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专题:对数函数知识点总结及类型题归纳


专题:对数函数知识点总结
1.对数函数的定义: 一般地,函数 y ? log 2. 对数函数的性质为 a>1 0<a<1
a

x(

)叫做对数函数 .定义域是

3

3

2.5

2.5

2

2


-1

1.5

1.5

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8



-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

定义域: (0,+∞)

值域:R



过点(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0



x ? ( 0 ,1) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? ( 0 ,1) 时

y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1, ?? ) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

x ? (1, ?? ) 时 y ? 0

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是增函数

王新敞
奎屯

新疆

在(0,+∞)上是减函数

王新敞
奎屯

新疆

x 思考:函数 y ? log a x 与函数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1) 的定义域、值域之间有什么关系?

___________________________________________________________________________ 对数函数的图象与指数函数的图象关于_______________对称。 一般的,函数 y=ax 与 y=logax (a>0 且 a≠1)互称相对应的反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称 如:f(x)=2x,则 f-1(x)=log2x,二者的定义域与值域对调,且图象关于直线

y=f(x)存在反函数,一般将反函数记作 y=f-1(x) y=x 对称

函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线 y=x 对称

专题应用练习
一、求下列函数的定义域
(1) y ? lo g 0 .2 ( 4 ? x ); ; (3) y ? lo g ( 2 x ?1) ( ? x ? 2 x ? 3)
2

(2) y ? lo g a (4) y ?
x

x ? 1 ( a ? 0, a ? 1). ;

lo g 2 ( 4 x ? 3)

(5) y=lg

1 x ?1

(6) y= log

3

1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是________________
lg( 8 ? x ) 的定义域是_______________
2

2.y=

3.求函数 y ? lo g 2 (2 x ? 1) 的定义域___________ 4.函数 y= log 1 (2 x ? 1) 的定义域是
3

5.函数 y=log 2(32-4x)的定义域是

,值域是

.

6.函数 y ? lo g 5 ? x (2 x ? 3) 的定义域____________ 7.求函数 y ? lo g a ( x ? x )( a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域。
2

8.求下列函数的定义域、值域: (1) y ? lo g 2 ( x ? 3) ; (2) y ? lo g 2 (3 ? x ) ; (3) y ? lo g a ( x ? 4 x ? 7 ) ( a ? 0 且 a ? 1 ) .
2
2

9.函数 f(x)= 10.设 f(x)=lg

1 x

ln( x ? 3 x ? 2 ? ? x ? 3 x ? 4 )定义域
2 2

2? x 2? x

,则 f (

x 2

)? f(

2 x

)

的定义域为

11.函数 f(x)=

| x ? 2 | ?1 log 2 ( x ? 1)
2

的定义域为 的定义域为
? x ? 3x ? 4
2

12.函数 f(x)= 1 g ( x
13.函数 f(x)=
y ?
1 x

? 2 x)
2

9? x


)的定义域为 ?

ln(

x ? 3x ? 2 ?
2

14

lo g lo g lo g
2 2

x
2

的定义域是

1. 设 f (x)=lg(ax -2x+a), (1) 如果 f (x)的定义域是(-∞, +∞),求 a 的取值范围; (2) 如果 f (x)的值域是(-∞, +∞),求 a 的取值范围. 15.已知函数
f ( x ) ? log
1 2

2

(x

2

? 2 ax ? 3 )

(1)若函数的定义域为 R,求实数 a 的取值范围 (2)若函数的值域为 R,求实数 a 的取值范围 (3)若函数的定义域为 ( ?? ,1) ? ( 3, ?? ) ,求实数 a 的值; (4)若函数的值域为 ( ?? , ? 1] ,求实数 a 的值.

16.若函数 y ? f ? 2
x

x

? 的定义域为 ? ? 1, 0 ? ,则函数 y ? f ? lo g x ? 的定义域为
2

17.已知函数 f(2 )的定义域是[-1,1] ,求 f(log2x)的定义域. x 18 若函数 y=lg(4-a·2 )的定义域为 R,则实数 a 的取值范围为 19 已知 x 满足不等式 (log 20 求函数 y ? (log
2 1 2
2

x ) ? 7 log
2

2

x ? 6 ? 0 ,函数 f ( x ) ? (log

2

4 x ) ? (log

4

2 x ) 的值域是

x ) ? log
x ?1 x ?1

1 2

x ? 1 (1 ? x ? 4 ) 的值域。

21 已知函数 f(x)=log2

+log2(x-1)+log2(p-x).?(1)求 f(x)的定义域;?(2)求 f(x)的值域.

?x ?1 ?0 ? x ?1 ? ? 解:f(x)有意义时,有 ? x ? 1 ? 0 ? p? x ?0 ? ? ?

①, ②, ③,

?

由①、②得 x>1,由③得 x<p,因为函数的定义域为非空数集,故 p>1,f(x)的定义域是(1,p).? (2)f(x)=log2[(x+1)(p-x)]?=log2[-(x①当 1<
? ?
p ?1 2 p ?1 2

)+

2

( p ? 1) 4

2

] (1<x<p),?
2

<p,即 p>3 时,? 0<-(x( p ? 1) ? ? 4 ?
2

p ?1 2

) ?
2

( p ? 1) 4

2

?

( p ? 1) 4

,?

∴log2 ? ? ( x ?

p ?1 2

) ?
2

≤2log2(p+1)-2.?

②当

p ?1 2

≤1,即 1<p≤3 时,?∵0<-(x-

p ?1 2

) ?
2

( p ? 1) 4

2

? 2 ( p ? 1),

∴log2 ? ? ( x ?
?

?

p ?1 2

) ?
2

( p ? 1) ? ? 4 ?
2

<1+log2(p-1).?

综合①②可知:?当 p>3 时,f(x)的值域是(-∞,2log2(p+1)-2];? 当 1<p≤3 时,函数 f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).

二、利用对数函数的性质,比较大小 例 1、比较下列各组数中两个数的大小:
(1) lo g 2 3 .4 , lo g 2 3 .8 ; (3) lo g 7 5 , lo g 6 7 ; 1. 1.1
0 .9

(2) lo g 0 .5 1 .8 , lo g 0 .5 2 .1 ; (4) log 2 3 , log 4 5 ,
3 2

, lo g 1 .1 0 .9 , lo g 0 .7 0 .8 的大小关系是____________
2

2.已知 a >b>a>1,则 m=logab,n=logba,p= logb 3.已知 logm5>logn5,试确定 m 和 n 的大小关系 4.已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga 1 , log
b
b
1 1 1
a

b a

的大小关系是____________

b , log b
c

1 b

的大小关系是

5.已知 log b<log a<log c,比较 2 ,2 ,2 的大小关系.
2 2 2

a

6.设 a ? lo g 3 ? , b ? lo g 2

3 , c ? lo g 3

2 ,则

7. 8.

已 知 x ? ? 1, d ? , 试 比 较 a ? ? lo g d x ? , b ? lo g d x c ? lo g d ? lo g d x ? 的 大 小 。
2 2

已 知 x ? 1, d ? 1试 比 较 a ? ? lo g

d

x ? , b ? lo g
2

d

x 的大小。

2

9.设 0 <x <1,a >0,且 a≠1,试比较| loga(1-x) |与| loga(1+x) |的大小。 10.已知函数 f ( x ) ? lg x ,则 f ?
?1? ?1? ? , f ? ? , f ( 2 ) 的大小关系是______ ?4? ?3?

三、解指、对数方程:
(1) 3
3x?5

? 27

(2) 2

2x

? 12 (3) lo g 5 (3 x ) ? lo g 5 (2 x ? 1) (4) lg

x ? 1 ? lg ( x ? 1)

1.已知 3a=5b=A,且 1 ? 1 =2,则 A 的值是
a b
? 1 2

2.已知

log7[log3(log2x)]=0,那么 x
? 1 2

等于

3.已知 log7[log3(log2x)]=0,那么 x 等于 4..若 x∈(e ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln x,则 5.若 f ?10
x
-1 3

??
5

x ,那么 f ?3 ? 等于

6. 已知 f ( x ) ? lg x ,则 f ( 2 ) ? 7. 已知 lo g a ( x ? 4 ) ? lo g a ( y ? 1) ? lo g a 5 ? lo g a (2 xy ? 1)( a ? 0, 且 a ? 1) ,求 lo g 8
2 2

y x

的值.

四、解不等式:
1. lo g 5 (3 x ) ? lo g 5 (2 x ? 1) 2. lg ( x ? 1) ? 1 3.设 a , b 满足 0 ? a ? b ? 1 ,给出下列四个不等式: ① a ? a ,② b ? b ,③ a ? b ,④ b ? a ,其中正确的不等式有 ..
a b a b a a b b

4.已知:(1) f ( x ) ? log a x 在 [3, ? ? ) 上恒有 | f ( x ) |? 1 ,求实数 a 的取值范围。 5.已知函数 f ( x ) ? x ? 3, g ( x ) ? a (1 ? x ) ,当 ? 2 ? x ? 2 时, f ( x ) ? g ( x ) 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

6.求 m 的取值范围,使关于 x 的方程 (lg x ) ? 2 m lg x ? ( m ?
2

1 4

) ? 0 有两个大于 1 的根.

(2008·全国)若 x∈(e ,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln x,则 7.已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga
1 b , log a b , log b 1 b

-1

3

的大小关系是

8.已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立,试求 a 的取值范围

9.已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,? 110.若函数 y ? ? lo g 2 ( x ? a x ? a ) 在区间 ( ? ? ,1 ?
2

2

3

]上是单调递减函数.求实数 a 的取值范围.?

3 ) 上是增函数, a 的取值范围

11.已知函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? ax ? 3 a ) 在区间 ?1, 2 ? 上是增函数,则实数 a 的取值范围是
2

12.若函数 f(x)= ? lo g ( ? x ), x ? 0 ,若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是 1
? ?
2

? lo g 2 x , x ? 0 , ?

13..设 函数 f ( x ) ? ?

? 2 x ? 1 ? 1, x ? 1, ? lg x,

x ≥ 1,
2

若 f ( x 0 ) ? 1 ,则 x 0 的取值范围是(



14.设 a>0 且 a≠1,若函数 f (x)= a lg

( x ? 2 x ?3)

有最大值,试解不等式 log a ( x 2

? 5x ? 7)

>0

五、定点问题
1.若函数 y=loga(x+b) (a>0,且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1) ,则
2.若函数 y=loga(x+b) (a>0,且 a≠1)的图象过两点(-1,0)和(0,1) ,则 3.函数 f ( x ) ? log a ( x ? 1) ? 1( a ? 0 且 a ? 1) 恒过定点 .

六、求对数的底数范围问题
1.(1)若 lo g a
4 5 ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1) ,求 a 的取值范围

2. (2)若 lo g ( 2 a ? 3 ) (1 ? 4 a ) ? 2 ,求 a 的取值范围 3..若 lo g a
2 3 ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1) ,则 a 的取值范围________

4.函数 f ( x ) ? lo g a ( x ? 1) 的定义域和值域都是 [0,1] ,则 a 的值为 5.若函数 f ( x ) ? lo g a ( a ? x ) 在 [2, 3] 上单调递减,则 a 的取值范围是 6.函数 y=log0.5(ax+a-1)在 x≥2 上单调减,求实数 a 的范围 (2- a )在[0,1]上是 x 的减函数,求 a 的取值范围.
x

.

7..已知 y= log

a

8.已知函数 y=log a (x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求 a 的取值范围.
2

9.已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立, 试求 a 的取值范围.? 10.若函数 y ? lo g a (1 ? x ) 在 [0,1) 上是增函数, a 的取值范围是

11.使 log

1
a

? 1 成立的 a 的取值范围是

2

12.若定义在(-1,0)内的函数 f (x)=log2a(x+1)满足 f (x)>0,则 a 的取值范围是

七、最值问题
1.函数 y=log ax 在[2, 10]上的最大值与最小值的差为 1,则常数 a= 2.求函数 y ? lo g 1 x ? lo g 1 x ? 5
4 4 2

. .。

x ? [ 2, 4 ] 的最小值

,最大值

3.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 1 ,则 a= 2 4.函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a=
5.已知 0 ? x ? 2 ,则函数 y ? 4 ? 3 ? 2 ? 4 的最大值是
x x
2

,最小值是
2

.

6.已知 f ( x ) ? 1 ? lo g 2 x , (1 ? x ? 4 ) ,求函数 g ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ) 的最大值与最小值
2 7.已知 x 满足 2(log 0 .5 x ) ? 7 log 0 .5 x ? 3 ? 0 ,求函数 f ( x ) ? (lo g 2

x 2

)(lo g 2

x 4

) 的最值。

8.

设 x ? 0, y ? 0, 且 x ? 2 y ? 1, 求 函 数 u ? lo g 1 (8 xy ? 4 y
2

2

? 1)的 值 域 .

9.函数 f (x)=ax+log a

(x+1)

在[0, 1]上的最大值与最小值之和为 a,则 a=
x

10.求函数 y ? log 1 (1 ? 3 ) ? log 2 ( 3 ?
x 2

1 3

) 的最小值

11.函数

在区间

上的最大值比最小值大 2,则实数

=___.

八、单调性
1.讨论函数 y ? lg (1 ? x ) ? lg (1 ? x ) 的奇偶性与单调性 2.函数 y ? lg ( 2 x ? x ) 的定义域是
2

,值域是 .

,单调增区间是

3.函数 f ( x ) ? ln ( x ? 4 x ? 3) 的递减区间是
2

4.函数 y=log1/3(x -3x)的增区间是________ 5.证明函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 在 ( 0 , ?? ) 上是增函数
2 2
王新敞
奎屯 新疆

2

6.函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? 1) 在 ( ?? , 0 ) 上是减函数还是增函数? 7.求函数 y ? log 1 ( x ? 2 x ? 3 ) 的单调区间,并用单调定义给予证明
2 2

.8.求 y= log

0 .3

( x -2x)的单调递减区间

2

9..求函数 y= log
1

2

( x -4x)的单调递增区间
2

2

王新敞
奎屯

新疆

10.函数 y=log (x -3x+2)的递增区间是
2

? ,单调增区间是 .

11.函数 y ? lg(2 x ? x ) 的值域是
2

12.若函数 y ? lo g 2 ( x ? a x ? a ) 在区间 ( ? ? ,1 ?
2

3 ) 上是减函数,求实数 a 的取值范围

1.证明函数 y= log

1 2

( x +1)在(0,+∞)上是减函数;

2

2.已知函数 f(x)=log2(x2-ax-a)在区间(-∞,? 13.已知函数 f ( x ) ? lg(4 ? k ? 2 ) , (其中 k 实数)
x

3

]上是单调递减函数.,求实数 a 的取值范围.?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 ? ? ? , 2 ? 上有意义,试求实数 k 的取值范围 小结:复合函数的单调性
f ( x ), g ( x ) 的单调相同, y ? f ( g ( x ))

为增函数,否则为减函数

王新敞
奎屯

新疆

九、奇偶性
1.函数 f ? x ? ? ln

?

1 ? x ? x 的奇偶性是
2

?



2.若函数 f ? x ? 是奇函数,且 x ? 0 时, f ? x ? ? lg ? x ? 1 ? ,则当 x ? 0 时, f ? x ? ? 3.偶函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内单调递减, a ? f ? ? 1 ? , b ? f ? lo g 0 .5
? ? 1? ? , c ? f ? lg 0 .5 ? ,则 a , b , c 之间的大小关系 4?

4.已知 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且在 [ 0 , ?? ) 上为增函数, f ( ) ? 0 ,则不等式 f (log
3
1? x 1? x 1 2

1

1 8

x ) ? 0 的解集为

5.已知函数 f ( x ) ? lg

, 若 f (a ) ?

, 则 f (? a ) ?

.

6.已知奇函数

满足

,当

时,函数

,则

=____.

7.已 知 f ( x ) ? lg ( x ?

x

2

? 1 )(1) 判 断 f ( x ) 奇 偶 性 ( 2 ) 判 断 f ( x )的 单 调 性

8.知函数 f(x)=loga x ? b (a>0,且 a≠1,b>0)(1)求 f(x)定义域; (2)讨论 f(x)奇偶性; (3)讨
x?b

论 f(x)单调性

9.a,b∈R,且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)= lg 1 ? ax 是奇函数
1? 2x

1)求 b 取值范围 2)讨论函数 f(x)单调性.? 10.设 a,b∈R,且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)= lg 1 ? ax 是奇函数.?
1? 2x

(1) 求 b 的取值范围;?(2)讨论函数 f(x)的单调性.?

11.已知函数 f ( x ) ? log

a

(1 ? x ), g ( x ) ? log a (1 ? x )

其中 ( a

? 0 且 a ? 1 ) ,设 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) .

(1)求函数 h ( x ) 的定义域,判断 h ( x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若 f (3) ? 2 ,求使 h ( x ) ? 0 成立的 x 的集合.

十、对称问题与解析式
1. 已 知 函 数 f ? x ? 的 定 义 域 是 ? 0, ? ? ? , 且 对 任 意 的 x1 , x 2 ? 0 满 足 f ?
? x1 ? ?? f ? x2 ?

? x1 ? ?

f

? x2 ? , 当 x ? 1 时 有

f

? x ? ? 0 ,请你写出一个满足上述条件的函数 f ? x ? ?
2



2.已知函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 3 ? ? lo g a

x

2 2

6?x

?a

? 0, a ? 1 ?

(1)求 f ? x ? 的解析式; (2)判断 f ? x ? 的奇偶性; (3)讨论 f ? x ? 的单调性; (4)解不等式 f ? x ? ? lo g a ? 2 x ? 3. 已 知 定 义 域 为 ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ) 的 函 数 y ? f ( x ) 满 足 条 件 : 对 于 定 义 域 内 任 意 x1 , x 2 都 有
f ( x x )? 1 2 f( 1x ) ?
1

f( 2 x )

.(1)求证: f ( ) ? ? f ( x ) ,且 f ( x ) 是偶函数;(2)请写出一个满足上述条件的函数.
x

5.已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是 函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式;?(2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围. ?
解 (1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,?则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点,?
x ?1 1? x

∵Q(-x,-y)在 f(x)的图象上,?∴-y=loga(-x+1) ,即 y=g(x)=-loga(1-x).?(2)f(x)+g(x)≥m,即 loga ≥m.?

设 F(x)=loga 1 ? x ,x∈[0,1) ,?由题意知,只要 F(x)min≥m 即可.?
1? x

∵F(x)在[0,1)上是增函数,?∴F(x)min=F(0)=0.故 m≤0 即为所求 1)证明 设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,? 由题设知 x1>1,x2>1,则点 A、B 的纵坐标分别为 log8x1、log8x2.? 因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以 由于 log2x1=
log 8 x 1 log 8 2 log 8 x 1 x1 ? log 8 x 2 x2 log 2 x 1 x1 ? 3 log 8 x 1 x1

点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),? ,? OD 的斜率为 k
? log 2 x 2 x2 ? 3 log 8 x 2 x2 ,

=3log8x1,log2x2=3log8x2,? OC 的斜率为 k1=

2

由此可知

k1=k2,即 O、C、D 在同一直线上.? (2)解 由于 BC 平行于 x 轴,知 log2x1=log8x2,即得 log2x1= log2x2,x2=x 1,?
3 1
3

代入 x2log8x1=x1log8x2,得 x 1log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1,知 log8x1≠0,故 x 1=3x1,?又因 x1>1,解得 x1= 坐标为(
3

3

3

3

,于是点 A 的

,log8

3

).

6.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、 两点, B 分别过 A、 作 y 轴的平行线与函数 y=log2 B 的图象交于 C、D 两点.? (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上;?(2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 7.设函数 ① 求 且 的解析式,定义域;② 讨论 . 的单调性,并求 的值域.

十一、对数函数图象
1.函数 y ? log 3 ( x ? 2) 的图象是由函数 y ? lo g 3 x 的图象 2. 函数 y ? log 3 ( x ? 2) ? 3 的图象是由函数 y ? lo g 3 x 的图象 3. 函数 y ? log a ( x ? b ) ? c ( a ? 0, a ? 1 )的图象是由函数 y ? log a x 的图象 当 b ? 0, c ? 0 时向 当 b ? 0, c ? 0 时向 当 b ? 0, c ? 0 时向 当 b ? 0, c ? 0 时向 __ __ __ __ 单位得到; 单位得到; 单位得到; 单位得到。 得到。 得到。

尝试总结:平移变换 y ? f ( x ) ? y ? f ( x ? a ) ? b 的法则___________________________ ____________________________________________________________________
1.将函数 y=2x 的图象向左平移 1 个单位得到 C1,将 C1 向上平移 1 个单位得到 C2,而 C3 与 C2 关于直线 y=x 对称, 则 C3 对应的函数解析式是 2.函数的图像与对数函数 y ? lo g 3 x 的图像的关系,并画出它们的示意图,由图像写出它的单调区间: (1) y ? log 3 | x | ; (2) y ? | lo g 3 x | ; (3) y ? lo g 3 ( ? x ) ;(4) y ? ? log 3 x 1.已知 x1 是方程 x+lgx=3 的根,x2 是方程 x+10x=3 的根求函数 f (x)= log 2 | x 2
? x ? 12 | 的单调区间

2.如图,曲线是对数函数 则相应于曲线 的

的图象,已知 值依次为( ).

的取值



3.方程 lo g a x ? a ( a ? 1) 的解的个数为
x

4.已知关于 x 的方程 lg x ? 2 a lg x ? 2 ? a ? 0 的两根均大于 1, 则实数 a 的取值范 ......
2

围是 5.方程 log 2 | x |? ? x 的实根个数是
2

个.则 x1+x2=

6.已知 f(x)=1+logx3,g(x)=2logx2,比较 f(x)与 g(x)的大小 7.设 a>0 且 a≠1,求证:方程 a ? a
x ?x

-x=2a 的根不在区间[-1,1]内

8.若

,且

,则

满足的关系式是 (



9.若

是偶函数,则

的图象是

(

).

(A)关于

轴对称(B)关于

轴对称(C)关于原点对称

(D)关于直线

对称

10 方程

实数解所在的区间是 ( ). (A)
x y

(B)

(C)

(D)

11.已知 x、y 为实数,满足(log4y)2= lo g 1 x ,试求
2

的最大值及相应的 x、y 的值.

十二、附加内容(补充)
本节主要介绍以下几个问题 一、反函数的定义 ? 从 y ? f ( x )中解出 x 二、反函数的求法 ? 求原函数值域(反函数 定义域)
? ? ? x 与 y 互换,加注定义域
? 等价条件: x , y 一一对应 在反函数

三、反函数存在的条件 ?

? 在定义域内单调一定存

原函数与反函数定义域 与值域对调 ? ? ?1 ?1 四、反函数的性质 ? f [ f ( y )] ? y , f [ f ( x )] ? x ? 原函数与反函数的图象 关于直线 y ? x 对称 ? ? 原函数在定义域内单调 ,反函数与之具有相同 的单调性 ?

y ? 2

x

用 y表 示 x ??

x ? lo g 2 y

x、 y 互 换 ???

y ? lo g 2 x

x ? R , y ? ? 0, ? ? ?

y ? R , x ? ? 0, ? ? ?

y=ax 及 y=logax 互为反函数 ,反函数的定义 一般的,如果 y 是 x 的一个函数(y=f(x)),另一方面,x 也是 y 的函数(x=g(y)),将此函数称作函数 y=f(x)的反函数。一 -1 -1 般仍用 x 表示自变量,y 表示函数值,这样 y=f(x)的反函数记作 y=f (x),y=f (x)与 y=f(x)互为反函数 y=ax 与 y=logax 互为反函数 注意:f-1(x)与[f(x)]-1 不同,前者表示反函数,后者表示 f(x)的倒数 求函数 y=3x+6 的反函数 解:由已知:x=y/3-2,这样 y=3x+6 的反函数为 y=x/3-2 Y=ax 与 y=logax ({x|x>0})互为反函数(由 y=ax 中解出 x,求出原函数的值域,为反函数的定义域 二,反函数的求法步骤 1、从 y=f(x)中解出 x; 2、求出原函数的值域即为反函数的定义域; 3,x、y 互换并加注定义域即为所求 反函数存在的条件 y 是 x 的函数,要求每个 x 对应惟一一个 y; x 是 y 的函数,要求每个 y 对应惟一一个 x; 所以:反函数存 在的等价条件是该函数的 x 与 y 一一对应 y=ax 在定义域内单调,它存在反函数;一般的,定义域内单调一定有 x,y 一一对应,故:一个函数在定义域内 单调,则它一定存在反函数 思考:存在反函数,是否一定在定义域内单调?(不一定,如 y=1/x) 反函数的简单性质 1、原函数与反函数的定义域与值域对调 2、f[f-1(y)]=y,f-1[f(x)]=x (由于 x 与 y 一一对应) 3、原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称。从而,原函数在定义域内单调,反函数也单调,而且与原函数具有 相同的单调性 1.求出函数 y=log2 1 ? x (-1<x<1)的反函数
1? x
y

2 ?1 y 1? x (y∈R) 解:2 = ,x= y
1? x

2

?1

反函数为:y=

2 ?1
x

2 ?1
x

(X∈R)

x ? 25 (x≤-5)的反函数(答:f-1(x)= x ? 2 x ? 26 (x≥1) x?a ?x?5 ?1 f 3..若函数 f(x)= 的反函数为 ( x ) ? 求常数 a,b,c 的值(答:a=5,b=2,c=1) bx ? c 2x ?1
2 2

2.求函数 y=1+

4.已知 y=x2-2ax+3 在 ?1, ?? ? 上存在反函数

⑴求实数 a 的范围;⑵求 a 取得最值时相应的反函数解:⑴a≤1

⑵a=1 时,y=x2-2x+3≥2,x=

1?

y ? 2

故反函数为 f-1(x)=1+ x ? 2 (x≥2)

5.已知函数 y=-

x 的反函数是 f (x) 求 f (-1)

-1

-1

-1 6.若函数 f(x)的图象过点(1,2) ,则 f (x)的图象一定经过点_________

7.若点(1,2)既在函数 y=

a x

+b,又在其反函数的图象上,求实数 a,b 的值

8.已知 f ( x ) ? log ( a x ? 1)( a ? 0, 且 a ? 1) , (1)求其定义域; (2)解方程 f (2 x ) ? f ? 1 ( x ) a


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