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第10课时::1.2.2组合(四)


组合与组合数
(一)组合数的公式及其性质:

n! C ? m!(n ? m)!
m n
m A n(n ? 1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) m n Cn ? n ? Am m!

C 组合数性质1:

m n

?C
m

n? m n

2: C n ?1 ? C n ? C n

m

m ?1

特别地:C

0 n

? C ?1
n n

练习一 组合数性质1:

m n? m Cn ? Cn

2: C n ?1 ? C n ? C n

m

m

m ?1

4 (1) 10

0 C ? C A ? __________
3 7 3 3
x 10

C (2 )

?C

3 x ?2 10

或3 , 则x ? 1, ________

97 98 99 C ? C ? C 5050 99 100 ? _______ (3) 99

(5)求

C ? C ? ?C
1 9 2 的值 9

9 9

511

例题解读: 例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本;

解:(1)根据分步计数原理得到:

C C C ? 90种
2 6 2 4 2 2

例題解读:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种 不同的选法: (2)分为三份,每份2本;
2 2 2 解析:(2)分给甲、乙、丙三人,每人两本有C6 C4 C2 种

方法,这个过程可以分两步完成:第一步分为三份,每

份两本,设有x种方法;第二步再将这三份分给甲、乙、
丙三名同学有 A
2 6 2 4 2 2

3 所以. 3 种方法.根据分步计数原理 2 2 2
3 3

可得: C C C ? xA

C6 C 4 C 2 x? ? 15 所以. 3 A3

因此,分为三份,每份两本一共有15种方法

点评: 本题是分组中的“均匀分组”问题.
一般地:将mn个元素均匀分成n组(每组m个元 素),共有 m m m

Cmn ? Cmn?m ???? Cm n An

种方法

例题解读:

例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本, 一人3本; 解:(3)这是“不均匀分组”问题,一共有

C C C ? 60
1 2 3 种方法. 6 5 3

(4)在(3)的基础上再进行全排列,所以一共有

C 种方法. C C A ? 360
1 6 2 5 3 3 3 3

例题解读:
例1.6本不同的书,按下列要求各有多少种不同 的选法: (5)分给甲、乙、丙三人,每人至少1本 解:(5)可以分为三类情况: ①“2、2、2型” 的分配情况,有C C C ? 90 种方法; 1 2 3 3 C ②“1、2、3型” 的分配情况,有 6C5 C3 A3 ? 360 种方法; 4 3 ③“1、1、4型”,有 C6 A3 ? 90 种方法,
2 6 2 4 2 2

所以,一共有90+360+90=540种方法.

例题解读 例2.(1)四个不同的小球放入四个不同的盒中,一共 有多少种不同的放法? (2)四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种?
解:(1)根据分步计数原理:一共有

4 ? 种方法; 256
4

(2)(捆绑法)第一步:从四个不同的小球中任取两个

2种方法;第二步:从 4 3 四个不同的盒中任取三个将球放入有 种方法,所以, 4 2 3
“捆绑”在一起看成一个元素有

C

一共有

=144 种方法 C4 A4

A

课堂练习: 1.5个人分4张同样的足球票,每人至多分一张,而且 4 票必须分完,那么不同的分法种数是 C5 ? 5.
2.某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动,其中 有2位同学要么都请,要么都不请,共有 98 种邀请方法. 3.一个集合有5个元素,则该集合的非空真子集共有 30 个. 4.平面内有两组平行线,一组有m条,另一组有n条,这 2 2 两组平行线相交,可以构成 个平行四边形 . CmCn

课堂练习:
5.高二某班第一小组共有12位同学,现在要调换座位, 使其中有3个人都不坐自己原来的座位,其他9人的座位 3 不变,共有 C12 ? 2 ? 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生,5名女生: (1)从中选派5名学生参加一次活动,要求必须有2名男 生,3名女生,且女生甲必须在内,有 36 种选派方法; (2)从中选派5名学生参加一次活动, 要求有女生但人 45 种选派方法; 数必须少于男生,有____ 280 种不同分法. (3)分成三组,每组3人,有_______

课堂小结
1.按元素的性质进行分类、按事件发生的连续过程 分步,是处理组合应用题的基本思想方法; 2.对于有限制条件的问题,要优先安排特殊元素、 特殊位置; 3.对于含“至多”、“至少”的问题,宜用排除 法或分类解决; 4.按指定的一种顺序排列的问题,实质是组合问 题.


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