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高二必修5综合测试数学试题


数学必修 5 综合测试

2015.02

姓名:_________________ 得分:_________________ 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.) 1. 若 a, b, c ? R, a ? b ,则下列不等式成立的是 ( ) D. a | c

|? b | c |

A.

1 1 ? a b

B. a

2

? b2

C.

a b ? 2 c ?1 c ?1
2

2. 已知数列 ?an ? 中, a1 A. 3

? 3, an?1 ? 2an ? 1,则 a3 ? (
C. 15

) D. 18 )

B. 7

3. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 80, b ? 100, A ? 45? ,则此三角形解的情况是 ( A. 一解 4. 若关于 x 不等式 kx A. (0,4)
2

B. 两解

C. 一解或两解

D. 无解

? kx ? 1 ? 0 的解集为 R ,则实数 k 的取值范围是 ( ) B. [0, ??) C. (0, ??) D. [0, 4)

5. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? ( ) A. 30? B. 60? C. 120? D. 150? 6. 已知 a1 ,4, a2 ,1 成等差数列, b1 ,4, b2 ,1, b3 成等比数列,则 b2 (a2

? a1 ) = (



A. ?6 B. ?6 C. 3 D. ?3 7. 如图,一货轮航行到 M 处,测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15° ,与灯塔 S 相距 20 海里, 随后货轮按北偏西 30° 的方向航行 30 分钟到达 N 处后,又测得灯塔在货轮的东北方向, 则货轮的速度为( ) A. C.

20( 2 ? 6) 海里/时 20( 3 ? 6) 海里/时

B. D.

20( 6 ? 2) 海里/时 20( 6 ? 3) 海里/时
*

8. 已知数列{ a n }满足 log3 an ? 1 ? log3 an?1 ( n ∈N )且 a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是 (
3

)

1 1 A.-5 B.- C.5 D. 5 5 2 1 2 9.已知 x>0,y>0,且x+y =1,若 x+2y>m +2m 恒成立,则实数 m 的取值范围是( ) A.m≤-2 或 m≥4 B.m≤-4 或 m≥2 C.-2<m<4 D.-4<m<2 10. △ABC 中, ?B ? 60?, AC ? 2 A. 2 B.

3 , 则△ABC 周长的最大值为(
C.



2 3

3 3

D.

6 3

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分)
?x ? y ? 2 ? 0 11.若实数 x, y 满足 ? ,则 z ? y ? x 的最小值为_______. ?x ? 4 ?y ? 5 ?

12. ?ABC 的内角 A, B, C 对边分别为 a, b, c ,且满足 sin A : sin B : sin C

? 2 : 3: 4 ,则

a?b ? ____. b?c

? 1 ? 13. 若不等式 ax2 ? 5 x ? 2 ? 0 的解集是 ?x ? x ? 2? ,则不等式 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集是_______. ? 2 ?
第 1页

14. 对于数列 {an } , 定义数列 {an?1 ? an} 为数列 {an } 的“差数列”, 若 a1 ? 1 , {an } 的“差数列”的通项公式为 3 ,
n

则数列 {an } 的通项公式 an =_______. 15. 研究问题: “已知关于 x 的不等式 ax 有如下解法: 解:由 cx
2

2

2 , 解关于 x 的不等式 cx ? bx ? a ? 0 ”. ? bx ? c ? 0 的解集为(1,2)

2 1 2 1 ?a ? bx ? a ? 0 且 x ? 0 ,所以 cx ? bx ? 0 ,得 a( ) ? b ? ? c ? 0 , 2

x

x

x

设 1 ? y ,得 ay 2 ? by ? c ? 0 ,由已知得:1 ? y ? 2 ,即 1 ? ? 2,? ? x ? 1 , 所以不等式 cx x x 2 是(

1

1

2

? bx ? a ? 0 的解集

1 ,1) . 参考上述解法,解决如下问题:已知关于 x 的不等式 b ? x ? c ? 0 的解集是 (?3, ?1) (2,4) , 2 x?a x?d
bx cx ? 1 ? ? 0 的解集是 ax ? 1 dx ? 1
.

则不等式

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答题应根据要求写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求 C 和 BD ; (2)求四边形 ABCD 的面积.

x-y+2≥0 ? ? 17. (本题满分 12 分)已知?x+y-4≥0 ? ?2x-y-5≤0

,求:(1)z=x2+y2-10y+25 的最小值;

(2)z=

2y+1 的范围. x+1

第 2页

18. (本题满分 12 分)已知在△ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c , sin B(tan A ? tan C ) ? tan A tan C . (1)求证: a , b, c 成等比数列; (2)若 a ? 1, c ? 2 ,求△ ABC 的面积 S.

19. (本题满分 12 分)已知单调递增的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,且 a3 ? 2 是 a2 , a4 的等差中项. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? log 1 an , Sn 为数列 ?bn ? 的前 n 项和,求 Sn .
2

20. (本题满分 13 分)如图,一个铝合金窗分为上、下两栏,四周框架(阴影部分)的材 料为铝合金,宽均为 6cm,上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为 1:2,此 铝合金窗占用的墙面面积为 28800cm2,设该铝合金窗的宽和高分别为 a cm 和 b cm, 铝合金窗的透光部分的面积为 S cm2. (1)试用 a, b 表示 S ; (2)若要使 S 最大,则铝合金窗的宽和高分别为多少?

6

b

a

第 3页

21. (本题满分 14 分)设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,其中 an ? 0 , a1 为常数,且 ?2a1 , Sn ,2an?1 成等差数列. ( 1 ) 当 a1 ? 2 时 , 求 {an } 的 通 项 公 式 ; ( 2 ) 当 a1 ? 2 时 , 设 bn

? log2 (an2 ) ?1 , 若 对 于 n ? N * ,

1 1 1 ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4

?

1 (3)设 cn ? Sn ? 1 ,是否存在 a1 ,使数 ? k 恒成立,求实数 k 的取值范围; bnbn?1

列 {cn } 为等比数列?若存在,求出 a1 的值;若不存在,请说明理由.

体育部数学必修 5 综合测试
1. C 【解析】A.

参考答案与评分标准

1 1 ? 不成立,例如 a>0>b; a b

B. a

2

? b2 不成立,例如 1>-5;

第 4页

C.

a b 2 2 成 立 , 在 不 等 式 a ? b 的 两 边 同 时 乘 以 c ? 1 即 可 得 到 ( 因 为 c ?1 ? 0 ) ; ? 2 2 c ?1 c ?1

D. a | c |? b | c | 不成立,例如 c=0 时. 2. C 【解析】因为 a1

? 3, an?1 ? 2an ? 1,所以 a2 ? 2 a1 ? 1 ? 7 ,a3 ? 2 a2 ? 1 ? .1 5
2 bs i n A 5 2 ,所以 . ?sin B ? ,所以此三角形有两解 1 ? 2 a 8

3.

B 【解析】因为 s i n B?

4.

D 【解析】当 k ? 0 时,原不等式为1 ? 0 ,满足题意;当 k ? 0 时,要满足题意须 ?

k ?0 ,解 2 ?? ? k ? 4k ? 0 ?

k 的取值范围是 [0, 4) . 得 k ? ( 0 , 4.综上知:实数 )
5. 6. C 【解析】由余弦定理得 c o s A?
2 2 2 2 b2 ? c 2 ? a 2 b ? c ?? b ? b c? ?c 1 ? ? ? ,所以 A ? 1200 . 2b c 2bc 2

A 【解析】因为 a1 ,4, a2 ,1 成等差数列,所以 a2

成等比数列,所以 b2 ? ?2 , ? a1 ? ?3 ,因为 b1 , 4 ,b2 , 1, b3

所以 b2 (a 2 ? a ) 1 = ?6 . 7. B 【解析】由题意知:SM=20,∠NMS=15°+30°=450,∠SNM=60°+45°=1050,所以∠NSM=300,在

?MNS 中利用正弦定理得:

MN 20 ? , 所以MN ? 10 0 sin 30 sin1050

?

6 ? 2 海里.所以货轮的速度为

?

10

?

6? 2 1 2

? ? 20

?

6? 2 .
an?1 a ? 1 , 所 以 n ?1 ? 3 . 所 以 an an

?

8. A

解 析 : 因 为 log3 an ? 1 ? log3 an?1 , 所 以 log3 an ?1 ? log3 an ? log3

a5 ? a7 ? a9 ? ? a2 ? a4 ? a6 ? ? 33 ? 35 ,所以 log 1 (a5 ? a7 ? a9 ) ? log 1 35 ? ?5 .
3 3

9.

4y x 2 1 ? ? 4 ? 4 ? 8 ,所以 m2+2m<8,解得-4<m<2. D 【解析】因为 x+2y=(x+2y) (x+y )=4+ x y
b a? c ? , 即a ? c ?4? s i nA ? s iC ?n, sin B s iA n? s C in

10. D 【解析】由正弦定理,得:

所以△ABC 的周长 l ? a ? b ? c ? 4 ? sin A ? sin C ? ? 2 3 ? 4 ?sin ?

? ?

? ? 2? ? ? C ? ? sin C ? ? 2 3 ? 3 ? ?

? 3 ? 3 ?? ? ? 4? C ? ??2 3 , ? 2 cos C ? 2 sin C ? ? ? 2 3 ? 4 3 sin ? 6? ? ? ?
因为 ?B ?

?
3

, 所以0 ? C ?

2? ? ? 5? 1 ?? ? , 所以 ? C ? ? ,所以 ? sin ? C ? ? ? 1 , 3 6 6 6 2 6? ?

所以 4 3 sin ? C ?

? ?

??

? ? 2 3 ? 6 3 ,即△ABC 周长的最大值为 6 3 . 6?
第 5页

11.? 6 【解析】画出可行域,由可行域知:目标函数 z ? y? x 过点(4,-2)时取最小值,且最小值为-6. 12.

5 7

【解析】因为 sin A : sin B : sin C

? 2 : 3: 4 ,所以由正弦定理,得: a : b : c ? 2 : 3 : 4 ,不妨设

a ? 2k , b ? 3k , c ? 4k ,所以
13. {x ? 3 ? x ? }

a ? b 2k ? 3k 5 ? ? . b ? c 3k ? 4k 7
2

1 2

解析:依题意可知方程 ax ? 5 x ? 2 ? 0 的两个实数根为

1 和 2 ,由韦达定理得: 2

1 5 2 +2= ? ,所以 a =-2,所以 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 ? 2 x ? 5x ? 3 ? 0 , ? ? x ? 3? ? ? 2x ?1? ? 0 ,所以不等式 2 a 1 ax2 ? 5 x ? a 2 ? 1 ? 0 的解集是 {x ? 3 ? x ? } . 2
14.

3n ? 1 2

【解析】因为 {an } 的“差数列”的通项公式为 3 ,所以 an?1 ? an ? 3 ,所以
n
n

a2 ? a1 ? 31 , a3 ? a2 ? 32 , a4 ? a3 ? 33 ,……, an ? an?1 ? 3n?1 ,以上 n-1 个式子相加,
得 an ? a1 ? 31 ? 32 ? 33 ? …3n?1 ,所以 an ? 1 ? 31 ? 32 ? 33 ? …3n?1 ?

3n ? 1 . 2

15.

b x?c 1 1 1 ? ? 0 的解集是: (?3, ?1) (2,4) ,用 (? , ? ) ( ,1) 【解析】因为关于 x 的不等式 x?a x?d 2 4 3

1 ? ?c b bx cx ? 1 1 ? 代替x ,不等式可化为: ? x ? ? ? 0 ,可得 1 1 x ax ? 1 dx ? 1 ? ?a ? ?d x x

1 1 1 1 ? ? (?3, ?1) (2, 4),即x ? (? , ? ) ( ,1) . x 2 4 3
16. (本题满分 12 分) 解: (1)由题设及余弦定理得 -2BC·CDcos C=13-12cos C,①

-2AB·DAcos A=5+4cos C.②, -----------------------------------4 分

由①②得 cos C= , 故 C=60°,BD=

.-----------------------------------7 分

(2)四边形 ABCD 的面积 S= AB·DAsin A+ BC·CDsin C=

sin 60°=2

.-----------12 分

17. (本题满分 12 分) 作出可行域如图所示,

第 6页

. -----------------------------------4 分 (1)z=x +(y-5) 表示可行域内任一点(x,y)到定点 M(0,5)的距离的平方,过 M 作直线 AC 的垂线,易知
2 2

? 0?5? 2 ? 9 垂足 N 在线段 AC 上,故 z 的最小值是|MN| ? ? ? ? .-----------6 分 2 2 ? ? 1? y-? ?-2? 1 -1,- ?连线的斜率的 2 倍, (2)z=2· 表示可行域内任一点(x,y)与定点 Q? 2? ? x-?-1?
2

2

由图可知 QA 的斜率最大,QB 的斜率最小. -------------------------------8 分 7 3 可求得点 A(1,3)、B(3,1),所以 kQA= ,kQB= , -------------------------------------11 分 4 8 3 7? 故 z 的范围为? ------------------------------------12 分 ?4,2?. 18. (本题满分 12 分) 解: (1)由已知得: sin B(sin A cos C ? cos A sin C ) ? sin A sin C ,所以 sin B sin( A ? C ) ? sin A sin C , 所以 sin 2 B ? sin A sin C , ------------------------------------4 分 再由正弦定理可得: b 2 ? ac ,所以 a , b, c 成等比数列. ------------------------------------6 分 (2)若 a ? 1, c ? 2 ,则 b2 ? ac ? 2 , ------------------------------------7 分 2 2 2 a ?c ?b 3 所以 cos B ? ------------------------------------9 分 ? , 2ac 4 7 所以 sin C ? 1 ? cos 2 C ? , 4 1 1 7 7 ? 所以△ ABC 的面积 S ? ac sin B ? ? 1 ? 2 ? . ------------------------------------12 分 2 2 4 4 19. (本题满分 12 分) 解: (1)设等比数列 {an } 的首项为 a1 ,公比为 q, 依题意,有 2(a3 ? 2) ? a2 ? a4 代入 a2 ? a3 ? a4 ? 28 ,解得 a3 ? 8
3 ? ?a1q ? a1q ? 20, ∴? 2 ? ?a3 ? a1q ? 8,

-------------------------------2 分

∴ a2 ? a4 ? 20

1 ? ? q ? 2 ?q ? 解之得 ? 或? 2 ? a1 ? 2 ?a ? 32 ? 1

------------4 分

又 {an } 单调递增,∴ ?

?q ? 2 ? a1 ? 2

∴ an ? 2n

-------------------------------6 分 ------------------------------7 分

(2)由(1)知 an ? 2n ,所以 bn ? 2n ? log 1 2n ? ?n ? 2n ,
2

∴ ?sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ... ? n ? 2n ∴ ?2sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3? 24 ? ... ? (n ?1) ? 2n ? n2n?1 ∴①-②得 sn ? 2 ? 2 ? 2 ? ... ? 2 ? n ? 2
2 3 n n ?1

① ② -------------------------------10 分

?

2(1 ? 2n ) ? n ? 2n ?1 = ?1 ? n ? 2n?1 ? 2 --------12 分 1? 2
------------------------2 分

20. (本题满分 13 分) 解: (1)∵铝合金窗宽为 acm,高为 bcm,a>0,b>0.ab=28800,
第 7页

b-18 又设上栏框内高度为 hcm,下栏框内高度为 2hcm,则 3h+18=b, ∴h= 3 2(b-18) b-18 ∴透光部分的面积 S=(a-18)× +(a-12)× =(a-16) (b-18) 3 3 =ab-2(9a+8b)+288=29088-18a-16b ------------------------------------7 分 (2)∵9a+8b ? 2 9a× 8b =2880, ∴ S=29088-18a-16b=29088-2(9a+8b) ? 29088-2× 2880 当且仅当 9a=8b, 即 a=160,b=180 时 S 取得最大值. --------------------------11 分 ∴铝合金窗宽为 160cm,高为 180cm 时透光部分面积最大. ---------------------------13 分 21. (本题满分 14 分) 解: (1)由题意知: 2Sn ? 2an?1 ? 2a1 , 即 Sn ? an?1 ? a1 当 n ? 2 时, Sn?1 ? an ? a1 ,两式相减得: an ? an?1 ? an ,?an?1 ? 2an (n ? 2) 当 n ? 1 时, S1 ? a2 ? a1 ,∴ a2 ? 2a1 ,满足 an?1 ? 2an 所以 {an } 是以 a1 为首项,以 2 为公比的等比数列,因为 a1 ? 2 ,所以 an (2)由(1)得 an 所以 ------3 分

------------4 分

? 2n

------------5 分

? 2n ,所以 bn ? log2 (an2 ) ?1 = 2n ? 1 ,

------------6 分 ------------7 分

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, bnbn?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ?
1 1 1 ? ? ? b1b2 b2b3 b3b4 ? 1 1 1 1 ? ? ? ? bnbn?1 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 ?

所以

1 (2n ? 1)(2n ? 1)

=

1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2 3 2 3 5 2 5 7

1 1 1 1 1 ? ( ? ) ? (1 ? ) ----------10 分 2 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1
-----------------11 分

因为 n ? N * ,所以

1 1 1 1 (1 ? ) ? ,所以 k ? 2 2n ? 1 2 2

(3)由(1)得 {an } 是以 a1 为首项,以 2 为公比的等比数列 所以 cn ? Sn ? 1 =

a1 (1 ? 2n ) ? 1 ? a1 ? 2n ? a1 ? 1 1? 2

--------------------------12 分

要使 {cn } 为等比数列,当且仅当 ?a1 ? 1 ? 0, a1 ? 1 所以存在 a1 ? 1 ,使 {cn } 为等比数列 --------------------------------14 分

第 8页


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