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2008年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


高一数学竞赛训练试题(7)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为____________ 2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2

),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

?1 1? ?2 4?

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点_______
3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成 等差数列,每一纵列成等比数列,那么 x ? y ? z 的值为 _________ 4.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三 个内角的正弦值,那么下列命题正确的是_________ ① ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 ② ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 ③ ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 ④ ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 5. 求 10cot(arc cot3+arc cot7+arc cot13+arc cot21)的值为___________. 6. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,
2

1 0.5

2 1

x
y

z

?

?

?

?

则 A∩B=________ . 7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是_________ (结果要求写成既约 分数). 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部, OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 _____________. 9. ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A, B, C 的平分线延长后分别交此圆于点 A1 , B1 , C1 ,

1

- 7-1-



AA1 cos

C A B ? BB1 cos ? CC1 cos 1 2 2 2 的值为____________. sin A ? sin B ? sin C
a2 ? b2 = ________ . c2

10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则

二、解答题(本题满分 80 分,各小题分别为 15 分、15 分、25 分、25 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1,0 ? m ? n , 并且 x ? ?m, n?时,

?1 1 ? f ( x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?

12.

2-2x 1 1 求常数 c,使得 f(x)= arc tan +c 在区间(- , )内是奇函数. 4 4 1+4x

1

- 7-2-

13. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且
(5n ? 8)Sn ?1 ? (5n ? 2) Sn ? An ? B, n ? 1, 2,3, …, 其中 A,B 为常数.

(1)求 A 与 B 的值; (2)证明数列{an}为等差数列.(2005 年江苏卷)

1

- 7-3-

14. 能否将下列数组中的数填入 3× 3 的方格表, 每个小方格中填一个数, 使得每行、 每列、 两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明。 (1)2,4,6,8,12,18,24,36,48; (2)2,4,6,8,12,18,24,36,72.

1

- 7-4-

高一数学竞赛训练试题(7)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1. 如果实数 m,n,x,y 满足 m ? n ? a , x 2 ? y 2 ? b ,其中 a,b 为常数,那么 mx+ny
2 2

的最大值为____________ 解 由柯西不等式 (mx? ny) 2 ? (m2 ? n 2 )(x 2 ? y 2 ) ? ab ;或三角换元即可得到

mx ? ny ? ab ,当 m ? n ?

a b ,x? y? 时, mx? ny ? ab . 2 2
?1 1? ?2 4?

2. 设 y ? f ( x) 为指数函数 y ? a x . 在 P(1,1),Q(1,2),M(2,3), N ? , ? 四点中,函数

y ? f ( x) 与其反函数 y ? f ?1 ( x) 的图像的公共点只可能是点_______
1 ? 1 ?4 1 ? 1 ?2 1 解取 a ? ,把坐标代入检验,? ? ? ? ,而 ? ? ? ,∴公共点只可能是 N. 16 2 4 ? 16 ? ? 16 ?
3. 在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成 等差数列,每一纵列成等比数列,那么 x ? y ? z 的值为 _________ 解 第一、二行后两个数分别为 2.5,3 与 1.25,1.5;第三、 1 0.5 2 1
1
1

x
y

z

四、五列中的 x ? 0.5 , y ?

5 3 ,z ? ,则 x ? y ? z ? 1 . 16 16

4.如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别是 ?A2 B2 C2 的三个内角的正弦值, 那么 下列命题正确的是_________ ① ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是锐角三角形 ② ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2 C2 是钝角三角形 ③ ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2 C2 是锐角三角形 ④ ?A1 B1C1 与 ?A2 B2 C2 都是钝角三角形 解 两个三角形的内角不能有直角;?A1 B1C1 的内角余弦都大于零, 所以是锐角三角形;

若 ?A2 B2 C2 是锐角三角形,则不妨设
1 - 7-5-

cos A1 =sin A2 =cos ?

?? ? ?? ? ? A2 ? , cos B1 =sin B2 =cos ? ? B2 ? , ?2 ? ?2 ? ?? ? ? C2 ? . ?2 ?

cos C1 =sin C 2 =cos ? 则 A1 ? 即

?
2

? A2 , B1 ?

?
2

? B2 , C1 ?

?
2

? C2 ,

A1 ? B1 ? C1 ?

3? ? ( A2 ? B2 ? C 2 ) ,矛盾. 选② 2
?

5. 求 10cot(arc cot3+arc cot7+arc cot13+arc cot21)的值为___________. 解:设 arccot3=?,arccot7=?,arccot13=?,arccot21=?,则 0<?<?<?<?< . 4 1 1 1 1 ∴ tan?= ,tan?= ,tan?= ,tan?= , 3 7 13 21 1 1 + 3 7 tan?+tan? 10 1 ∴ tan(?+?)= = = = . 1 1 20 2 1-tan?tan? 1- ? 3 7 1 1 + 13 21 tan?+tan? 1 tan(?+?)= = = . 1 1 8 1-tan?tan? 1- ? 13 21 1 1 + 2 8 2 tan(?+?+?+?)= = . 1 1 3 1- ? 2 8 3 ∴ 10cot(arc cot3+arc cot7+arc cot13+arc cot21)=10? =15. 2 6. 设集合 A ? x x ? ?x? ? 2 和B ? x x ? 2 ,其中符号 ?x ? 表示不大于 x 的最大整数,
2

?

?

?

?

则 A ? B ? ? 1, 3 . 解 ∵ x ? 2 , ?x ? 的值可取 ? 2,?1,0,1 . 当[x]= ? 2 ,则 x ? 0 无解;
2

?

?

当[x]= ? 1 ,则 x ? 1 ,∴x= ? 1 ;
2

当[x]=0,则 x ? 2 无解;
2

当[x]=1,则 x ? 3 ,∴ x ?
2

3.

1

- 7-6-

所以 x ? ?1或 3 . 7. 同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 P ? 分数).

91 (结果要求写成既约 216

91 ?5? 解 考虑对立事件, P ? 1 ? ? ? ? . 216 ?6?

3

OA ? 2OB ? 2OC ? 0 . ?ABC与?OCB 的面积之比为 5: 8. 已知点 O 在 ?ABC 内部,
1. 解 由图, ?ABC 与 ?OCB 的底边相同,
A O B C

高是 5:1. 故面积比是 5:1. 9. ?ABC 内接于单位圆,三个内角 A, B, C 的平分线延 长 后 分 别 交 此 圆 于 点

A1 , B1 , C1 , 则

A AA1 c o s ? BB 2 s i An ?

1

B c? CC o s 2 Bs ? i n C

1

C1

s i n

2 的值为 ____________.

c o s

分析 用正弦定理化边为角转化为三角式处理. 解 如图连接 BA1 ,则 AA1 ? 2sin( B ?

A B ?C ) ? 2 cos , 2 2

A C1

B1

故 AA1 cos

A B ?C A ? 2 cos cos ? sin C ? sin B , 2 2 2 B C ? sin A ? sin C , CC1 cos ? sin A ? sin B , 2 2
B A1 C

同理 BB1 cos

代入原式得

AA1 cos

C A B ? BB1 cos ? CC1 cos 1 2 2 2 sin A ? sin B ? sin C

1

- 7-7-

?

2(sin A ? sin B ? sin C ) ?2. sin A ? sin B ? sin C

a2 ? b2 10. 在 ?ABC 中,若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB,则 =3. c2
解 切割化弦,已知等式即

sin A sin B sin A sin C sin B sin C ? ? , cos A cos B cos A cos C cos B cos C

亦即

sin A sin B cos C ab cos C sin A sin B sin( A ? B) ? ? 1. ,即 =1,即 2 sin C cos C sin C c2

a2 ? b2 ? c2 a2 ? b2 ? 1 ? 3. 所以, ,故 2c 2 c2
二、解答题(本题满分 80 分,各小题分别为 15 分、15 分、25 分、25 分) 11. 已知函数 f ( x) ? ?2 x 2 ? bx ? c 在 x ? 1 时有最大值 1,0 ? m ? n , 并且 x ? ?m, n?时,

?1 1 ? f ( x) 的取值范围为 ? , ? . 试求 m,n 的值. ?n m?
解 由题 f ( x) ? ?2( x ?1) ? 1 ,
2

……5 分

? f ( x) ? 1 ,?

1 ? 1 ,即 m ? 1 ,? f ( x)在?m, n? 上单调减, m
1 1 2 且 f (n) ? ?2( n ? 1) ? 1 ? . m n 1 的两个解,方程即 x
……10 分

? f (m) ? ?2(m ? 1) 2 ? 1 ?

?m ,n 是方程 f ( x) ? ?2( x ? 1) 2 ? 1 ?

( x ?1)(2 x 2 ? 2 x ?1) =0,
解方程,得解为 1,

1? 3 1? 3 , . 2 2 1? 3 . 2
……15 分

?1 ? m ? n ,? m ? 1 , n ?
12.

2-2x 1 1 求常数 c,使得 f(x)= arc tan +c 在区间(- , )内是奇函数. 4 4 1+4x

1

- 7-8-

1 1 解:若 f(x) 是(- , )内的奇函数,则必要条件是 f(0)=0,即 c=-arctan2. 4 4 2-2x -2 1+4x 2-2x 2-2x-2-8x 当 c=-arctan2 时,tan(arcta -arctan2)= = =-2x. 1+4x 2-2x 1+4x+4-4x 1+ · 2 1+4x 1 1 即 f(x)=arctan(-2x);f(-x)=arctan(-(-2x))=arctan2x=-f(x).故 f(x)是(- , )内 4 4 的奇函数. 13. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,a2=6,a3=11,且

(5n ? 8)Sn ?1 ? (5n ? 2)Sn ? An ? B, n ? 1, 2,3, …, 其中 A,B 为常数.
(1)求 A 与 B 的值; (2)证明数列{an}为等差数列.(2005 年江苏卷) 分析本题是一道数列综合运用题,第一问由 a1、a2、a3 求出 S1、S2、S3 代入关系式,即求 出 A、B;第二问利用 an ? S n ? S n?1 (n ? 1) 公式,推导得证数列{an}为等差数列. 解 (1)由已知,得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18. 由(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=An+B 知

?? 3S 2 ? 7 S1 ? A ? B, ? A ? B ? ?28. 即? ? ?2S 3 ? 12S 2 ? 2 A ? B, ?2 A ? B ? ?48.
解得 A=-20, B=-8. (2)方法 1 由(1)得, (5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8, ① 所以 (5n-3)Sn+2-(5n+7)Sn+1=-20n-28, ② ②-①,得, (5n-3)Sn+2-(10n-1)Sn+ 1+(5n+2)Sn=-20, ③ 所以 (5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)Sn+1=-20.④ ④-③,得 (5n+2)Sn+3-(15n+6)Sn+2+(15n+6)Sn+1-(5n+2)Sn=0. 因为 an+1=Sn+1-Sn 所以 (5n+2)an+3-(10n+4)an+2+(5n+2)an+1=0. 又因为 (5n+2) ? 0 , 所以 an+3-2an+2+an+1=0, 即 an+3-an+2=an+2-an+1, n ? 1 . 又 a3-a2=a2-a1=5, 所以数列 {an } 为等差数列. 方法 2. 由已知,S1=a1=1, 又(5n-8)Sn+1-(5n+2)Sn=-20n-8,且 5n-8 ? 0 ,
1 - 7-9-

所以数列 {S n }是惟一确定的 , 因而数列 {an } 是惟一确定的.

n(5n ? 3) , 2 (n ? 1)( 5n ? 2) n(5n ? 3) ? (5n ? 2) ? ?20 n ? 8, 于是 (5n-8)Tn+1-(5n+2)Tn=(5n-8) 2 2
设 bn=5n-4,则数列 {bn } 为等差数列,前 n 项和 Tn= 由惟一性得 bn=an,即数列 {an } 为等差数列. 说明 本题主要考查了等差数列的有关知识,考查了分析推理、理性思维能力及相关 运算能力等. 14. 能否将下列数组中的数填入 3× 3 的方格表, 每个小方格中填一个数, 使得每行、 每列、 两条对角线上的 3 个数的乘积都相等?若能,请给出一种填法;若不能,请给予证明。 (1)2,4,6,8,12,18,24,36,48; 解(1)不能. 因为若每行的积都相等,则 9 个数的积是立方数. 但是 2× 4× 6× 8× 12× 18× 24× 36× 48=21+2+1+3+2+1+3+2+4× 3 (2)可以. 表中每行、每列及对角线的积都是 26·23. 36 8 6 2 12 72 24 18 4
1?1? 2?1? 2?1

(2)2,4,6,8,12,18,24,36,72. ……5 分

=219· 38 不是立方数,故不能. ……15 分 ……20 分

1

- 7-10-


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