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2.2.1向量加法运算


2.2平面向量的线性运算
2.2.1向量加法运算及其几何意义

向量加法运算及其几何意义

复习回顾:
1、向量:
既有大小又有方向的量叫做向量

2、平行向量: 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量 3、相等向量: 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量

节引言:
数能进行运算,因为有了运算而使数的威力无穷。 与数的运算类比,向量是否也能进行运算呢?人们从 向量的物理背景和数的运算中得到启发,引进了向量 的运算。 下面我们学习向量的线性运算。

向量加法运算及其几何意义

日常生活中遇到的向量加法问题:
例如:某对象从A点走到B点. 然后从B点走到C点. 思考:这个人所走过的位移是多少?
C

分析 :由物理知识可以知道: 从A点到B点然后到C点的 合位移,就是从A点到C点 的位移.

A

B

AB

+

BC

=

AC

向量加法运算及其几何意义

探究:橡皮条在力F1与F2的作用下,从E点伸长到了O点. 同时橡皮条在力F的作用下也从E点伸长到了O点.
E
O

E
O

F

F1+F2=F

力F对橡皮条产生的效果,与力F1和F2共同作用 产生的效果相同,物理学中把力F叫做F1和F2的合力.

向量加法运算及其几何意义

思考:合力F与力F1、F2有怎样的关系?
E
O

E
O

F

四边形的对角线上,并且大小等于平 行四边形对角线的长.

力F在以F1、F2为邻边的平行

向量加法运算及其几何意义

? 向量加法的定义:我们把求两个向量

? ? ? ? 和的运算,叫做向量的加法, a ? b 叫做 a , b
的和. 两个向量的和仍然是一个向量.

? ? a, b

向量加法运算及其几何意义

向量加法的三角形法则
已知非零向量a与b.如何求a+ b.
a b

首尾相接,首尾连 a+b=AB+BC=AC

C

B A

位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型

向量加法运算及其几何意义

向量加法的平行四边形法则
a b

起点相同,连对角 力的合成可以看作向量加 法平行四边形法则的物理模型

C B

? 对于零向量与任一向量a, 我们规定 ? ? ? ? ? A a?0 ? 0?a ? a

O

向量加法运算及其几何意义

例题讲解:

? ? ? ? 例1.如图,已知向量 a, b ,求作向量 a ? b 。
??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? 则 作法1:在平面内任取一点O, 作 OA ? a ,AB ? b , OB ? a ? b ? ? ??? ? ? ??? OB ? b , 作 OA ? a , 以OA、OB为 作法2:在平面内任取一点O,

邻边作

??? ? ??? ? ??? ? ? ? 连结OC,则 OC ? OA ? OB ? a ? b. OACB ,

b a



? a
a?b

A

? b
B


b
B

a
a?b

A C

向量加法运算及其几何意义

思考:

如图,当在数轴上表示两个共线向量时, 它们的加法与数的加法有什么关系?

? a
b
A
( 1) B

? a
b
( 2)

? ? a?b

C

C ?

A ? a?b

B

?? ? ? ? ? 若a, b方向相同,则 | a ? b |?| a | ? | b | ?? ? ? ? ? ? ? 若a, b方向相反,则 | a ? b |?| a | ? | b(或 | | b | ? | a |)

向量加法运算及其几何意义

? ? ? ? 当向量 a?、 b 不共线时,和向量的长度 | a ? b | 与向量 ? ? ? ? a?、 b 的长度和 | a | ? | b |之间的大小关系如何?
? ? a?b

? b

三角形的两边之和大于第三边
? ? ? ? ? ? 当向量a?、不共线时有 ?b | a ? b |?| a | ? | b |
综合以上探究我们可得结论:

? a?

? ? ? ? | a ? b |?| a | ? | b |

向量加法运算及其几何意义

课堂练习:
一、用三角形法则求向量的和
(2)

b

a?b b
a

(4)

a?b

a

b b

二、用平行四边形法则求向量的和
(1) (2)

b

a?b b a

b a

a?b

a

向量加法运算及其几何意义

探究:
数的加法满足交换律与结合律,即对任意 a,b∈R, 有a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c)

?? 任意向量 a、 b 的加法是否也满足交换律与结合律?

? b
A

D

? a
? a

B

因为 AC = AB + BC = a + b ???? ? ???? ???? ? ? ? C AC = AD + DC = b ? a. ? b r r ? ? 所以 a + b = b ? a.

向量加法运算及其几何意义

? ? ? ? (a ? ) b ? c ? ?c ? ? ? b ?c (b ? c ) a? ? ? C a ?b ? b ? A B a

D

? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? (b ? c).
向量的加法满足 交换律和结合律.

? ? ? ? a+ b = b+ a ? ? ? ? ? ? (a + b) + c = a + (b + c )

向量加法运算及其几何意义

学以致用:
?

例2.长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡

进行运输.一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的
速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为 向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行 的速度(保留两个有效数字);

(2)求船实际航行的速度的大小和方向(用与江水
速度间的夹角表示,精确到度).

向量加法运算及其几何意义

分析:

向量加法在实际生活中的应用,本例应解 决的问题是向量模的大小及向量的方向
C

解: 如图,设 AB表示水流的
速度, 表示渡船的速度, AD AC表示渡船实际过 江的速度.(由平行四边形 法则可以得到) 由AB ? AD得Rt ?ABC , ???? 得 AC ? 22 ? 52 ? 29 ≈5.4 D 5

A

2

B

5 tan ?CAB ? , 查计算器可得?CAB ? 68?. 2 答:船实际航行速度的大小约为5.4km/h,方向与水的流 速间的夹角约为680

向量加法运算及其几何意义

变式:
?

在静水中船速为20m/min,水流速度为10m/min,

若船从岸边出发,垂直于水流航线到达对岸的,问
方向与水的流速间的夹角为120 船行进的方向是___________________________. D C
o

A

B

AD 向量 AB 表示静水流速, 表示船行进方向,AC 表示 船实际行走路线,垂直于水 流方向,所以∠DAC即为所 求

向量加法运算及其几何意义

课堂练习:
(1)根据图示填空:
E D

C A

B

??? ? ??? ? ???? AC AB ? BC ? _____ ? ??? ? ??? ? ??? BC ? CD ? _____ BD ??? ? ??? ? ??? ? ???? AD AB ? BC ? CD ? _____ ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? AE AB ? BC ? CD ? DE ? _____

r r r r 14 (2)已知| a |? 8, | b |? 6, 则 | a ? b | 的最大值是_____

向量加法运算及其几何意义

归纳小结:
知识方面: 1、一个概念: 向量的加法 2、两个法则: 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 3、两条运算律: 向量加法的交换律 a +b = b+ a
? ? +a = a 结合律 a +0= 0
数学思想方法方面: 1、具体与抽象的数学思维方法, 2、类比的思想方法

? ? (a + b ) + c= a +( b+ c )

作业: 课本91页习题2.2A组2、3、4.(1)(2)(3)

向量加法运算及其几何意义

谢谢指导 再见


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