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7.20高一数学暑假培训必修五第三章 不等式复习要点(学生版)


1

高一数学暑假培训必修五第三章

不等式复习要点

1、实数大小的比较: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 2、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ,

a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ;
? bn ? n ??, n ? 1? ;⑧ a ? b ? 0 ? n a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

?d ?0 aca? bd ⑥ ? ;⑦ ?b ?0?a

n

3、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 一元二次不等式的求解:一元二次不等式 ax +bx+c>0(a>0)解的讨论.
2

??0
二次函数

??0

??0

y ? ax2 ? bx ? c
( a ? 0 )的图象 一元二次方程

?a ? 0?的根

ax2 ? bx ? c ? 0

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集

ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0)的解集
对于 a<0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 4.一元二次方程 ax +bx+c=0(a>0)的实根的分布常借助二次函数图像来分析: 设 ax +bx+c=0 的两根为 ?、? ,f(x)=ax +bx+c,那么:
2 2 2

y

?? ? 0 ? ①若两根都大于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ? ? ? 0 ?? ? ? ? 0 ?

o

?
对称轴 x= ?

?
b 2a

x

1

y

2

?? ? 0 ? b ? ②若两根都小于 0,即 ? ? 0, ? ? 0 ,则有 ?? ?0 2 a ? ? ? f (0) ? 0

?
对称轴 x= ?

?
b 2a

o

x

y

③若两根有一根小于 0 一根大于 0,即 ? ? 0 ? ? ,则有 f (0) ? 0 o x

?
y ④若两根在两实数 m,n 之间,即 m ? ? ? ? ? n ,

?

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 则有 ? 2a ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
⑤若两个根在三个实数之间,即 m ? ? ? t ? ? ? n ,

o

m

?
X= ?

?
b 2a

n

x

y

? f (m) ? 0 ? 则有 ? f (t ) ? 0 ? f (n) ? 0 ?
常由根的分布情况来求解出现在 a、b、c 位置上的参数 o m

?

t

?

n

x

X= ? 2a 5、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 6、 确定不等式组所表示区域的步骤: ①画线: 画出不等式所对应的方程所表示的直线②定测: 由上面 (一) (二)来确定③求交:取出满足各个不等式所表示的区域的公共部分。 7、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? .
2

b

3

可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 8、 、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即
2 2

a?b ? ab . 2

9 、 常 用 的 基 本 不 等 式 : ① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ; ② ab ?

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; ③ 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b ? ;④ ab ? ? a ? 0, b ? 0 ?? ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
10、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有:⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

2

2

s2 .⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p . 4

基础练习:
1.已知 a, b, c ? R ,则下列推证中正确的是( A. a ? b ? am 2 ? bm 2 B. )

1 1 a b 1 1 ? ? a ? b C. a 3 ? b3 , ab ? 0 ? ? D. a 2 ? b 2 , ab ? 0 ? ? a b c c a b
)
2 2 B.若 a ? b ? 0 ,则 a ? ab ? b

2.若 a、b、c 为实数,则下列命题正确的是(
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

C.若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b

D.若 a ? b ? 0 ,则

b a ? a b

3.设 M ? 2a?a ? 2? , N ? ?a ? 1??a ? 3? ,则有( ) A. M ? N B. M ? N C. M ? N D. M ? N 2 4.已知 f(x)=ax -c,且-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,则 f(3)的取值范围是( A.[-1,20] B.(-1,20) C.[-7,26] D.(-7,26) 5.不等式 x2 ? 4 x ? 5 ? 0 的解集是( ) A.{x |-1≤x≤5} B.{x | x≥5 或 x≤-1} 1} 6.若关于 x 的不等式 ? A.

)

C.{x |-1< x < 5}

D.{x | x > 5 或 x <-

1 2 x ? ax ? ?1 的解集为 ? x ?1 ? x ? 2? ,则实数 a =( 2
C. ?2 D.2

)

1 2

B. ?

1 2

2 7.已知不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 x ? 1 ? x ? 2 ,则不等式 2 x ? bx ? a ? 0 的解集为()

?

?

A. x x ? ?2或x ? 1

?

?

? ? x x ? ?1或x ? B. ?

1? ? 2?

C. x ? 2 ? x ? 1

?

?

? ?x ? 1 ? x ? D. ?

1? ? 2?
3

4

8.解关于 x 的不等式 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ? 0(a ? 0) .
2

9.如果 ax 2 ? ax ? 1 ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ________;
2

10.对于满足 0≤a≤4 的实数 a,使 x +ax>4x+a-3 恒成立的 x 取值范围是________. 11.已知点 (3, 1) 和 (?4, 6) 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是( A. a ? ?7 或 a ? 24 B. a ? 7 或 a ? 24 C. ?7 ? a ? 24

).

D. ?24 ? a ? 7

?x ? y ? 2 ? 0 ? 12. 若 x 、 y 满足 ? kx ? y ? 2 ? 0 ? y?0 ?
A.2 B. ? 2

,且 z ? y ? x 的最小值为 ? 4 ,则 k 的值为(



C.

1 2

D. ?

1 2


?x ? 1 ? 13.已知 a ? 0 , x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,若 z ? 2 x ? y 的最小值为 0 ,则 a ? ( ? y ? a ( x ? 3) ?
A.

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

? x ? y ? 2 ? 0? y ? x ? 1? 14.已知变量 x,y 满足约束条件 ? 则 的取值范围是( x ? x ? y ? 7 ? 0? ?
A. [ 9 ? 6]

)

5

B. (??? 9 ] ? [6? ??)

5

C. (??? 3] ? [6? ??)

D.(3,6]

15.当 x ? 0, y ? 0, A.10

1 9 ? ? 1 时, x ? y 的最小值为( x y
C.14

) D.16

B.12

16.已知 2a ? b ? 1, a ? 0, b ? 0 ,则 B. 3 ? 2 2

1 1 ? 的最小值是( a b



A. 2 2

C. 3 ? 2 2

D. 3 ? 2

4

5

17.若 f ( x ) ? x ? A.

5 2

1 ( x ? 2) 在 x ? n 处取得最小值,则 n ? ( x?2 7 B. 3 C. D. 4 2
x y



18.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 a =b =2,a+ b =4,则 A.4 B.3 C.2 D.1

2 1 + 的最大值为( x y

)

19. 设正实数 x, y, z 满足 x 2 ? 3 xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当

z 取得最大小值时, x ? 2 y ? z 的最大值为 ( xy



A.0

B.

9 8

C.2

D.

9 4

20.若 0 ? x ? 2, 则函数 y ?

x(4 ? 2x) 的最大值为

21.正数 a,b,c 满足 a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc。

22.若 x ? 0, y ? 0 ,且

2 8 ? ? 1 ,求 xy 及 x ? y 的最小值. x y

课后作业:
1.已知 a,b 为非零实数,且 a<b,则下列命题一定成立的是(
2 2 A. a ? b


2 2 D. ac ? bc

1 1 B. ? a b

3 2 2 3 C. a b ? a b

2 2.若关于 x 的不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 ( ?

1 1 , ) ,则不等式 ax2 ? bx ? 2 ? 0 的解集为 2 3



5

6
2 3 .已知 f ( x ) ? x ? ( a ?

1 1 ) x ? 1 . 当 a ? 时,解不等式 f ( x) ? 0 ; ( 2 )若 a ? 0 ,解关于 x 的不等式 2 a

f ( x) ? 0 .

4.对于满足 p ? 2 的所有实数 p ,求使不等式 x ? px ? 1 ? 2 x ? p 恒成立的 x 取值范围.

?2 x ? y ? 0 ? 5.实数 x,y 满足 ? y ? x ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 3,则实数 b 的值为( ? y ? ?x ? b ?
A.



4 9

B.—

4 9

C.

9 4

D.—

9 4
)

?x ? y ? 5 ? 0 ? 2 2 6.设 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0 ,则 z=(x+1) +y 的最大值为( ?x ? 3 ?
A.80 B.4 5 C.25 D.

17 2


7.已知 log2 x ? log2 y ? 1 ,则 x + y 的最小值为

8.正数 x 、 y 满足 xy ? x ? y ? 8 ,那么 x ? y 的最小值等于___________. 9.若正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 8 ,则 ab 的取值范围是________________.

6


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