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等比数列的概念及通项公式PPT


等比数列的概念 及通项公式
高一年级理科卢

引例:
?①

如下图是某种细胞分裂的模型:

细胞分裂个数可以组成下面的数列:

1

2

4

8 16 …

引例:
庄子曰:“一尺之

棰,日取其半,万世不竭.” 意思:“一尺长的木 棒,每日取其一半, 永远也取不完” 。
如果将“一尺之棰”视为单位“1”, 则每日剩下的部分依次为:

1 1 1 1 1, , , , , ? 2 4 8 16

引例:
? ③计算机病毒传播时,假设每一轮每一台

计算机都感染20台计算机,则这种病毒每 一轮感染的计算机数构成的数列是:

1, 20, 202, 203,…

1,2,4,8,16,32,... 1 1 1 1 1, , , , , ... 2 4 8 16 2 3 4 5 1,20,20 ,20 ,20 ,20 ,...

① ② ③

请问:这三个数
列有什么共同 特点?

2 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于__; 1 对于数列②,从第2项起,每一项与前一项的比都等于__; 2 对于数列①,从第2项起,每一项与前一项的比都等于 __; 20
共同特点: 从第二项起,每一项与其前一项的比是 同一个常数
类比“等差数列”,这样的数列可以叫做“等比数 列”。

一、等比数列的定义:
?

一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前 . 一项的比等于同一个常数,这个数列就叫做等比数 列,这个常数就叫做等比数列的公比,公比通常用字

母q表示(q≠0).

an ? q ? n ? 2? an?1

判定下列数列是否是等比数列?如果是请指出公比。 (1) 3,6,12,24,48,??; (2)2,2,2,2,??; (3) 3,-3,3,-3,3,??; (4) 1,2,4,6,3,4,??; (5) 5, 0, 5, 0, ??. 是,q=2 是, q=1 是, q=-1 不是 不是

等比数列中不 能存在为0的 项。

n ?1 二、等比数列的通项公式: an ? a1q
?

方法:叠加法

等 a2 ? a1 ? d 差 a ?a ? d 3 2 数 列 a4 ? a3 ? d …… +)an ? an?1 ? d
an ? a1 ? (n ?1)d

类比

等 比 数 列

累乘法 a2 ? q a1
a3 ?q a2

×) an ? q
an ?1

……

a4 ?q a3

共n – 1 项

an ? q n ?1 a1

等比数列的通项公式 an ? a1q
n ?1

? n ? N? ?
n ?m

an ? amq

思考:你能写出下列等比数列的通项公式吗?

an ? a1q
n?1

n ?1

(1)2,4,8,16,32,64,... (2)1,3,9,27,81,243,… (3) 5,5,5,5,5,5,…

an ? 2 ? 2

?2

n

an ? 1? 3

n?1

?3

n?1

an ? 5 ?1

n?1

?5

(4) 1,-1,1,-1,1,…
(5)0.5,0.25,0.125,0.0625,... (6)1.2,-2.4,4.8,-9.6,...

an ? (?1)n?1
an ? 0.5 ? 0.5n?1 ? 0.5n

an ? 1.2 ? (?2)n?1

三.等比中项

在a与b中间插入一个数G,使 a,G,b成等比数列,那么G叫 做a与b的等比中项。

即G

2

? ab

G ? ? ab

例1. 一个等比数列的第3项和第4项分 别是12和18,求它的第1项和第2 项.
解 :用{an} 表示题中公比为q的等比数列,由已知条件,有

3 q? 解得 2 16 3 因此,a2 ? a1q ? ? ? 8 3 2 答:这个数列的第1项与第2项
16 a1 ? 3

a3 ? 12, a4 ? 18, ?a1q 2 ? 12 即? 3 ?a1q ? 18

an ? a1 ? qn?1

16 与8. 分别是 3

? 练习:在等比数列{an}中
? ?

1.若a1=8,a4=64,则公比q为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 8

? 2.若

a3 ? 20, a6 ? 160, an ? _____

9 1 2 , an ? , q ? , n ? ___ ? 3.若 a1 ? 8 3 3

例2、已知等比数列{an}中,a5=20, a15=5,求a20.
解:由a5=a1q4, a15=a1q14

q

10

a15 5 1 ? ? ? a5 20 4
5

1 ?q ? ? 2
5

? a20

1 5 5 ? a15 q ? 5 ? ? 或a20 ? ? 2 2 2

若数列?an ? 为等比数列,且2a4 ? a6 ? a5 q ? ____

例3.在等比数列?an ?中,

?1? a2 ? a5 ? 18, a3 ? a6 ? 9, an ? 1, n ? __ ? 2 ? a1 ? a2 ? 3, a3 ? a2 ? 6, a7 ? ___
练习:在等比数列?an ?中, a3 ? a5 q ? 2, ? ____ a7 ? a9

例4.数列?an ? 是等差数列,若d=2,且a 2, a4 , a8成等比数列,则数列?an ?的前 n项和Sn ? ______

数列?an ? 是等差数列,Sn是其前n项和, d=-1,S1 , S2 , S4成等比数列,则a1 ? ___

随堂练习

4 ? (1) 一个等比数列的第9项是 ,公比 9
1 是 ? ,求它的第1项; 3
? (2)一个等比数列的第2项是10,第3项是

20,求它的第1项与第4项。

小结
?

1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达 an ? q(q ? 0,( ) 式: n ≥ 2,n ∈N); an ?1
2、要会推导等比数列的通项公式:
n?1

?

an ? a1 ? q

(a1 ? q ? 0) ,并掌握其基本应用;

?

课堂练习:练习5-4第1、2、3

附加:已知等比数列{an}的公比为q,求证

am ? q m?n an
?

课后思考题:类比于等差数列{an}中的若m,n,s,

t∈N+,m+n=s+t,则am+an=as+at,
你能写出等比数列一个类似的性质吗?


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