , k ? Z ,故单调减区间为( 2 k ? , 4 4 4

2k ?

3 ) , k ? Z ,故选 D. 4
8

考点:三角函数图像与性质

明师一对一

C4 函数 y ? A sin(? x ? ?) 的图象与性质 (2015 广调)10. 已知函数 f ? x ? ? x ? sin ? x ? 3 , 则f?

? 1 ? ?? ? 2015 ?

? 2 ? f? ?? ? 2015 ?

? 3 ? f? ? ??? ? 2015 ?

? 4029 ? f? ? 的值为 ? 2015 ?
C. 8058 D. ?8058

A. 4029

B. ?4029

(2015 广二)4.函数 y ? Asin ??x ? ? ? ? A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ?? 的图象的一部分如图 1 所示, 则此函数的解析式为 y 3 5 O 1 -3 图1 x

?? ?? A. y ? 3sin ? x ? ? ?? ?? ?? ?? C. y ? 3sin ? x ? ? ?? ??
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切

?? ? ?? B. y ? 3sin ? x ? ? ? ? ?? ?? ? ?? D. y ? 3sin ? x ? ? ? ? ??

(2)[2015· 新课标全国卷Ⅰ]sin20°cos10°-con160°sin10°= (A) ? 【答案】D 【解析】试题分析:原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30° =
考点:诱导公式;两角和与差的正余弦公式 (2015 广调)5. 函数 f ? x ? ? 1 ? 3 tan x cos x 的最小正周期为 A. 2? B.

3 2

(B)

3 2

(C) ?

1 2

(D )

1 2

1 ,故选 D. 2

?

?

3? 2

C. ?

D.

? 2

(2015 广调)5. 将函数 y ? sin ? 2 x ? 函数解析式是 A. y ? 2cos x
2

? ?

??

? ? 的图象向左平移 6 个单位,再向上平移 1 个单位, 所得图象的 6?
B. y ? 2sin x
2

C. y ? 1 ? sin ? 2 x ?

? ?

??
? 3?

D. y ? cos 2 x

9

明师一对一

(2015 广调)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin x ? a cos x ( x ? R ) ,

? 是函数 f ? x ? 的一个零点. 4

(1)求 a 的值,并求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)若 ? , ? ? ? 0,

?? 10 3? ? ?? ? ? , f ?? ? ? ,且 f ? ? ? ? ? 4? 5 4 ? 2? ? ?

? 3 5 ,求 sin ?? ? ? ? 的值. ?? 5 ?

(2015 广一)16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? sin ? x ?

? ?

??

? ? cos x . 6?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期; (2)若 ? 是第一象限角,且 f ? ? ?

? ?

??

4 ?? ? ? ? ,求 tan ? ? ? ? 的值. 3? 5 4? ?

(2015 广一)16. (本小题满分 12 分) ?? ? 已知函数 f ( x) ? A sin ? ? x ? ? ? A ? 0, ? ? 0 ? 的图象在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐 6? ? 标分别为 ? x0 , 2? 和 ? x0 ?

? ?

?

? , ?2 ? . 2 ?

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求 sin ? x0 ?

? ?

??

? 的值. 4?
3 ?? ? ,且 ? ? ? ,? ? ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ?)(? ? 0) 的图像的相邻 5 ?2 ?

(2016 广州调研文理 8)已知 sin ? ?

两条对称轴之间的距离等于 (A) ?

? ,则 2 4 5

??? f ? ? 的值为 ?4?
(C)

3 5

(B) ?

3 5

(D)

4 5

(2016 广州调研理 14)已知 cos ?? ? ? ? ? ?

1 ?? ? ,则 sin ? 2? ? ? ? 3 2? ?



10

明师一对一

拼凑角的技巧
π? 4 π? ? ? 【典例】 (2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. ? ? ? ? 找出角的关系: 2α+ 解析 π? π π π π ? =2α+ - =2?α+ ?- ,解题变得明朗化! 6? 4 12 3 4 ?

π? 4 π? 3 π ?π 2π? ? ? ∵α 为锐角且 cos?α+6?=5,∴α+6∈?6, 3 ?,∴sin?α+6?=5. ? ? ? ? ? ?

π? π? π? π? π? π π ? ? ? ? α+6?- ?=sin 2? ?α+6?cos -cos 2?α+6?sin ∴sin?2α+12?=sin?2? 4 ? ? 4 4 ? ? ? ? ? ? ? ? π? ? π? π? ? 2? 3 4 2? ? ? ?4? ? = 2sin?α+6?cos?α+6?- 2 ?2cos2?α+6?-1?= 2×5×5- 2 ?2×?5?2-1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 2 7 2 17 2 = 25 - 50 = 50 .答案 17 2 50

[反思感悟] 解题的关键是找出条件中的角与结论中的角的联系,通过适当地拆角、凑角来利 α+β ? β? ? α ? π π ?π ? ? -α?; 用所给条件. 常见的变角技巧有: 2 =?α-2?-?2-β?; α=(α-β)+β 等; 4+α=2-?4 ? ? ? ? ? 15° =45° -30° 等. 【自主体验】
(1)已知 sin α= 5 10 ,sin(α-β)=- ,α,β 均为锐角,则角 β 等于( 5 10 5π A. 12 (2)设 α、β 都是锐角,且 cos α= 2 5 A. 25 π B. 3 π C. 4 π D. 6 ) D. 5 5 或 5 25 3 10 )

5 3 ,sin(α+β)= ,则 cos β 等于( 5 5 2 5 2 5 C. 或 25 5 π 2 5

2 5 B. 5 π

解:(1)∵α、β 均为锐角,∴-2<α-β<2. ∴cos α= 5 ,∴cos(α-β)= 10 . 又 sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)= 5 × 10 - 5 ×(- 10 )= 2 .∴β=4.
2 5 4 (2)依题意得 sin α= 1-cos2α= ,cos(α+β)=± 1-sin2? α +β?=± . 5 5 5 3 10 2 5 10 2 π

又 α,β 均为锐角,所以 0<α<α+β<π,cos α>cos(α+β).因为5> 5 >-5,所以 cos(α+β)=-5. 于是 cos β=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-5× 5 +5× 5 = 25 .
C6 二倍角公式 14. 、[2014· 全国卷] 函数 y=cos 2x+2sin x 的最大值为________.
11

4

5

4

4

4

5

3 2 5

2 5

明师一对一

1? 3 3 1 14. [解析] 因为 y=cos 2x+2sin x=1-2sinx2+2sin x=-2? ?sin x-2? +2,所以当 sin x=2时函数 y 2 3 =cos 2x+2sin x 取得最大值,最大值为 . 2 16. 、[2014· 全国卷] 直线 l1 和 l2 是圆 x2+y2=2 的两条切线.若 l1 与 l2 的交点为(1,3),则 l1 与 l2 的夹 角的正切值等于________. 4 16. [解析] 如图所示,根据题意知,OA⊥PA,OA= 2,OP= 10,所以 PA= OP2-OA2=2 3 2tan ∠OPA 4 OA 2 1 4 所以 tan ∠OPA= = = ,故 tan ∠APB= = ,即 l1 与 l2 的夹角的正切值等于 . 2 PA 2 2 2 3 3 1-tan ∠OPA 2,

2

2. 、[2014· 全国新课标卷Ⅰ] 若 tan α >0,则( ) A.sin α >0 B.cos α >0 C.sin 2α >0 D.cos 2α >0 2.C [解析] 因为 sin 2α = 2sin α cos α 2tan α = >0,所以选 C. sin2α +cos2α 1+tan2α )

1+sin β π π 8.[2014· 新课标全国卷Ⅰ] 设 α∈?0, ?,β∈?0, ?,且 tan α = ,则( 2? 2? ? ? cos β π A.3α -β= 2 B.3α +β= π 2 π C.2α -β= 2 π D.2α +β = 2

π 8.C [解析] 利用商数关系、和与差公式、诱导公式,所以 2α -β= . 2 π π 16. 、 [2014· 全国卷] 若函数 f(x)=cos 2x+asin x 在区间? , ?是减函数, 则 a 的取值范围是________. ?6 2? 16.(-∞,2] [解析] f(x)=cos 2x+asin x=-2sin2x+asin x+1,令 sin x=t,则 f(x)=-2t2+at+1. 1 ? π π 2 ?1 ? 因为 x∈? , ?,所以 t∈? ?2,1?,所以 f(x)=-2t +at+1,t∈?2,1?.因为 f(x)=cos 2x+asin x 在区间 ?6 2?

?π ,π?是减函数,所以 f(x)=-2t2+at+1 在区间?1,1?上是减函数,又对称轴为 x=a,∴a≤1,所以 a ?2 ? 4 4 2 ? 6 2?
∈(-∞,2]. C7 三角函数的求值、化简与证明 C8 解三角形 1 18. 、[2014· 全国卷] △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 3acos C=2ccos A,tan A= , 3
12

明师一对一

求 B. 18.解:由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A,故 3tan Acos C=2sin C. 1 1 因为 tan A= ,所以 cos C=2sin C,所以 tan C= , 3 2 所以 tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)= 所以 B=135°. 16. [2014· 全国新课标卷Ⅰ] 如图 13, 为测量山高 MN, 选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点. 从 A 点测得 M 点的仰角∠MAN=60°,C 点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从 C 点测得∠MCA =60°.已知山高 BC=100 m,则山高 MN=________m. tan A+tan C =-1, tan Atan C-1

图 13 16.150 [解析] 在 Rt△ABC 中,BC=100,∠CAB=45°,所以 AC=100 2.在△MAC 中,∠MAC sin 60° AM AC =75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有 = ,即 AM= ×100 sin∠MCA sin∠AMC sin 45° 2=100 3,于是在 Rt△AMN 中,有 MN=sin 60°×100 3=150 . 16. [2014· 新课标全国卷Ⅰ] 已知 a, b, c 分别为△ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a=2, 且(2+b)· (sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为________. 16. 3 [解析] 根据正弦定理和 a=2 可得(a+b)(a-b)=(c-b)c,故得 b2+c2-a2=bc,根据余弦定理 b2+c2-a2 1 π 得 cos A= = ,所以 A= .根据 b2+c2-a2=bc 及基本不等式得 bc≥2bc-a2,即 bc≤4,所以 2bc 2 3 1 3 △ABC 面积的最大值为 ×4× = 3. 2 2

(16)[2015· 新课标全国卷Ⅰ]在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范 围是
13

明师一对一

【答案】 ( 6 ? 2 , 6+ 2 ) 【解析】试题分析:如图所示,延长 BA,CD 交于 E,平移 AD,当 A 与 D 重合与 E 点时,AB 最长,在△BCE 中,∠B=∠C=75°,∠E=30°,BC=2,由正弦定理可得
BC BE ? ,即 sin ?E sin ?C

2 BE ? ,解得 BE = 6+ 2 ,平移 AD ,当 D 与 C 重合时,AB 最短,此时与 AB 交于 o sin 30 sin 75o BF BC ? F,在△BCF 中,∠B=∠BFC=75°,∠FCB=30°,由正弦定理知, ,即 sin ?FCB sin ?BFC BF 2 ? ,解得 BF= 6 ? 2 ,所以 AB 的取值范围为( 6 ? 2 , 6+ 2 ). o sin 30 sin 75o

考点:正余弦定理;数形结合思想

17. [2015·新 课 标 全 国 卷 Ⅰ] ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 a, b, c 分 别 是 ?ABC 内 角 A, B, C 的 对 边 ,

sin2 B ? 2 sin A sin C.
14

明师一对一

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90? ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积. 【答案】 (I) 【解析】 试题分析: (I)先由正弦定理将 sin 2 B ? 2sin A sin C 化为变得关系,结合条 件 a ? b ,用其中一边把另外 两边表示出来,再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值; (II)由(I)知 b = 2ac ,根据勾股定理和即可求 出 c,从而求出 ?ABC 的面积.
2 试题解析: (I)由题设及正弦定理可得 b = 2ac .又 a = b ,可得 b = 2c , a = 2c , 2

1 (II)1 4

a 2 + c 2 - b2 1 = . 由余弦定理可得 cos B = 2ac 4
(II)由(1)知 b = 2ac .因为 B = 90°,由勾股定理得 a + c = b . 故 a + c = 2ac ,得 c = a = 2 .所以 D ABC 的面积为 1. 考点:正弦定理 ;余弦定理;运算求解能力
2 2 2 2 2 2

sin A (2015 广一)6. 已知△ ABC 的三边 a, b, c 所对的角分别为 A, B, C ,且 ? a
A.

sin b

B 2 , 则 cos B 的值为

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2

(2015广二)16. (本小题满分12分) 已知△ ABC 的三边 a , b , c 所对的角分别为 A , B , C ,且 a : b : c ? 7 : 5 : 3 . (1)求 cos A 的值; (2)若△ ABC 外接圆的半径为 14,求△ ABC 的面积.

C9 单元综合 (2016 广州调研文 17) (本小题满分 12 分) 已知 a , b , c 是△ ABC 中角 A , B , C 的对边,且 3cos B cos C ? 2 ? 3sin B sin C ? 2cos A .
2

15

明师一对一

(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若△ ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.

16


相关文章:
2016届二轮 三角函数与解三角形 专题复习检测卷 全国通用
2016届二轮 三角函数解三角形 专题复习检测卷 全国通用_高考_高中教育_教育专区。专题复习检测卷(二) 三角函数解三角形 一、选择题 cos(π-α) 1.已知 ...
2016年高考第二轮复习:解三角形
2016年高考第二轮复习:解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。正弦定理、...(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合,通过等价转化或构建方程解答三角形的...
2016年解三角形和三角函数
2016年解三角形三角函数_数学_高中教育_教育专区...2016 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学(北京卷...2016年高三数学一轮复习... 暂无评价 26页 5下载...
2016届二轮 三角函数、解三角形 专题卷(全国通用)
2016届二轮 三角函数解三角形 专题卷(全国通用)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。第三章单元质量检测时间:90 分钟 分值:100 分 一、选择题(每小题 4 分...
2010-2016全国卷文数学试题及答案分类汇编四三角函数与...
2010-2016全国卷文数学试题及答案分类汇编四三角函数解三角形_高三数学_数学_高中教育_教育专区。近七年全国卷(2010-2016)文数学1、2、3试题及详细答案分类汇编...
2016年高考数学理试题分类汇编:三角函数、解三角形
2016年高考数学理试题分类汇编:三角函数解三角形_数学_高中教育_教育专区。...? 5、(2016 年全国 I 高考)已知函数 f ( x) ? sin(? x+ ? )(? ?...
2016年高考数学理试题分类汇编:三角函数解三角形
2016年高考数学理试题分类汇编:三角函数解三角形_数学_高中教育_教育专区。2016 年高考数学理试题分类——三角函数、解三角形一.三角函数图像变换 1、(2016 年北京...
2016届高考备考二轮复习+三角函数与解三角形学案
2016届高考备考二轮复习+三角函数解三角形学案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 届高考备考二轮复习+三角函数解三角形 1、(陕西 2016 届高三数学第六...
2016高考试题《三角函数、三角变换与解三》考点归纳
2016 年高考试题《三角函数、三角变换与解三角形》...在复习时要充分运用数形结合的思想, 把图象与性质...6 6 6 6 3、(2016?全国新课标卷三)函数 y ?...
2016年高考数学复习参考题---09.三角函数与解三角形(理...
2016年高考数学复习参考题---09.三角函数解三角形(理科)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年高考数学复习参考题 9、三角函数解三角形(理科)一、选择...
更多相关标签: