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不等式第一讲--绝对值不等式


第一讲
一、知识梳理
知识点一:绝对值的几何意义
1、绝对值的意义

含绝对值的不等式

⑴意义: 在数轴上 a 表示 a 对应的点到原点的距离, a ? b 表示 a 与 b 之间的距离.
? a (a ? 0) ? 代数表达式为: a ? ? 0 ( a ? 0 ) ? ? a (a ? 0) ?



它的一个重要性质是: a ? b ? a ? b ? a ? b ⑵ x ? a (a ? 0) :
x ? a (a ? 0) :

2、基本绝对值不等式的解法
x ? a ( a ? 0 ) 的解集为: { x ? a ? x ? a }

x ? a 的解集为: { x | x ? ? a 或 x ? a }

巧记方法为“小于找中间,大于找两边”

知识点二、绝对值不等式的基本解法
类型一:
x ? a ?a ? 0? x ? a ?a ? 0?

; ;

; ;

ax ? b ? c ?c ? 0?

ax ? b ? c ?c ? 0?

c ? ax ? b ? d ?c, d ? 0?

例 1、⑴ 2 x ? 5 ? 8 ⑶3 ? ?2 x ? 5

⑵ 2 ? 3x ? 7 ⑷ 6x ? 5 ? 2

例 2、⑴ 3 ? x ? 2 ? 9

⑵ 2 ? ?2 x ? 2 ? 7

1

类型二:含有多个绝对值的不等式(平方法、零点分段法、几何意义法) 例 3、 x ? 1 ? 4 ? 2

例 4、⑴

x ? 2 ? x ?1



x?2 ? x

例 5、⑴ 2 x ? 1 ? x ? 3 ? 3

⑵ x ?1 ? x ? 2 ? 5

类型三:

f ?x ? ? g ?x ?



f ?x ? ? g ?x ?

型不等式 (2)
5x ? 1 ? 2 x ? 3

例 6、 (1)

3x ? 4 ? x ? 1 ;



类型四:含有参数的不等式 例 7、
2x ? 3 ?1 ? a?a ? R?

例 8、已知关于 x 的不等式 a x ? 2 ? (3 ? a ) x ? 2 ;若 a ? R ,求不等式的解集 A ;设不等式
2

2 x ? 1 ? 2 的解集为 B ,使得 A ? B

1? ? ? ? x | ? 1 ? x ? ? ,求 a 的值 2? ?

课后练习
1、不等式 5 - 2 x ? 3 的解集是( A. ? x | x ? 4 ? C. ? x | 1 ? x ? 4 ? 2、不等式 x ? 2 ? 1 ? 0 的解集是( A. ? x | 1 ? x ? 3? A. ? x | ? 2 ? x ? 4 ? C. { x | ? 2 ? x ? 0 或 2 ? x ? 4} ) 。 B. ? x | x ? 1 或 x ? 4 ? D. ? x | x ? ? 1 或 x ? 4 ? ) C. R D. ? ) B. ? x | x ? 1 或 x ? 3? B. ? ? 2 ? x ? 0 ? D. { x | x ? 0 或 x ? 4 ? )

3、已知集合 A ? ? x | x ? 1 ? 3 ? , B ? ? x | x ? 1 ? 3 ? ,则 A ? B ? (

4、已知集合 A ? { x || x ? 2 |? 5} , B ? { x | | 3 ? x |? 2} ,则 A ? B ? ( A. { x | x ? 7 或 x ? 1} C. ? x | x ? R ? B. { x | ? 1 ? x ? 7} D. { x | x ? ? 7 或 x ? 3} )

5、集合 { x ? N | 0 ? | x ? 1 |? 3} 的真子集个数为( A. 1 6 B. 1 5 C. 8 D. 7 )

6、实数 a , b 满足 a b ? 0 ,那么( A. | a ? b |? | a | ? | b | C. | a ? b |? | a ? b |

B. | a ? b |? | a ? b | D. | a ? b |? || a | ? | b || )

7、已知 M ? { x || x ? 1 |? 2} , N ? { x || x ? 2 |? 4} ,则下列结论正确的是( A. M ? N ? R C. M ? N ? R B. M ? N ? { x | 2 ? x ? 3} D. M ? N ? { x | x ? ? 6}

3


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