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2012厦门市高一上数学质检


厦门市 2011~2012 学年(上)高一质量检测 数学试题
A 卷(共 100 分)
一、选择题 1.设 M ? {3, a}, N ? {1, 2} , M ? N ? 1, M ? N 为( A. {1,3, a} 2.函数 f ( x) ? A. (1, ??) B. {1, 2,3, a} C. {1, 2,3} )

D. (1

,3) )

a ?1 b?2 a ? a ?b
PRTNT END

x ? 1 ? ln(4 ? x) 的定义域是(
B. [1, 4) C. (1, 4]

D. (4, ??)

a

3.运用如右图所示的程序,输出的结果是( ) A. ?1 B. 1 C. 2 D. 3 4.某校选修乒乓球课程的学生中,高一年级有 40 名,高二年级有 50 名,现用分层抽样的 方法在这 90 名学生中抽取一个样本,已知在高一年级的学生中抽取了 8 名,则在高二年 级的学生中应抽取的人数为( ) A. 18 B. 12 C. 10 D. 8 5.若方程 f ( x) ? 2 ? 0 在 (??, 0) 内有解,则 y ? f ( x) 的图像可能是( )

A. B. C. D. 6.如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为 11,则判断框内可以为( ) A. i ? 6 B. i ? 5 C. i ? 4 D. i ? 3 7.我市对上下班交通情况作抽样调查,现上下班时间段各抽取 12 辆机动车 了解驾驶时速(单位:km/h)并作出茎叶图(如下图) ,则上下班时间行驶 时速的中位数分别为( ) A.28 与 28.5 B.29 与 28.5 C.28 与 27.5 D.29 与 27.5 上班时间 下班时间 8 8 7 6 1 0 6 5 3 2 0 0 1 2 3 4 6 7 9 2 5 7 8 0 0 2 6 7

开 始 i=1 S=1 i=i+1 S=S+i 是 否 输出 S 结束

8.从 {1, 2,3} 中随机选取一个数为 a ,从 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 中随机选取一个数为 b ,则使

log 2 a b ? 1的概率为(
A.

) C.

1 2
2 2.2

B.

1 5
3 3.8

1 6
4 5.5

D.

1 12
6 7.0

9.假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y (万元) ,有如下的统计资料:

x y

5 6.5

? 由资料可知 y 对 x 呈线性相关关系,且线性回归方程为 y ? bx ? a ,其中已知 b ? 1.23 ,
请估计使用年限为 20 年时,维修费用约为( A.22.45 B.23.52 C.24.68 ) D.26.75

? ( y ? bx ? a 的系数公式: b ?

? ( xi ? x )( yi ? y )
i ?1

n

? (x ? x )
i ?1 i

n

?

? x y ? nxy
i ?1 n i i

n

2

?x
i ?1

, a ? y ? bx )

2

i

? nx

2

x 10.函数 f ( x) 满足对于任意实数 x , 都有 f (? x) ? f ( x) , 且当 x1 , x2 ? [0, ??) , 1 ? x2 时,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 都成立,则下列结论正确的是( x1 ? x
A. f (?2) ? f (0) ? f (1) C. f (1) ? f (0) ? f (?2)



B. f (?2) ? f (1) ? f (0) D. f (1) ? f (?2) ? f (0)

二、填空题 11.假设要抽查的某种品牌的 850 颗种子的发芽率,抽取 60 粒进行试验。利用随机数表抽 取种子时,先将 850 颗种子按 001,002,。,850 进行编号,如果从随机数表第 8 行第 。。 7 列的数从 7 开始向右读, 请你依次写出最先检测的 3 颗种子的编号 , , 。 (下面的数据摘自随机数表第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 63 01 63 78 59 33 21 12 34 29 57 24 55 06 88 16 95 55 67 19 78 64 56 07 82 77 04 74 47 67 98 10 50 71 75 52 42 07 44 38 21 76 33 50 25 12 86 73 58 07 15 51 00 13 42 83 92 12 06 76 44 39 52 38 79 99 66 02 79 54 开 始 输 入

?3x ( x ? 0) ? 12.已知函数 f ( x ) ? ? 1 ,那么 f (log3 4) 的值为 3 ? ? x ( x ? 0) ?

a, b
a ? b?
是 输出 输出 否

a ?b
结束

b?a

13.读框图(如右图) ,输入 a ? 2 , b ? 3 ,则输出的是 14.定义在 (0, ??) 上的函数 f ( x) ,测得 f ( x) 的一组函数值如下表: X 1 1.00
2

2 1.54
x

3 1.93

4 2.21

5 2.43

6 2.63

f ( x)

在 y ? x , y ? x , y ? 2 ? 1 , y ? ln x ? 1中选择一个函数来描述,则吻合度较好的 函数应该是 三、解答题 15. (本题满分 10 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 | x |
2

(1)判断并证明函数 f ( x) 的奇偶性; (2)判断函数 f ( x) 在 (1, ??) 上的单调性,并解不等式 f (| a | ? ) ? 0

3 2

16.(本题满分 12 分) 2012 年元旦, 某商场举行抽奖活动, 抽奖箱中装有编号为 0,1,2,3,4,5 六个大小相同的小球,规则如下:从中同时抽出 2 个,当 2 个小球号码之和为 9 时,记 “中”一等奖,和为 8 或 7 时,记“中”二等奖,和为 6 或 5 或 4 时,记“中”三等奖, 其他情况不中奖 (1)求中三等奖概率; (2)求不中奖概率。

17. 本题满分 12 分) ( 已知函数 f ( x) ? a

2x

? 2a x ?1 ? 2(a ? 0, a ? 1) 的定义域为 x ?[?1, ??)

(1) 若 a ? 2 ,求 y ? f ( x) 的最小值; (2) 当 0 ? a ? 1时,若至少存在 x0 ? [?2, ?1] 使得 f ( x0 ) ? 3 成立,求 a 的取值范围。

B 卷(共 50 分) 四、填空题 18.已知 U ? { y | y ? log 2 x, x ? 1} , P ? { y | y ?

1 , x ? 2} ,则 CU P ? x

19.若方程 x ? 3 ? lg x 的解为 x0 ,则不等式 x ? x0 的最小整数解是 20. 某公路汽车 5 分钟一班准时到达某车站, 则任一人在该车站等车时间少于 3 分钟的概率 是 21.对于定义域为 D 的函数 y ? f ( x) ,同时满足下列条件:① f ( x) 在 D 内单调递增或单调 递 减 ; ② 存 在 区 间 [a, b] ? D , 使 f ( x) 在 [a, b] 上 的 值 域 为 [a, b] , 那 么 把 叫闭函数。若 y ? k ? x ( k 为常数,k ? 0 ) 是闭函数,则常数 k 是 y ? f( x ( ? D ) x ) 的取值范围

五、解答题 22. (本题满分 10 分)某社区为了选拔若干名义务宣传员,从社区 300 名志愿者中随机抽取 50 名,进行有关知识测试,其成绩(均为正数)按分数段分成六组:第一组 [40,50) , 第二组 [50, 60) ,第三组 [60, 70) ??? 第六组 [90,100) ,其中第三组人数比第二组多 18 人,下图是按上述方法得到的频率直方图的一部分,规定成绩不低于 70 分的志愿者入 选为义务宣传员 (1)求第二组、第三组的频率并补充完整频率分布直方图; (2)由所抽取的志愿者的成绩分布,估计该社区有多少志愿者可入选为义务宣传员; (3)从测试成绩不少于 80 分的义务宣传员中随机抽取 2 名,到中心广场做宣传活动,求两 人不同分数段的概率。
0.0 4 频率/组 距

0.0 08 0.0 04

40 50 90 100

60

70

80

23. (本题满分 12 分)某商店销售某种商品,每件成本 90 元,以每件 100 元的价格销售时, 平均日销售量为 50 件,经过市场调研发现,如果该商品的销售价格在每件 100 元的基础上 每减少 1 元则增加销售 4 件, 而每增加 1 元则减少销售 2 件, 现设该商品的每件销售价格为 x 元( x 为整数) (1)写出该商店销售这种商品的日利润 y 元与 x 的函数关系式; (2)每件销售价格 x 为多少元时,该商店的日利润最大,并求出最大值。

24. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)求实数 a , b 的值;

x 2 ? ax ? b ( x ? 0) 是奇函数,且满足 f (1) ? f (4) x

(2)若 x ? [2, ??) , 函数 f ( x) 的图像上是否存在不同的两点, 使过这两点的直线平行于 x 轴; (3)是否存在实数 k 同时满足一下两个条件:①不等式 f ( x ) ?

k ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成 2

立,②方程 f ( x) ? k 在 x ? [?8, ?1] 上有解。若存在,求出实数 k 的取值范围,若不存 在,请说明理由。

厦门市 2011~2012 学年(上)高一质量检测 《数学参考答案》 A 卷(共 100 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. C 2. B 3. A 4. C 5.D 6. B 7.D 8. C 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 11. 785,567,199 12. 4 13. 1 14. y ? ln x ? 1

9. C

10. B

三、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分. 15.(本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)函数 f ( x) 是偶函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 函数 f ( x) 的定义域为 R,且 f ? ? x ? ? ? ? x ? ? 2 ? x ? x ? 2 x ? f ? x ? ,
2 2

所以函数 f ( x) 是偶函数.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4 分

(Ⅱ)当 x ? ?1 ? ? ? 时, f ? x ? ? x 2 ? 2 x , , 所以函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6 分
3 3 | a | ? ? 1 , f (2) ? 0 ,由 f (| a | ? ) ? f (2) ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 2 2 3 且函数 f ( x) 在 ?1, ?? ? 上是增函数,知 | a | ? ? 2 , ┄┄┄┄┄┄8 分 2 | a |? 1 1 1 ,所以 a ? 或 a ? ? . 2 2 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

1 1 3 即不等式 f (| a | ? ) ? 0 的解集是 {a | a ? 或 a ? ? } . 2 2 2

16.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)设事件 A ? ““中”三等奖“, 从抽奖箱中任取两个小球的基本事件共有 15 个:

? 0,1? , ? 0, 2 ? , ? 0,3? , ? 0, 4 ? , ? 0,5 ? , ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ?1,5 ? ,
? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 2,5? , ? 3, 4 ? , ? 3,5 ? , ? 4,5 ? ,┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分
而事件 A 包含 7 个基本事件: 所以 P ? A ? ?

? 0, 4 ? , ?0,5 ?, ?1,3 ?, ?1, 4 ?, ?1,5 ?, ?2,3 ?, ?2, 4 ?

┄┄5 分

7 . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7 分 15 (Ⅱ)设事件 B ? 不“中”奖, 7 3 1 4 则 P ? B? ? 1? ? ? ? . ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 15 15 15 15
17.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)若 a ? 2 , f ( x) ? 22 x ? 4 ? 2x ? 2 , x ? [?1, ??)

1 x 令 t ? 2 , y ? g (t ) ? t 2 ? 4t ? 2 , t ?[ , ??) , ┄┄┄┄┄┄┄┄2 分 2 易得 y ?[?2, ??) ,所以 y ? f ( x) 的最小值是 ?2 . ┄┄┄┄┄┄┄┄4 分 (Ⅱ) 当 0 ? a ? 1 时,令 t0 ? a x , x0 ? [?2, ?1] 得 t0 ?[a ?1 , a ?2 ] , 1 至少存在 t0 ?[a ?1 , a ?2 ] 使得 h(t0 ) ? t0 2 ? 2at0 ? 2 ? 3 成立,即 2a ? t0 ? 成立,┄6 分 t0 1 即 2a ? (t0 ? )min ┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 t0 1 1 1 在 t0 ?[a ?1 , a ?2 ] ,函数 t0 ? 单调递增, (t ? )min ? ? a , ┄┄┄10 分 t0 t a
0

3 1 1 ? a ,即 3a ? ,所以 a ? 3 a a 3 所以 a 的取值范围是 [ ,1) . ┄┄┄┄┄┄┄┄12 分 3 B 卷(共 50 分) 四、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 1 1 3 18. ? , ?? ? 19. 3 20. 21. ? ? k ? 0 ? ?2 5 4 ? ? 五、解答题:本大题共 3 小题,共 34 分.

所以 2a ?

22.(本题满分 10 分) 解:(Ⅰ)设第二组有 x 人,则第三组有 ( x ? 18) 人. 由题意可知, x ? x ? 18 ? (0.004 ? 0.04 ? 0.008 ? 0.004) ?10 ? 50 ? 50 , 解得 x ? 2 .
2 所以第二组的频率为 ? 0.04 , 50
0.04 频率/组距

第三组的频率为

2 ? 18 ? 0.4 . 50

补全频率分布直方图如右图所示.┄┄┄┄┄4 分 (Ⅱ)成绩不低于 70 的频率为 (0.04 ? 0.008 ? 0.004) ?10 ? 0.52 , 估计该社区可成为义务宣传员的人数为 0.52 ? 300 ? 156 .

0.008 0.004 O 40 50 60 70 80 90 100 分数

┄┄┄┄┄┄┄┄7 分

(Ⅲ)设成绩在 ?80,90 ? 的 4 人为 A 、 B 、 C 、 D ,成绩在 ?90,100 ? 的 2 人为 a 、 b . 设“所抽取的两人在不同分数段”的事件为 M ,所有的基本事件为: AB、AC、AD、Aa、Ab、BC、BD、Ba、Bb、CD、Ca、Cb、Da、Db、ab 其中事件 M 所包含的基本事件有 8 个,分别为 Aa、Ab、Ba、Bb、Ca、Cb、Da、Db , 所以 P(M ) ?
8 . 15

┄┄┄┄┄┄┄┄10 分

23.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)依题意得,每件销售价格 x 元( x ? 90 )时,每件利润为 ( x ? 90) 元, 当 90 ? x ? 100 时, y ? ( x ? 90)[50 ? 4(100 ? x)] ? ?4 x ? 810 x ? 40500 ;┄┄┄┄
2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3 分

当 x ? 100 时,日销售量为 50 ? 2( x ? 100) ? (250 ? 2 x) 件, 显然 250 ? 2 x ? 0 ,即 x ? 125 . 故当 100 ? x ? 125 时, y ? ( x ? 90)(250 ? 2 x) ? ?2 x ? 430 x ? 22500 .
2

? ?4 x 2 ? 810 x ? 40500, ∴y?? 2 ? ?2 x ? 430 x ? 22500,
2

90 ? x ? 100, x ? Z 100 ? x ? 125, x ? Z

,┄┄┄┄┄6 分

(Ⅱ)若 90 ? x ? 100 , y ? ?4 x ? 810 x ? 40500 ,对称轴为 x ? ?

1 ? 101 , 2 ? ( ?4) 4

810

y ? ?4 x 2 ? 810 x ? 40500 在 ? 90,100? 上递增,故当 x ? 100 时, ymax ? 500 ;┄┄┄┄
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 若 100 ? x ? 125 , y ? ?2 x ? 430 x ? 22500 ,
2

对称轴为 x ? ?

1 ? 107 ? (100,125) , 2 ? (?2) 2
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11 分

430

当 x ? 107或108 时, ymax ? 612 ? 500 . 因此,当 x ? 107或108 时, ymax ? 612 .

答:当每件销售价格为 107 或 108 元时,该商店日利润最大为 612 元.┄┄12 分 24.(本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由 f (1) ? f (4) 得 1 ? a ? b ? 由 f ( x) ? 即

16 ? 4a ? b 4

,解得 b ? 4 . ┄┄┄┄2 分

x 2 ? ax ? b x ?

( x ? 0) 为奇函数,得 f ( x) ? f (? x) ? 0 对 x ? 0 恒成立, ? 2a ? 0 ,所以 a ? 0 . ┄┄┄┄┄┄┄4 分

x 2 ? ax ? b x

x 2 ? ax ? b ?x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ?

4 x

.

任取 x1 , x2 ? [2, ??) ,且 x1 ? x2 ,

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ?

4 x1

) ? ( x2 ?

4 x2

) ? ( x1 ? x2 )

x1 x2 ? 4 x1 x2

,┄┄┄┄┄6 分

∵ 2 ? x1 ? x2 ,∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 0 , x1 x2 ? 4 ? 0 , ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0, f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 所以,函数 f ( x) 在区间 [2, ??) 单调递增.

所以在区间 [2, ??) 任取 x1 ? x2 则必有 y1 ? y2 故函数 f ( x) 的图象在区间 [2, ??) 不存在 不同的两点使过两点的直线平行于 x 轴. ┄┄┄┄┄┄┄┄8 分 (Ⅲ)对于条件①:由(Ⅱ)可知函数 f ( x) 在 x ? (0, ??) 上有最小值 f (2) ? 4 . 故若 f ( x) ? , 2 2 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9 分 ? k ? ?8 . 对于条件②:由(Ⅱ)可知函数 f ( x) 在 (??, ?2) 单调递增,在 [?2, 0) 单调递减,

k

2

? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,则需 f ( x) min ? ?

k

,则 4 ? ?

k

∴函数 f ( x) 在 ? ?8, ?2 ? 单调递增, ? ?2, ?1? 单调递减, f ? ?8 ? ? ? 在 又

17 2

,f ? ?2 ? ? ?4 ,

f ? ?1? ? ?5 ,所以函数 f ( x) 在 ? ?8 , ?1? 上的值域为 ? ?
若方程 f ? x ? ? k 在 ? ?8 , ?1? 有解,则需 ?

? 17 ? , ?4 ? , ? 2 ?

17 2

? k ? ?4 .┄┄┄┄┄┄11 分

? ?8 ? k ? 若同时满足条件①②,则需 ? 17 ,所以 ?8 ? k ? ?4 . ? ? 2 ? k ? ?4 ?
答:当 ?8 ? k ? ?4 时,条件①②同时满足. ┄┄┄┄┄┄┄┄12 分


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