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浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(文)试题及答案


杭州二中 2015 届高三第二次月考

数学(文)试题
第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
- x 1、若集合 M = { y | y = 2 } , P = { y | y =

x - 1} ,则 M

P=
D.{ y | y ? 0}

A. { y | y ? 1}

B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0}

2、实数等比数列 ?a n ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的 A.充分而不必要条件 要条件 3、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是 A.一定相离 圆心 4、已知实数等比数列 ?a n ?公比为 q ,其前 n 项和为 Sn ,若 S3 、 S9 、 S6 成等差数列,则 q 等于
3

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必

B..一定相切

C.相交且一定不过圆心

D.相交且可能过

A. ?

1 2

B.1

C. ?

1 或1 2

D. ?1或

1 2

?y ? x ? 5、已知 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z ? 2 x ? y 的最大值是最小值的 4 倍,则 a 的值是 ?x ? a ?
A.

3 4

B.

1 4

C.

2 11

D. 4

6、等差数列 ?a n ?前 n 项和为 Sn ,已知 A.125 B.85

S25 S S ? 5, 45 ? 25 ,则 65 ? a23 a33 a43
D.35

C.45

7、若正数 a,b 满足 A.1 B.6

1 1 1 9 ? ? 1 ,则 ? 的最小值 a b a ?1 b ?1
C.9 D.16

1

8、已知 F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点

M , N ,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为
A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C.

2 2

D.

3 2

2 2 9、若等差数列 {an } 满足 a1 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

A.60

B.50

C. 45

D.40

10、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下列 结论: ①若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 ,则 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③若 方 程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内 恰 有 四 个 不 同 的 实 根 x1 , x2 , x3 , x4 或 8;④ 函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至多有 13 个零点 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?8? 其中结论正确的有 C.3 个 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、函数 f ( x) ? ? A.1 个 B.2 个 D.4 个

?x ?1 ?log 2 x

x?0 x?0

的所有零点所构成的集合为________.

12、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四 边形 ABCD 各边的长度(单位:km ):AB=5,BC=8,CD=3,DA=5,如图所示,且 A、 B、C、D 四点共圆,则 AC 的长为_________ km . 13、在△ ABC 中, A ?

?
6

,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) ,且 .

| AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则角 B 等于
14、已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 平面 A1B1C1 所成角的大小为
2

9 ,底面是边长为 3 .若 P 为底面 ABC 的中心,则 PA1 与 4
.
3 3

15、已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 的两个根,则 sin ? ? cos ? = 16、已知 O 是 ?ABC 外心,若 AO ?



2 1 AB ? AC ,则 cos ?BAC ? 5 5
2



17 、已知函数 f ( x) ? 为 .

2 1 2 a ? x ,对 ?x ? [ , ] ,有 f (1 ? x) ? 恒成立,则实数 a 的取值范围 x 3 3 f ( x)

三、解答题 (18)(本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ )求 B ; (Ⅱ )若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围.

(19)(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的中点. (Ⅰ )求证: AD ? 平面 PBC ; (Ⅱ )若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求
P

AF 的值. FC

D A F E B C

3

(20)(本小题满分 15 分) 已知数列 ?an ? 的首项为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 . (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )当 t ? 1 , a ? 2 时,若对任意 n ? N * ,都有 k ( 围; (Ⅲ )当 t ? 1 时,若 cn ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (a, t ) .

1 1 1 ? ??? ) ? bn ,求 k 的取值范 b1b2 b2 b3 bn bn?1

(21) (本小题满分 15 分) 如图,已知圆 G : x ? x ? y ? 0 ,经过抛物线 y ? 2 px 的焦点,过点 (m,0) (m ? 0) 倾斜角为
2 2 2

? 的直线 l 交抛物线于 C,D 两点. 6
(Ⅰ )求抛物线的方程; (Ⅱ )若焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值范围.

4

(22) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ )若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [0,2] 上的最大值.

5

参考答案
一、选择题 CACAB CBABC 二、填空题 11.{-1,1}; 15、 2 ? 2 ; 三、解答题 18、解: (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0 12、7; 13、

5? ; 12
17、 a ?

14、

? ; 3

16、

6 4

49 4

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0

? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0
即 sin( B ?

?

6 B ? (0, ? )

)?

1 2

?B ?

?
3 b ?2 sin B

(2)由(1)得: 2R ?

2a ? c ? 2R(2 sin A ? sin C) ? 5 sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin(A ? ? )
其中, sin ? ?

3 2 7

, cos? ?

5 2 7

A ? (0,

2? ) 3

2 7 sin(A ? ? ) ? ( 3,2 7 ]
19、 (1)证明: BC ? 平面 PAB PA ? AB ,D 为 PB 中点
? BC ? AD

? AD ? PB
PB ? BC ? B

? AD ? 平面 PBC
(2)连接 DC 交 PE 于 G,连接 FG
6

AD / / 平面 PEF,平面 ADC ? 平面 PEF=FG ? AD / / FG

又 G 为 ?PBC 重心

?

AF DG 1 ? ? FC GC 2

20、解: (1)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan
又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) ,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列 an

? an ? at n ?1

3(4n 2 ? 8n ? 3) (2) k ? ,所以 k ? 45 . n
(3) t ? 1 ,? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t ) 2

?2?

at a at n ?1 ? (1 ? ) n ? (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

由题设知 ?cn ? 为等比数列,所以有

at ? 2? ?0 ? ?a ? 1 ? (1 ? t ) 2 ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . ? ?t ? 2 ?1 ? t ? a ? 0 ? ? 1? t
(或通过 ?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明) 解: (1) y ? 4 x
2

(2)设 C ( x1 , y1 ), D( x2 , y 2 ) ,因为 FC ? FD ? 0 ,则 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,设 l 的方程为:

7

y?

3 ( x ? m) ,于是 3

1 1 ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? ( x1 ? m)( x 2 ? m) ? [4 x1 x 2 ? (m ? 3)( x1 ? x 2 ) ? 3 ? m 2 ] ? 0 3 3
即 4 x1 x2 ? (m ? 3)(x1 ? x2 ) ? 3 ? m 2 ? 0

? 3 ( x ? m) ?y ? 由? ,得 x 2 ? (2m ? 12) x ? m 2 ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 2m ? 12, x1 x2 ? m 2 , 3 ? y 2 ? 4x ?
于是

4x1 x2 ? (m ? 1)(x1 ? x2 ) ? 3 ? m2 ? 4m2 ? (m ? 3)(2m ? 12) ? 3 ? m2 ? 3m2 ? 18m ? 33 ? 0
故 m ? 2 5 ? 3或m ? ?2 5 ? 3 , 又 ? ? (2m ? 12) 2 ? 4m 2 ? 0 , 得 到 m ? ?3 . 所 以

? 3 ? m ? ?2 5 ? 3 .
22、解: (1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ① 当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ② 当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 , 所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合① ② ,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .
2 ? ?? x ? ax ? a ? 1,0 ? x ? 1 (2) h( x) ? ? 2 ? ? x ? ax ? a ? 1,1 ? x ? 2

当?

a ? 0 时,即 a ? 0 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(0) ? a ? 1 2

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(2) ? a ? 3
此时, h( x) max ? a ? 3 当0 ? ?

a a2 a ? 1 时,即 ? 2 ? a ? 0 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(? ) ? ? a ?1 2 2 4
8

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(2) ? a ? 3
此时 h( x) max ? a ? 3 当1 ? ?

a ? 2 时,即 ? 4 ? a ? ?2 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 2

?0,?4 ? a ? ?3 (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? max{ h(1), h(2)} ? max{ 0,3 ? a} ? ? ?3 ? a,?3 ? a ? ?2
此时 h( x) max ? ? 当?

?0,?4 ? a ? ?3 ?3 ? a,?3 ? a ? ?2

a ? 2 时,即 a ? ?4 , (? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0 2

(? x 2 ? ax ? a ? 1) max ? h(1) ? 0
此时 h( x) max ? 0 综上: h( x) max ? ?

?3 ? a, a ? ?3 . ?0, a ? ?3

9


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