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2008-2013高考全国卷2理科数学


2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页.第Ⅱ卷 3 至 10 页.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答 题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上. 3. 本卷共 12 小题, 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么
P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

球的表面积公式
S ? 4πR2

如果事件 A,B 相互独立,那么 的半径
P( A?B) ? P( A)?P( B)

其中 R 表示球

球的体积公式
V? 4 3 πR 3

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么
n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率

其中 R 表示球的

半径

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k k Pk (k ) ? Cn p (1 ? p) n?k (k ? 0, 1, 2, ?,n)

一、选择题 1.设集合 M ? {m ? Z | ?3 ? m ? 2} , N ? {n ? Z | ?1≤ n ≤ 3},则M ? N ? (
1? A. ?0, 0, 1? B. ??1, 1, 2? C. ?0, 0, 1, 2? D. ??1,



【答案】B 【解析】 M ? ?? 2,?1,0,1?, N ? ?? 1,0,1,2,3?,∴ M ? N ? ?? 1,0,1? 【高考考点】集合的运算,整数集的符号识别。 【评注】历年来高考数学第一个小题一般都是集合问题,都超简单。其 实集合问题是可以出难题的,但高考中的集合问题比较简单。需要注意 的是:很多复习书都把集合作为高考数学复习的起点,我认为这是不妥 当的,高中的集合问题涉及到的集合知识并不多(就是一种表达方式) , 其难度主要体现在知识的综合性上,学生应当先学习其他知识,再在集 合中综合。建议把“数学的基本运算”作为高考数学复习的起点,学生 花 1 个月的时间温习、强化初等数学的基本运算是必要的,重要的,也 是值得的。数学的基本运算具体包括的内容可以参考本人编写的《高考 数学复习专用教材》 2.设 a,b ? R 且 b ? 0 ,若复数 (a ? bi)3 是实数,则( A. b2 ? 3a 2 【答案】A 【解析】 (a ? bi) 3 ? a 3 ? 3a 2 bi ? 3ab2 ? b 3i ? (a 3 ? 3ab2 ) ? (3a 2 b ? b 3 )i ,因是实数且
b ? 0 ,所以 3a 2 b ? b 3 ? 0 ? b 2 ? 3a 2



B. a 2 ? 3b2

C. b2 ? 9a 2

D. a 2 ? 9b2

【高考考点】复数的基本概念、基本运算,立方和公式(基本运算) 【评注】很多学生没有学习过立方和公式,不会用立方和公式一步到位
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地 展 开 , 有人 按

(a ? bi)3 ? (a ? bi)2 (a ? bi)

进 行 展开 , 也 有 人 按

(a ? bi)3 ? (a ? bi)(a ? bi )(a ? bi ) 进行展开, 还有人用二项式定理进行展开, 这都

是可行的思路。但是,学生就此产生浮躁、急躁情绪。这才第二题,就 要如此大动干戈?!建议: (一)数学复习一定要塌实,该硬的硬,例如:对数指数运算是否 过关,是否能熟练运用杨辉三角进行二项式展开,这都是基本的硬工夫。 复习时,要把练就硬功夫放在第一位。技巧也要学,但那是第二位的东 西。 (二)数学复习不要老盯着高考,高考指定要考的当然要学习,高考 没有指明要考的,也要适当学习。这就是老师的任务啦。作为学生要听 话。 (三)要注意提高心理素质。要能憋得住。要有韧性。从这个角度讲, 本题有考察学生心理素质的意图。 3.函数 f ( x) ? A. y 轴对称 C. 坐标原点对称 【答案】C 【解析】 f ( x) ? 1 ? x 是奇函数,所以图象关于原点对称
x

1 ? x 的图像关于( x



B. 直线 y ? ?x 对称 D. 直线 y ? x 对称

【高考考点】函数奇偶性的性质、对称 【评注】对常见函数的图象、奇偶性、单调性等主要性质一定要了如指 掌,做到脱口而出。本题可以取点进行排除。取(1,0)点,而(0,1) 点无意义,有(-1,0)点,于是排除 B、D,再取 ( 1 , 3 ) ,有点 (? 1 , ? 3 ) 排
2 2

2

2

除 A,确定 C 是正确的。这样的方法也能体现出学生的基本能力,有些
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学生取点进行验证都出错,都心慌,说明平时的学习是何等的被动、漂 浮啊。 对称问题也是初等数学中的基本问题,本人编写的《高考数学复习专 用教材》列有专讲。对称也是高考数学热点、重点之一。此题并没有什 么新奇之处。和第二题相比,本题要简单点。本卷在题目难度的安排上 已经有点不按规则出牌了。 但我觉得和外国的高考试题相比,中国的高考试题更具体,抽象感 和理论感明显逊色。这道题目也暴露出我国学生抽象思维能力不足的弱 点,这道题还不算太抽象呢!
1) a ? ln x,b ? 2ln x,c ? ln 3 x ,则( 4.若 x ? (e?1,,

) D.
b <c<a

A. a < b < c 【答案】C

B. c < a < b

C.

b <a<c

【解析】取

e ?1 ? x ? e

?

1 2

1 ? ? 1 ?a ? ln x ? ln e 2 ? ? 2 ? ? ? 1 ? ?b ? 2 ln x ? ?1 ,b <a <c ? 3 ?c ? ln 3 x ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 8 ? 2? ?

1 ? ? 1 ?a ? ln x ? ln e 2 ? ? 2 ? 1 ? ?1 b ? 2 ln x ? ?1 也可以如下解: e ? x ? 1 ? ?1 ? ln x ? 0,取 ln x ? ? 2 ? ? ? 3 ?c ? ln 3 x ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 8 ? 2? ?

当然从 e 间。

?1

? x ? 1 ? ?1 ? ln x ? 0,可以严格推导出: 2 ln x ? ln x ? ln 3 x

比较费时

【高考考点】对数的基本基本运算、比较实数的大小。

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【评注】 这类问题用特值法是非常容易搞定的, 但也有人缺乏数字感觉,
1) 内合适的数,也有人取成 x ? e, x ? e 2 导致错误,这就是基础 不能取到 (e?1,
1

不牢固的表现。取值时候,应该多试,注意验证,确定取对后再运算。 否则“后”功尽弃。
? y ≥ x, ? 5.设变量 x,y 满足约束条件: ? x ? 2 y ≤ 2, ,则 z ? x ? 3 y 的最小值( ? x ≥ ?2. ?



A. ?2 【答案】D

B. ?4

C. ?6

D. ?8

【解析】如图作出可行域,知可行域的顶点是 A(-2,2) 、B( C(-2,-2), 于是 ( z A ) min ? ?8
A B C

2 2 , )及 3 3

【高考考点】简单的线性规划。大家要注意,各地高考试题中已经出现 比较复杂灵活的线性规划问题,要注意学习和领会,估计今后的线性规 划问题不会老停留在初级阶段。 【评注】这是个简单题,但也离不开运算。很烦人啊。

6.从 20 名男同学,10 名女同学中任选 3 名参加体能测试,则选到的 3
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名同学中既有男同学又有女同学的概率为( A.
9 29



B. 10

29

C. 19

29

D. 20
29

【答案】D
1 2 2 1 C 20 C10 ? C 20 C10 20 ? 【解析】 P ? 3 29 C 30

【高考考点】排列组合应用,概率基本知识,分类讨论思想。往年高考 题中的排列组合比这难。 【评注】本题可以使用正难则反的方法去做。请自己完成。 7. (1 ? A. ?4
x )6 (1 ? x ) 4 的展开式中 x 的系数是(



B. ?3

C.3

D.4

【答案】B
1 1 C 4 ? 6 ? 15 ? 24 ? ?3 【解析】 C60 C42 ? C62 C40 ? C6 1 1 C 4 项或该项的负号 【易错提醒】容易漏掉 C 6

【评注】本人的方法是写出杨辉三角分别硬展,再取舍,也很简单。如 果
( ? x
6


1 ? x
4


) ? x

再判断出 x 的系数是 1 ? (?4) ? ?3 也非常简单啊。 8. 若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M,N 两点, 则 MN 的最大值为( A.1 B.
2

) C.
3

D.2

【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 f1 ( x) ? sin x 及 g1 ( x) ? cos x 在 [0,2? ] 的图象,由 图象知,当 x ?
3? 4

,即 a ?

3? 4

时,得 y1 ?

2 2

, y2

??

2 ,∴ MN ? y1 ? y 2 ? 2 2

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【高考考点】三角函数的图象,两点间的距离 【评注】本例就是求 f ( x) ?| cos x ? sin x | 在 [0,2? ] 上的最大值,只不过在表达 上绕了个弯。考查学生的数学转化能力和数学语言理解能力。本题不难, 但有味道。文科试题也有本题,就是直接表达的。 【备考提示】函数图像问题是一个常考常新的问题。 9.设 a ? 1 ,则双曲线 A. (
2, 2)

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是( a 2 (a ? 1) 2



B. (

2,5)

C. (2, 5)

D. (2,5)

【答案】B 【解析】 e 2
c a 2 ? (a ? 1) 2 1 1 ? ( )2 ? ? 1 ? (1 ? ) 2 ,因为 是减函数,所以当 a ? 1 时 2 a a a a

0?

1 ? 1 ,所以 2 ? e 2 ? 5 ,即 2 ? e ? 5 a

【高考考点】解析几何与函数的交汇点 【评注】本题可以使用特值法进行判断,也可以使用带入法进行排除。 两者最好能结合起来。
e? c a 2 ? (a ? 1) 2 2a 2 ? 2a ? 1 2 1 1 2 ? ? ? 2 ? ? ( )2 ? ( )2 ? ? 2 2 2 a a a a a a a

再由 a ? 1 知道 0 ?

1 ? 1 ,问题转化成定区间上二次函数的最值问题,就容 a

易解决了。不是很难吧。 代入法是这样的:假设 e ? 2 ?
2a 2 ? 2a ? 1 1? 2 ?2?a ? ?1 2 a 2

,合题设。可以

排除 A、C、D 确定 B 是正确的。

10.已知正四棱锥 S ? ABCD 的侧棱长与底面边长都相等, E 是 SB 的中点,
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则 AE,SD 所成的角的余弦值为( A. 1
3

) D. 2
3

B.

2 3

C.

3 3

【答案】C 【解析】连接 AC、BD 交于 O,连接 OE,因 OE∥SD.所以∠AEO 为所 求。设侧棱长与底面边长都等于 2,则在⊿AEO 中,OE=1,AO= AE=
22 ? 1 ? 3 ,

2,

于是 cos ?AEO ?

( 3 ) 2 ? 12 ? ( 2 ) 2 2 ? 3 ?1

?

1 3

?

3 3

【评注】本题是比较简单的,属于立体几何中的常规题目,平常练习中 这类题目很常见。处理手段也很平常。

11. 等腰三角形两腰所在直线的方程分别为 x ? y ? 2 ? 0 与 x ? 7 y ? 4 ? 0 , 原点 在等腰三角形的底边上,则底边所在直线的斜率为( A.3 B.2 C. ?
1 3



D. ?

1 2

【答案】A 【解析】 l1 : x ? y ? 2 ? 0, k1 ? ?1 , l 2 : x ? 7 y ? 4 ? 0, k 2 由 题 意 ,
l3

?

1 ,设底边为 l3 : y ? kx 7



l1

所 成 的 角 等 于

l2

到 l3 所 成 的 角 于 是 有

k1 ? k k ? k2 k ? 1 7k ? 1 ? ? ? 1 ? k1 k 1 ? k 2 k k ?1 7 ? 3

再将 A、B、C、D 代入验证得正确答案是 A。 【高考考点】两直线成角的概念及公式 【备考提示】本题是由教材的一个例题改编而成。 (人教版 P49 例 7) 。 做题时应该画一个草图,可以断定 C、D 是错误的,这样代 A、B 验证

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即可。 方法二:由于有的同学对直线的到角公式不太熟悉(不能确定谁减去 谁) ,因此想使用夹角公式,也是可以的。从题意可以知道: x ? y ? 2 ? 0 与
x ? 7 y ? 4 ? 0 是等腰三角形腰所在,求的是底边作在直线的斜率,因此腰和

底边所成的角度就是腰和底边所成的夹角的大小。从而有:
1 k? k ? (?1) 7 ? k ? 1 ? 7k ? 1 ? k 1 ? (?1)k k ?1 k ?7 1? 7

结合观察出来的 k ? 0 将 k=3 代入

验算,正确,选 A。不用担心漏值。

12.已知球的半径为 2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆.若 两圆的公共弦长为 2,则两圆的圆心距等于( A.1 【答案】C 【解析】设两圆的圆心分别为 O1 、 O2 ,球心为 O ,公共弦为 AB,其中点 为 E , 则
OO1 EO2



B.

2

C.

3

D.2

为 矩 形 , 于 是 对 角 线

O1O2 ? OE

, 而

OE ? OA 2 ? AE 2 ? 2 2 ? 12 ? 3 ,∴ O1O2 ? 3

立体几何中的球体问题主要障碍就在图象,我们采取特殊的位置的方法 解决问题。取水平截面为大圆,另一圆为竖直面,再平面化如下图: B O2 =2,B O1 =1

B
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A

O1

O2

O1O2 ? 22 ? 12 ? 3 ,∴ O1O2 ? 3

【高考考点】球的有关概念,两平面垂直的性质 【评注】在解析几何和立体几何中,第 10 题、第 11 题、第 12 题均没有 给图,含有考查学生作图能力的意图。 【本人对选择题目的总看法】题目本身不是太难,但除了第 1 题、第 3 题外,都需要进行一定量的运算,可见,本年题目把考查运算能力放在 了一个十分突出的位置。有考生反映:光选择题目就做了 40 多分钟。其 实这可能还算比较快的了,有的考生在选择题上用时超过 1 个小时。

2008 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学(必修+选修Ⅱ) 第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中
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横线上. 13 . 设 向 量 a ? (1 ,, 2) b ?
??

, ( , 23 ) 若 向 量 ?a ? b

与 向 量 c ? ( ?4 共线,则 , ?7)



【答案】 2 【 解 析 】 ?a ? b = (? ? 2,2? ? 3) 则 向 量 ?a ? b 与 向 量
?
c ? ( ?4 , ?7共 )

线

? ?2 ?4 ? ?? ?2 2? ? 3 ? 7

【评注】刚刚从荆棘丛中挣扎出来的考生,怎么也不相信第 13 题会如此 简单,很多人进行了验算。考生的心理又一次受到冲击。

14. 设曲线 y ? eax 在点 (0, 则a? 1) 处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 垂直, 【答案】 2 【解析】 y' ? aeax ,∴切线的斜率 k ? y'
x ?0



1 ? a ,所以由 a ? (? ) ? ?1 得 a ? 2 2

【评注】又是这么简单,没有任何悬念。

15.已知 F 是抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A,B 两点.设 FA ? 【答案】 3 ? 2
FB

,则 FA 与 FB 的比值等于



2
?y ? x ?1 ? y ? 4x
2

【解析】设 A( x1 , y1 )B( x 2 , y 2 )由 ?
x2 ? 3 ? 2 2

? x 2 ? 6 x ? 1 ? 0 ? x1 ? 3 ? 2 2 ,

, (

x1 ? x2

) ; ∴ 由 抛 物 线 的 定 义 知

FA FB

?

x1 ? 1 4 ? 2 2 2 ? 2 ? ? ? 3 ? 2 2 这是用圆锥曲线定义做的。 也可以使用 x2 ? 1 4 ? 2 2 2 ? 2

下面的方法: 作 AA1 垂直 x 轴于 A1 ,作 BB1 垂直 x 轴于 B1 ,于是 ?AA1F、?BB1F 相似,于
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FA FB ? y1 ? y2

应该求出直线 AB 和抛物线 C:y 2 ? 4 x 的焦点(消去 x)

? 4 ? 32 ? 2?2 2 ? y1 ? ? y ? 4x ? 2 2 2 ? y ? 4( y ? 1) ? y ? 4 x ? 4 ? 0 ? ? 抛物线 ? ? y ? x ?1 ? y ? 4 ? 32 ? 2 ? 2 2 2 ? ? 2
2

FA FB

?

y1 2?2 2 ( 2 ? 1) 2 ? ? ? 3? 2 2 ? y2 ?(2 ? 2 2) 2 ?1

【高考考点】直线与抛物线的位置关系,抛物线定义的应用,一元二 次方程求根,简单的平面几何知识(看考生做哪条解题路线) 【评注】本题也不难。以往填空题目使考生望而生畏,成为丢分的重 灾区, 可是 2008 年的高考数学填空题目, 也太简单了点吧。 到目前为止, 15 道题目除第 8 题的表达稍微有点新意之外,都是老面孔。 有人认为(见《西海都市报》有关报道)本运算量大,本人不敢苟同。

16.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个,如两组对边 分别平行,类似地,写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要 条件: 充要条件① 充要条件② (写出你认为正确的两个充要条件) 【答案】两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且全等;对角线交 于一点;底面是平行四边形. ; .

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注:上面给出了四个充要条件.如果考生写出其他正确答案, 同样给分. 【评注】很多考生对直棱柱、正棱柱、正棱锥之类的概念不是很清楚, 面对本题毫无头绪。也有的考生表达能力欠缺,知道条件,但就是表达 不出来,或表达不到位。建议大家读读数学书,去欣赏欣赏数学中的语 言美,不要一提数学,就是算。 本题考查了学生类比能力。这类题目已经在上海卷中出现好几年 了。建议大家有时间的话看看上海卷,尤其是志怀高远的学生,要仔细 研究上海卷。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 △ABC 中, cos B ? ?
5 4 , cos C ? . 13 5

(Ⅰ)求 sin A 的值;
33 ,求 BC 的长. 2 5 12 解: (Ⅰ)由 cos B ? ? ,得 sin B ? , 13 13 4 3 由 cos C ? ,得 sin C ? . 5 5 33 所以 sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C ? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 65 33 1 33 (Ⅱ)由 S△ ABC ? 得 ? AB ? AC ? sin A ? , 2 2 2 33 由(Ⅰ)知 sin A ? , 65

(Ⅱ)设 △ABC 的面积 S△ ABC ?

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故 AB ? AC ? 65 , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
AB ? sin B 20 ? AB , sin C 13 故 20 AB2 ? 65 , AB ? 13 . 2 13 所以 BC ? AB ? sin A ? 11 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 sin C 2

又 AC ?



方法二:
1 33 1 33 ? ? 33 S ? ab sin c ? S ? ab sin c ? 33 ? ? ? 33sin A ? ? 2 2 2 2 65 ? 121 ?? ? a2 ? ? ? 2 sin C sin B 12 ? 3 4 ? b ? a ? ab ? a ? a 2 ? ab sin A 13 5 ? ? ? sin B sin A sin B ? sin B sin A

A
?a? 11 2

这种解法,充分利用了已 知条件,有点代数技巧的味道。

B

C

18. (本小题满分 12 分) 购买某种保险, 每个投保人每年度向保险公司交纳保费 a 元, 若投保人在 购买保险的一年度内出险,则可以获得 10 000 元的赔偿金.假定在一年 度内有 10 000 人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知 保险公司在一年度内至少支付赔偿金 10 000 元的概率为 1 ? 0.99910 .
4

(Ⅰ)求一投保人在一年度内出险的概率 p ; (Ⅱ)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为 50 000 元,为

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保证盈利的期望不小于 0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元) . 解: 各投保人是否出险互相独立, 且出险的概率都是 p , 记投保的 10 000 人中出险的人数为 ? , 则 ? ~ B(104,p) . (Ⅰ) 记 A 表示事件: 保险公司为该险种至少支付 10 000 元赔偿金, 则A 发生当且仅当 ? ? 0 , · · · · · · · · · · · 2 分 P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? P(? ? 0) ? 1 ? (1 ? p)10 又 P( A) ? 1 ? 0.99910 ,
4

4

故 p ? 0.001. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 5分 说明: (1)本题数据多,而且两个数据一样,文字又较长,给一些学 生造成阅读困难。更要命的是如果不理解“保险公司在一年度内至少支 付赔偿金 10 000 元”的真实含义就是“投保的 10000 人中至少有一人出 险”将无法解答此题。理解后,如何计算至少有一人出险的概率又是一 个难题。10000 人啊,怎么办, “正难则反” ,求一个人也不出险概率, 则用 1 减去一个人也不出险概率就是至少有一人出险的概率。 (2)数据 1 ? 0.99910 让一些考生没看明白。这只能说,某些考生的数
4

学素养也太不够了。

(Ⅱ)该险种总收入为 10 000a 元,支出是赔偿金总额与成本的和. 支出 盈利 盈利的期望为
10 000? ? 50 000 ,

? ? 10 000a ? (10 000? ? 50 000) ,
E? ? 1 0 0 0a? 0 10 ? 0 E? 00

, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 5 0· 0 0 0

10?3 ) 知, E? ? 10 000 ?10?3 , 由 ? ~ B(104, E? ? 104 a ? 104 E? ? 5 ?104

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? 104 a ? 104 ?104 ?10?3 ? 5 ?104 .
E? ≥ 0 ? 104 a ? 104 ?10 ? 5 ?104 ≥ 0

? a ? 10 ? 5 ≥ 0

. ? a ≥15 (元) 故每位投保人应交纳的最低保费为 15 元. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

说明:都说本题第(Ⅱ)难,我怎么不觉得,是很多考生没有真正弄懂 概率中的基本概念和基本运算吧!

19. (本小题满分 12 分) 如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AA1 ? 2 AB ? 4 ,点 E 在 CC1 上且 C1 E ? 3EC . (Ⅰ)证明: A1C ? 平面 BED ; (Ⅱ)求二面角 A1 ? DE ? B 的大小.
A1 D1 B1 C1

E D A B C

解法一: 依题设知 AB ? 2 , CE ? 1 . (Ⅰ)连结 AC 交 BD 于点 F ,则 BD ? AC . 由三垂线定理知, BD ? A1C . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
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在平面 A1CA 内,连结 EF 交 A1C 于点 G , 由于
AA1 AC ? ?2 2, FC CE
D1 A1 B1 C1

? ?CFE , 故 Rt△ A1 AC ∽ Rt△FCE , ?AAC 1

?CFE 与 ?FCA1 互余.

D A F

HE G B C

于是 A1C ? EF .

A1C 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,

所以 A1C ? 平面 BED . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

说明: (1) “结 EF 交 A1C 于点 G ” ,什么?大家看矩形 AA1CC1 就明白了,
A1C 和 EF 在同一个平面内,这种地方看似平常,其实很能体现基础。

(2) A1C ? BD 很好证明,连接 AC ,利用正方形对角线性质和正四棱 柱定义就可以了。
? EB 。我给大家提供一条思路:如果 AC ? EB , 关键是如何证明 AC 1 1

结合 EB ? A1B1 就会有
EB ? B1C

,将长方形

B1 BC1C

取出,结合数据证明

EB ? B1C

(可以从 E

1 2 ? tan ?EAB ? , tan ?B1CB ? 证得 ?EAB ? ?B1CB ? )当然也可以将 B1 B 平移到 2 4 2

处,计算在证明 EB ? B1C 。 (3)由于初中教学内容的修改,很多高中生应用“平行线等分线段 成比例”和相似三角形的判定法则来证明问题的能力不高。可以有两个 方案,要么回头学习“平行线等分线段成比例”和相似三角形的判定法 则,但代价大。要么寻找替代手段。我认为三角函数是个比较好的替代 手段。 (4)也有些同学几何运算能力欠佳,不会运用三角函数、面积法、
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比例法求解几何量。建议使用传统方法解决立体几何问题的学生一定要 把经典问题(如本题及其他的高考试题)多做几遍,弄懂每一个细节, 全面掌握几何运算技术(不是简单那的技巧问题) 。

(Ⅱ)作 GH ? DE ,垂足为 H ,连结 A1 H .由三垂线定理知 A1H ? DE , 故 ?A1HG 是二面角 A1 ? DE ? B 的平面角. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分
EF ? CF 2 ? CE 2 ? 3 ,

CG ?

CE ? CF 2 ? EF 3

, EG ?

CE 2 ? CG 2 ?

3 . 3

1 EF ? FD 2 EG 1 ? . ? , GH ? ? 3 DE EF 3 15

又 A1C ?

AA12 ? AC 2 ? 2 6 , A1G ? A1C ? CG ?

5 6 3



tan ?A1HG ?

A1G ?5 5. HG
5 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12
z D1 A1 B1 C1

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arctan 5 解法二:



以 D 为坐标原点,射线 DA 为 x 轴的正半轴, 建立如图所示直角坐标系 D ? xyz .
2,, 0) C (0, 2,, 0) E (0, 2,, 1) A1 (2, 0, 4) . 依题设, B(2,
x

E D A B C y

???? ??? ? DE ? (0, 2,, 1) DB ? (2, 2, 0) ,

???? ???? ? A1C ? (?2, 2, ? 4), DA1 ? (2, 0, 4) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分

(Ⅰ)因为 A1C ?DB ? 0 , A1C ?DE ? 0 , 故 A1C ? BD , A1C ? DE .

???? ??? ?

???? ????

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共 100 页

又 DB ? DE ? D , 所以 A1C ? 平面 DBE . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 (Ⅱ)设向量 n ? ( x,y,z ) 是平面 DA1E 的法向量,则
???? ? ???? n ? DE , n ? DA1 .

故 2 y ? z ? 0 , 2x ? 4z ? 0 . 令 y ? 1,则 z ? ?2 , x ? 4 , n ? (4, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分 1, ? 2) . ·
???? n, A1C

等于二面角 A1 ? DE ? B 的平面角, .
14 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 42

???? ???? n?AC 14 1 cos n, AC ? ???? ? 1 42 n AC 1

所以二面角 A1 ? DE ? B 的大小为 arccos



【评注】相对而言:向量法就简单多了,为了 12 分是值得花时间学 习向量法的,同时学习向量法,也能提高运算能力。

20. (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .已知 a1 ? a , an?1 ? Sn ? 3n , n ? N* . (Ⅰ)设 bn ? Sn ? 3n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)若 an?1 ≥ an , n ? N* ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)依题意, Sn?1 ? Sn ? an?1 ? Sn ? 3n ,即 Sn?1 ? 2Sn ? 3n , 由此得 Sn?1 ? 3n?1 ? 2(Sn ? 3n ) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 因此,所求通项公式为
bn ? Sn ? 3n ? (a ? 3)2n ?1 , n ? N* .① · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分

说明:第(Ⅰ)问考的是数列的通项公式,而且 bn ? Sn ? 3n 就已经暗示了

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共 100 页

解题方法:应该运用 a n

(n ? 1) ?s1 ?? 消去 an ,再凑出 Sn ? 3n 即可。请仔 s ? s ( n ? 2 ) n ?1 ? n

细研究本题为什么没有进行讨论,细节在何处,有什么启发?

(Ⅱ)由①知 Sn ? 3n ? (a ? 3)2n?1 , n ? N* , 于是,当 n ≥ 2 时,
an ? Sn ? Sn?1 ? 3n ? (a ? 3) ? 2n?1 ? 3n?1 ? (a ? 3) ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 ,
an ?1 ? an ? 4 ? 3n ?1 ? (a ? 3)2n ?2
? ? 3 ?n ?2 ? ? 2n ? 2 ?12? ? ? ? a ? 3? , ? ? ? ?2? ?

当 n ≥ 2 时,
?3? an ?1 ≥ an ? 12? ? ? ?2?
n?2

? a ? 3≥ 0

? a ≥ ?9 .

又 a2 ? a1 ? 3 ? a1 .
? ?? . · 综上,所求的 a 的取值范围是 ? ?9, · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

说明: (1)如果不进行“ a2 ? a1 ? 3 ? a1 ” ,则解答存在纰漏: (2) an?1 ≥ an 可以有两种转化方案, 方案一:作差 an?1 ? an ? 4 ? 3n?1 ? (a ? 3)2n?2 方案一:代入, an?1 ≥ an ? 2?3n ? (a ? 3)?2n?1 ≥ 2?3n?1 ? (a ? 3)?2n?2 ,按指数合
3? 并同类项,同样可以得到: 12?? ? ? ?2?
n?2

? a ? 3≥ 0 。

第 20 页

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得 到
?3? a ≥ 3- 12? ? ? ?2?

?3? 1 ? 2 ? ? ?2?
n?2

n?2

?a? ≥ 3
2?2

0 , 还 有 重 要 的 一 个 步 骤 : 后 3? ≥ 3- 12?? ? ? ?2?
n?2

?3? ? a ≥ 3- 12? ? ? ?2?

才能得到 a ≥ ?9

(3)本题是简单的恒成立问题,其主要难度在于运算和化简方向的 把握。 说本题是个难题,本人也不敢苟同。

21. (本小题满分 12 分) 设椭圆中心在坐标原点,A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆相交于 E、F 两点. (Ⅰ)若 ED ? 6DF ,求 k 的值; (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.
??? ? ????

(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为

x2 ? y 2 ? 1, 4

直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分 如图,设 D( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 4 , 故 x2 ? ? x1 ?
??? ? ????
2 1 ? 4k
2

y B O E D

F A x

.①

由 ED ? 6DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ?

1 5 10 (6 x2 ? x1 ) ? x2 ? 7 7 7 1 ? 4k 2



2 . 1 ? 2k

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所以

2 10 ? 1 ? 2k 7 1 ? 4 k 2



化简得 24k 2 ? 25k ? 6 ? 0 , 解得 k ? 2 或 k ? 3 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
3 8

【评注】 (1)原题无图,大家要大胆按常规情况确定椭圆的标准方程, 不要胡思乱想,有的学生发散思维太发,达,总爱钻牛角尖,认为题目 给的条件不足一确定椭圆的方程。 (2)原题无图,要自己画图,标点,设坐标。 (3)本题是解析几何的典型问题,其处理手法也是典型手法。但要 注意 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 4 ,比较简单,就不要套韦达定理了。 (4)本解答还用到了“算两次” (用不同的条件确定 x0 ) ,和消元的 手段(用 kx0 表示 y0 ) (5)解析几何问题当然少不了计算。

(Ⅱ)解法一:根据点到直线的距离公式和①式知,点 E,F 到 AB 的距离 分别为 h1 ?
h2 ? x1 ? 2kx1 ? 2 5 ? ? 2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )



x2 ? 2kx2 ? 2 5

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )

.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分


S?

AB ? 22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

1 ? 4k 2 ? 4k 1 4(1 ? 2k ) 2(1 ? 2k ) 1 ?2 ≤2 2 , ? AB (h1 ? h2 ) ? ? 5 ? 1 ? 4k 2 2 2 5(1 ? 4k 2 ) 1 ? 4k 2

当 2k ? 1 ,即当 k ? 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2

1 2

2 .12



解法二:由题设, BO

? 1 , AO ? 2 .
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设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为
S ? S△BEF ? S△ AEF ? x2 ? 2 y2 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分
? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2

2.· · · · · · · · · · · · · 12



【评注】方法二大家看懂了吗?详细的解答过程如下:
S ? S△BEo ? S△BFo ? S△EAO ? S△OAE

?
?

1 1 | B O | |1x ? | 2 2

1 |B O 2| |x? | 2

A | O y | 1 |?

1 | 2

A| 2 O

|y|

|

1 1 | x1 | ? | x2 | ? | y1 | ? | y2 | 2 2 ?| x2 | ?2 | y2 |
? x2 ? 2 y2
? ( x2 ? 2 y2 ) 2
2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 2 2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 )

?2 2,

当得到: S ? S△BEo ? S△BFo ? S△EAO ? S△OAE 如下:

? x2 ? 2 y2 后,后续处理另有方法,

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x2 ( x2 , 2 y2 ) 在椭圆 ? y 2 ? 1 上(第一象限)可以使用三角代换: 4



? x2 ? 2 cos ? ? (0 ? ? ? ) ? 2 ? y2 ? 2sin ?







S ? x2 ? 2 y2







S ? 2cos ? ? 2sin ? ? 2sin(? ? ) ? 2 2 4

?

这样比原解答要好,原解答技巧强。换元是大方法,不是小技巧。 大家看,高考考的也就是我们平常重点讲授的知识,并没有什么特殊 的招数。

22. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ?
sin x . 2 ? cos x

(Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)如果对任何 x ≥ 0 ,都有 f ( x) ≤ ax ,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 当 2kπ ?
(2 ? cos x) cos x ? sin x(? sin x) 2cos x ? 1 ? 2 (2 ? cos x) (2 ? cos x) 2

.· · · · · · · · · · · · · · 2分

2π 2π 1 ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 ; ? x ? 2kπ ? 3 3 2 2π 4π 1 当 2kπ ? ? x ? 2kπ ? ( k ? Z )时, cos x ? ? ,即 f ?( x) ? 0 . 3 3 2

因此 f ( x) 在每一个区间 ? ? 2kπ ?
?

2π 2π ? , 2kπ ? ? ( k ? Z )是增函数, 3 3 ?

2π 4π ? ? 2kπ ? · · · · · · · · 6分 f ( x) 在每一个区间 ? 2kπ ? , ? ( k ? Z )是减函数. · 3 3 ? ?

【评注】本题考查了复合函数的导数,三角函数的基本知识,简单的三 角不等式。属于简单题。

(Ⅱ)令 g ( x) ? ax ? f ( x) ,则

第 24 页

共 100 页

g ?( x) ? a ?

2 cos x ? 1 (2 ? cos x) 2

?a?

2 3 ? 2 ? cos x (2 ? cos x) 2
2

1 1? 1 ? ? 3? ? ? ?a? . 3 ? 2 ? cos x 3 ?

故当 a ≥ 1 时, g ?( x) ≥ 0 .
3

又 g (0) ? 0 ,所以当 x ≥ 0 时, g ( x) ≥ g (0) ? 0 ,即 f ( x) ≤ ax . · · · · · · · · 9分 当 0 ? a ? 时,令 h( x) ? sin x ? 3ax ,则 h?( x) ? cos x ? 3a .
arccos 3a ? 时, h?( x) ? 0 . 故当 x ? ? 0, arccos 3a ? 上单调增加. 因此 h( x) 在 ?0,

1 3

故当 x ? (0, arccos3a) 时, h( x) ? h(0) ? 0 , 即 sin x ? 3ax . 于是,当 x ? (0, arccos3a) 时, f ( x) ? 当 a ≤ 0 时,有 f ? ?
sin x sin x ? ? ax . 2 ? cos x 3

π? 1 π ? ? ? 0 ≥ a? . 2 ?2? 2 1 ? , ? ? ? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 ?3 ?

因此, a 的取值范围是 ? ?



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共 100 页

2009 年全国高考理科数学试题及答案(全国卷Ⅱ)

一、选择题: 1.
10i ? 2-i

A. -2+4i 解:原式 ?

B. -2-4i
10i(2+i) ? ?2 ? 4i .故选 (2-i)(2+i)

C. 2+4i A.

D. 2-4i

2. 设集合 A ? ? x | x ? 3? , B ? ? ?x |
?

x ?1 ? ? 0 ? ,则 A ? B = x?4 ?

A.

?

B. ? 3, 4 ?

C. ? ?2,1?

D. ? 4. ? ? ? B.

解: B ? ? ?x |
?

x ?1 ? ? 0? ? ? x | ( x ? 1)( x ? 4) ? 0? ? ? x |1 ? x ? 4? .? A ? B ? (3, 4) .故选 x?4 ?

3. 已知 ?ABC 中, cot A ? ? A.
12 13

12 , 5

则 cos A ? C. ?
5 13

B.

5 13

D.

?

解:已知 ?ABC 中, cot A ? ?
cos A ? ? 1 1 ? tan 2 A ??

12 ? ,? A ? ( , ? ) . 5 2
1 5 1 ? (? )2 12 ?? 12 13

12 13

故选 D.

4.曲线 y ? A.

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 2x ?1

x? y?2 ? 0

B.

x? y?2 ? 0

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

D.

x ? 4y ? 5 ? 0

解: y ? |x?1 ?

2x ?1 ? 2x 1 | ? [ ? ] |x ?1 ? ?1 , x ? 1 (2 x ? 1) 2 (2 x ? 1) 2

故切线方程为 y ? 1 ? ?( x ? 1) ,即 x ? y ? 2 ? 0

故选 B.

5. 已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,AA1 ? 2 AB, E 为 AA1 中点,则异面直线 BE
第 26 页 共 100 页

与 CD1 所成的角的余弦值为 A.
10 10

B.

1 5

C.

3 10 10

D.

3 5

解: 令 AB ? 1则 AA1 ? 2 ,连 A1 B ? C1D ∥ A1 B ?异面直线 BE 与 CD1 所成的角即 A1 B 与 BE 所成的角。在 ?A1BE 中由余弦定理易得 cos ?A1BE ? 6. 已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 A.
5
? ? ?
2 ,则 | b |?

3 10 10

。故选 C

B.
? ?

10
?

C. 5
?
?

D. 25

解:? 50 ?| a ? b |2 ?| a |2 ?2a?b? | b |2 ? 5 ? 20? | b |2 ?| b |? 5 。故选 C 7. 设 a ? log3 ? , b ? log 2 A.
a ?b?c
3, c ? log3 2 ,则

B.

a ?c ?b

C.

b?a?c

D.

b?c?a

解:? log3

2 ? log 2 2 ? log 2 3 ? b ? c

log 2 3 ? log 2 2 ? log 3 3 ? log 3 ? ? a ? b ? a ? b ? c

.故选 A.
?

8. 若将函数 y ? tan ? ??x ?
?

??

? ?? ? 0 ? 的图像向右平移 4? 6

个单位长度后,与函数

?? ? y ? tan ? ? x ? ? 的图像重合,则 ? 的最小值为 6? ?

A.

1 6

B.
??
?

1 4
?

C.

1 3

D.

1 2

解: y ? tan ? ??x ?
?

向右平移 个单位 ? ? ?? ? 6 ? y ? tan[? ( x ? ) ? ] ? tan ? ? x ? ? ? ?????? 4? 6 4 6? ?

?
4

?

?
6

? ? k? ?

又?? ? 0 ??min

1 ? ? ? 6k ? ( k ? Z ) , 6 2 1 ? .故选 D 2
y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ?

?

9. 已 知 直 线

与抛物线 为 C 的焦

C : y 2 ? 8 x 相交于 A、B 两点, F

点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ?

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共 100 页

A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3

D.

2 2 3

解:设抛物线 C : y 2 ? 8 x 的准线为 l : x ? ?2 直线

y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 恒过定点

P ? ?2, 0 ? .如图过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , 由 | FA |? 2 | FB | ,则
| AM |? 2 | BN | ,点

B 为 AP 的中点.连结 OB ,则 | OB |? 1 | AF | ,
2

? | OB |?| BF |



B 的横坐标为 1,

故点 B 的坐标为 (1, 2

2) ? k ?

2 2 ?0 2 2 ? , 1 ? (?2) 3

故选 D

10. 甲、乙两人从 4 门课程中各选修 2 门。则甲、乙所选的课程中至少 有 1 门不相同的选法共有 A. 6 种 B. 12 种 C. 30 种 D. 36 种

解:用间接法即可. C42 ? C42 ? C42 ? 30 种. 故选 C 11.
x2 y 2 已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F a b

,过 F 且斜率为

3 的直

线交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4FB ,则 C 的离心率为 m D.
9 5
x2 a y2 ? 1的右准线为 l ,过 b2

A.

6 5

B.

7 5

C.

5 8

解:设双曲线 C: 2 ?
A、B 分

别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , AB 的斜率为
3,

BD ? AM 于D ,由直线

知 直 线

AB

的 倾 斜 角 为 ,? |
A |B |

1 6 ?0 ?B ? A D 6 ? 0 ?A , |D 2







线













? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ??? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 ??? ? ??? ? 1 5 6 又? AF ? 4FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? 故 e 2 5
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选A

12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、 北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平,得到右 侧的平面图形,则标“ ? ”的面的方位是 A. 南 C. 西 B. 北 D. 下

解:展、折问题。易判断选 B 第 II 卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在答题 卡上。 13. ? x y ? y x ? 的展开式中 x 3 y 3 的系数为
4

6



解: 只需求 ( ? x y ? y x ? ? x 2 y 2 ( x ? y )4 ,
4
2 C4 ?6

x ? y ) 4 展开式中的含 xy 项的系数:

14. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a5 ? 5a3 则 解:??an ? 为等差数列,?
S9 9a5 ? ?9 S5 5a3

S9 ? S5

9

.

15.设 OA 是球 O 的半径,M 是 OA 的中点, 过 M 且与 OA 成 45°角的平面截球
O 的表面得到圆 C 。若圆 C 的面积等于
7? 4

,则球 O 的表面积等于 8? .
7? 7 ,得r 2 ? . 4 4

解:设球半径为 R ,圆 C 的半径为 r ,由4? r 2 ? 因为 OC ?

2 R 2 2 2 1 7 ? ? R 。由 R 2 ? ( R) ? r 2 ? R 2 ? 得 R2 ? 2 . 故球 O 的表 2 2 4 4 8 4

面积等于 8? . 16. 已知 AC、BD 为圆 O : x 2 ? y 2 ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M ?1, 则四边形 ABCD 的面积的最大值为 。
2

?,

第 29 页

共 100 页

解:设圆心 O 到 AC、BD 的距离分别为 d1、d2 ,则 d12 +d22 ? OM 2 ? 3 . 四边形 ABCD 的面积 S ? 1 | AB | ? | CD |? 2
2 (4 ? d12 )(4-d 2 2 ) ? 8 ? (d12 ? d 2 2 ) ? 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤 17(本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A 、B 、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,cos( A ? C ) ? cos B ? 3 ,
2
b 2 ? ac ,求 B 。

分析: 由
c oA s? ( C ? )

cos( A ? C ) ? cos B ?

3 2

,易想到 先将

B ? ? ? ( A ? C)

代 入

3 3 然后利用两角和与差的余弦公 c B? o得 s cos( A ? C ) ? cos( A ? C ) ? 2 2。 3 4

式展开得 sin A sin C ? ;又由 b 2 ? ac ,利用正弦定理进行边角互化,得
sin 2 B ? sin A sin C ,进而得 sin B ?
3 .故 B ? ? 或 2? 2 3 3

。大部分考生做到这里忽略

了检验,事实上,当
c o sA(? C ? ) 3 co As ?( C ? ) ? 2

B?

2? 3

时,由

1 coB s ? ? c oA s( ? C ?) ? , 进 而 得 2

,矛盾,应舍去。 ?2 1
2? 3

也可利用若 b2 ? ac 则 b ? a或b ? c 从而舍去 B ? 易想到。 评析:本小题考生得分易,但得满分难。

。不过这种方法学生不

18(本小题满分 12 分) 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC, D 、 别为 AA1 、 B1C 的中点, DE ? 平面 BCC1 (I)证明: AB ? AC (II)设二面角 A ? BD ? C 为 60°,求 B1C 与平面 BCD 所成的角的大小。
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E



(I)分析一:连结 BE,? ABC ? A1B1C1 为直三棱柱,

??B1BC ? 90?,

? E 为 B1C 的中点,? BE ? EC 。又 DE ? 平面 BCC1 ,
? BD ? DC (射影相等的两条斜线段相等)而 DA ? 平面 ABC ,

。 ? AB ? AC (相等的斜线段的射影相等) 分析二:取 BC 的中点 F ,证四边形 AFED 为平行四边形,进而证 AF ∥
DE , AF ? BC ,得 AB ? AC 也可。

分析三:利用空间向量的方法。具体解法略。 (II)分析一:求 B1C 与平面 BCD 所成的线面角,只需求点 B1 到面 BDC 的 距离即可。 作 AG ? BD 于 G ,连 GC ,则 GC ? BD , ?AGC 为二面角 A ? BD ? C 的平面 角, ?AGC ? 60? . 不妨设 AC ? 2
AG ? 2, GC ? 4
3 ,则

. 在 RT ?ABD 中 , 由 ,易得 B ? D A G AD ? 6 . 与 平

A D ?

A? B

设点 B1 到面 BDC 的距离为 h ,B1C 面
BCD

所成的角为 ? 。 利 用 又 可

1 1 S?B1BC ? DE ? S?BCD ? h ,可求得 h ? 2 3 , 3 3

求得 B1C ? 4

3

si? n ?

h 1 ? ?? ? B1C 2

3 ?0 .

即 B1C 与平面 BCD 所成的角为 30?. 分 析 二 : 作 出 B1C 与 平 面 B C D所 成 的 角 再 行 求 解 。 如 图 可 证 得
B C? 面 A F E D ,所以面 AFED ? 面BDC 。由分析一易知:四边形 AFED 为 O 正方形, 连 AE、DF , 并设交点为 O , 则E ?B 面 D C

, ?OC 为 EC 在面 BDC

内的射影。??ECO即为所求 。以下略。

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分析三:利用空间向量的方法求出面 BDC 的法向量 n ,则 B1C 与平面
???? ? BCD 所成的角即为 B1C 与法向量 n 的夹角的余角。具体解法详见高考

?

试题参考答案。 总之在目前,立体几何中的两种主要的处理方法:传统方法与向量的 方法仍处于各自半壁江山的状况。 命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

19(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , 已知 a1 ? 1, Sn?1 ? 4an ? 2 (I)设 bn ? an?1 ? 2an ,证明数列 {bn } 是等比数列 (II)求数列 {an } 的通项公式。 解: (I)由 a1 ? 1, 及 Sn?1 ? 4an ? 2 ,有 a1 ? a2 ? 4a1 ? 2, a2 ? 3a1 ? 2 ? 5,?b1 ? a2 ? 2a1 ? 3 由 Sn?1 ? 4an ? 2 , . . .① 则当 n ? 2 时,有 Sn ? 4an?1 ? 2 . . . . .②

②-①得 an?1 ? 4an ? 4an?1 ,? an?1 ? 2an ? 2(an ? 2an?1 ) 又? bn ? an?1 ? 2an ,? bn ? 2bn?1 ?{bn } 是首项 b1 ? 3 ,公比为2的等比数列. (II)由(I)可得 bn ? an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,?
?数列 {
an?1 an 3 ? ? 2n ?1 2n 4

an 1 3 } 是首项为 ,公差为 的等比数列. n 2 4 2 an 1 3 3 1 ? n ? ? (n ? 1 ?) n ? , an ? (3n ? 1) ? 2n ? 2 2 2 4 4 4

评析:第(I)问思路明确,只需利用已知条件寻找 bn与bn?1的关系即可 . 第(II)问中由(I)易得 an?1 ? 2an ? 3 ? 2n?1 ,这个递推式明显是一个构 造新数列的模型: an?1 ? pan ? q n ( p, q为常数),主要的处理手段是两边除 以 q n?1 . 总体来说,09 年高考理科数学全国 I、Ⅱ这两套试题都将数列题前 置,主要考查构造新数列(全国 I 还考查了利用错位相减法求前 n 项和的
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方法) ,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模 式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重 视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用 心。

20(本小题满分 12 分) 某车间甲组有 10 名工人,其中有 4 名女工人;乙组有 5 名工人,其 中有 3 名女工人,现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样) 从甲、乙两组中共抽取 3 名工人进行技术考核。 (I)求从甲、乙两组各抽取的人数; (II)求从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率; (III)记 ? 表示抽取的 3 名工人中男工人数,求 ? 的分布列及数学期 望。 分析: (I)这一问较简单,关键是把握题意,理解分层抽样的原理即可。 另外要注意此分层抽样与性别无关。 (II)在第一问的基础上,这一问处理起来也并不困难。 从甲组抽取的工人中恰有 1 名女工人的概率 P ? (III) ? 的可能取值为 0,1,2,3
1 1 1 1 2 2 1 C3 C4 C6 C3 C4 C4 C2 6 28 P (? ? 0) ? 2 ? 1 ? , P(? ? 1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? , C10 C5 75 C10 C5 C10 C5 75 1 C62 C2 10 31 ? ? , P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? P(? ? 1) ? P(? ? 3) ? 2 1 C10 C5 75 75 1 1 C4 ? C6 8 ? 2 C10 15

P (? ? 3) ?

分布列及期望略。

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评析:本题较常规,比 08 年的概率统计题要容易。在计算 P(? ? 2) 时, 采用分类的方法,用直接法也可,但较繁琐,考生应增强灵活变 通的能力。

21(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x2 y 2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

, 过右焦点 F 的直线 l 与
2 2

C 相交于 A 、 B 两点,当 l 的斜率为

1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为

(I)求 a , b 的值; ( II ) C 上是否存在点 P ,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有
??? ? ??? ? ??? ? OP ? OA ? OB 成立?

若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I)设 F (c,0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为 则
|0?0?c| 2 ? 2 2

2 2

,解得

c ? 1 .又 e ?

c 3 ? ,? a ? 3, b ? 2 . a 3

x2 y 2 (II)由(I)知椭圆的方程为 C : ? ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 3 2

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设

l : x ? my ? 1

代入椭圆的方程中整理得 (2m2 ? 3) y 2 ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。 由韦达定理有: y1 ? y2 ? ? .假设存在点
4m 4 . . . . . . .① , y1 y2 ? ? 2 ,. 2 2m ? 3 2m ? 3 ??? ? ??? ? ??? ? P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为:
( x1 ? x2 ) 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? ? 1。 在椭圆上,即 3 2

点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P

整理得 2 x12 ? 3 y12 ? 2 x2 2 ? 3 y2 2 ? 4 x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。
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又 A、B 在椭圆上,即 2 x12 ? 3 y12 ? 6, 2 x22 ? 3 y22 ? 6 . 故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .② 将 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? m2 y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1 及①代入②解得 m 2 ? 1
? y1 ? y2 ?

2

4m 2 3 2 2 3 2 , x1 ? x2 = ? 2 ? 2 ? ,即 P( , ? ) . 或? 2 2 2 2 2m ? 3 2

当m ?

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1 ; 2 2 2 2 2 3 2 2 时, P( , ), l : x ? ? y ? 1. 2 2 2 2

当m ? ?

评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” , 主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法 ,而算 理是采用这种算法的依据和原因 ,一个是表,一个是里,一个是现象, 一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如:三角形 的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半, 还是分 割成几部分来算?在具体处理的时候, 要根据具体问题及题意边做 边调整,寻找合适的突破口和切入点。

22.(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x 2 ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2 (I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ? 解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?
1 ? 2 In2 4
a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x

令 g ( x) ? 2 x 2 ? 2 x ? a , 其对称轴为 x ? ? 。 由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的

1 2

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两个均大于 ?1的不相等的实根, 其充要条件为 ?

? ? ? 4 ? 8a ? 0 , 得0 ? a ? 1 2 ? g (?1) ? a ? 0

⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,?? 1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2 x22 +2x2 )
2
? f ? x2 ? ? x2 2 ? aln ?1 ? x2 ? ? x2 2 ? (2 x 2 2 +2x2 )ln ?1 ? x2 ?

设 h ? x ? ? x 2 ? (2 x 2 ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ?

1 ), 2

则 h? ? x ? ? 2 x ? 2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ? 2 x ? ?2(2 x ? 1)ln ?1 ? x ? ⑴当 x ? (?
1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,? h( x) 在 [ ? , 0) 单调递增; 2 2

⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递减。
1 1 1 ? 2ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In2 . f ? x2 ? ? h( x2 ) ? 4



2010 年普通高等学校招生全国统一考试

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共 100 页

理科数学 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,其中第 II 卷第(22)-(24)题为选考题,其他题为必考题。考生作答时,将 答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1、答题前,考生务必先将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上, 认真核对条形码上的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定 位置上。

2、选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再 选涂其他答案的标号,非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字) 笔或碳素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3、请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区 域书写的答案无效。 4、保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5、做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上 把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,? xn 的标准差
s? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x2 ? x) 2 ? ? ? ( xn ? x) 2 ] n

锥体体积公式
1 V ? Sh 3

其中 x 为样本平均数

其中 S 为底面面积,

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h 为高

柱体体积公式 公式[来源:Z。xx。k.Com]
V ? Sh

球的表面积,体积

S ? 4? R2

4 V ? ? R3 3

其中 S 为底面面积, h 为高 的半径

其中 R 为球

第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 (1)已知集合 A ? {| x | ? 2, x ? R } }, B ? {x | (A)(0,2) (D){0,1,2} (2)已知复数 z ? A.
1 4
3?i (1 ? 3i ) 2
x ? 4, x ? Z } ,则 A ? B ?

(B)[0,2]

(C){0,2]

, z 是 z 的共轭复数,则 z ? z =
1 2

B.

C.1

D.2

(3)曲线 y ?

x 在点(-1,-1)处的切线方程为 x?2

(A)y=2x+1

(B)y=2x-1

C y=-2x-3

D.y=-2x-2
2,

(4)如图, 质点 P 在半径为 2 的圆周上逆时针运动, 其初始位置为 P0 ( 2) ,角速度为

1,那么点 P 到 x 轴距离 d 关于时间 t 的函数图像大致



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(5)已知命题
p1 :函数 y ? 2 x ? 2? x 在 p2 :函数 y ? 2 x ? 2? x 在

R 为增函数, R 为减函数,

则在命题 q1 : p1 ? p2 , q2 : p1 ? p2 , q3 : ? ? p1 ? ? p2 和 q4 : p1 ? ? ? p2 ? 中,真 命题是 (A) q1 , q3 (B) q2 , q3 (C) q1 , q4 (D) q2 , q4

(6)某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有 发芽的种子,每粒需再补种 2 粒,补种的种子数 记为 X,则 X 的数学期望为 (A)100 (D)400 (7)如果执行右面的框图,输入 N ? 5 ,则输出 的数等于 (B)200 (C)300

(A)

5 4
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(B) 4
5 6 (C) 5 (D) 5 6

(8)设偶函数 f ( x) 满足 f ( x) ? x3 ? 8( x ? 0) ,则 {x | f ( x ? 2) ? 0} ? (A) (C)
{x | x ? ?2或x ? 4} {x | x ? 0或x ? 6}

(B) (D)

{x | x ? 0或x ? 4} {x | x ? ?2或x ? 2}

1 ? tan 2 ? (9)若 cos ? ? ? 4 , ? 是第三象限的角,则 ? 5 1 ? tan 2 1 1 (A) ? (B) (C) 2 (D) -2 2 2

?

(10)设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面 上,则该球的表面积为 (A) ? a2 (11) 已知函数 (B)
7 2 ?a 3

(C)

11 2 ?a 3

(D) 5? a 2

?| lg x |, 0 ? x ? 10, ? f ( x) ? ? 1 若 a, b, c 互不相等, 且 f (a) ? f (b) ? f (c), 则 ? x ? 6, x ? 10. ? ? 2

abc 的取值范围是

(A)

(1,10)

(B)

(5, 6)

(C)

(10,12)

(D)

(20, 24)

(12)已知双曲线 E 的中心为原点, P(3,0) 是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N (?12, ?15) ,则 E 的方程式为 (A) (C)
x2 y 2 ? ?1 3 6 x2 y 2 ? ?1 6 3

(B) (D)

x2 y 2 ? ?1 4 5 x2 y 2 ? ?1 5 4

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,
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每个试题考生都必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据 要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设 y ?
f ( x) 为区间 [0,1] 上的连续函数,且恒有 0 ? f ( x) ? 1 ,可以用随
1

机模拟方法近似计算积分 ?0 f ( x)dx ,先产生两组(每组 N 个)区间 [0,1] 上 的均匀随机数 x1 , x2 ,…xN 和 y1 , y2 ,…yN ,由此得到 N 个点 ( x1 , y1 )(i ? 1, 2,…,N ) ,再 数出其中满足 y1 ?
1

f ( x1 )(i ? 1, 2,…,N ) 的点数 N1 ,那么由随机模拟方案可得积

分 ?0 f ( x)dx 的近似值为



(14)正视图为一个三角形的几何体可以是______(写出三种) (15)过点 A(4,1)的圆 C 与直线 x-y=0 相切于点 B(2,1) ,则圆 C 的方 程为____ (16)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC, ? ADB=120°,AD=2, 若△ADC 的面积为 3 ?
3 ,则 ? BAC=_______

1 2

三,解答题:解答应写出文字说明,正明过程和演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, an?1 ? an ? 3?22 n?1 (1) 求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 令 bn ? nan ,求数列的前 n 项和
Sn

(18)(本小题满分 12 分) 如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 等腰梯形, AB ? CD,AC ? BD,垂足 H,PH 是四棱锥的高 ,E 为 AD 中
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为 为 点

(1) 证明:PE ? BC (2) 若 ? APB= ? ADB=60°,求直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值

(19)(本小题 12 分) 为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该 地区调查了 500 位老年人,结果如下: 是 否 需 要 志 愿 男 性别 需要 不需要 40 160 30 270 女

(1) 估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (2) 能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助 与性别有关? (3) 根据 (2 ) 的结论, 能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人, 需要志愿帮助的老年人的比例?说明理由 附:

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(20) (本小题满分 12 分) 设 F1 , F2 分别是椭圆 E :
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,过 F1 斜率为 a 2 b2
AF2 , AB , BF2

1的

直线 i 与 E 相交于 A, B 两点,且 (1)求 E 的离心率;

成等差数列。

(2) 设点 p(0, ?1) 满足 PA ? (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? e x ? 1 ? x ? ax 2 。

PB

,求 E 的方程

(1) 若 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (2) 若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围

请考生在第(22) 、 (23) 、 (24)三题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题记分。 做答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号 涂黑。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已经圆上的弧 交于 E 点,证明: (Ⅰ)∠ACE=∠BCD; ,过 C 点的圆切线与 BA 的延长线

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(Ⅱ)BC =BF×CD。
2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知直线 C1 ?
? 3
? x ? 1 ? t cos ? (t ? y ? t sin ?

为参数) ,C2 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) , ? y ? sin ?

(Ⅰ)当 ? = 时,求 C1 与 C2 的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 ,P 为 OA 中点,当 ? 变化时, 求 P 点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选项

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设函数 f ( x) ? 2 x ? 4l ? 1 (Ⅰ)画出函数 y ?
f ( x) 的图像

(Ⅱ)若不等式 f ( x) ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围。

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2010 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案 一、 选择题 (1)D (7)D (2)A (8)B (3)A (9)A (4)C (10)B (5)C (11)C (6)B (12)B

二、填空题 (13)
N1 N

(14)三棱锥、三棱柱、圆锥(其他正确答案同样给分) (16)60°

(15) ( x ? 3)2 ? y 2 ? 2 三、解答题 (17)解:

(Ⅰ)由已知,当 n≥1 时,
an?1 ? [(an?1 ? an ) ? (an ? an ?1 ) ? ? ? (a2 ? a1 )] ? a1 ? 3(22 n?1 ? 22 n?3 ? ? ? 2) ? 2

? 22( n?1)?1 。



a1 ? 2,

所以数列{ an }的通项公式为 an ? 22n?1 。 (Ⅱ)由 bn ? nan ? n ? 22 n?1 知
Sn ? 1? 2 ? 2 ? 23 ? 3 ? 25 ? ? ? n ? 22 n ?1



从而
22 ? Sn ? 1? 23 ? 2 ? 25 ? 3 ? 27 ? ? ? n ? 22 n ?1



①-②得
(1 ? 22 ) ? Sn ? 2 ? 23 ? 25 ? ? ? 22 n?1 ? n ? 22 n?1





1 Sn ? [(3n ? 1)22 n ?1 ? 2] 9
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(18)解: 以 H 为原点, HA, HB, HP 分别为 x, y, z 轴,线段 HA 的长为单位长, 建立空 间直角坐标系如图, 则 A(1,0,0), B(0,1,0) (Ⅰ)设 则
C (m,0,0), P(0,0, n)(m ? 0, n ? 0)

1 m D( 0 m , , 0 E) , ( , , 0 ) . 2 2 可得 PE ? ( 1 ,m ? , n BC ), ? m? ( , 1, 0 ) . 2 2 因为 PE ? BC ? m ? m ? 0 ? 0 2 2

所以

P E? B C

(Ⅱ)由已知条件可得
D(0, ?

m??

3 3 , n ? 1, 故 C( ? ,0,0) 3 3

3 1 3 , 0), E ( , ? , 0), P(0, 0,1) 3 2 6

设 则

n ? ( x, y, x) 为平面 PEH 的法向量

? ? ,o ?n ? H E ? ? ,o ? ?n ? H P
3, 0) ,

? 1 x ? 3 y ?0 2 6 即? ? ? ? z?0

因此可以取 n ? (1, 由 PA ? (1, 0, ?1) ,
??? ?

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可得

? ? ?? 2 c o sP A n ,? 4

所以直线 PA 与平面 PEH 所成角的正弦值为 (19)解:

2 4

(1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地 区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估算值为 (2) K 2 ?
500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160)2 ? 9.967 。 200 ? 300 ? 70 ? 430

70 ? 14% 500

由于 9.967>6.635,所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮 助与性别有关。 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从 样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明 显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老 年人分成男、 女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好. (20.)解: (I)由椭圆定义知 得
4 AB ? a 3
AF2 ? BF2 ? AB ? 4a ,又 2 AB ? AF2 ? BF2



l 的方程为 y ? x ? c ,其中 c ? a 2 ? b 2



设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则 A、B 两点坐标满足方程组
?y ? x ? c ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 2 b2 ?a

化简的 ? a 2 ? b2 ? x 2 ? 2a 2cx ? a 2 ? c 2 ? b 2 ? ? 0
a 2 ? c2 ? b2 ? ?2a 2 c 则 x1 ? x2 ? 2 2 , x1 x2 ? 2 2 a ?b a ?b
第 48 页 共 100 页

因为直线 AB 斜率为 1,所以 得
4 4ab 2 a? 2 , 故 a 2 ? 2b2 2 3 a ?b

AB ?

2 2 x2 ? x1 ? 2 ?? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 ? ? ?

所以 E 的离心率 e ?

c a 2 ? b2 2 ? ? a a 2

(II)设 AB 的中点为 N ? x0 , y0 ? ,由(I)知
x1 ? x2 ?a 2c 2 c x0 ? ? 2 ? ? c , y0 ? x0 ? c ? 。 2 2 a ?b 3 3

由 PA ? 即

PB

,得 kPN

? ?1 ,

y0 ? 1 ? ?1 x0
2, b ? 3

得 c ? 3 ,从而 a ? 3 故椭圆 E

x2 y 2 的方程为 ? ? 1 。 18 9

(21)解: (1) a ? 0 时, f ( x) ? e x ? 1 ? x , f '( x) ? e x ? 1 . 当 x ? (??, 0) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (0, ??) 时, f '( x) ? 0 .故 f ( x) 在 (??,0) 单调减 少,在 (0, ??) 单调增加 (II) f '( x) ? e x ? 1 ? 2ax 由(I)知 ex ? 1 ? x ,当且仅当 x ? 0 时等号成立.故
f '( x) ? x ? 2ax ? (1 ? 2a) x ,

从而当 1 ? 2a ? 0 ,即 a ? 时, f '( x) ? 0 ( x ? 0) ,而 f (0) ? 0 , 于是当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 . 由 e x ? 1 ? x( x ? 0) 可得 e? x ? 1 ? x( x ? 0) .从而当 a ? 时,
f '( x) ? e x ? 1 ? 2a(e? x ? 1) ? e? x (e x ? 1)(e x ? 2a) ,

1 2

1 2

第 49 页

共 100 页

故当 x ? (0,ln 2a) 时, f '( x) ? 0 ,而 f (0) ? 0 ,于是当 x ? (0,ln 2a) 时, f ( x) ? 0 . 综合得 a 的取值范围为 (??, 1 ] .
2

(22)解:
? , AC ? BC (I)因为 ?

所以 ?BCD ? ?ABC . 又因为 EC 与圆相切于点 C ,故 ?ACE ? ?ABC , 所以 ?ACE ? ?BCD . (II)因为 ?ECB ? ?CDB, ?EBC ? ?BCD , 所以 ?BDC ∽ ?ECB ,故 即 BC 2 ? BE ? CD . (23)解: (Ⅰ) 当
?? ?
3 时, C1 的普通方程为 y ? 3( x ? 1) , C2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1。

BC CD , ? BE BC

联立方程组 ? ?

? y ? 3( x ? 1)
2 2 ? ?x ? y ? 1

,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0) ? ?

?1 ?2

, ?

3? ?。 2 ? ?

(Ⅱ) C1 的普通方程为 x sin ? ? y cos ? ? sin ? ? 0 。 A 点坐标为 ? sin 2 ? ? cos ? sin ? ? , 故当 ? 变化时,P 点轨迹的参数方程为:
1 ? x ? sin 2 ? ? ? 2 ??为参数 ? ? ? y ? ? 1 sin ? cos ? ? ? 2
1? 1 ? 2 ?x? ? ? y ? 16 。 点轨迹的普通方程为 ? 4 ?
2

P

故 P 点轨迹是圆心为 ? ?

1 ? 1 , 0 ? ,半径为 4 ?4 ?

的圆。

第 50 页

共 100 页

(24) 解:

(Ⅰ)由于

??2 x ? 5,x ? 2 f ( x) ? ? ?2 x ? 3,x ? 2 则函数 y ? f ( x) 的图像如图所示。

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像可知,当且仅当 函数 y ?

a?

1 2 或 a ? ?2 时,

f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点。故不等式 f ( x) ? ax 的解集非空时,

a 的取值范围为
第 51 页 共 100 页

? ? 2? ? ? ? ??,

1 ? , ? ?? ?2 ?。

第 52 页

共 100 页

2011 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的。 (1)复数
2?i 的共轭复数是 1 ? 2i

(A) ? i 解析:

3 5

(B) i

3 5

(C) ?i C

(D) i

2 ? i (2 ? i )(1 ? 2i ) ? i, 共轭复数为 = 5 1 ? 2i

(2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函数是 (0, +?) (A) y ? x3 (B)
y ? x ?1

(C) y ? ? x 2 ? 1

(D)

y?2

?x

解析:由图像知选 B (3)执行右面的程序框图,如果输入的 N 是 6, 输出的 p 是 (A)120 (B)720 (C)1440 那 么

第 53 页

共 100 页

(D)5040 解析:框图表示 an ? n ? an?1 ,且 a1 ? 1 所求 a6 ? 720 选B (4)有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同 学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概 率为 (A)
1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

解析;每个同学参加的情形都有 3 种,故两个同学参加一组的情形有 9 种,而参加同一组的情形只有 3 种,所求的概率为 p= ? 选 A (5)已知角 ? 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直 线 y ? 2 x 上,则 cos 2? = 解析:由题知 tan ? ? 2 , cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ?
2 2

3 9

1 3

cos ? ? sin ?

?

1 ? tan 2 ? 3 ?? 选 2 1 ? tan ? 5

B (D)
4 5

(A) ?

4 5

(B) ?

3 5

(C)

3 5

(6)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如 示, 则相应的侧视图可以为

右 图 所

解析:条件对应的几何体是由底面棱长为 r 的正四棱锥沿底面对角线截 出的部分与底面为半径为 r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。故选 D (7)设直线 L 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,L 与 C 交于 A ,B 两点,
AB

为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为
第 54 页 共 100 页

(A)

2

(B)
2

3

(C)2 B

(D)3

解析:通径|AB|= 2b
a

? 2a 得 b2 ? 2a 2 ? a 2 ? c2 ? 2a 2 ,选

a ?? 1? (8) ? ? x ? ? ? 2x ? ? x ?? x? ?

5

的展开式中各项系数的和为 2,则该展开式中常数项

为 (A)-40 (B)-20
1 x

(C)20
1 x 1 x 1 x

(D)40

解析 1.令 x=1 得 a=1.故原式= ( x ? )(2 x ? )5 。 ( x ? )(2 x ? )5 的通项
Tr ?1 ? C5r (2 x )5?2 r ( ? x ?1 ) r ? C5r ( ?1) r 25?r x 5?2 r ,由

5-2r=1 得 r=2,对应的常数项=80,

由 5-2r=-1 得 r=3,对应的常数项=-40,故所求的常数项为 40 ,选 D 解析 2.用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘,若第 1 个括号提 出 x,从余下的 5 个括号中选 2 个提出 x,选 3 个提出 ;若第 1 个括号
1 x 1 1 1 故常数项= X ? C52 (2 X )2 ? C33 (? )3 ? ? C52 (? )2 ? C33 (2 X )3 =-40+80=40 X X X 1 x

提出 ,从余下的括号中选 2 个提出 ,选 3 个提出 x.

1 x

(9)由曲线 y ? (A)
10 3

x ,直线 y ? x ? 2 及 y 轴所围成的图形的面积为

(B)4
4

(C)

16 3

(D)6 C

解析;用定积分求解 s ? ? (
0

2 3 1 16 4 x ? x ? 2)dx ? ( x 2 ? x 2 ? 2 x ) |0 ? ,选 3 2 3

(10)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题
? 2? ? P 1 : a ? b ? 1 ? ? ? ? 0, ? ? 3 ? ? ?? P3 : a ? b ? 1 ? ? ? ?0, ? ? 3? ? 2? ? P2 : a ? b ? 1 ? ? ? ? ,? ? ? 3 ? ?? ? P4 : a ? b ? 1 ? ? ? ? , ? ? ?3 ?

其中的真命题是 (A) P1 , P4 (B) P1 , P3 (C) P2 , P3 (D) P2 , P4

第 55 页

共 100 页

解析: a ? b

? a 2 ? b 2 ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得, cos ? ? ?

1 , 2

1 ? 2? ? 2 2 ? ? ? ?0, ? 。由 a ? b ? a ? b ? 2ab cos ? ? 2 ? 2 cos ? ? 1 得 cos ? ? 2 ? 3 ?
?? ? ? ? ? ? ,? ? 。 ?3 ?

选A
?
2

(11)设函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ) 的最小正周期为 ? ,且
f (? x) ? f ( x) ,则

(A) f ( x) 在 ? ? 0,
?

?? ??

? 单调递减 2? ? 单调递增 2?

(B) f ( x) 在 ? ? (D) f ( x) 在 ? ?
? 3? ?

, ? 单调递减 ?4 4 ?

? 3? ?

(C) f ( x) 在 ? ? 0,
?

, ? 单调递增 ?4 4 ?

解 析 : f ( x)?
?? ?

2 s?i n ? x? ( ?

?
4

,所 ) 以 ? ? 2 , 又 f(x) 为 偶 函 数 ,
?

?
4

?

?
2

? k? ? ? ?

?

? k? , k ? z ,? f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 cos 2 x ,选 4 2

A

(12)函数 y ? 标之和等于 (A)2

1 1? x

的图像与函数 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) 的图像所有交点的横坐

(B) 4

(C) 6

(D)8

解析:图像法求解。 y ?

1 的对称中心是(1,0)也是 y ? 2sin ? x(?2 ? x ? 4) x ?1

的中心,?2 ? x ? 4 他们的图像在 x=1 的左侧有 4 个交点,则 x=1 右侧必有 4 个交点。不妨把他们的横坐标由小到大设为 x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 , x7 , x8 ,则
x1 ? x8 ? x2 ? x7 ? x3 ? x6 ? x4 ? x5 ? 2 ,所以选

D

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)若变量 x, y 满足约束条件 ? 解析:画出区域图知,
?3 ? 2 x ? y ? 9, 则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?6 ? x ? y ? 9,



第 56 页

共 100 页

当直线 z ? x ? 2 y 过 ?

?2 x ? y ? 3 的交点(4,-5)时, zmin ? ?6 ?x ? y ? 9

(14)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 x 轴 上,离心率为
2 2

。过 F1 的直线 L 交 C 于 A, B 两点,且 V ABF2 的周长为 16, 。 得 a=4.c= 2
ABCD
2 ,从而

那么 C 的方程为
?c 2 ? 解析:由 ? ?a 2 ? 4a ? 16 ?

b=8,? x

2

16

?

y2 ? 1 为所求。 8

( 15 ) 已 知 矩 形

的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 。
1 (2 3)2 ? 62 ? 2 3 , 2

AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥 O ? ABCD 的体积为

解析:设 ABCD 所在的截面圆的圆心为 M,则 AM= OM=
1 4 2 ? (2 3 ) 2 ? 2 , VO ? ABCD ? ? 6 ? 2 3 ? 2 ? 8 3 . 3

(16)在 VABC 中, B ? 60? , AC ?

3 ,则 AB ? 2BC 的最大值为



解析: A ? C ? 1200 ? C ? 1200 ? A , A ? (0,1200 ) ,

BC AC ? ? 2 ? BC ? 2sin A sin A sin B

AB AC ? ? 2 ? AB ? 2sin C ? 2sin(1200 ? A) ? 3 cos A ? sin A ; sin C sin B
? AB ? 2BC ? 3 cos A ? 5sin A ? 28 sin( A ? ? ) ? 2 7 sin( A ? ? ) ,故最大值是 2 7

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a32 ? 9a2 a6 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设
?1? bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ...... ? log3 an , 求数列 ? ? 的前 ? bn ?

n 项和.
1 9

解析: (Ⅰ)设数列{an}的公比为 q,由 a32 ? 9a2a6 得 a33 ? 9a42 所以 q 2 ? 。 由条件可知 a>0,故 q ? 。
1 3

第 57 页

共 100 页

由 2a1 ? 3a2 ? 1 得 2a1 ? 3a2 q ? 1 ,所以 a1 ? 。 故数列{an}的通项式为 an=
1 3n

1 3



(Ⅱ ) bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an
? ?(1 ? 2 ? ... ? n) ?? n(n ? 1) 2



1 2 1 1 ?? ? ?2( ? ) bn n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? ? ... ? ? ?2((1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )) ? ? b1 b2 bn 2 2 3 n n ?1 n ?1

所以数列 {

1 } 的前 bn

n 项和为 ?

2n n ?1

(18)(本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行 四 边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面 ABCD. (Ⅰ)证明:PA⊥BD; (Ⅱ)若 PD=AD,求二面角 A-PB-C 的余弦值。 解析 1: (Ⅰ)因为 ?DAB ? 60?, AB ? 2 AD , 由余弦定理得 BD ?
2 2 2

3 AD

从而 BD +AD = AB ,故 BD ? AD;又 PD ? 底面 ABCD,可得 BD ? PD 所以 BD ? 平面 PAD. 故 PA ? BD (Ⅱ)如图,以 D 为坐标原点,AD 的长为单位长,射线 DA 为 x 轴的 正半轴建立空间直角坐标系 D- xyz ,则
A ?1, 0, 0 ? , B 0,3, 0
z P

?

? , C ? ?1,

3, 0

? , P ? 0, 0,1? 。

uu u v uuv uuu v AB ? (?1, 3, 0), PB ? (0, 3, ?1), BC ? (?1, 0, 0)

D

C

第 58 页

共 x 100 页

A

B

y

设平面 PAB 的法向量为 即
?x ? 3y ? 0 3y ? z ? 0

??? ? ? n ? AB ? 0 ? n=(x,y,z) ,则 ? ??? , ? n ? PB ? 0 ? ?

因此可取 n= (

3,1, 3)
??? ? ? ? m ? PB ? 0 ? ? ??? ? ? m ? BC ? 0
cos m, n ? ?4 2 7 ?? 7 2 7

设平面 PBC 的法向量为 m,则 可取 m=(0,-1, ?
3)

故二面角 A-PB-C 的余弦值为 (19) (本小题满分 12 分)

?

2 7 7

某种产品的质量以其质量指标值衡量, 质量指标值越大表明质量越 好, 且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品, 现用两种新配方 (分 别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了 每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:

(Ⅰ)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用 B 配方生成的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量 指标值 t 的关系式为

第 59 页

共 100 页

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元) ,求 X 的分布列及数学期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一 件产品的质量指标值落入相应组的概率) 解析: (Ⅰ)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质的平率为
22 ? 8 =0.3 ,所以用 100

A 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3。
32 ? 10 ? 0.42 , 100

由试验结果知, 用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 所以用 B 配方生产的产品的优质品率的估计值为 0.42

(Ⅱ)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间

?90,94 ? , ?94,102 ? , ?102,110? 的频率分别为 0.04,,054,0.42,因此 X 的可能值
为-2,2,4 P(X=-2)=0.04, 即 X 的分布 X -2 P 0. 04 X 的数学期望 0.42=2.68 (20) (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,-1),B 点在直线 y = -3 上, M 点满足 MB / /OA ,
uuu r uur
uuu r uu u r uuu r uu r MA ? AB ? MB ? BA ,M

P(X=2)=0.54, 2 0. 54 4 0. 42 列为

P(X=4)=0.42,

值 EX=-2 × 0.04+2 × 0.54+4 ×

点的轨迹为曲线 C。

(Ⅰ)求 C 的方程;
第 60 页 共 100 页

(Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的 最小值。 解析; (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y),
uuu r
uuu r

uuu r

uuu r uu u r MB =(0,-3-y), AB =(x,-2).

再由题意可知( MA + MB )?

uu u r AB =0,

即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.

所以曲线 C 的方程式为 y= x 2 -2. (Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 率为 x 0 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x02 ? 0 。 则 o 点到 l 的距离 d ?
2 | 2 y0 ? x0 | 2 x0 ?4

1 4 1 C:y= x 2 -2 4

上一点,因为 y ' = x,所以 l 的斜

1 2

1 2

1 2

.又 y0 ? x02 ? 2 ,所以

1 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 d?2 ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ?4 2 x0 ?4

当 x02 =0 时取等号,所以 o 点到 l 距离的最小值为 2. (21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
x ? 2y ? 3 ? 0 。
a ln x b ? x ?1 x

,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为

(Ⅰ)求 a 、 b 的值; (Ⅱ)如果当 x ? 0 ,且 x ? 1 时, f ( x) ? 解析: (Ⅰ) f '( x) ?
?(
x ?1 ? ln x) b x ? 2 2 ( x ? 1) x

ln x k ? ,求 k 的取值范围。 x ?1 x

? f (1) ? 1, 1 由于直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 的斜率为 ? ,且过点 (1,1) ,故 ? ? 1 即 2 f '(1) ? ? , ? ? 2

第 61 页

共 100 页

?b ? 1, ? ?a 1 ?b ? ? , ? ?2 2

解得 a ? 1 , b ? 1。
ln x 1 ? ,所以 x ?1 x

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

ln x k 1 (k ? 1)( x 2 ? 1) f ( x) ? ( ? )? (2 ln x ? )。 x ?1 x 1 ? x2 x

考虑函数 h( x) ? 2ln x ? (i)设 k ? 0 ,由 h '( x) ?

(k ? 1)( x 2 ? 1) (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x 。 ( x ? 0) ,则 h '( x) ? x x2

k ( x 2 ? 1) ? ( x ? 1)2 x2

知,当 x ? 1 时, h '( x) ? 0 ,h(x)递减。而

h(1) ? 0 故当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,可得

1 h( x ) ? 0 ; 1 ? x2 1 当 x ? (1,+ ? )时,h(x)<0,可得 h(x)>0 1? x2 ln x k ln x k 从而当 x>0,且 x ? 1 时,f(x)-( + )>0,即 f(x)> + . x ?1 x x ?1 x

(ii) 设 0<k<1.由于 (k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x = (k ? 1) x 2 ? 2 x ? k ? 1的图像开口向下, 且 ? ? 4 ? 4(k ? 1)2 ? 0 ,对称轴 x=
1 1 ? 1 当 x ?(1, 1? k 1? k .

)时, (k-1) (x +1)
2

+2x>0,故 h ' (x)>0,而 h(1)=0,故当 x ? (1, 时,h(x)>0,可得
1 1? x2

1 1? k



h(x)<0,与题设矛盾。

(iii)设 k ? 1.此时 x 2 ? 1 ? 2 x ,(k ? 1)( x 2 ? 1) ? 2 x ? 0 ? h '(x)>0,而 h(1) =0,故当 x ?(1,+ ? )时,h(x)>0,可得
1 1? x2

h(x)<0,与题设矛盾。

综合得,k 的取值范围为(- ? ,0] 点评;求参数的范围一般用离参法,然后用导数求出最值进行求解。若求 导后不易得到极值点,可二次求导,还不行时,就要使用参数讨论法了。 即以参数为分类标准,看是否符合题意。求的答案。此题用的便是后者。 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的 第一题记分。做答时请写清题号。
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(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证 选讲如图, D , E 分别为 ?ABC 的边 AB , AC 上 点,且不与 ?ABC 的顶点重合。已知 AE 的长为 AC 的长为 n, AD , AB 的长是关于 x 的方程 x2 ? 14 x ? mn ? 0 的两个根。 (Ⅰ)证明: C , B , D , E 四点共圆; (Ⅱ)若 ?A ? 90? ,且 m ? 4, n ? 6 ,求 C , B , D , E 所在圆的半径。

明 的
m,

解析: (I ) 连接 DE, 根据题意在△ADE 和△ACB 中,AD ? AB ? mn ? AE ? AC 即
AD AE .又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB ? AC AB

因此∠ADE=∠ACB

所以 C,B,D,E 四点共圆。 (Ⅱ)m=4, n=6 时,方程 x -14x+mn=0 的两
2





x1=2,x2=12.故

AD=2,AB=12.

取 CE 的中点 G,DB 的中点 F,分别过 G,F 作 AC,AB 的垂线,两垂 线相交于 H 点,连接 DH.因为 C,B,D,E 四点共圆,所以 C,B,D,E 四点所在圆的圆心为 H,半径为 DH. 由于∠A=90 ,故 GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5,DF=
0

1 (12-2)=5. 2

故 C,B,D,E 四点所在圆的半径为 5

2

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
? x ? 2 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 2 ? 2sin ?

M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程

uu u v

uuuv

第 63 页

共 100 页

(Ⅱ)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中, 射线 ? ? 与 C1 的异于极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求
x y 2 2
AB

?
3

.

解析; (I)设 P(x,y),则由条件知 M( , ).由于 M 点在 C1 上,所以
?x ? ? 2 cos ? , ? ? ?2 ? ? ? ? y ? 2 ? 2sin ? ? ?2 ? ? ?



? x ? 4 cos ? ? ? ? ? y ? 4 ? 4 sin ? ?

从而 C 2 的参数方程为
? x ? 4 cos ? ( ? 为参数) ? ? y ? 4 ? 4sin ?

(Ⅱ) 曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 4sin ? , 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8sin ? 。 射线 ? ? 与 C1 的交点 A 的极径为 ?1 ? 4sin , 射线 ? ? 与 C 2 的交点 B 的极径为 ? 2 ? 8sin 。
3 3

? ?

?

3

?

3

所以 | AB |?| ? 2 ? ? 1 |? 2

3.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?
x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? x | x ? ?1 ? ,求 a 的值。 解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 3x ? 2 可化为 | x ?1|? 2 。 由此可得
x ? 3 或 x ? ?1 。

故不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集为 {x | x ? 3 或 x ? ?1} 。 ( Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得 此不等式化为不等式组 ?
x ? a ? 3x ? 0

?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0

或?

?x ? a ?a ? x ? 3x ? 0

第 64 页

共 100 页



?x ? a ? ? a x? ? ? 4

?x ? a ? a 或? x?? ? ? 2

因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ?x | x ? ? 由题设可得 ? = ?1,故 a ? 2
a 2

a 2

?

2012 年普通高等学校招生全国统一考试 理 科 数 学 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一个是符合题目要求的。 1、已知集合 A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A}, 则 B 中所含元素的个数为 (A)3 (B)6 (C)8 (D)10

2、将 2 名教师,4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社 会实践活动,每个小组有 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共 有 (A)12 种 3、下面是关于复数 z= P1: z =2 P3:z 的共轭复数为 1+i 其中真命题为 (A). P2 ,P3 4、 设 F1, F2 是椭圆 E: (B) P1 ,P2
x a2
2

(B)10 种
2 的四个命题 ?1 ? i

(C)9 种

(D)8 种

P2:

z 2 =2i

P4 :z 的虚部为-1

(C)P2,P4

(D)P3,P4
2a 3

+

y b2

2

=1 (a>b>0)的左、 右焦点 , P 为直线 x ?
共 100 页

第 65 页

上的一点, △F2 PF1 是底角为 30° 的等腰三角形,则 E 的离心率为 (A)1
4 5 2

(B)2
3

(C)

3 4

(D)

5、已知{ an }为等比数列, a4 ? a1 ? 2 , a5 ? a6 ? ?8 ,则 a1 ? a10 ? (A)7 (B)5 (C)-5 (D)-7

6、如果执行右边的程序图,输入正整数 N ( N ? 2) 和 实数 a1 , a2 ,? an ,输入 A,B,则 (A)A+B 为的 a1 , a2 ,? an 和 (B)
A? B 为 a1 , a2 ,? an 的算式平均数 2

(C)A 和 B 分别是 a1 , a2 ,? an 中最大 的数和最小的数 (D)A 和 B 分别是 a1 , a2 ,? an 中最小 的数和最大的数

7、如图,网格纸上小正方形的边长为 1, 粗线画出的是某几何体的三视图,则此几 何体的体积为 (A)6 (C)12 (D)18 (B)9

8、等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, C 与抛物线 y 2 ? 16 x 的准线交于 A , B 两点, 长为 (A)
2
AB ? 4 3 ,则 C 的实轴

(B)

2 2

(C) 4
共 100 页

(D)8

第 66 页

9、已知 w>0,函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 在 ( ? , ? ) 单调递减,则 ? 的取值范围是 (A) [ 1 , 5 ] 2 4
4 1 3 ( B) [ , ] 2 4 2

(C) (0, 1 ]
2

(D) (0,2]

10、已知函数 f ( x) ?
y

1 ,则 y ? f ( x) 的图像大致为 ln( x ? 1) ? x

y

1 O 1
(A)

x
(B)

1 O 1

x

y

y

1 O 1
(C)

x
(D)

1 O 1

x

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共 100 页

11、 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为 O 的直径,且 SC=2,则此棱锥的体积为 (A)
2 2 2 6

(B)

3 6

(C)

2 3

(D)

12、设点 P 在曲线 y ? (A) 1 ? ln 2

1 x e 上,点 2

Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则|PQ|的最小值为 (C) 1 ? ln 2 (D)
2 (1 ? ln 2)

(B)

2 (1 ? ln 2)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个 试题考生都必须作答。第 22 题~第 24 题为选考题,考试依据要求作答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13、已知向量 a ,b 夹角为 45° ,且 a
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? 1 , 2a ? b ? 10 ,则 b
共 100 页

=____________.

14、设 x,y

? x ? y ? ?1 ?x ? y ? 3 满足约束条件 ? 则 z ? x ? 2 y 的取值范围为__________. ? x ? 0 ? ? ?y ? 0

15、某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正 常工作,且元件 3 正常工作,则部件正常工作。设三个电子元件的使用 寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1000, 50 2 ) ,且各个元件能否正 常工作互相独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 _________________.

元件 1 元件 3 元件 2

16、数列 ?a n ?满足 an?1 ? (?1) n an ? 2n ? 1 ,则 ?a n ?的前 60 项和为________。

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共 100 页

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 的三个内角 A,B, C 的对边, a cosC ? (Ⅰ)求 A; (Ⅱ)若 a ? 2 , △ABC 的面积为
3 ,求 b , c 。

3a sin C ? b ? c ? 0 。

18、 (本小题满分 12 分) 某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售。如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。 (Ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y (单位:元)关于 当天需求量 n (单位:枝, n ? N )的函数解析式。 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

(Ⅱ)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝) ,整理得下表:

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。 (ⅰ)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, x 表示当天的利润(单位:元) ,求
x 的分布列、数学期望及方差;

(ⅱ)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还

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共 100 页

是 17 枝?请说明理由。

19、 (本小题满分 12 分)
1 如图, 直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, DC1 ? BD 。 AC ? BC ? AA1 , D 是棱 AA1 的中点, 2
C1 B1

(1) 证明: DC1 ? BC ; (2) 求二面角 1 A1 ? BD ? C 的大小。

A1

D
C

B

A

20、 (本小题满分 12 分) 设抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点为 F ,准线为 l, A 为 C 上一点,已知以 F 为圆心, FA 为半径的圆 F 交 l 于 B , D 两点。 (1) 若∠BFD=90° , △ABD 的面积为 4
2 ,求 p 的值及圆 F 的方程;

(2) 若 A, B, F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 之有一个 公共点,求坐标原点到 m , n 距离的比值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) 满足 f ( x) ?
f ' (1)e x ?1 ? f (0) x ? 1 2 x 2
共 100 页

第 71 页

(1) 求 f ( x) 的解析式及单调区间; (2) 若 f ( x) ? 1 x 2 ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。
2

第 72 页

共 100 页

请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答,如果多做,则按所做的第一 题计分。作答时请写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4—1;几何证明选讲 如图,D,E 分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC 的 外接圆于 F,G 两点,若 CF∥AB,证明:
A

(Ⅰ)CD=BC;
G

D

E

F

(Ⅱ) △BCD ∽△GBD 。

B

C

23、 (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 已知曲线 C1 的参数方程式 ?
? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点,x ? y ? 3 sin ?

轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C 2的极坐标方程式 ? ? 2 。正方形
A B C D 的顶点都在 C 2 上,且 A , B , C , D 依逆时针次序排列,点A的极

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共 100 页

坐标为 (2, ? ) 。
2

(Ⅰ)求点 A , B , C , D 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求 PA 2 ? PB 2 ? PC 2 ? PD 2 的取值范围。

24、 (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲 已知函数 f ( x) ?
x?a ? x?2

(Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 x ? 3 的解集; (2)若 f ?x ? ?
x ? 4 的解集包含 [1,2] ,求 a 的取值范围。

答案 一、选择: 1 D 7 2 A 8 3 C 9
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4 C 10
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5 D 11

6 C 12

B 二、填空: 13、 3 15、 3
8

C

A

B

A

B

2

14.、[-3,3] 16、1830

三、解答: 17、 (1)由正弦定理得:
a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C

? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin( a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60? 1 2

(2) S ? 1 bc sin A ?
2

3 ? bc ? 4

a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4

b?c?2

18、 (1)当 n ? 16 时, y ? 16 ? (10 ? 5) ? 80 当 n ? 15 时, y ? 5n ? 5(16 ? n) ? 10n ? 80 得: y ? ?
?10n ? 80( n ? 15) (n ? N ) ( n ? 16) ? 80

(2) (i) X 可取 60 , 70 , 80
P( X ? 60) ? 0.1, P( X ? 70) ? 0.2, P( X ? 80) ? 0.7

X X
P

的分布列为
60
0.1

70
0.2

80
0.7

EX ? 60 ? 0.1 ? 70 ? 0.2 ? 80 ? 0.7 ? 76
DX ? 162 ? 0.1 ? 62 ? 0.2 ? 42 ? 0.7 ? 44

(ii)购进 17 枝时,当天的利润为
第 75 页 共 100 页

y ? (14 ? 5 ? 3 ? 5) ? 0.1 ? (15 ? 5 ? 2 ? 5) ? 0.2 ? (16 ? 5 ? 1? 5) ? 0.16 ? 17 ? 5 ? 0.54 ? 76.4

76.4 ? 76

得:应购进 17 枝

19、 (1)在 Rt?DAC 中, AD ? AC 得: ?ADC ? 45? 同理: ?A1DC1 ? 45? ? ?CDC1 ? 90? 得: DC1 ? DC, DC1 ? BD ? DC1 ? 面 BCD ? DC1 ? BC (2) DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A1 ? BC ? AC 取 A1 B1 的中点 O ,过点 O 作 OH ? BD 于点 H ,连接 C1O, C1H
A1C1 ? B1C1 ? C1O ? A1B1 ,面 A1 B1C1 ? 面 A1 BD ? C1O ? 面 A1 BD OH ? BD ? C1H ? BD

得:点 H 与点 D 重合

且 ?C1DO 是二面角 A1 ? BD ? C1 的平面角 设 AC ? a ,则 C1O ?
2a , C1D ? 2a ? 2C1O ? ?C1DO ? 30? 2

既二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30? 20、 (1)由对称性知: ?BFD 是等腰直角 ? ,斜边 BD 点 A 到准线 l 的距离 d ?
FA ? FB ? 2 p

? 2p

1 S?ABD ? 4 2 ? ? BD ? d ? 4 2 ? p ? 2 2

圆 F 的方程为 x2 ? ( y ? 1)2 ? 8 (2)由对称性设 A( x0 ,
2 x0 p )( x0 ? 0) ,则 F (0, ) 2p 2

2 2 x0 x0 p 点 A, B 关于点 F 对称得: B(? x0 , p ? ) ? p ? ? ? ? x02 ? 3 p 2 2p 2p 2

3p p ? 3p 2 2 x ? p ? x ? 3y ? 3 p ? 0 得: A( 3 p, ) ,直线 m : y ? 2 2 2 3p

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共 100 页

x 2 ? 2 py ? y ?

x2 x 3 3 3p p ? y? ? ? ?x? p ? 切点 P( , ) 2p p 3 3 3 6

直线 n : y ?

p 3 3p 3 ? (x ? ) ? x ? 3y ? p?0 6 3 3 6
3p 3p : ?3。 2 6

坐标原点到 m, n 距离的比值为 21、(1) f ( x) ?

1 f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ? f ?( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) ? x 2

令 x ? 1 得: f (0) ? 1
1 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? x ? x 2 ? f (0) ? f ?(1)e ?1 ? 1 ? f ?(1) ? e 2 1 得: f ( x) ? e x ? x ? x 2 ? g ( x) ? f ?( x) ? e x ? 1 ? x 2

g ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增

f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0

得: f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e x ? x ?

1 2 x 2

且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 (??,0) (2) f ( x) ?
1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? e x ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增
x ? ?? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛盾

②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1) ln(a ? 1) ? b ? 0
(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ? 1)(a ? 1 ? 0)

令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)
F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e

当x?

e 时, F ( x)max ?

e 2

第 77 页

共 100 页

当a ?

e ? 1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

e 2

22、(1) CF / / AB , DF / / BC ? CF / /BD / / AD ? CD ? BF
CF / / AB ? AF ? BC ? BC ? CD

(2) BC / /GF ? BG ? FC ? BD
BC / /GF ? ?GDE ? ?BGD ? ?DBC ? ?BDC ? ?BCD ? ?GBD 24、 (1)点 A, B, C, D 的极坐标为 (2, ? ), (2, 5? ), (2, 4? ), (2, 11? ) 3 6 3 6

点 A, B, C, D 的直角坐标为 (1, (2)设 P( x0 , y0 ) ;则 ?
2 2

3), (? 3,1), (?1, ? 3), ( 3, ?1)

? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin?
2 2

t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 40
2 ? 5 6? 2 0 s ? i n?

[56, 76]
x ?3 ? x ?2 ? 3

23、 (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ?

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? ?? 或? ? 或? ? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3

? x ? 1或 x ? 4

(2)原命题 ?

f ( x) ? x ? 4

在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立

? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0

第 78 页

共 100 页

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共 100 页

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. (2013 课标全国Ⅱ, 理 1)已知集合 M={x|(x-1) <4, x∈R}, N={-
2

1,0,1,2,3},则 M∩N=( A . {0,1,2} D.{0,1,2,3}

). B . { - 1,0,1,2} C . { - 1,0,2,3} ).

2.(2013 课标全国Ⅱ,理 2)设复数 z 满足(1-i)z=2i,则 z=( A.-1+i B.-1-I ).
1 C. 9

C.1+i

D.1-i

3.(2013 课标全国Ⅱ,理 3)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 S3=a2 +10a1,a5=9,则 a1=(
1 A. 3 ? 1 3 ? 1 9

B.

D.

4.(2013 课标全国Ⅱ,理 4)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α ,n⊥平 面 β .直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l α ,l β ,则( A.α ∥β 且 l∥α ⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l 交,且交线平行于 l 5.(2013 课标全国Ⅱ,理 5)已知(1+ax)(1+x) 的展开式中
5

).

B.α ⊥β 且 l D.α 与 β 相

第 80 页

共 100 页

x 的系数为 5,则 a=(
2

). C.-2 D.-1

A.-4 那么输出的 S=(

B.-3 ).

6.(2013 课标全国Ⅱ,理 6)执行下面的程序框图,如果输入的 N=10,

1 1 1 1+ ? ? ? ? 10 A. 2 3

B.

1+

1 1 1 ? ??? 2! 3! 10!

1 1 1 1+ ? ? ? ? 11 C. 2 3

D.

1+

1 1 1 ? ??? 2! 3! 11!

7. (2013 课标全国Ⅱ, 理 7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三 视图中的正视图时,以 zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( ).

8. (2013 课标全国Ⅱ, 理 8)设 a=log36, b=log510, c=log714, 则( A.c>b>a c 9.(2013 课标全国Ⅱ,理 9)已知 a>0,x,y z=2x+y 的最小值为 1,则 a=(
1 A. 4 1 B. 2

).

B.b>c>a

C.a>c>b

D.a>b>

? x ? 1, 满足约束条件 ? ? x ? y ? 3, 若 ? y ? a ? x ? 3?. ?

). D.2
3 2

C.1

10.(2013 课标全国Ⅱ,理 10)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,下列结
第 81 页 共 100 页

论中错误的是(

).

A. ? x0∈R,f(x0)=0 B.函数 y=f(x)的图像是中心对称图形 C.若 x0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x0)单调递减 D.若 x0 是 f(x)的极值点,则 f′(x0)=0 11.(2013 课标全国Ⅱ,理 11)设抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,
2

点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 ( ). A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x

12.(2013 课标全国Ⅱ,理 12)已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直 线 y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分, 则 b 的取值范围是 ( ). A . (0,1)
?1 1 ? , ? ? 3 ? D. 2 ?
? 2 1? ? ?1 ? 2 , 2 ? ? ? B. ? ? 2 1? ? ?1 ? 2 , 3 ? ? C. ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试 题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.(2013 课标全国Ⅱ,理 13)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 AE ? BD =__________. 14.(2013 课标全国Ⅱ,理 14)从 n 个正整数 1,2,…,n 中任意取 出两个不同的数 ,若取出的两数 之和等于 5 的概率为 __________. 15.(2013 课标全国Ⅱ,理 15)设 θ 为第二象限角,若 tan ? ?? ?
? π? 1 ?? , 4? 2

??? ? ??? ?

1 14

,则 n =

则 sin θ +cos θ =__________.
第 82 页 共 100 页

16.(2013 课标全国Ⅱ,理 16)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S10=0,S15=25,则 nSn 的最小值为__________. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(2013 课标全国Ⅱ,理 17)(本小题满分 12 分)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 a=bcos C+csin B. (1)求 B; (2)若 b=2,求△ABC 面积的最大值.

第 83 页

共 100 页

18.(2013 课标全国Ⅱ,理 18)(本小题满分 12 分)如图,直三棱柱 ABC -A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB =
2 AB . 2

(1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

19.(2013 课标全国Ⅱ,理 19)(本小题满分 12 分)经销商经销某种农产 品,在一个销售季度内,每售出 1 t 该产品获利润 500 元,未售出的产 品,每 1 t 亏损 300 元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的 频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了 130 t 该 农产品.以 X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求 量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (1)将 T 表示为 X 的函数; (2)根据直方图估计利润 T 不少于 57 000 元的概率; (3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值, 并以需求量落入该区间的频率作为需 求量取该区间中点值的概率(例如: 若 需求量 X∈[100,110),则取 X=105,
第 84 页 共 100 页

且 X=105 的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求 T 的数学期望.

第 85 页

共 100 页

20.(2013 课标全国Ⅱ,理 20)(本小题满分 12 分)平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 两点,P 为 AB
x2 y2 ? =1 (a>b>0)右焦点的直线 x ? y ? 3 ? 0 交 a 2 b2 的中点,且 OP 的斜率为 1 . 2

M 于 A,B

(1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最大值.

21.(2013 课标全国Ⅱ,理 21)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e -
x

ln(x+m). (1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.

第 86 页

共 100 页

请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分,做答时请写清题号. 22.(2013 课标全国Ⅱ,理 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明 选讲 如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线 CD 于点 D,E,F 分 别为弦 AB 与弦 AC 上的点,且 BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (1)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径; (2)若 DB=BE=EA,求过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积 的比值.

23.(2013 课标全国Ⅱ,理 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与 参数方程 已知动点 P,Q 都在曲线 C: ?
? x ? 2 cos t , (t ? y ? 2sin t

为参数)上,对应参数分别为 t

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=α 与 t=2α (0<α <2π ),M 为 PQ 的中点. (1)求 M 的轨迹的参数方程; (2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 α 的函数,并判断 M 的轨迹是否过 坐标原点.

第 88 页

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24.(2013 课标全国Ⅱ,理 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选 讲 设 a,b,c 均为正数,且 a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤ 1 ;
3
a b c ? ? ? 1. b c a
2 2 2

(2)

第 89 页

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2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (全国新课标卷 II) 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:A 解析:解不等式(x-1) <4,得-1<x<3,即 M={x|-1<x<3}.而 N
2

={-1,0,1,2,3},所以 M∩N={0,1,2},故选 A. 2. 答案:A 解析: z = 3. 答案:C 解析:设数列{an}的公比为 q,若 q=1,则由 a5=9,得 a1=9,此时 S3 =27,而 a2+10a1=99,不满足题意,因此 q≠1. ∵q≠1 ∴
1 ? q3 1? q a1 (1 ? q 3 ) 时,S3= =a1·q+10a1, 1? q

2i 2i?1 ? i ? ?2 ? 2i = =-1+i. ? 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ? 2

=q+10,整理得 q =9.
2 4

∵a5=a1·q =9,即 81a1=9,∴a1= . 4. 答案:D 解析:因为 m⊥α ,l⊥m,l α ,所以 l∥α .同理可得 l∥β . 又因为 m, n 为异面直线, 所以 α 与 β 相交, 且 l 平行于它们的交线. 故 选 D. 5. 答案:D

1 9

第 90 页

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r r x (0≤r≤5,r∈Z),则含 解析:因为(1+x) 的二项展开式的通项为 C5

5

2 2 x +ax· C1 x 的项为 C5 5 x =(10+5a)x ,所以 10+5a=5,a=-1.

2

2

6. 答案:B 解析:由程序框图知,当 k=1,S=0,T=1 时,T=1,S=1; 当 k=2 时, T ? 1 , S =1+ 1 ;
2

当 当 当

2 1 k=3 时, T ? , S ? 1+ 1 ? 1 ; 2?3 2 2?3 1 1 1 1 k=4 时, T ? , S ? 1+ ? ;…; ? 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3? 4 1 k=10 时,T ? , S ? 1+ 1 ? 1 ? ? ? 1 ,k 2 ? 3 ? 4 ???10 2! 3! 10!

增加 1 变为 11,满

足 k>N,输出 S,所以 B 正确. 7. 答案:A 解析:如图所示,该四面体在空间直角坐标系 O-xyz 的图像为下图:

则它在平面 zOx 上的投影即正视图为 8. 答案:D 解析:根据公式变形,
b? a? lg 6 lg 2 ? 1? lg 3 lg 3

,故选 A.



lg10 lg 2 lg14 lg 2 ? 1? ? 1? ,c ? ,因为 lg 5 lg 5 lg 7 lg 7

lg 7>lg

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5>lg 3,所以 lg 2 ? lg 2 ? lg 2 ,即 c<b<a.故选 D.
lg 7 lg 5 lg 3

9. 答案:B 解析:由题意作出 ?
? x ? 1, 所表示的区域如图阴影部分所示, ?x ? y ? 3

作直线 2x+y=1,因为直线 2x+y=1 与直线 x=1 的交点坐标为(1,- 1),结合题意知直线 y=a(x-3)过点(1,-1),代入得 a ? 1 ,所以 a ? 1 .
2 2

10. 答案:C 解析:∵x0 是 f(x)的极小值点,则 y=f(x)的图像大 致如下图所示,则在(-∞,x0)上不单调,故 C 不 正确. 11. 答案:C 解析:设点 M 的坐标为(x0,y0),由抛物线的定义,得|MF|=x0+ p =5,
2

则 x0=5-

p . 2
p ? , 0 ? ,所以以 ?2 ?

又点 F 的坐标为 ? ? (y-y0)y=0.

MF 为直径的圆的方程为(x-x0) ? ?x?
?

p? ?+ 2?

将 x=0,y=2 代入得 px0+8-4y0=0,即 由 y0 2 =2px0,得16 ? 2 p ? ?5 ?
?
2

y0 2 2

-4y0+8=0,所以 y0=4.

p? ? ,解之得 2?
2

p=2,或 p=8.

所以 C 的方程为 y =4x 或 y =16x.故选 C. 12. 答案:B 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21
第 92 页 共 100 页

题为必考题,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题, 考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:以 AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系, 如图所示,则点 A 的坐标为(0,0),点 B 的坐标为(2,0),点 D 的坐标为 (0,2), 点 E 的坐标为(1,2), 则 AE =(1,2), 所以 AE ? BD ? 2 . BD =(-2,2), 14.答案:8 解析:从 1,2,…,n 中任取两个不同的数共有 C 2 n 种取法,两数之和为 5 的有(1,4),(2,3)2 种,所以 15.答案: ?
2 1 2 4 1 ? ,即 ? ? ,解得 2 n? n ? 1? n? n ? 1? 14 C n 14 2

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

n=8.

10 5 π ? 1 ? tan ? 1 1 解析:由 tan ? ? ,得 tan θ = ? ,即 ?? ? ? ? 4 ? 1 ? tan ? 2 3 ? 2 2 将其代入 sin θ +cos θ =1,得 10 cos2? ? 1 . 9 3 10 因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ = ? ,sin 10 10 cos θ = ? . 5

sin θ = ? 1 cos θ .
3

θ =

10 ,sin 10

θ +

16.答案:-49 解析:设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则 S10=10a1+10 ? 9 d =10a1+45d
2

=0,①
15 ?14 d =15a1+105d=25.② 2 2 联立①②,得 a1=-3, d ? , 3 n(n ? 1) 2 1 2 10 所以 Sn= ?3n ? ? ? n ? n. 2 3 3 3 1 3 10 2 20 令 f(n)=nSn,则 f (n) ? n ? n , f '(n) ? n2 ? n . 3 3 3 20 令 f′(n)=0,得 n=0 或 n ? . 3

S15=15a1 ?

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当 n ? 20 时,f′(n)>0, 0<n< 20 时,f′(n)<0,所以当 n ? 20 时,f(n)取
3 3 3

最小值,而 n∈N+,则 f(6)=-48,f(7)=-49,所以当 n=7 时,f(n) 取最小值-49. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)由已知及正弦定理得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B.① 又 A=π -(B+C),故 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和 C∈(0,π )得 sin B=cos B, 又 B∈(0,π ),所以 B ? . (2)△ABC 的面积 S ?
1 2 ac sin B ? ac . 2 4
2 2

π 4

由已知及余弦定理得 4=a +c - 2ac cos π .
4

又 a +c
2

2

4 ≥2ac,故 ac ? 2? 2

,当且仅当 a=c 时,等号成立.

因此△ABC 面积的最大值为 18.

2+1 .

解:(1)连结 AC1 交 A1C 于点 F,则 F 为 AC1 中点. 又 D 是 AB 中点,连结 DF,则 BC1∥DF. 因为 DF?平面 A1CD,BC1 平面 A1CD, 所以 BC1∥平面 A1CD. (2)由 AC=CB= 以C 标系 C-xyz. 设 CA=2,则 D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2), CD =(1,1,0), CE = (0,2,1), CA1 =(2,0,2).
????

2 AB 得,AC⊥BC. 2 ??? ? 为坐标原点, CA 的方向为 x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐

??? ?

??? ?

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设 n=(x1,y1,z1)是平面 A1CD 的法向量,
??? ? ?n ? CD ? 0, ? x ? y ? 0, ? 则 ? ???? 即? 1 1 ? 2 x1 ? 2 z1 ? 0. ? ?n ? CA1 ? 0,

可取 n=(1,-1,-1). 同理,设 m 是平面 A1CE 的法向量,
??? ? ? ?m ? CE ? 0, 则 ? ???? 可取 m ? CA ? 0, ? ? 1

m=(2,1,-2).
n· m 3 ? , | n || m | 3

从而 cos〈n,m〉= 故 sin〈n,m〉=

6 . 3
6 . 3

即二面角 D-A1C-E 的正弦值为 19.

解:(1)当 X∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000, 当 X∈[130,150]时,T=500×130=65 000. 所以 T ? ?
?800 X ? 39000,100 ? X ? 130, ?65000,130 ? X ? 150.

(2)由(1)知利润 T 不少于 57 000 元当且仅当 120≤X≤150. 由直方图知需求量 X∈[120,150]的频率为 0.7,所以下一个销售季度内 的利润 T 不少于 57 000 元的概率的估计值为 0.7. (3)依题意可得 T 的分布列为 45 T 000 P 0.1 53 000 0.2 61 000 0.3 65 000 0.4

所以 ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400. 20. 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0), 则
x12 y12 x2 2 y2 2 y ?y ? =1 ? 2 =1 , 2 1 = ? 1 , , 2 2 2 x2 ? x1 a b a b
b 2 ? x2 ? x1 ? y ?y ? ? 2 1 =1 . 2 a ? y2 ? y1 ? x2 ? x1

由此可得

第 95 页

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因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, 所以 a =2b .
2 2

y0 1 ? , x0 2

又由题意知,M 的右焦点为( 因此 a =6,b =3.
2 2

3 ,0),故

a -b =3.
2 2

所以 M 的方程为

x2 y2 ? =1 . 6 3

? x ? y ? 3 ? 0, (2)由 ? ? x2 y2 ? 1, ? ? 3 ?6 ? 4 3 , ?x ? ? x ? 0, ? 3 解得 ? 或? ? ? ? y ? 3. ?y ? ? 3 , ? 3 ?

因此|AB|=

4 6 3

.

由题意可设直线 CD 的方程为 y= x ? n ? ??
? 5 3 ? ? n ? 3? ?, 3 ? ?

设 C(x3,y3),D(x4,y4).
? y ? x ? n, 由? 得 ? x2 y2 ?1 ? ? 3 ?6

3x +4nx+2n -6=0.
2 2

于是

?2n ? 2?9 ? n 2 ? x3,4= 3

.

因为直线 CD 的斜率为 1, 所以|CD|=
2 | x4 ? x3 |? 4 9 ? n2 3

. .

1 8 6 | CD | ? | AB |? 9 ? n2 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3

由已知,四边形 ACBD 的面积 S ?

21. 解:(1)f′(x)= e x ?
1 . x?m

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由 x=0 是 f(x)的极值点得 f′(0)=0,所以 m=1. 于是 f(x)=e -ln(x+1),定义域为(-1,+∞),f′(x)= e x ?
x

1 . x ?1

函数 f′(x)= e x ?

1 在(-1,+∞)单调递增,且 x ?1

f′(0)=0.

因此当 x∈(-1,0)时,f′(x)<0; 当 x∈(0,+∞)时,f′(x)>0. 所以 f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)当 m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当 m =2 时,f(x)>0. 当 m=2 时,函数 f′(x)= e x ? 又 f′(-1)<0,f′(0)>0, 故 f′(x)=0 在(-2,+∞)有唯一实根 x0,且 x0∈(-1,0). 当 x∈(-2,x0)时,f′(x)<0; 当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,从而当 x=x0 时,f(x)取得最小值. 由 f′(x0)=0 得 e x =
0

1 在(-2,+∞)单调递增. x?2

1 ,ln(x0+2)=-x0, x0 ? 2

故 f(x)≥f(x0)=

? x ? 1?2 1 +x0= 0 x0 ? 2 x0 ? 2

>0.

综上,当 m≤2 时,f(x)>0. 请考生在第 22、23、24 题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分,做答时请写清题号. 22. 解:(1)因为 CD 为△ABC 外接圆的切线, 所以∠DCB=∠A,由题设知
BC DC , ? FA EA

故△CDB∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA. 因为 B,E,F,C 四点共圆, 所以∠CFE=∠DBC, 故∠EFA=∠CFE=90°. 所以∠CBA=90°,因此 CA 是△ABC 外接圆的直径.
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(2)连结 CE,因为∠CBE=90°,所以过 B,E,F,C 四点的圆的直径为 CE,由 DB=BE,有 CE=DC,又 BC =DB·BA=2DB ,所以 CA =4DB +BC
2 2 2 2 2

=6DB .
2

而 DC =DB·DA=3DB ,故过 B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆
2 2

面积的比值为 . 23. 解:(1)依题意有 P(2cos α ,2sin α ),Q(2cos 2α ,2sin 2α ), 因此 M(cos α +cos 2α ,sin α +sin 2α ). M 的轨迹的参数方程为 ?
? x ? cos ? ? cos 2? , (α ? y ? sin ? ? sin 2?

1 2

为参数,0<α <2π ).

(2)M 点到坐标原点的距离
d ? x 2 ? y 2 ? 2 ? 2 cos ?

(0<α <2π ).

当 α =π 时,d=0,故 M 的轨迹过坐标原点. 24. 解:(1)由 a +b ≥2ab,b +c ≥2bc,c +a ≥2ca,
2 2 2 2 2 2 2

得 a +b +c ≥ab+bc+ca.
2 2

由题设得(a+b+c) =1,即 a +b +c +2ab+2bc+2ca=1.
2 2 2 2

所以 3(ab+bc+ca)≤1,即 ab+bc+ca≤ .
a2 b2 c2 ? b ? 2a , ? c ? 2b , ? a ? 2c , b c a 2 2 2 a b c 故 ? ? ? (a ? b ? c) ≥2(a+b+c), b c a 2 a b2 c2 即 ? ? ≥a+b+c. b c a 2 a b2 c2 所以 ? ? ≥1. b c a

1 3

(2)因为

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