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高三文科数学数列专题练习


高三文科数学数列专题练习
? 1. 已知数列 ?an ? n ? N 是等比数列,且 an ? 0, a1 ? 2, a3 ? 8.

?

?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求证:

1 1 1 1 ? ? ??? ? 1; a1 a 2 a3 an

>(3)设 bn ? 2 log2 an ? 1 ,求数列 ?bn ? 的前 100 项和.

2.数列{an}中, a1 ? 8 , a4 ? 2 ,且满足 an?2 ? an?1 ? 常数 C (1)求常数 C 和数列的通项公式; (2)设 T20 ?| a1 | ? | a2 | ? (3) Tn ?| a1 | ? | a2 | ?

? | a20 | , ? | an | , n ? N ?

?2n , n为奇数; 3. 已知数列 a n = ? , 求 S2n ? 2n-1, n为偶数;

1

4 .已知数列 ?an ? 的相邻两项 a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根,且

a1 ? 1 .
(1) 求证: 数列 ?a n ?

? ?

1 n? ? 2 ? 是等比数列; 3 ?

(2) 求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

5. 在等比数列{an}(n∈N*)中,已知 a1>1,q>0.设 bn=log2an,且 b1+b3+b5=6,b1b3b5=0. (1)求数列{an}、{bn}的通项公式 an、bn; (2)若数列{bn}的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 an 的大小.

6. 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an 是 Sn 与 2 的等差中项,数列{bn}中,b1=1, 点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上。 (1)求 a1 和 a2 的值; (2)求数列{an},{bn}的通项 an 和 bn; (3)设 cn=an·bn,求数列{cn}的前 n 项和 Tn。

2

7. 已 知 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , a1 ?

1 1 119 且 S n ? S n ?1 ? an ?1 ? , 数 列 ?bn ? 满 足 b1 ? ? 且 4 2 4

3bn ? bn?1 ? n (n ? 2且n ? N ? ) .
(1)求 ?an ? 的通项公式; (2)求证:数列 ?bn ? an ? 为等比数列; (3)求 ?bn ? 前 n 项和的最小值.

8. 已知等差数列 ?an ? 的前 9 项和为 153. (1)求 a5 ; (2)若 a 2 ? 8, ,从数列 ?an ? 中,依次取出第二项、第四项、第八项,……,第 2 项,按原来的顺序组成
n

一个新的数列 ?cn ? ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

9.已知曲线 C : y ? e (其中 e 为自然对数的底数)在点 P ?1, e ? 处的切线与 x 轴交于点 Q1 ,过点 Q1 作 x 轴的垂
x

C 在点 P1 处的切线与 x 轴交于点 Q2 ,过点 Q2 作 x 轴的垂线交曲线 C 于点 P 线交曲线 C 于点 P 1 ,曲线 2 ,……,
依次下去得到一系列点 P . 1、 P 2 、……、 P n ,设点 P n 的坐标为 ? xn , yn ? ( n ? N )
*

(Ⅰ)分别求 xn 与 yn 的表达式; (Ⅱ)求

?x y .
i ?1 i i

n

3

10. 在数列 ?an ? 中,a

1

? 2, an?1 ? ?an ? ?n?1 ? (2 ? ?)2n (n ? N ? , ? ? 0)

(1) 求证:数列 {

?n

an

2 ? ( ) n } 是等差数列;

?

(2) 求数列 ?an ?的前 n 项和 S n ;

11. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx 满足条件:① f (0) ? f (1) ; ② f ( x ) 的最小值为 ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式;

1 . 8

?4? (Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn , 且 Tn ? ? ? , 求数列 {an } 的通项公式; ?5? (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下, 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 试问数列 {bn } 中第几项的
值最小? 求出这个最小值.

f (n)

12. 已知函数 f(x)=x -4,设曲线 y=f(x)在点(xn,f(xn) )处的切线与 x 轴的交点为(xn+1, 0) (n ? N ) , (Ⅰ)用 xn 表示 xn+1; x ?2 (Ⅱ)若 x1=4,记 an=lg n ,证明数列{ an }成等比数列,并求数列{ xn }的通项公式; xn ? 2
2 +

(Ⅲ)若 x1=4,bn=xn-2,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,证明 Tn<3.

4

数列专题练习参考答案
1. 解:(1)设等比数列 ?an ? 的公比为 q .
2 则由等比数列的通项公式 an ? a1q n?1 得 a3 ? a1q3?1 ,? q ?

8 ? 4, 2

又 an ? 0,?q ? 2L L 2分

?

?

? 数列 ?an ? 的通项公式是 an ? 2 ? 2n?1 ? 2n L L ?3分? .

? 2?

1 1 1 1 ? ? ?L ? a1 a2 a3 an

1 1 1 ? ? 1 1 1 1 2 2n 2 ? ? 2 ? 3 ?L ? n ? 1 2 2 2 2 1? 2
? 1? 1 L L ? 6分 ? , 2n
1 ? 1L L ? 7分 ? , 2n

Q n ? 1,?1 ?

?

1 1 1 1 ? ? ? L ? ? 1L L ?8分? . a1 a2 a3 an

? 3?由bn ? 2log 2 2n ? 1 ? 2n ? 1L L ?9分? , 又 Q bn ? bn?1 ? 2n ? 1 ? ? ?2 ? n ? 1? ? 1? ? ? 2 ?常数? , ? 数列?bn ? 是首项为3,公差为2的等差数列L L ?11分? ,
? 数列 ?bn ? 的前 100 项和是 S100 ? 100 ? 3 ?
2.解: (1) C=-2,an ? 10-2n

100 ? 99 ? 2 ? 10200 L L ?12分 ? 2

( 2T )n ? a |1 ?| a |2 ? | ? a 5| ? |a | a= 1 ? a 2? =a 2 ( a 2? 1? =2 S 5-
20

6

? | an | ) ?a a +6 5

| +7 ?aa
Tn ? ? 2 (3) 0 ) ?9n-n 2 , n ? 5 ? 2 ? ?40-9n ? n , n ? 5

?a- a ? an 5 a (6 + 7 ? a 5- ) a ? 1 (a ? 2 S =260

3.解:Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ???a2 n ? (a1 ? a3 ? a5 ? ???a2 n-1 ) ? (a2 ? a4 ? a6 ? ???a2 n ) ? (21+23+25+??? 22 n-1 ) ? (3 ? 7 ? 11 ? ???) ? ? 2(4n-1) ? n ? 2n 2 3
2 n
*

2(1-4n ) n(n -1 ) ? 3n ? ?4 1-4 2

4 .解:证法 1: ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x ? 2 x ? bn ? 0 (n ? N ) 的两根,

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ∴? ? bn ? a n a n ?1 .
5

由 an ? an?1 ? 2 n ,得 a n ?1 ?

1 n ?1 1 ? ? ? 2 ? ?? a n ? ? 2 n ? , 3 3 ? ?

故数列 ?a n ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?

证法 2: ∵ a n , a n ?1 是关于 x 的方程 x 2 ? 2 n x ? bn ? 0 (n ? N * ) 的两根, ∴?

?a n ? a n ?1 ? 2 n , ? bn ? a n a n ?1 .

1 n? ? 1 1 a n?1 ? ? 2 n?1 2 n ? a n ? ? 2 n?1 ? ? a n ? ? 2 ? 3 ? ? ?1 3 3 ? ? ∵ , ? 1 n 1 n 1 n an ? ? 2 an ? ? 2 an ? ? 2 3 3 3
故数列 ?a n ?

? ?

2 1 1 n? ? 2 ? 是首项为 a1 ? ? ,公比为 ? 1 的等比数列. 3 3 3 ?

(2)解: 由(1)得 a n ? ∴ bn ? a n a n ?1

1 n 1 1 n ?1 n ? 2 ? ? ?? 1? , 即 a n ? 2 n ? ?? 1? . 3 3 3 1 n 1 n n ?1 n ? 2 ? ?? 1? ? 2 n ?1 ? ?? 1? ? 2 2 n ?1 ? ?? 2 ? ? 1 . 9 9

?

?

?

??

?

?

?

∴ S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an
n 1 ? 1 ? n ?1 ? 1? ? 1? 2 n 2 3 n ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ?? 1? ? ?? 1? ? ? ? ?? 1? ? ?2 ? 2 ? ?. 3 3? 2 ?

??

? ?

??

7.解 ∶(1)由题设, 有an ? a1q n ?1 , a1 ? 1, q ? 0,? 数列{an }是单调数列, 又 bn ? log 2 an , b1b3b5 ? 0及a1 ? 1知, 必有a5 ? 1,即b5 ? 0. 由b1 ? b3 ? b5 ? 6及b5 ? 0, 得b1 ? b3 ? 6,即log 2 a1a3 ? 6,? a1a3 ? 26 ? 64, 1 2 即a2 ? 64,? a2 ? 8.? a5 ? a2 q 3 ? 8q 3 ? 1,? q ? . 由a2 ? a1q得a1 ? 16. 2 1 ? an ? a1q n ?1 ? 16( ) n ?1 ? 25? n ;bn ? log 2 an ? 5 ? n. (6分) 2 n(b1 ? bn ) n(9 ? n) (2)由(1)知, bn ? 5 ? n, S n ? ? . 2 2 当n ≥ 9时, S n ≤ 0, an ? 0,? an ? S n ; 当n ? 1或2时, S4 ? 4或7; an ? 16或8,? an ? S n ; 1 1 1 当n ? 3、、 4 5、、、 6 7 8时, S n ? 9、 10、 10、、、 9 7 4, an ? 4、、 2 1、 、 、 ,? an ? S n . 2 4 8 综上所述,当n ? 1或2或n ≥ 9时, 有an ? S n ; 当n ? 3、、 4 5、、、 6 7 8时, 有an ? S n .(13分)
8. 解: (1)∵an 是 Sn 与 2 的等差中项 ∴Sn=2an-2 ∴a1=S1=2a1-2,解得 a1=2 a1+a2=S2=2a2-2,解得 a2=4 (2)∵Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,
6

· · ·3 分

又 Sn—Sn-1=an, (n ? 2, n ? N *) ∴an=2an-2an-1, ∵an≠0, ∴

an ? 2(n ? 2, n ? N *) ,即数列{an}是等比树立∵a1=2,∴an=2n an?1
· · ·8 分

∵点 P(bn,bn+1)在直线 x-y+2=0 上,∴bn-bn+1+2=0, ∴bn+1-bn=2,即数列{bn}是等差数列,又 b1=1,∴bn=2n-1, (3)∵cn=(2n-1)2n ∴Tn=a1b1+ a2b2+· · · ·anbn=1×2+3×22+5×23+· · · ·+(2n-1)2n, ∴2Tn=1×22+3×23+· · · ·+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1 因此:-Tn=1×2+(2×22+2×23+· · ·+2×2n)-(2n-1)2n+1, 即:-Tn=1×2+(23+24+· · · ·+2n+1)-(2n-1)2n+1, ∴Tn=(2n-3)2n+1+6 9. 解: (1)由 2Sn ? 2Sn?1 ? 2an?1 ? 1 得 2an ? 2an?1 ? 1, an ? an ?1 ? ∴ an ? a1 ? (n ? 1) d ?

· ·14 分

1 ……2 分 2

1 1 n? ……………………………………4 分 2 4 1 1 (2)∵ 3bn ? bn?1 ? n ,∴ bn ? bn ?1 ? n , 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ∴ bn ? an ? bn ?1 ? n ? n ? ? bn ?1 ? n ? ? (bn ?1 ? n ? ) ; 3 3 2 4 3 6 4 3 2 4

1 1 1 3 bn ?1 ? an ?1 ? bn ?1 ? (n ? 1) ? ? bn ?1 ? n ? 2 4 2 4
∴由上面两式得

bn ? an 119 1 1 ? ? ?30 ? ,又 b1 ? a1 ? ? 4 4 bn ?1 ? an ?1 3

1 为公比的等比数列.…………………8 分 3 1 n ?1 1 n ?1 1 1 1 n ?1 (3)由(2)得 bn ? an ? ?30 ? ( ) ,∴ bn ? an ? 30 ? ( ) ? n ? ? 30 ? ( ) 3 3 2 4 3
∴数列 ?bn ? an ? 是以-30 为首项,
bn ? bn ?1 ? 1 1 1 1 1 1 n ? ? 30 ? ( ) n ?1 ? (n ? 1) ? ? 30 ? ( ) n ? 2 2 4 3 2 4 3

1 1 1 1 1 = ? 30 ? ( ) n ? 2 (1 ? ) ? ? 20 ? ( ) n ? 2 ? 0 ,∴ ?bn ? 是递增数列 ………11 分 2 3 3 2 3
当 n=1 时, b1 ? ?

119 3 5 10 7 10 <0; 当 n=2 时, b2 ? ? 10 <0; 当 n=3 时, b3 ? ? <0; 当 n=4 时, b4 ? ? >0, 4 4 4 3 4 9

所以,从第 4 项起的各项均大于 0,故前 3 项之和最小. 1 10 1 且 S3 ? (1 ? 3 ? 5) ? 30 ? 10 ? ? ?41 …………………………13 分 4 3 12 10. 解: (1)? S 9 ?

9(a1 ? a9 ) 9 ? 2a5 ? ? 9a5 ? 153 ? a5 ? 17 2 2

………5 分

(2)设数列

?an ? 的公差为 d,则 ?a2 ? a1 ? 4d ? 17
?
5 1

?a ? a ? d ? 8

?a ? 5 ?? 1 ?d ? 3

7

? an ? 3n ? 2

………9 分 …12 分

Sn ? a2 ? a4 ? a8 ? … ? a2n ? 3(2 ? 4 ? 8 ? … ? 2n ) ? 2n ? 3·2n?1 ? 2n ? 6
11.解: (Ⅰ)∵ y? ? e x , ∴曲线 C : y ? e x 在点 P ?1, e ? 处的切线方程为 y ? e ? e ? x ?1? ,即 y ? ex . 此切线与 x 轴的交点 Q1 的坐标为 ? 0, 0 ? , ∴点 P 1 的坐标为 ? 0,1? . ∵点 P , n 的坐标为 ? xn , yn ? ( n ? N )
*
n ∴曲线 C : y ? e x 在点 P ? e n ? x ? xn ? , n ? xn , yn ? 处的切线方程为 y ? e

……2 分

x

x

……4 分

令 y ? 0 ,得点 Qn?1 的横坐标为 xn?1 ? xn ?1 . ∴ xn ? 1 ? n , yn ? e1?n . (n?N )
*

∴数列 ?xn ? 是以 0 为首项, ?1 为公差的等差数列. ……8 分

(Ⅱ)∴

?x y
i ?1 i

n

i

? x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? ......... ? xn yn

S ? -e-1-2e-2-3e-3-4e-4 -........-(1-n)e1-n eS ? -e -2e -3e -4e
-0 -1 -2 -3

(1) (2) -(1-n)e1-n

-........-(1-n)e
-2

2-n 2-n

? (1)-(2)得到:- (1 e) S ? 1 ? e ? e
-1

? ........ ? e

?S ?

e 1 (1-n)e1-n [ - 1] - (e-1) 2 en (1-e)
……14 分

12. 解: (1)由 an?1 ? ?an ? ? n?1 ? (2 ? ? )2n ,(n ? N * , ? ? 0) ,可得

?n?1

an?1

a 2 2 ? ( )n?1 ? n ? ( )n ? 1

?

?n

?

所以 {

?n

an

2 ? ( ) n } 是首项为 0,公差为 1 的等差数列.

?

(2)解:因为

?n

an

2 ? ( )n ? n ? 1 即 an ? (n ?1)? n ? 2n ,(n ? N * )

?

设 Tn ? ? 2 ? 2? 3 ???? ? (n ? 2)? n?1 ? (n ?1)? n ……①

?Tn ? ? 3 ? 2? 4 ???? ? (n ? 2)? n ? (n ?1)? n?1 ……②
2 3 4 n n?1 当 ? ? 1 时,① ? ②得 (1 ? ? )Tn ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? (n ?1)?

? 2 (1 ? ? n?1 ) ? ? (n ? 1)? n ?1 1? ?
Tn ?

? 2 ? ? n?1 (n ? 1)? n?1 (n ? 1)? n?2 ? n? n?1 ? ? 2 ? ? (1 ? ? )2 1? ? (1 ? ? )2
8

13. 解: (1)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , 则 2a5 ? a4 ? a6 ,? a4 ? a6 ? 12 …………………… 3 分

(2)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 3 则? 又

?a1 ? 2d ? 3 ?a1 ? 4d ? 6
a52 ? a3 am

? d=


3 3 , a1 ? 0 ,? an ? ? n ? 1? 2 2
3 6? 3 am ,? 3 1 2?= ? m ?1 2

n? N?
?, m=9 ……… 7分

(3)在等差数列 ?an ? 中,公差 d ? 0 ,且 a5 ? 6 , a3 ? 2 则?

?a1 ? 2d ? 2 ?a1 ? 4d ? 6

? d=2 , a1 ? ?2 ,? an ? 2n ? 4 ,n ? N ?
首项 a3 ? 2 ,? ant ? 2 ? 3
t ?1

又因为公比 q ?

a5 6 ? ?3 , a3 2

又因为 ant ? 2nt ? 4 , ? 2nt ? 4 ? 2 ? 3t ?1 , nt ? 3t ?1 ? 2

n ? N ? ………… 12 分

? 1 ? ?a ? b ? 0 a? ? ? 1 2 1 ? ? 2 14.解: (1) 由题知: ? a ? 0 , 解得 ? , 故 f ( x ) ? x ? x . ………2 分 2 2 ?b ? ? 1 ? b2 1 ? ?? ? 2 ?? ? 8 ? 4a
(2) Tn ? a1a2

?4? an ? ? ? ?5?
?4? an?1 ? ? ? ?5?
n ?1

n2 ? n 2

,

Tn?1 ? a1a2

( n ?1)2 ?( n ?1) 2

(n ? 2) ,

? an ?

Tn ? 4 ? ?? ? Tn?1 ? 5 ?

(n ? 2) ,
?4? 所以 an ? ? ? ?5?
n ?1

又 a1 ? T1 ? 1 满足上式.

(n ? N ? ) ……………7 分

(3) 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项, 则 2 ? 5 f (an ) ? bn ? an , 从而 10( an ?
2

1 2

1 an ) ? bn ? an , 2
n ?1

得 bn ? 5an ? 6an ? 5(an ? ) ?
2 2

3 5

9 . 5

因为 an ? ? ? 当 an ?

?4? ?5?

(n ? N ? ) 是 n 的减函数, 所以

3 ? , 即 n ? 3(n ? N ) 时, bn 随 n 的增大而减小, 此时最小值为 b3 ; 5
9

当 an ? 又 a3 ?

3 , 即 n ? 4(n ? N ? ) 时, bn 随 n 的增大而增大, 此时最小值为 b4 . 5

3 3 ? a4 ? , 所以 b3 ? b4 , 5 5
2

2 ?? 4 ? 2 ? 224 ?4? 即数列 {bn } 中 b3 最小, 且 b3 ? 5 ?? ? ? ? 6 ? ? ? ? . …………12 分 5 5 125 ? ? ? ? ? ? ? ? 15. 解: (Ⅰ)由题可得 f '( x) ? 2 x . 所以曲线 y ? f ( x) 在点 ( xn , f ( xn )) 处的切线方程是: y ? f ( xn ) ? f '( xn )( x ? xn ) .

2 即 y ? ( xn ? 4) ? 2xn ( x ? xn ) . 2 令 y ? 0 ,得 ?( xn ? 4) ? 2xn ( xn?1 ? xn ) .

2 即 xn ? 4 ? 2xn xn?1 .

显然 xn ? 0 ,∴ xn ?1 ? (Ⅱ)由 xn ?1 ?

xn 2 ? . 2 xn

xn 2 x ( x ? 2)2 ( x ? 2)2 2 ,同理 xn?1 ? 2 ? n . ? ,知 xn?1 ? 2 ? n ? ? 2 ? n 2 xn 2 xn 2 xn 2 xn x ?2 x ?2 2 x ?2 x ?2 故 n ?1 ,即 an?1 ? 2an .所以,数列 {an } 成等比数列.故 ?( n ) .从而 lg n?1 ? 2lg n xn ?1 ? 2 xn ? 2 xn?1 ? 2 xn ? 2 x ?2 x ?2 an ? 2n?1 a1 ? 2n?1 lg 1 ? 2n?1 lg 3 .即 lg n ? 2n?1 lg 3 . x1 ? 2 xn ? 2
n?1

n?1 x ?2 2(32 ? 1) 从而 n ? 32 所以 xn ? 2n?1 xn ? 2 3 ?1

(Ⅲ)由(Ⅱ)知 xn ?

2(32 ? 1)
n?1

n?1

32 ? 1 n?1 4 bn?1 32 ? 1 1 1 1 1 ? 0∴ ∴ bn ? xn ? 2 ? 2n?1 ? 2n ? 2n?1 ? 2n?1 ? 21?1 ? bn 3 3 ?1 3 ?1 3 ? 1 3 3 1 1 2 1 n ?1 当 n ? 1 时,显然 T1 ? b1 ? 2 ? 3 .当 n ? 1 时, bn ? bn ?1 ? ( ) bn ? 2 ? ? ( ) b1 3 3 3 1 n b1[1 ? ( ) ] 1 1 n ?1 1 3 ? 3 ? 3 ? ( )n ? 3 . ∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? bn ? b1 ? b1 ? ? ( ) b1 ? 1 3 3 3 1? 3 综上, Tn ? 3 (n ? N *) .



10


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