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3-1-2不等关系与不等式


第 1 课时 不等关系与比较大小 知识清单 1.含有不等号 的式子叫不等式.若 a,b 是两实数,那么 a≥b 即为 ;a≤b 即为 . 2.数轴上的任意两点中,右边点对应的实数比左边点对应的实数 . 3.若 a,b∈R,则在 a=b,a>b,a<b 三种关系中, 种关系成立. 4.若 a,b∈R,则 ?a>b, ?a=b, ?a<b. 5.不等式的性质:

性质 1 a>b? 性质 2 a>b,b>c? 性质 3 a>b? a+c> 性质 4 a>b,c>0? 或 a>b,c<0? 性质 5 a>b,c>d? 性质 6 a>b>0,c>d>0? 性质 7 a>b>0,n∈N,n≥2? 性质 8 a>b>0,n∈N,n≥2? 性质 9:同号的两个数的大小与倒数相反 在使用不等式的性质时,应注意如下问题 在使用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的前提条件.例如: (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递 不过去的.如 a≤b,b<c? a<c. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号” .例如当 c≠0 时,有 a>b? ac2>bc2;若无 c ≠0 这个条件,则 a>b? ac2>bc2 就是错误结论(∵当 c=0 时,取“=”). 比较大小常用方法:平方法 作商(差)法 单调性法 小题全取 1.已知 a>b,c>d,且 c、d 不为零,那么 ( ) A.ad>bc B.ac>bc C.a-c>b-d D.a+c>b+d 解析:同向不等式相加,不等号不变.答案:D 2.若 a<b<0,则下列不等式关系中不能成立的是 ( )

答案:B

答案:B 4.已知 a+b>0,b<0,则 a,b,-a,-b 的大小关系为( ) A.a>b>-b>-a B.a>-b>-a>b C.a>-b>b>-a D.a>b>-a>-b 解析:∵a+b>0 且 b<0,∴a>0 且 a>-b 或 b>-a,对于-b 与 b,∵b<0,∴-b>b.由不等 式传递性知 a>-b>b>-a.答案:C 5.已知 a>b>0,0>c>d,求证:ad<bc.

c c? <? 1 1 [解] (1) a b? ? a < b ,当a<0,b>0,此式成立,推不出 ? c>0? a>b,∴(1)错. (2)当a=3,b=1,c=-2,d=-3时,命题显然不成 立.∴(2)错. (3) a>b>0? a b ?? > >0? c>d>0 ? d c a > d b 成立.∴(3)对. c

(4)显然c2>0,∴两边同乘以c2得a>b.∴(4)对.

迁移变式 1 对于实数 a、b、c,给出下列命题: ①若 a>b,则 ac >bc ;②若 a<b<0,则 a >ab>b ;
2 2 2 2 2 2

③若 a>b,则 a >b ;④若 a<b<0,则>. 其中正确命题的序号是______. 答案:②④

解:由a>b>c,得-c>-b,∴a-c>a-b>0, 1 1 >0,即 + >0. a-b c-a 由b>c,得b-c>0,∴ >

1 1 > a-b a-c

1 1 1 1 >0,从而 + + b-c a- b c-a b-c

1 1 1 1 >0,即 + + >0. b-c a-b b-c c-a

[例 3] 已知 12<a<60,15<b<36,求 a-b 及

a 的取值范围 b

迁移变式 3 根据下列 x 的取值范围,求 (1)-2≤x≤-1; (2)-2<x≤1,且 x≠0; (3)x≥-2,且 x≠0.

1 的取值范围. x

[例 4] 已知函数 f(x)=ax2+bx+c 满足 f(1)=0,且 a>b>0,

(1)求

c 的范围; a

(2)设该函数图象交 x 轴于 A、B 两点,求|AB|的范围.

迁移变式 4 已知奇函数 f(x)在区间(-∞,+∞)上递减的,α 、β 、γ ∈R,且α +β >0, β +γ >0,γ +α >0,试讨论 f(α )+f(β )+f(γ )的值与 0 的关系. 解: ∵α +β >0,∴α >-β . 又∵函数 f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减的, ∴α >-β ,∴f(α )<f(-β ). 又∵函数 f(x)在(-∞,+∞)上是奇函数, ∴f(α )<f(-β )=-f(β ). ① 同理:由β +γ >0? f(β )<-f(γ ), ② 由γ +α >0? f(γ )<-f(α ). ③ 由不等式性质 5 将①、②、③左右两边分别相加得 f(α )+f(β )+f(γ )<-[f(α )+f(β )+f(γ )]. ∴2[f(α )+f(β )+f(γ )]<0,即 f(α )+f(β )+f(γ )<0. 在使用不等式的性质时,应注意如下问题 在使用不等式的性质时,一定要搞清它们成立的前提条件.例如: (1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号,那么等号是传递 不过去的.如 a≤b,b<c? a<c. (2)在乘法法则中,要特别注意“乘数 c 的符号” .例如当 c≠0 时,有 a>b? ac2>bc2;若无 c ≠0 这个条件,则 a>b? ac2>bc2 就是错误结论(∵当 c=0 时,取“=”). 题型五 比较大小

作业

A 学习达标

一、选择题 1.已知 a<0,-1<b<0,则( A.a>ab>ab2 ) C.ab>a>ab2 D.ab>ab2>a

B.ab2>ab>a

解析:∵-1<b<0,∴1>b2>0>b>-1,即 b<b2<1,在两边同乘以 a<0,∴ab>ab2>a.此外, 1 本题可以用特殊值选题:a=-1,b=- .答案:D 2 2.若 a,b 是任意实数,且 a>b,则( A.a2>b2 b B. <1 a ) 1 1 D.( )a<( )b 2 2

C.lg(a-b)>0

解析: a>b, 并不能保证 a, b 均为正数, 从而不能保证 A、 B 成立, 所以 A、 B 应排除. a>b ?a-b>0,但不能保证 a-b>1,从而不能使 C 成立,所以应排除 C. 答案:D 3.下列命题中正确的是( ) B.若 a>b,c>d,则 a-d>b-c

A.若 a>b,c>d,则 a-c>b-d C.a>b,c>d,则 ac>bd

a b D.若 a>b,c>d,则 > d c

解析:原因如下:∵c>d,∴-d>-c,又∵a>b,∴利用不等式同向相加原理得:a- d>b-c.答案:B 4.若-1<α<β<1,则下列各式中恒成立的是( A.-2<α-β<0 B.-2<α-β<-1 ) C.-1<α-β<0 D.-1<α-β<1

解析:由-1<α<1,-1<β<1,得-1<-β<1, ∴-2<α-β<2,但 α<β,故知-2<α-β<0.答案:A 5.设 x1、x2、x3、x4∈R,且 x1+x2>0,x2+x3=0,x3+x4<0,则( )

A.x1>x3,x2>x4 B.x1<x3,x2<x4 C.x1>x3,x2<x4 D.x1<x3,x2>x4 解析:由 x1+x2>0,x2+x3=0,可得 x1>x3.由 x2+x3=0,x3+x4<0,可得 x2>x4.答案:A 1 1 6. 在所给四个条件①b>0>a; ②0>a>b; ③a>0>b; ④a>b>0 中能推得 < 成立的有( a b A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 )

1 1 1 1 解析:当 a>b,且 ab>0 时,有 < 成立,当 b>0>a, >0,而 <0,故知①②④正确. a b b a 答案:B 二、填空题 a 7.若 a>b,且 a+b<0,则 与 1 的大小关系为________. b 解析:作差通分.答案:< 8. 设 x>1, -1<y<0, 则将 x, y, -x, -y, -xy 按从小到大的顺序排列起来是________. 解析:∵x>1,∴-x<-1,又-1<y<0,∴-x<y<0,∴-x<y<-y<1,由-x<-1 且 y<0

得-xy>-y,由 x>1 且 0<-y<1 得-xy<x,综上所述得-x<y<-y<-xy<x. 答案:-x<y<-y<-xy<x 9. 已知函数 f(x)=logax, 且 x∈[a2, a], 则 f(x2), f(logax), [f(x)]2 的大小顺序是________. 解析:∵a2<a,∴0<a<1,a2≤x≤a,则 1≤logax≤2,∴f(logax)=loga(logax)≤0,而 f(x2) -[f(x)]2=logax2-(logax)2=2logax-(logax)2=logax(2-logax)≥0.答案:f(x2)≥[f(x)]2>f(logax) 三、解答题 10.若 c>a>b>0,求证: a b > . c-a c-b

证明:由 c>a>b>0,得-a<-b<0. ∴0<c-a<c-b, 1 1 > >0 c-a c-b a>b>0



? ? a b ?? > . c-a c-b ? ?

1 1 x y 11.已知 a、b、x、y 都为正数,且 > ,x>y,求证: > . a b x+a y+b 证明: x?y+b?-y?x+a? bx-ay x y - = = . x+a y+b ?x+a??y+b? ?x+a??y+b?

1 1 ∵ > >0,x>y>0,∴b>a>0,x>y>0.∴bx>ay>0, a b bx-ay x y 即 bx-ay>0.又 x+a>0,y+b>0,∴ >0,即 > . ?x+a??y+b? x+a y+b

B 创新达标
c d 12.已知三个不等式:①ab<0;②- <- ;③bc>ad,以其中两个作为条件,余下的 a b 一个作为结论,则可以组成________个正确命题. 解析:用不等式性质分别判定①②?③,①③?②,②③?①为真命题.答案:3 13.已知 m∈R,a>b>1,f(x)= mx ,试比较 f(a)与 f(b)的大小. x-1

m?b-a? ma mb a b 解:f(a)-f(b)= - =m( - )= . a-1 b-1 a-1 b-1 ?a-1??b-1? ∵a>b>1,∴a-1>0,b-1>0,b-a<0. ①当 m>0 时,f(a)<f(b); ②当 m<0 时,f(a)>f(b); ③当 m=0 时,f(a)=f(b).


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