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高二上学期期末复习(二)理科数学试题


高二数学上学期期末检测(二)
一、选择题(本大题 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求) 1. 若 a、b、c ? R ,且 a ? b ,则下列不等式一定成立的是 ( ) A. ac ? bc
2

B.

c2 ?0 a?b

C. (a ? b)c ? 0
2

D.

1 1 ? a b

2.不等式 ? x ? 5x ? 6 ? 0 的解集为( A.{x | x ? 6或x ? ?1}

) C.{x | ?6 ? x ? 1} D.{x | x ? ?6或x ? 1} )

B. {x | ?1 ? x ? 6}

3. a ? 0, b ? 0, A 是 a , b 的等差中项, G 是 a , b 的正的等比中项,则 A, G 大小关系是( A. A ? G
2

B. A ? G
2

C. A ? G

D. A, G 大小不能确定 ( )

4.双曲线方程为 x ? 2 y ? 1 ,则它的右焦点坐标为

? 2 ? A? ? 2 ,0? ? ? ?

? 5 ? B? ? 2 ,0? ? ? ?

? 6 ? C ? ? 2 ,0? ? ? ?

D

?

3, 0

?

5.命题“已知 a , b 为实数,若 a ? 个命题中,真命题的个数是 A.0 B.1 (

b ,则 a ? b ”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四
) C.2 D.4

6.已知命题 p : ?x ? R , 2 x ? 3x ;命题 q : ?x ? R , x 3 ? 1 ? x 2 ,则下列命题中为真命题的 是:( ) A. p ? q B. ?p ? q C. p ? ?q D. ? p ? ? q )

7.原点和点(1,1)在直线 x ? y ? a ? 0 两侧,则 a 的取值范围是( A. 0 ? a ? 2 B. 0 ? a ? 2 C. a ? 0或a ? 2

D. a ? 0或a ? 2 )

8.在等比数列 {an} 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? 40, a4 ? a5 ? a6 ? 20, 则前 9 项之和 S 9 等于 ( A.50 9.已知 ?ABC 满足 B.70 C.80 ) D.90

c ? 2a cos B ,则 ?ABC 的形状是(
1

A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 10.下列命题正确的是( A. 7 ? 10 ? 3 ? 14 C. y ?
2

B.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 ) B.对任意的实数 x ,都有 x ? x ? x ? 1 恒成立.
3 2

4 ? x 2 ( x ? R ) 的最小值为 2 D. y ? 2 x(2 ? x),( x ? 2) 的最大值为 2 x ?2
a b

→ → x2 y2 11.若点 P 是以 F1,F2 为焦点的椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,且PF1·PF2=0,tan∠PF1F2 1 = 则此椭圆的离心率 e= 2 A. 5 3
2 2

( 2 3 1 C. 3 1 D. 2



B.

x y 1 2 12.设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 e= ,右焦点为 F(c,0),方程 ax +bx-c=0 a b 2
的两个实根分别为 x1 和 x2,则点 P(x1,x2) A.必在圆 x +y =2 内 C.必在圆 x +y =2 外
2 2 2 2

B.必在圆 x +y =2 上 D.以上三种情形都有可能

2

2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 记等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,公比 q ? 2 , 则

S3 = a3

.

14.函数 y=x+

4 ( x>1)的最小值是 x ?1

. C

15.如图, CD 是一座铁塔,线段 AB 和塔底 D 在同一水平地 面上,在 A, B 两点测得塔顶 C 的仰角分别为 30 和 45 ,又测 得 AB ? 12m, ?ADB ? 30 则此铁塔的高度为
0
0 0

A B

D

m.

x 2 y2 ? 16.已知两点 A( –2, 0 ) , B( 0 , 2 ), 点 P 是椭圆 =1 上任意一点,则点 P 到直 16 9
线 AB 距离的最大值是 ______________.

2

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知等比数列 ?an ? 的公比为正数,且 a1 ? 2,a3 ? a2 ? 4 . (1)求 ?an ? 的通项公式; (2)设 ?bn ? 是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列 ?a n ?bn ?的前 n 项和 S n .

18.(本小题满分12分) 已知三点 P(5,2) 、F1(-6,0) 、F2(6,0) 。 (1)求以 F1、F2为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程; (2)设点 P、F1、F2关于直线 y=x 的对称点分别为 P ? 、 F1? 、 F2? ,求以 F1? 、 F2? 为焦点且过

P?

点的双曲线的标准方程。 已知关于 x 的不等式 ax ? ?a ? 1?x ? b ? 0
2

19.(本小题满分 12 分)

(1)若不等式的解集是 x 1 ? x ? 5 ,求 a ? b 的值;(2)若 a ? 0, b ? 1,求此不等式的解集.

?

?

20. (本小题满分 12 分) 实系数一元二次方程 x ? ax ? 2b ? 0 有两个根, 一个根在区间 (0,
2

1)内,另一个根在区间(1,2)内,求: (1)点 (a,b) 对应的区域的面积; (2) (3) (a ?1)2 ? (b ? 2)2 的取值范围.

b?2 的取值范围; a ?1

x2 y2 21.(本小题满分 12 分) 如图,F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点,A 是
3

椭圆 C 的顶点,B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)已知△AF1B 的面积为 40 3,求 a,b 的值.

22. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , b sin A ? ? 3a cos B . (1)确定角 B 的大小; (2)若 ?ABC 的角平分线 BD 交线段 AC 于 D ,且

BD ? 1 ,设 BC ? x, BA ? y .
(ⅰ)试确定 x 与 y 的关系式; (ⅱ)记 ?BCD 和

?ABD 的面积分别为 S1 、 S 2 ,问当 x 取何值时,

1 S1
2

+

1 S2
2

的值最小,最小值是多少?

4

高二数学上学期期末检测(二)参考答案
1-5 CCACC 6-10 BBBAC 11-12 AA

7 13. 4
17.

14. 5.

7 2 15. 12 16. 2

( 1 ) 设 数 列

?an ?

的 公 比 为 q ,

且 q ? 0 由 a1 ? 2,a3 ? a2 ? 4 得

2q 2 ? 2q ? 4,即q 2 ? q ? 2 ? 0, 又 q ? 0 , ? q ? 2
∴ ?an ? 的通项公式 an ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n. (2) S n ? ?a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ?b1 ? b2 ? ? ? bn ?

?

2 1 ? 2n n(n ? 1) ? n ?1 ? ?2 1? 2 2

?

?

? 2 n?1 ? n 2 ? 2

x2 y 2 18. ( 1 ) 由 题 意 , 可 设 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , 其 半 焦 距 a b
c ? 6 , 2a ? 6 5 ? a ? 3 5 ? b ? 3

x2 y2 ? ?1 故所求椭圆的标准方程为 45 9 ;
(2)点 P(5,2) 、 (-6,0) 、 (6,0)关于直线 y=x 的对称点分别为:

P?

(2,5) 、

F1?

(0,-6) 、

F2?

(0,6)

y2 x2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 b 设所求双曲线的标准方程为 a ,由题意知半焦距 C=6,

2a ? 4 5 ? a ? 2 5

∴?b ? 4 ,

y2 x2 ? ?1 故所求双曲线的标准方程为 20 16 。
5

19. (1)由题意知 a ? 0 ,且 1 和 5 是方程 ax2 ? ?a ? 1?x ? b ? 0 的两根,

? ?a ? 1? b , 且1 ? 5 ? , a a 1 解得 a ? , b ? 1, 5 6 ∴a ?b ? . 5 (2)若 a ? 0, b ? 1,此不等式为 ax2 ? ?a ? 1?x ? 1 ? 0 , ? ?ax ? 1??x ? 1? ? 0, 1? ? ? a? x ? ??x ? 1? ? 0 a? ?
∴1 ? 5 ? ?

1 ? 1 ? ? a ? 1时, ? 1, 此不等式解集为 ? x ? x ? 1?, a ? a ? 1 a ? 1时, ? 1, 此不等式解集为 ¢ a 1 ? 0 ? a ? 1时, ? 1, 此不等式解集为 ? x 1 ? x ? a ? 1 ? ? 1 a ? 0时, ? 1, 此不等式解集为 ? x x ? , 或x ? 1?, a a ? ?
2 20. (1)解:设 f ( x ) = x + ax + 2b ,由题意可知 f ( x ) 的图象如图所示:

1? ?, a?

y

? f (0) ? 0 ?b ? 0 ? ? 且有 ? f (1) ? 0 ? ?a ? 2b ? 1 ? 0 ? f (2) ? 0 ?a ? b ? 2 ? 0 ? ?
1 2
x

O

点(a,b)对应区域如阴影部分所示:其中 A( - 3,1),

B( - 2,0), C ( - 1,0) ,所以面积 S? ABC ?
( 2)

1 1 ? 1? 1 ? 2 2

b- 2 的几何意义是点 ( a , b ) 和点 D(1, 2) 连线的斜率 a- 1 2- 1 1 2- 0 k AD = = , kCD = =1 1+3 4 1 +1
6

由图可知 k AD < ( 3)

1 b?2 b?2 1 b- 2 < kCD ? ? ? 1 ,即 ? ( ,1) 4 a ?1 a ?1 4 a- 1

(a - 1)2 + (b - 2)2 表示区域内的点 ( a , b ) 和定点 (1, 2) 之间距离的平方

? (a ? 1)2 ? (b ? 2)2 ? (8,17)
1 21.解: (1)由题意可知,△AF1F2 为等边三角形,a=2c,所以 e= . 2 2 2 2 2 (2)( 方法一)a =4c ,b =3c . 直线 AB 的方程可为 y=- 3(x-c). 3 3 ? ?8 2 2 2 将其代入椭圆方程 3x +4y =12c ,得 B? c,- c? 5 ? ?5 ?8 ? 16 所以|AB|= 1+3·? c-0?= c ?5 ? 5 1 由 S△AF1B= |AF1|·|AB|sin∠F1AB 2 1 16 3 2 3 2 = a· c· = a =40 3, 2 5 2 5 解得 a=10,b=5 3. (方法二)设|AB|=t. 因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a 可知,|BF1|=3a-t. 2 2 2 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos60°可得, 8 t= a. 5 1 8 3 2 3 2 由 S△AF1B= a· a· = a =40 3知,a=10,b=5 3. 2 5 2 5 22. (1) b sin A ? ? 3a cos B 由正弦定理得 sin B sin A ? ? 3 sin A cos B

? 0 ? A ? ? ,?sin A ? 0,?sin B ? ? 3 cos B,? tan B ? ? 3 ,
? 0 ? B ? ? ,? B ? 2? 3

(2)ⅰ)? BD为 ?ABC的平分线

? ?ABD ? ?CBD ?

π 3

? S△ABC = S△BCD + S△ABD
7

?

2? 1 xy ? sin 3 2

=

1 π 1 π x ? sin 3 + xy ? sin 3 2 2

? xy ? x ? y
ⅱ)在 ?BCD 中 S1 =

1 3 3 ?1? x ? = x 2 2 4

? S1 =

3 2 x 16

?
16 1 ? 3 y2

1 S1
2

=

16 1 ? 3 x2

同理

1 S2
2

=

?

1 S1
2

+

1 S2
2

16 1 16 x 2 ? y 2 16 ?x ? y ? ? 2 xy 1 ? ( 2 ? 2 )= ? = = ? 3 3 3 x y ( xy) 2 ( xy) 2
2

=

16 ( xy) 2 ? 2 xy 16 = ? 3 3 ( xy) 2

? 2? ? ?1 ? xy ? ? ? ?
当且仅当 x ? y 时取等号

又? x ? 0, y ? 0

? xy ? x ? y ? 2 xy
? 1 1 ? xy 4

? xy ? 2 ? xy ? 4
1 S1
2

??

1 2 ?? 2 xy

?1 ?

1 2 ? xy 2

?

+

1 S2
2

=

16 ? 2 ? 16 1 8 1? ? ?? ? ? ? ? 3 ? xy ? ? 3 2 3
? ?A ? ?C ?
π 6 π 6

又? 当 x ? y 时, ?ABC 为等腰三角形

? 在 ?BCD 中, ?BDC ? π /2 , ?C ?
?x ? 2

, BC ? 2 BD ? 2

? 当 x =2 时,

1 S1
2

+

1 S2
2

的值最小为

8 3

8


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