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江苏省扬州市邗江中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年江苏省扬州市邗江中学高一(上)期中数学试卷
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. (答案请写在答题卡的指定位置)江 苏省邗江中学 2014-2015 学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={1,3},则 CAB. 2. (5 分)已知 a 是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则 a 的值是. 3. (5 分)已知函数 f(2x+1)=4x ,则 f(5)=. 4. (5 分)函数 y=ln(3﹣2x)的定义域是. 5. (5 分)设 a=log1.2 ,b=1.1 ,则 a,b 的大小关系是. 6. (5 分)方程 log3x+x=3 的解的个数是. 7. (5 分)函数 f(x)=x ﹣2x+3,x∈[0,3]的值域是. 8. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点 ,则 f(﹣2)=.
2 0.9 0.8 2

9. (5 分)函数 f(x)=log2(x﹣1)的单调递增区间是. 10. (5 分)若 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则 f(﹣1)=. 11. (5 分)若函数 y=a (a>0,a≠1)在区间 x∈[0,1]上的最大值与最小值之和为 3,则实数 a 的值为. 12. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,对于任意的 x∈R,都满足 f(﹣x)=f(x) ,且对 于任意的 a,b∈(﹣∞,0],当 a≠b 时,都有 则实数 m 的取值范围是. 13. (5 分)函数 f(x)=x +bx+3 满足 f(2+x)=f(2﹣x) ,若 f(m)<0,则 f(m+2)与 f (log2π)的大小关系是 f(m+2)f(log2π) . 14. (5 分)下列几个命题,其中正确的命题有. (填写所有正确命题的序号) ①函数 y=log2(x﹣3)+2 的图象可由 y=log2x 的图象向上平移 2 个单位,向右平移 3 个单位 得到; ②函数 的图象关于点(1,2)成中心对称;
2 x 2

<0.若 f(m+1)<f(2) ,

③在区间(0,+∞)上函数

的图象始终在函数 y=x 的图象上方;

④任一函数图象与垂直于 x 轴的直线都不可能有两个交点.

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字步骤. (请写在答题卡的指 定位置) 15. (10 分) (1)计算 log3 (2)已知 + +log3 ﹣log2 ;
4

=3,求 x+ 的值.

16. (12 分)设集合 A={x|x<﹣3,或 x>6},B={x|3<x<7}. (1)求 A∩B; (2)设 C={x|x≥m},且 B∩C=B,求实数 m 的取值范围. 17. (12 分)设函数 f(x)=( )
10﹣ax

,其中 a 为常数,且 f(3)= .

(1)求 a 的值; (2)若 f(x)≥4,求 x 的取值范围. 18. (15 分)甲商店某种商品 11 月份(30 天,11 月 1 日为第一天)的销售价格 P(元)与时 间 t(天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量 Q(件)与时间 t(天)函数关系如图 (二)所示.

(1)写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式 P=f(t)及其定义域,写出图(二) 表示的日销售量与时间的函数关系式 Q=g(t)及其定义域; (2) 写出日销售金额 M (元) 与时间 t 的函数关系式 M=h (t) 及其定义域并求 M 的最大值. (注: 日销售金额 M=销售价格 P×日销售量 Q) . 19. (15 分)已知函数 f(x)= ,x∈(﹣1,1) .

(1)用单调性的定义证明 f(x)在 x∈(﹣1,1)上是单调减函数; 2 (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥a(x ﹣3x+2)对于任意 x∈(﹣1,1)恒成立,求实数 a 的取 值范围.

20. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1 (a 为实常数) . (1)判断函数 f(x)的奇偶性并给出证明; (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,设 g(x)=|f(x)﹣x|在区间[﹣2,2]上的最大值为 h(a) ,求 h(a)的表达式.

2

2014-2015 学年江苏省扬州市邗江中学高一(上)期中数 学试卷
参考答案与试题解析

一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. (答案请写在答题卡的指定位置)江 苏省邗江中学 2014-2015 学年度第一学期高一数学期中试卷命题人魏跃兵霍庆元 1. (5 分)已知集合 A={1,2,3,4},B={1,3},则 CAB{2,4}. 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据题意和补集的定义直接求出 CAB 即可. 解答: 解:因为集合 A={1,2,3,4},B={1,3}, 所以 CAB={2,4}, 故答案为:{2,4}. 点评: 本题考查补集的运算,属于基础题. 2. (5 分)已知 a 是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则 a 的值是 0. 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 由题意,集合{x|ax=1}是任何集合的子集,则此集合必是空集,a 的值易求得. 解答: 解:由于 a 是实数,若集合{x|ax=1}是任何集合的子集, 则此集合必是空集, 故方程 ax=1 无根,所以 a=0 故答案为:0. 点评: 本题考查集合中的参数取值问题,空集的概念,解题的关键是理解题意,得出是任 何集合的子集的集合必是空集. 3. (5 分)已知函数 f(2x+1)=4x ,则 f(5)=16. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用.
2

分析: 令 t=2x+1,则 x= 值.

,故有 f(t)=4

.再把 t=5 代入求得 f(5)的

解答: 解:已知函数 f(2x+1)=4x ,令 t=2x+1,则 x=

2

,故有 f(t)=4



故 f(5)=4

=16,

故答案为 16. 点评: 本题主要考查利用换元法求函数的解析式、求函数的值,属于基础题.

4. (5 分)函数 y=ln(3﹣2x)的定义域是(﹣∞, ) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 直接由对数式的真数大于 0 求解 x 的取值范围得答案. 解答: 解:由 3﹣2x>0,得 x< . ∴原函数的定义域为(﹣∞, ) . 故答案为: (﹣∞, ) . 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,是基础题. 5. (5 分)设 a=log1.2 ,b=1.1 ,则 a,b 的大小关系是 a<b. 考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数函数与对数函数的单调性即可得出. 0.9 0.8 解答: 解:∵a=log1.2 <0,b=1.1 >1, ∴a<b. 故答案为:a<b. 点评: 本题考查了指数函数与对数函数的单调性,属于基础题. 6. (5 分)方程 log3x+x=3 的解的个数是 1. 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 数形结合;函数的性质及应用. 分析: 函数 y=log3x,函数 y=3﹣x,画出图象的看交点个数,可判断解的个数. 解答: 解:根据函数 y=log3x,函数 y=3﹣x,图象的交点个数可判断:方程 log3x+x=3 的解 的个数是 1,
0.9 0.8

故答案为:1

点评: 本题考察了运用函数图象的交点,判断方程根的个数,属于中档题. 7. (5 分)函数 f(x)=x ﹣2x+3,x∈[0,3]的值域是[2,6]. 考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数解析式,求得函数对称轴和开口方向,判断函数在区间上的单调性,进而 求得函数的最大和最小值,求得函数的值域. 解答: 解:函数 f(x)=x ﹣2x+3,x∈[0,3]的对称轴为 x=1,开口向上, 在区间[0,3]不是单调增, ∴f(x)max=f(3)=6,f(x)min=f(1)=2, ∴函数的值域为[2,6]. 故答案为:[2,6]. 点评: 本题主要考查了函数的值域问题,二次函数的性质.运用了数形结合思想解决问题 较为直观.
2 2

8. (5 分)已知幂函数 y=f(x)的图象过点

,则 f(﹣2)=



考点: 幂函数的图像;函数的值. 专题: 待定系数法. 分析: 设出幂函数的解析式,由图象过( ,8)确定出解析式,然后令 x=﹣2 即可得到 f (﹣2)的值. 解答: 解:设 f(x)=x ,因为幂函数图象过
a



则有 8=

,∴a=﹣3,即 f(x)=x ,
﹣3

﹣3

∴f(﹣2)=(﹣2) =﹣ 故答案为:﹣ 点评: 考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式.会根据自变量的值求幂函数的函数 值. 9. (5 分)函数 f(x)=log2(x﹣1)的单调递增区间是(1,+∞) . 考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 函数 f(x)为复合函数,利用同增异减原则求单调区间即可,注意真数大于 0. 解答: 解:f(x)=log2(x﹣1)由 y=log2t 和 t=x﹣1 复合而成, ∵t=x﹣1>0, 由复合函数的单调性可知 f(x)=log2(x﹣1)的单调增区间是(1,+∞) . 故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题主要考查了对数函数的单调性,以及简单的复合函数的单调性,解题时需注意 定义域优先的原则,属于基础题. 10. (5 分)若 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x +2x,则 f(﹣1)=﹣3. 考点: 函数奇偶性的性质;函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数奇偶性的性质,将 f(﹣1)转化为 f(1)进行求解即可. 解答: 解:∵f(x)为定义在 R 上的奇函数, ∴f(﹣1)=﹣f(1) , 2 ∵当 x≥0 时,f(x)=x +2x, ∴f(1)=1+2=3, 即 f(﹣1)=﹣f(1)=﹣3. 故答案为:﹣3. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,利用函数奇偶性的性质将 f(﹣1)转化为 f(1) 是解决本题的关键. 11. (5 分)若函数 y=a (a>0,a≠1)在区间 x∈[0,1]上的最大值与最小值之和为 3,则实数 a 的值为 2. 考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 本题要分两种情况进行讨论:①0<a<1,函数 y=a 在[0,1]上为单调减函数,根据 x x 函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3,求出 a②a>1,函数 y=a 在[0,1]上为单调增 x 函数,根据函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3,求出 a 即可. 解答: 解:①当 0<a<1 时
x 2

函数 y=a 在[0,1]上为单调减函数 x ∴函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值分别为 1,a x ∵函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3 ∴1+a=3 ∴a=2(舍) ②当 a>1 时 函数 y=a 在[0,1]上为单调增函数 x ∴函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值分别为 a,1 x ∵函数 y=a 在[0,1]上的最大值与最小值和为 3 ∴1+a=3 ∴a=2 故答案为:2. 点评: 本题考查了函数最值的应用,但解题的关键要注意对 a 进行讨论,属于基础题. 12. (5 分)已知函数 f(x)的定义域为 R,对于任意的 x∈R,都满足 f(﹣x)=f(x) ,且对 于任意的 a,b∈(﹣∞,0],当 a≠b 时,都有 则实数 m 的取值范围是(﹣3,1) . 考点: 抽象函数及其应用;函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得函数 f(x)为偶函数,在(﹣∞,0]上是减函数,从而函数在[0,+∞) 上是增函数, 故由不等式可得|m+1|<2,由此求得 m 的范围. 解答: 解:由 f(﹣x)=f(x) ,可得函数 f(x)为偶函数,∴f(|x|)=f(x) , 再根据对任意的 a,b∈(﹣∞,0],当 a≠b 时,都有 , <0.若 f(m+1)<f(2) ,
x

x

故函数在(﹣∞,0]上是减函数,∴函数在[0,+∞)上是增函数, 故由 f(m+1)<f(2) , ∴f(|m+1|)<2 ∴|m+1|<2 可得﹣2<m+1<2,解得﹣3<m<1, 故答案为: (﹣3,1) . 点评: 本题主要考查函数的单调性和奇偶性,得到|m+1|<2 是解题的关键,属于中档题. 13. (5 分)函数 f(x)=x +bx+3 满足 f(2+x)=f(2﹣x) ,若 f(m)<0,则 f(m+2)与 f (log2π)的大小关系是 f(m+2)>f(log2π) . 考点: 函数的图象;函数单调性的性质;函数的值. 分析: 根据题意先求出 b 的值,然后就知道抛物线与 x 轴的交点,再根据 f(m)<0 可求 出 m 的取值范围,然后比较 m+2 与 log2π 的范围即可. 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +bx+3 满足 f(2+x)=f(2﹣x) ∴抛物线的对称轴为 2 ∴b=﹣4
2

∴f(x)=(x﹣3) (x﹣1) 即抛物线与 x 轴交于(1,0) , (3,0)点 ∵f(m)<0 ∴1<m<3 ∴3<m+2<5 ∴f(m+2)>0 ∵2<π<4 ∴1<log2π<2 ∴f(log2π)<0 f(m+2)>f(log2π) . 点评: 本题考查了抛物线和对数的知识,注意抛物线性质的准确应用. 14. (5 分)下列几个命题,其中正确的命题有①④. (填写所有正确命题的序号) ①函数 y=log2(x﹣3)+2 的图象可由 y=log2x 的图象向上平移 2 个单位,向右平移 3 个单位 得到; ②函数 的图象关于点(1,2)成中心对称; 的图象始终在函数 y=x 的图象上方;

③在区间(0,+∞)上函数

④任一函数图象与垂直于 x 轴的直线都不可能有两个交点. 考点: 命题的真假判断与应用;函数的图象与图象变化. 专题: 证明题. 分析: ①利用函数图象平移变换理论即可判断①的真假;②先将函数化为复合函数形式, 再利用基本函数图象的性质通过平移变换找其对称中心;③由于两函数有两个明显的交点, 可判断在两交点之间,函数 的图象始终在函数 y=x 的图象下方;④利用函数的定义,

即一个 x 只能有一个 y 值与之对应,可判断④的真假 解答: 解:①将 y=log2x 的图象向上平移 2 个单位,得到 y=log2x+2 的图象,再将所得图象 向右平移 3 个单位得到 y=log2(x﹣3)+2 的图象,故①正确; ②函数 = =2﹣ ,此函数是由反比例函数 y=﹣ 向左平移一

个单位,再向上平移 2 个单位得到的,由反比例函数的对称中心为(0,0)知,此函数的对 称中心为(﹣1,2) ,故②错误; ③∵点(0,0) , (1,1)是函数 的图象与函数 y=x 的图象的两个交点,且 ,故

③错误; ④由函数的定义,对于定义域内的任意一个 x,由唯一的一个函数值与其对应,故任一函数 图象与垂直于 x 轴的直线都不可能有两个交点.④正确 故答案为①④ 点评: 本题 考查了函数图象的平移变换理论及其应用,反比例函数及其复合函数的对称中 心位置,函数图象的交点与位置关系的判断,函数的定义,命题真假的判断方法

二.解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答应写出必要的文字步骤. (请写在答题卡的指 定位置) 15. (10 分) (1)计算 log3 (2)已知 + +log3 ﹣log2 ;
4

=3,求 x+ 的值.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用法则进行计算; (2)整体代换,将已知平方后代入所求. 解答: 解: (1)原式= (2)由已知得 所以 . . .

点评: 本题考查了对数的运算法则以及利用整体代换的思想计算幂的问题.属于基础题. 16. (12 分)设集合 A={x|x<﹣3,或 x>6},B={x|3<x<7}. (1)求 A∩B; (2)设 C={x|x≥m},且 B∩C=B,求实数 m 的取值范围. 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: (1)由 A 与 B,求出两集合的交集即可; (2)由 B 与 C 的交集为 B,得到 B 为 C 的子集,确定出 m 的范围即可. 解答: 解: (1)∵A={x|x<﹣3,或 x>6},B={x|3<x<7}, ∴A∩B={x|6<x<7}; (2)∵C={x|x≥m},且 B∩C=B, ∴B?C, 则 m≤3. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
10﹣ax

17. (12 分)设函数 f(x)=( )

,其中 a 为常数,且 f(3)= .

(1)求 a 的值; (2)若 f(x)≥4,求 x 的取值范围. 考点: 指数函数综合题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由 f(3)= ,可得( )
10﹣3a

= ,故有 10﹣3a=1,解得 a 的值.

(2)由已知( )

10﹣3x

≥4=( ) ,可得 10﹣3x≤﹣2,由此解得 x 的范围.
10﹣3a

﹣2

解答: 解: (1)由 f(3)= ,可得( ) 所以,10﹣3a=1,解得 a=3. (2)由已知( )
10﹣3x

= ,

≥4=( ) ,所以 10﹣3x≤﹣2,解得 x≥4,

﹣2

故 f(x)≥4 解集为{x|x≥4}. 点评: 本题主要考查指数不等式的解法,指数函数的单调性,属于中档题. 18. (15 分)甲商店某种商品 11 月份(30 天,11 月 1 日为第一天)的销售价格 P(元)与时 间 t(天)函数关系如图(一)所示,该商品日销售量 Q(件)与时间 t(天)函数关系如图 (二)所示.

(1)写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式 P=f(t)及其定义域,写出图(二) 表示的日销售量与时间的函数关系式 Q=g(t)及其定义域; (2) 写出日销售金额 M (元) 与时间 t 的函数关系式 M=h (t) 及其定义域并求 M 的最大值. (注: 日销售金额 M=销售价格 P×日销售量 Q) . 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (1)设价格函数是 y=kt+b,且过点(0,15) 、 (30,30) ,代入可求得 f(t) ;同理, 可求得销售量函数 g(t) ; (2)日销售金额与时间的函数 M=h(t)=f(t)?g(t) ,再求最值即可. 解答: 解: (1)设价格函数是 y=kt+b,过点(0,15) 、 (30,30) ,则 ∴b=15,k= ; ∴ff(t)= t+15(0<t≤30,t∈N) ; 设销售量函数 y=at+m,过点(0,160) , (30,40) , 则 ,∴m=160,a=﹣4; ,

∴g(t)=﹣4t+160(0<t≤30) (t∈N) ; (2)M=h(t)=( t+15) (﹣4t+160)=﹣2t +20t+2400(0<t≤30,t∈N)
2

∴t=5 时,M 的最大值为 2450 元. 点评: 本题由图象考查了一次函数的解析式,以及二次函数的最值,是中档题目. ,x∈(﹣1,1) .
2

19. (15 分)已知函数 f(x)=

(1)用单调性的定义证明 f(x)在 x∈(﹣1,1)上是单调减函数; (2)若关于 x 的不等式 f(x)≥a(x ﹣3x+2)对于任意 x∈(﹣1,1)恒成立,求实数 a 的取 值范围. 考点: 函数单调性的判断与证明;函数恒成立问题. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)利用定义法设 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2,做差 f(x1)﹣f(x2) ,证明其大 于 0 即可, 2 2 (2)先利用二次函数的性质判断在(﹣1,1)上,y=x ﹣3x+2>0,不等式两边同时除以 x ﹣3x+2,将恒成立问题转化为函数最值问题求解. 解答: 解: (1)证明:任取 x1,x2∈(﹣1,1) ,且 x1<x2, 则 f(x1)﹣f(x2)= ﹣ = ,

又∵x1,x2∈(﹣1,1) ,x1<x2, ∴(1+x1) (1+x2)>0, x2﹣x1>0, ∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , ∴f(x)在 x∈(﹣1,1)上是单调减函数. (2)∵y=x ﹣3x+2=(x﹣2) (x﹣1)在(﹣1,1)上单调递减且恒有 y>0, 2 不等式 f(x)≥a(x ﹣3x+2)对于任意 x∈(﹣1,1)恒成立, 即为 a≤ ,对于任意 x∈(﹣1,1)恒成立,
2

令 g(x)=

=

=



当 x= 时取得最小值,g( )= , 所以 a 的取值范围是 a≤ . 点评: 本题考察定义法证明函数的单调性以及恒成立问题的转化,尤其是恒成立问题转化 为最值问题,是解决恒成立问题的常用方法. 20. (16 分)已知函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1 (a 为实常数) . (1)判断函数 f(x)的奇偶性并给出证明; (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)若 a>0,设 g(x)=|f(x)﹣x|在区间[﹣2,2]上的最大值为 h(a) ,求 h(a)的表达式.
2

考点: 带绝对值的函数;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 综合题;函数的性质及应用. 分析: (1)确定定义域为 R,且满足 f(﹣x)=f(x) ,可得结论; (2)分类讨论,结合函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,求实数 a 的取值范围; (3)当 x∈[﹣2,2]时,g(x)=|f(x)﹣x|= ,对 a 讨论,

确定最大值 h(a) ,即可求 h(a)的表达式. 2 解答: 解: (1)对于函数 f(x)=ax ﹣|x|+2a﹣1,它的定义域为 R,且满足 f(﹣x)=f(x) , 故函数为偶函数. (2)当 a=0 时,在区间[1,2]上,f(x)=﹣|x|﹣1=﹣x﹣1,不满足在区间[1,2]上是增函数, 故 a≠0. 在区间[1,2]上,函数 f(x)=ax ﹣x+2a﹣1 的图象对称轴方程为 x= 根据函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数, 可得 ①,或 ②,求得 a≥ .
2



(3)当 x∈[﹣2,2]时,g(x)=|f(x)﹣x|=



①0

,即 ≥2,h(a)=max

=6a﹣5;

②a

,即 0

<2,h(a)=max

=6a﹣1

∴h(a)=



点评: 本题考查函数奇偶性的判断,考查函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,考查带绝对 值的函数,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,有难度.


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