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2017年全国高中数学联赛A卷一试(word版)问卷


2017 年全国高中数学联合竞赛一试(A 卷)
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分。 1.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,对任意实数 x 有 f ( x ? 3) ? f ( x ? 4) ? ?1 。又当 0 ? x ? 7 时,

f ( x )? l o2 g ? ( 9x ,则 ) f ( ?100) 的值为_________________。
2.若实数 x , y 满足 x 2 ? 2cos y ? 1 ,则 x ? cos y 的取值范围是__________________。

x 2 y2 ? ? 1 ,F 为 C 的上焦点,A 为 C 的右顶点, 9 10 P 是 C 上位于第一象限内的动点,则四边形 OAPF 的面积的最大值为____________。 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超 1,则称其为“平稳数”。平稳数的个数是 ___________________。 5.正三棱锥 P ? ABC 中, AB ? 1 , AP ? 2 ,过 AB 的平面 ? 将其体积平分,则棱 PC 与平面 ?
3.在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的方程为 所成角的余弦值为_______________。 6.在平面直角坐标系 xOy 中,点集 K ? {( x, y) | x, y ? ?1, 0,1} 。在 K 中随机取出三个点,则这 三点中存在两点之间距离为 5 的概率为________________。 7.在 ? ABC 中,M 是边 BC 的中点,N 是线段 BM 的中点。 若 ?A ?

?
3

,? ABC 的面积为 3 ,

则 AM ? AN 的最小值为_________________。 8.设两个严格递增的正整数数列 {an } , {bn } 满足: a10 ? b10 ? 2017 ,对任意正整数 n ,有

???? ? ????

an?2 ? an?1 ? an , bn?1 ? 2bn ,则 a1 ? b1 的所有可能值为___________________。
二、解答题:本大题共 3 小题,满分 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.(本题满分 16 分)设 k , m 为实数,不等式 | x 2 ? kx ? m |? 1 对所有 x ? [a, b] 成立。证明:

b?a? 2 2 。

1

10.(本题满分 20 分)设 x1 , x2 , x3 是非负实数,满足 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求

( x1 ? 3 x2 ? 5 x3 )( x1 ?

x2 x3 ? ) 的最小值和最大值。 3 5

11.(本题满分 20 分)设复数 z1 , z2 满足 Re( z1 ) ? 0, Re( z2 ) ? 0 ,且 Re( z12 ) ? Re( z22 ) ? 2 (其 中 Re( z ) 表示复数 z 的实部) 。 (1)求 Re( z1 z2 ) 的最小值; (2)求 | z1 ? 2 | ? | z2 ? 2 | ? | z1 ? z2 | 的最小值。

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