当前位置:首页 >> 数学 >>

2011届高考数学 导数及其应用1试题汇编 新人教A版


导数及其应用

题组一
一、选择题 1. ( 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) 求曲线 y ? x2 与 y ? x 所围成图形的面积,其中正确的是 (
2



? (x C. S ? ? ( y
A. S ?
0 1 0

1

2

? x)dx

2

? y)dy

? ( x ? x )dx D. S ? ? ( y ? y )dy
B. S ?
0 1 0

1

【答案】B 【分析】根据定积分的几何意义,确定积分限和被积函数。

【解析】两函数图象的交点坐标是 (0, 0), (1,1) ,故积分上限是 1 ,下限是 0 ,由于在 ?0,1? 上,

x ? x 2 ,故
求曲线 y ? x2 与 y ? x 所围成图形的面 S ?

? ( x ? x )dx 。
2 0

1

【考点】导数及其应用。 【点评】本题考查定积分的几何意义,对定积分高考可能考查的主要问题是:利用微积分基 本定理计算定积分和使用定积分的几何意义求曲边形的面积。 2.(江西省南昌市新建二中、莲塘一中 2011 届高三上学期 12 月联考理) 函数 y ?

?1 ? ln( x ? 1) , ( x ? 1) 的反函数是( 2



A. y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0) C. y ? e2 x?1 ?1( x ? R) 答案 D.

B. y ? e2 x?1 ? 1( x ? 0) D. y ? e2 x?1 ? 1( x ? R)

3. (安徽省蚌埠二中 2011 届高三第二次质检文) 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 在区间( ? ? ,1)上有最小值,则函数 g ( x) ? (1, ? ?) 上一定 A.有最小值 答案 D. 4.(北京市房山区 2011 年高三上学期期末统练试卷文)阅 面程序框图,如果输出的函数值在区间 [ 数 x 的取值范围是 (A) (??, ?2] (B) [?2, ?1] (C) [?1, 2] (D) [2, ??)
用心 爱心 专心

f ( x) 在区间 x


B.有最大值

C.是减函数

( D.是增函数

读右
开始 输入 x

1 1 , ] 内,那么输 4 2

入实


x ?[?2, 2]


f ( x) ? 2
x

f ( x) ? 2

输出 f ( x) 结束 -1-

答案 B. 二、填空题 5. (安徽省百校论坛 2011 届高三第三次联合考试理) 已知 f ( x) ? 2sin(2 x ? 答案 三、简答题 6. (安徽省野寨中学、岳西中学 2011 届高三上学期联考文) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2sin ( x ?
2

?

) ? m在x ? [0, ] 上有两个不同的零点,则 m 的取值范围为 6 2

?



π π π ) ? 2sin( x ? ) cos( x ? ) .求: 8 8 8

(I)函数 f ( x ) 的最小正周期; (II)函数 f ( x ) 的单调增区间。 答案

7. ( 宁 夏 银 川 一 中 2011 届 高 三 第 五 次 月 考 试 题 全 解 全 析 理 ) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? (1)当 a ? b ?

1 2 ax ? bx. 2

1 时,求 f ( x) 的最大值; 2 1 2 a (2)令 F ( x) ? f ( x) ? ax ? bx ? , (0 ? x ? 3) ,其图象上任意一点 P( x0 , y0 ) 处切线的 2 x 1 斜率 k ≤ 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 2 (3)当 a ? 0 , b ? ?1 ,方程 2mf ( x) ? x 有唯一实数解,求正数 m 的值. 1 【分析】 (1)函数的定义域是 (0, ??) ,把 a ? b ? 代入函数解析式,求其导数,根据求解 2
目标,这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点,判断这唯一的极值点是极大值点即可;

1 恒成立, 分类参数后转化为函数的最值; (3) 2 2 研究函数是单调性得到函数的极值点, 根据函数图象的变化趋势, 判断何时方程 2mf ( x) ? x
(2) 即函数 F ( x) 的导数在 (0,3] 小于或者等于 有唯一实数解,得到 m 所满足的方程,解方程求解 m 。 【解析】 (1)依题意,知 f ( x) 的定义域为(0,+∞) ,
用心 爱心 专心 -2-

1 1 2 1 时, f ( x) ? ln x ? x ? x , 2 4 2 1 1 1 ? ( x ? 2)( x ? 1) f ' ( x) ? ? x ? ? (2′)令 f ' ( x) =0, x 2 2 2x 解得 x ? 1 . (∵ x ? 0 ) 因为 g ( x) ? 0 有唯一解,所以 g ( x2 ) ? 0 ,当 0 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递增; 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ,此时 f ( x) 单调递减。 3 所以 f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? ,此即为最大值………4 分 4 a (2) F ( x ) ? ln x ? , x ? (0,3] , x x0 ? a 1 则有 k ? F ' ( x0 ) ? ≤ ,在 x0 ? (0,3] 上恒成立, 2 2 x0 1 2 所以 a ≥ ( ? x 0 ? x 0 ) max , x0 ? (0,3] (8′) 2 1 2 1 当 x0 ? 1 时, ? x0 ? x0 取得最大值 , 2 2 1 所以 a ≥ ………8 分 2 (3)因为方程 2mf ( x) ? x 2 有唯一实数解,
当a ? b ? 所以 x ? 2m ln x ? 2mx ? 0 有唯一实数解,
2

设 g ( x) ? x 2 ? 2m ln x ? 2mx ,

2 x 2 ? 2m x ? 2m 2 则 g ' ( x) ? .令 g ' ( x) ? 0 , x ? m x ? m ? 0 . x
因为 m ? 0 , x ? 0 ,所以 x1 ?

m ? m 2 ? 4m , ? 0 (舍去) 2

m ? m 2 ? 4m , 2 当 x ? (0, x2 ) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在(0, x2 )上单调递减, 当 x ? ( x2 ,??) 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在( x2 ,+∞)单调递增 当 x ? x2 时, g ' ( x2 ) =0, g ( x) 取最小值 g ( x2 ) . (12′) x2 ?
2 ? g ( x2 ) ? 0, ? ? x 2 ? 2m ln x 2 ? 2m x2 ? 0, 则? 既? 2 ? g ' ( x2 ) ? 0, ? ? x 2 ? m x2 ? m ? 0.

所以 2m ln x2 ? mx2 ? m ? 0 ,因为 m ? 0 ,所以 2 ln x2 ? x2 ? 1 ? 0 (*) 设函数 h( x) ? 2 ln x ? x ? 1 ,因为当 x ? 0 时,

h( x) 是增函数,所以 h( x) ? 0 至多有一解.
因为 h(1) ? 0 ,所以方程(*)的解为 x2 ? 1 ,即 解得 m ?

m ? m2 ? 4m ?1 , 2

1 .…12 分 2

【考点】导数及其应用。
用心 爱心 专心 -3-

【点评】本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程问题中的综合运用,试题的难度 不大,但考查点极为全面。本题的难点是第三问中方程解的研究,当函数具有极值点时,在 这个极值点左右两侧,函数的单调性是不同的,这样就可以根据极值的大小,结合函数图象 的变化趋势确定方程解的个数,如本题中函数在定义域内有唯一的极值点,而且是极小值点, 也就是最小值点,如果这个最小值小于零,函数就出现两个零点,方程就有两个不同的实数 解,只有当这个最小值等于零时,方程才有一个实数解,而最小值等于零的这个极小值点 x 满 足在此点处的导数等于零,函数值也等于零,即我们的【解析】中的方程组 ?

? g ( x2 ) ? 0, ,由 ? g '( x2 ) ? 0

这个方程组求解 m 使用了构造函数通过函数的性质得到 x2 的方法也是值得仔细体会的技巧。 8. (安徽省蚌埠二中 2011 届高三第二次质检文) (本题满分 12)设函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos2 x ? a 。 (1)写出函数 f ( x) 的最小正周 期及单调递减区间; (2) 当 x ? ??

3 ? ? ?? 函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 , 求 f ( x) , ? 时, 2 ? 6 3?

的图象、y 轴的正半轴及 x 轴的正半轴三者围成图形的面积。 答案 8、 (1)最小正周期 T ? ? ,单调递减区间是 ?k? ? , k? ? ? ?(k ? Z ) 6 3 ? ? (2) s ?

?

?

2 ?

?

?

2 0

? 1? 2 3 ? ? ? sin(2 x ? ) ? ? ? ? 6 2? 4 ?

9. (安徽省蚌埠二中 2011 届高三第二次质检文) (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (3)证明:

? ( (i ? 1) ) ?
i ?2

n

ln i

n(n ? 1) , (n ? N ? , n ? 1) 4

答案 (1) f ?( x) ?

1 1 ? k ? kx ?k ? x ?1 x ?1

当 k ? 0 时,有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x)在?1 , ? ?? 上单调递增,

k ?1 k ?1 ) 单调递增,在 ( ,?? ) 上单调递减。 k k ln( x ? 1) ? 1 (2) f ( x) ? 0 恒成立 ? k ? 在 (1,??) 恒成立, k ? 1 , x ?1
当 k ? 0 时,此时 f ( x)在(1, (3)证明略。 10 . ( 安 徽 省 合 肥 八 中 2011 届 高 三 第 一 轮 复 习 四 考 试 理 ) (3 分)已知函数

f ( x) ? ln x ? a2 x2 ? ax(a ? R).
(1)求 f ( x ) 的单调区间与极值; (2)若函数 f ( x)在区间(1,+?)上是单调减函数,求实数 a 的取值范围。 答案

用心

爱心

专心

-4-

11. (北京市房山区 2011 年高三上学期期末统练试卷文) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? ln x (a ? R) . (Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率; (Ⅱ)求 f ( x) 的单调区间; ( Ⅲ ) 设 g ( x)? x ? 2 x? 2, 若 对 任 意 x1 ? (0, ??) , 均 存 在 x2 ??0,1? , 使 得
2

f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求 a 的取值范围.
答案 (本小题满分 14 分) 1 解:(Ⅰ)由已知 f ?( x) ? 2 ? ( x ? 0) , x ………………2 分

f ?(1) ? 2 ? 1 ? 3 .

用心

爱心

专心

-5-

故曲线 y ? f ( x) 在 x ? 1 处切线的斜率为 3 . (Ⅱ) f '( x) ? a ?

………………4 分 ………………5 分

1 ax ? 1 ? ( x ? 0) . x x

①当 a ? 0 时,由于 x ? 0 ,故 ax ? 1 ? 0 , f '( x) ? 0 所以, f ( x) 的单调递增区间为 (0, ??) . ………………6 分

1 ②当 a ? 0 时,由 f '( x) ? 0 ,得 x ? ? . a 1 1 在区间 (0, ? ) 上, f ?( x) ? 0 ,在区间 (? , ??) 上 f ?( x) ? 0 , a a 1 1 所以,函数 f ( x) 的单调递增区间为 (0, ? ) ,单调递减区间为 (? , ??) . a a
………………8 分 (Ⅲ)由已知,转化为 f ( x)max ? g ( x)max . ………………9 分 ………………10 分

g ( x)max ? 2

由(Ⅱ)知,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增,值域为 R ,故不符合题意. (或者举出反例:存在 f (e ) ? ae ? 3 ? 2 ,故不符合题意.)
3 3

………………11 分

1 1 当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? ) 上单调递增,在 (? , ??) 上单调递减, a a
故 f ( x ) 的极大值即为最大值, f (? ) ? ?1 ? ln( 所以 2 ? ?1 ? ln(?a) , 解得 a ? ?

1 a

1 ) ? ?1 ? ln(? a) , ?a

………13 分

1 . e3

………………14 分

用心

爱心

专心

-6-


赞助商链接
相关文章:
2011届高考数学 函数、方程及其应用试题汇编2 新人教A...
2011届高考数学 函数、方程及其应用试题汇编2 新人教A版 隐藏>> 函数、方程及其应用 题组二一、 选择题 1.(江西省上高二中 2011 届高三理)设函数 f(x)=x|...
浙江省2011届高三数学期末试题分类汇编——导数及其应用
浙江省2011届高三数学期末试题分类汇编——导数及其应用 隐藏>> 浙江省高三数学期末试题分类汇编——导数及其应用一、选择题 1. 嘉兴市·理】8. 文科 7)己知函数...
2011届高三数学一轮复习:第一章《导数及其应用》测试(...
2011届高三数学一轮复习:第章《导数及其应用》测试(新人教B版选修2-2)_...( x ) 既没有最小值,也没有最大值. A.①③ 答案:D 二、填空题 B.①...
2011届高考数学 数列的应用2试题汇编 新人教A版
2011届高考数学 导数2试题... 10页 免费 2011届全国...2011届高考数学 数列的应用2试题汇编 新人教A版 隐藏...1 答案 D. 2. (成都市玉林中学 2010—2011 学...
...角三角函数的关系和诱导公式1试题汇编 新人教A版_免...
2011届高考数学 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式1试题汇编 新人教A版 隐藏>> 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式 题组一一、 选择题 ...
最新全国各地2011届高考数学试题汇编:导数及其应用2
最新全国各地2011届高考数学试题汇编:导数及其应用2。最新全国各地2011届3月高考数学试题汇编导数及其应用 题组二一、 选择题 1. 四川省成都市 2011 届高三理 ) ...
2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—3.导数及其应用_...
2011年—2017年新课标全国卷1文科数学分类汇编—3.导数及其应用 - 整理人,中山一中,朱欢,欢迎交流, QQ: 370784552 2011 年—2017 年新课标全国卷Ⅰ文科数学分类...
浙江省2011届高三数学期末试题分类汇编——导数及其应...
高一上学期数学知识点总结... 人教版 高一数学知识...省2011届高三数学期末试题分类汇编——导数及其应用...(a,b)内(A)1 (C)3 (B)2 (D)4 3. 温 ...
2016年高考数学理真题分类汇编:导数及其应用 Word版(学...
2016年高考数学理真题分类汇编:导数及其应用 Word版(学生版)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年高考数学试题分类汇编 导数及其应用一、选择题 1、(2016...
数学:第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教A版选修1-1...
数学:第三章《导数及其应用》测试(1)(新人教A版选修1-1) 高中数学导数习题汇编高中数学导数习题汇编隐藏>> 第三章 导数及其应用 单元测试一、选择题 1. 函数...
更多相关标签: