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第30届全国中学生物理竞赛复赛答案


1

第 30 届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准
一、参考解答: 以滑块和地球为系统,它在整个运动过程中机械能守恒. 滑块沿半球面 内侧运动时,可将其速度 v 分解成纬线切向 (水平方向)分量 v? 及经线 切向分量 v? . 设滑块质量为 m ,在某中间状态时,滑块位于半球面内 侧 P 处, P 和球心 O 的连线与水平方向的夹角为

? . 由机械能守恒得

O

?

P

1 1 1 2 2 2 mv0 ? ?mgR sin ? ? mv? ? mv? 2 2 2

(1)

这里已取球心 O 处为重力势能零点. 以过 O 的竖直线为轴. 球面对滑块的支持力通过该轴,力矩为 零;重力相对于该轴的力矩也为零. 所以在整个运动过程中,滑块相对于轴的角动量守恒,故

mv0 R ? mv? R cos? .
由 (1) 式,最大速率应与 ? 的最大值相对应

(2)

vmax ? v(?max ) .
而由 (2) 式, q 不可能达到 π

(3)

2 . 由(1)和(2)式, q 的最大值应与 v? ? 0 相对应,即
v? (?max ) ? 0 .
(4)

[ (4)式也可用下述方法得到:由 (1)、(2) 式得
2 2 2gR sin? ? v0 tan2 ? ? v? ?0.

若 sin ? ? 0 ,由上式得

sin ? 2 gR ? 2 . 2 cos ? v0
实际上, sin ? =0 也满足上式。由上式可知

sin ?max 2 gR ? 2 . 2 cos ?max v0
由(3)式有
2 2 v? (?max ) ? 2gR sin ?max ? v0 tan2 ?max ? 0 .

(4’)

] 将 v? (?max ) ? 0 代入式(1),并与式(2)联立,得
2 v0 sin 2 ? max ? 2 gR sin ? max ?1 ? sin 2 ? max ? ? 0 .

(5)

以 sin ? max 为未知量,方程(5)的一个根是 sinq

= 0 ,即 q = 0 ,这表示初态,其速率为最小值,不

是所求的解. 于是 sin ?max ? 0 . 约去 sin ? max ,方程(5)变为

2
2 2gR sin 2 ?max ? v0 sin ?max ? 2gR ? 0 .

(6)

其解为

sin ? max ?

2 ? ? v0 g 2 R2 ? 1 ? 16 4 ? 1? . ? 4 gR ? v0 ? ?

(7)

注意到本题中 sin ? ? 0 ,方程(6)的另一解不合题意,舍去. 将(7)式代入(1)式得,当 ? ? ?max 时,
2 v? ?

1 2 4 v0 ? v0 ? 16 g 2 R 2 , 2

?

?

(8)

考虑到(4)式有
2 vmax ? v? ?

1 2 4 v0 ? v0 ? 16 g 2 R 2 . 2

?

?

(9)

评分标准:本题 15 分. (1)式 3 分, (2) 式 3 分,(3) 式 1 分,(4) 式 3 分, (5) 式 1 分,(6) 式 1 分, (7) 式 1 分, (9) 式 2 分. 二、参考解答: 1. 由于碰撞时间 ?t 很小,弹簧来不及伸缩碰撞已结束. 设碰后 A、C、D 的速度分别为 vA 、 vC 、
vD ,显然有

vD ?

2l vC r .

(1)

以 A、B、C、D 为系统,在碰撞过程中,系统相对于轴不受外力矩作用,其相对于轴的角动量守 恒
mvD 2l ? mvC r ? mvA 2l ? mv0 2l .

(2)

由于轴对系统的作用力不做功,系统内仅有弹力起作用,所以系统机械能守恒. 又由于碰撞时间 ?t 很小,弹簧来不及伸缩碰撞已结束,所以不必考虑弹性势能的变化. 故

1 2 1 2 1 2 1 2 mvD ? mvC ? mvA ? mv0 . 2 2 2 2
由 (1)、(2)、(3) 式解得

(3)

vC ?

4lr 8l 2 r2 v , vD ? 2 2 v0 , vA ? ? 2 2 v0 2 0 8l ? r 8l ? r 8l ? r
2

(4)

[代替 (3) 式,可利用弹性碰撞特点
v0 ? vD ? v A .

(3’)

同样可解出(4). ] 设碰撞过程中 D 对 A 的作用力为 F1? ,对 A 用动量定理有

F1??t ? mvA ? mv0 ? ?

4l 2 ? r 2 2mv0 , 8l 2 ? r 2

(5)

3
方向与 v 0 方向相反. 于是,A 对 D 的作用力为 F1 的冲量为

F1?t ?
方向与 v 0 方向相同.

4l 2 ? r2 2mv0 8l 2 ? r2

(6)

以 B、C、D 为系统,设其质心离转轴的距离为 x ,则
x? mr ? m 2l 2l ? r . ? (? ? 2) m ? ? 2

(7)

质心在碰后瞬间的速度为
v? vC 4l (2l ? r ) x? v0 . r (? ? 2)(8l 2 ? r 2 )

(8)

轴与杆的作用时间也为 ?t ,设轴对杆的作用力为 F2 ,由质心运动定理有

F2 ?t ? F1?t ? ?? ? 2? mv ?
由此得

4l (2l ? r) mv0 . 8l 2 ? r 2

(9)

F2 ?t ?

r(2l ? r) 2mv0 . 8l 2 ? r 2

(10)

方向与 v 0 方向相同. 因而,轴受到杆的作用力的冲量为

F2??t ? ?

r(2l ? r) 2mv0 , 8l 2 ? r 2

(11)

方向与 v 0 方向相反. 注意:因弹簧处在拉伸状态,碰前轴已受到沿杆方向的作用力;在碰撞过程 中还有与向心力有关的力作用于轴. 但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零,已忽 略. [代替 (7)-(9) 式,可利用对于系统的动量定理
F2 ?t ? F1?t ? mvC ? mvD .

]

[也可由对质心的角动量定理代替 (7)-(9) 式. ] 2. 值得注意的是,(1)、(2)、(3) 式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的. 如果 弹簧的弹力恰好提供滑块 C 以速度 vC ?

4lr v0 绕过 B 的轴做匀速圆周运动的向心力,即 8l 2 ? r 2

k ?r ?

??m

2 vC 16l 2 r 2 ? 2 2 2 mv0 r (8l ? r )

(12)

则弹簧总保持其长度不变,(1)、(2)、(3) 式是成立的. 由(12)式得碰前滑块 A 的速度 v0 应满足的条 件

v0 ?

(8l 2 ? r 2 ) k ? r ? 4l mr

?
(13)

可见,为了使碰撞后系统能保持匀速转动,碰前滑块 A 的速度大小 v 0 应满足(13)式. 评分标准:本题 20 分.

4
第 1 问 16 分,(1)式 1 分, (2) 式 2 分,(3) 式 2 分,(4) 式 2 分, (5) 式 2 分,(6) 式 1 分,(7) 式 1 分,(8) 式 1 分,(9) 式 2 分,(10) 式 1 分,(11) 式 1 分; 第 2 问 4 分,(12) 式 2 分,(13) 式 2 分. 三、参考解答: 1. 当杆以角速度 ? 绕过其一端的光滑水平轴 O 在竖直平面内转动时,其动能是独立变量 ? 、 ? 和

L 的函数,按题意 可表示为
Ek ? k ? ? ? ? L?
(1)

式中, k 为待定常数(单位为 1). 令长度、质量和时间的单位分别为 [ L ] 、 [ M ] 和 [T ] (它们可视 为相互独立的基本单位),则 ? 、 ? 、 L 和 Ek 的单位分别为
[? ] ? [ M ][ L]?1 , [? ] ? [T ]?1 , [ L] ? [ L], [ Ek ] ? [ M ][ L]2 [T ]?2

(2)

在一般情形下,若 [ q ] 表示物理量 q 的单位,则物理量 q 可写为
q ? ( q)[ q]

(3)

式中, ( q ) 表示物理量 q 在取单位 [ q ] 时的数值. 这样,(1) 式可写为

( Ek )[ Ek ] ? k (? )? (?) ? ( L)? [? ]? [?]? [ L]?
在由(2)表示的同一单位制下,上式即

(4)

( Ek ) ? k (? )? (?) ? ( L)? [ Ek ] ? [? ]? [?]? [ L]?
将 (2)中第四 式代入 (6) 式得

(5) (6)

[ M ][ L]2 [T ]?2 ? [ M ]? [ L]? ?? [T ]? ?

(7)

(2)式并未规定基本单位 [ L ] 、 [ M ] 和 [T ] 的绝对大小,因而(7)式对于任意大小的 [ L ] 、 [ M ] 和 [T ] 均 成立,于是

? ? 1, ? ? 2, ? ? 3
所以

(8)

Ek ? k??2 L3
2. 由题意,杆的动能为

(9)

Ek ? Ek ,c ? Ek ,r
其中,
1 2 1 L ? Ek ,c ? mvc ? (? L) ? ? ?? 2 2 ?2 ?
2

(10)

(11)

5
L 的杆过其公共端(即质心)的光滑水平轴在铅 2

注意到,杆在质心系中的运动可视为两根长度为

直平面内转动,因而,杆在质心系中的动能 Ek ,r 为
L ? L? Ek ,r ? 2 Ek (? , ?, ) ? 2k ?? 2 ? ? 2 ?2?
3

(12)

将(9)、 (11)、 (12)式代入(10)式得
1 ?L ? ? L? k ?? 2 L3 ? ? L ? ? ? ? 2k ?? 2 ? ? 2 ?2 ? ?2?
2 3

(13)

由此解得

k?
于是

1 6

(14)

1 Ek = lw 2 L3 . 6
3. 以细杆与地球为系统,下摆过程中机械能守恒

(15)

L ? Ek ? mg ? ? sin ? ? ?2 ?
由(15)、(16)式得

(16)

w=

3g sinq . L

(17)

以在杆上距 O 点为 r 处的横截面外侧长为 ? L ? r ? 的那一段为研究对象,该段质量为 ? ? L ? r ? , 其质心速度为
L?r? L?r ? ??? vc . ?r ? ??? 2 ? 2 ?

(18)

设另一段对该段的切向力为 T ( 以 ? 增大的方向为正方向 ) , 法向 ( 即与截面相垂直的方向 ) 力为

N (以指向 O 点方向为正向),由质心运动定理得
T ? ? ? L ? r ? g cos? ? ? ? L ? r ? at N ? ? ? L ? r ? g sin ? ? ? ? L ? r ? a n
式中, a t 为质心的切向加速度的大小
at ? ? L ? r d? L ? r d? d? 3 ? L ? r ? g cos ? dvc ? ? ? dt 2 dt 2 d? dt 4L

(19) (20)

(21)

而 an 为质心的法向加速度的大小
an ? ? 2 L ? r 3 ? L ? r ? g sin ? ? . 2 2L

(22)

由(19)、(20)、(21)、(22)式解得

6

T? N?

? L ? r ?? 3r ? L ?
4 L2 2 L2

mg cos ? mg sin ?

(23) (24)

? L ? r ?? 5L ? 3r ?

评分标准:本题 25 分. 第 1 问 5 分, (2) 式 1 分, (6) 式 2 分,(7) 式 1 分,(8) 式 1 分; 第 2 问 7 分, (10) 式 1 分,(11) 式 2 分,(12) 式 2 分, (14) 式 2 分;不依赖第 1 问的结果,用其他 方法正确得出此问结果的,同样给分; 第 3 问 13 分,(16) 式 1 分,(17) 式 1 分,(18) 式 1 分,(19) 式 2 分,(20) 式 2 分,(21) 式 2 分,(22) 式 2 分,(23) 式 1 分,(24) 式 1 分;不依赖第 1、2 问的结果,用其他方法正确得出此问结果的, 同样给分. 四、参考解答: 设在某一时刻球壳形容器的电量为 Q . 以液滴和容器为体系,考虑从一滴液滴从带电液滴产生器 G 出口自由下落到容器口的过程. 根据能量守恒有

mgh ? k

Qq 1 Qq . ? mv2 ? 2mgR ? k h?R 2 R

(1)

式中, v 为液滴在容器口的速率, k 是静电力常量. 由此得液滴的动能为
1 Qq( h ? 2 R ) mv 2 ? mg ( h ? 2 R ) ? k . 2 (h ? R) R

(2)

从上式可以看出,随着容器电量 Q 的增加,落下的液滴在容器口的速率 v 不断变小;当液滴在容器 口的速率为零时,不能进入容器,容器的电量停止增加,容器达到最高电势. 设容器的最大电量为
Qmax ,则有
mg ( h ? 2 R ) ? k Qmax q( h ? 2 R ) ?0. (h ? R ) R

(3)

由此得
Qmax ? mg ( h ? R ) R . kq

(4)

容器的最高电势为

Vmax ? k
由(4) 和 (5)式得
Vmax ?

Qmax R

(5)

mg ( h ? R ) q

(6)

评分标准:本题 20 分. (1)式 6 分, (2) 式 2 分,(3) 式 4 分,(4) 式 2 分, (5) 式 3 分,(6) 式 3 分.

7
五、参考解答: 1. 一个带电量为 q 的点电荷在电容器参考系 S 中的速度为 (ux , uy , uz ) ,在运动的参考系 S ? 中的速度

? , u? ? S 中只存在磁场 (Bx , By , Bz ) ? (?B,0,0) ,因此这个点电荷在参考系 S 中所受 为 (ux y , uz ) . 在参考系
磁场的作用力为
Fx ? 0, Fy ? ? qu z B, Fz ? qu y B

(1)

? , Ey ? , Ez ? ) 又有磁场 ( Bx ? , By ? , Bz ? ) ,因此点电荷 q 在 S ? 参考系中所 在参考系 S ? 中可能既有电场 ( Ex
受电场和磁场的作用力的合力为
? ? u? ? ? ? Fx? ? q?( Ex y Bz ? u z By ), ? ? ux ? Bz? ? u z ? Bx ? ), Fy? ? q?( E y ? By ? ? u? ? Fz? ? q?( Ez? ? u x y Bx )

(2)

两参考系中电荷、合力和速度的变换关系为
q ? ? q, ( Fx?, Fy?, Fz?) ? ( Fx , Fy , Fz ), ? , u? ? (u x y , u z ) ? (u x , u y , u z ) ? (0, v,0)

(3)

由(1)、 (2)、 (3)式可知电磁场在两参考系中的电场强度和磁感应强度满足
? ? (u y ? v) Bz? ? u z By ? ? 0, Ex ? ? ux Bz? ? uz Bx ? ? ?uz B, Ey ? ? (u y ? v) Bx ? ? uy B Ez? ? ux By

(4)

它们对于任意的 (ux , uy , uz ) 都成立,故

? , Ey ? , Ez? ) ? (0,0, vB), ( Ex ? , By ? , Bz? ) ? (? B,0,0) ( Bx
可见两参考系中的磁场相同,但在运动的参考系 S ? 中却出现了沿z方向的匀强电场.

(5)

2. 现在,电中性液体在平行板电容器两极板之间以速度 (0, v,0) 匀速运动. 电容器参考系 S 中的磁场 会在液体参考系 S ? 中产生由(5)式中第一个方程给出的电场. 这个电场会把液体极化,使得液体中 的电场为

? , Ey ? , Ez ?) ? ( Ex

?0 (0,0, vB) . ?

(6)

为了求出电容器参考系 S 中的电场,我们再次考虑电磁场的电场强度和磁感应强度在两个参 考系之间的变换,从液体参考系 S ? 中的电场和磁场来确定电容器参考系 S 中的电场和磁场. 考虑一 带电量为 q 的点电荷在两参考系中所受的电场和磁场的作用力 . 在液体参考系 S ? 中,这力

( Fx?, Fy?, Fz?) 如(2)式所示. 它在电容器参考系 S 中的形式为

8
Fx ? q( Ex ? u y Bz ? u z By ), Fy ? q( E y ? u x Bz ? u z Bx ), Fz ? q( Ez ? u x By ? u y Bx )

(7)

利用两参考系中电荷、合力和速度的变换关系(3)以及(6)式,可得

Ex ? u y Bz ? uz By ? 0, E y ? ux Bz ? uz Bx ? ?uz B, Ez ? ux By ? u y Bx ?
对于任意的 (ux , uy , uz ) 都成立,故 (8)

? 0 vB ? (u y ? v) B ?

( Ex , E y , Ez ) ? (0,0,(

?0 ? 1) vB), ?

(9)

( Bx , By , Bz ) ? ( ? B,0,0)
可见,在电容器参考系 S 中的磁场仍为原来的磁场,现由于运动液体的极化,也存在电场,电场 强度如(9)中第一式所示. 注意到(9)式所示的电场为均匀电场,由它产生的电容器上、下极板之间的电势差为
V ? ? Ez d .

(10)

由(9)式中第一式和(10)式得

?0 ? V ?? ?1 ? ? vBd . ?? ?
评分标准:本题 25 分. 第 1 问 12 分, (1) 式 1 分, (2) 式 3 分, (3) 式 3 分,(4) 式 3 分,(5) 式 2 分; 第 2 问 13 分, (6) 式 1 分,(7) 式 3 分,(8) 式 3 分, (9) 式 2 分, (10) 式 2 分,(11) 式 2 分. 六、参考解答:

(11)

设弯成的圆弧半径为 r ,金属片原长为 l ,圆弧所对的圆心角为 ? ,钢和青铜的线膨胀系数分别为

?1 和 ? 2 ,钢片和青铜片温度由 T1 ? 20?C 升高到 T2 ? 120?C 时的伸长量分别为 ?l1 和 ?l2 . 对于钢


d ( r ? )? ? l ? ?l1 2

(1) (2)

?l1 ? l?1 (T2 ? T1 )
式中, d ? 0.20 mm . 对于青铜片

d ( r ? )? ? l ? ?l2 2

(3) (4)

?l2 ? l?2 (T2 ? T1 )
联立以上各式得

r?

2 ? (?1 ? ?2 )(T2 ? T1 ) d ? 2.0 ? 102 mm 2(?2 ? ?1 )(T2 ? T1 )

(5)

评分标准:本题 15 分. (1)式 3 分, (2) 式 3 分,(3) 式 3 分,(4) 式 3 分, (5) 式 3 分.

9
七、参考解答: 1. 考虑射到劈尖上某 y 值处的光线,计算该光线由 x ? 0 到 x ? h 之间的光程 ? ? y ? . 将该光线在介 质中的光程记为 ? 1 ,在空气中的光程记为 ? 2 . 介质的折射率是不均匀的,光入射到介质表面时,在
x ? 0 处,该处介质的折射率 n ? 0? ? 1 ;射到 x 处时,该处介质的折射率 n ? x ? ? 1 ? bx . 因折射率随 x

线性增加,光线从 x ? 0 处射到 x ? h1 ( h1 是劈尖上 y 值处光线在劈尖中传播的距离)处的光程 ? 1 与光通过折射率等于平均折射率

1 1 1 n? ? n ? 0? ? n ? h1 ?? ? ?1 ? 1 ? bh1 ? ? 1 ? bh1 ? ? 2 2 2
的均匀介质的光程相同,即

(1)

?1 ? nh1 ? h1 ? bh12

1 2

(2)

忽略透过劈尖斜面相邻小台阶连接处的光线(事实上,可通过选择台阶的尺度和档板上狭缝 的位置来避开这些光线的影响),光线透过劈尖后其传播方向保持不变,因而有

? 2 ? h ? h1
于是

(3)

? ? y ? ? ?1 ? ? 2 ? h ? bh12 .
由几何关系有
h1 ? y tan ? .

1 2

(4)

(5) (6)



? ? y ? ? h ? y 2 tan2 ? .

b 2

从介质出来的光经过狭缝后仍平行于 x 轴,狭缝的 y 值应与对应介质的 y 值相同,这些平行光线会 聚在透镜焦点处. 对于 y ? 0 处,由上式得

d ( 0) = h .
? ? y ? ? ? ? 0? ?
b 2 2 y tan ? . 2

(7) (8)

y 处与 y ? 0 处的光线的光程差为

由于物像之间各光线的光程相等,故平行光线之间的光程差在通过透镜前和会聚在透镜焦点 处时保持不变;因而(8)式在透镜焦点处也成立. 为使光线经透镜会聚后在焦点处彼此加强,要求两 束光的光程差为波长的整数倍,即

b 2 2 y tan ? ? k? , k ? 1, 2, 3, 2
由此得
y? 2k ? cot ? ? A k , b A?

.
2? cot ? . b

(9) (10)

除了位于 y = 0 处的狭缝外,其余各狭缝对应的 y 坐标依次为

A,

2 A,

3A,

4 A,

.

(11)

10
2. 各束光在焦点处彼此加强,并不要求(11)中各项都存在. 将各狭缝彼此等距排列仍可能满足上述 要求. 事实上,若依次取 k ? m, 4m, 9m, ,其中 m 为任意正整数,则 . (12)

ym ? mA, y4m ? 2 mA, y9m ? 3 mA,

这些狭缝显然彼此等间距,且相邻狭缝的间距均为 m A ,光线在焦点处依然相互加强而形成亮纹. 评分标准:本题 20 分. 第 1 问 16 分, (1) 式 2 分, (2) 式 2 分, (3) 式 1 分,(4) 式 1 分,(5) 式 2 分,(6) 式 1 分,(7) 式 1 分,(8) 式 1 分, (9) 式 2 分, (10) 式 1 分,(11) 式 2 分; 第 2 问 4 分,(12) 式 4 分(只要给出任意一种正确的答案,就给这 4 分). 八、参考解答: 1. 设碰撞前电子、光子的动量分别为 pe ( pe ? 0 )、 p? ( p? ? 0 ),碰撞后电子、光子的能量、

? , pe ? , E?? , p?? . 由能量守恒有 动量分别为 Ee

Ee + Eg = Ee ? + Eg? .
由动量守恒有

(1) (2) (3) (4)

pe + pg = pe ? + pg? .
光子的能量和动量满足

Eg = pg c, Eg? = pg? c .
电子的能量和动量满足
2 2 2 4 2 4 ?2 ? pe ?2c2 ? me Ee2 ? pe c ? me c , Ee c

由(1)、(2)、(3)、(4)式解得
E?? ?

?E ?
e

2 4 E? Ee ? Ee2 ? me c

?

2 4 Ee2 ? me c ? 2 E?

?

?

(5)

2. 由(5)式可见,为使 Eg? > Eg , 需有
E?? ? E? ?

?E ?
e

2 4 2 E? ( Ee2 ? me c ? E? ) 2 4 Ee2 ? me c ? 2 E?

?

?0


2 4 Ee2 ? me c ? E?

或 pe ? p?

(6)

注意已设 pe > 0 、 pg < 0 . 3. 由于 Ee ?? mec2 , 因此有
2 4 Ee2 ? me c ? Ee ? 2 4 me c . 2 Ee

(7)

将(7)式代入(5)式得

Eg? ?
代入数据,得

2 Ee Eg
2 4 2 Eg + me c 2 Ee

.

(8)

Eg? ? 29.7 ? 106 eV .

(9)

评分标准:本题 20 分. 第 1 问 10 分, (1) 式 2 分, (2) 式 2 分, (3) 式 2 分,(4) 式 2 分,(5) 式 2 分;第 2 问 5 分,(6) 式 5 分;第 3 问 5 分,(7) 式 2 分, (8) 式 1 分, (9) 式 2 分.


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