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2015高考不等式专题训练


不等式专题
一、基本不等式
1.重要不等式和基本不等式:
2 2 (1) 如果 a ? R, b ? R, 则 a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时,取“=” ) ;

(2)如果 a ? R ? , b ? R ? , 则 2.四种平均数的关系:

a?b ? ab (当且仅当 a ? b 时,

取“=” ) 2

两个正数 a、 b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数方之间的关系是:

2 1 1 ? a b

? ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 (当且仅当 a ? b 时,取“=” ) 2

3.利用基本不等式求最值的原理: (1)由基本不等式变形得: a ? b ? 2 ab .如积 ab ? P(定值),则和 a ? b有最小值2 P

S 2 ?a?b? (2)由基本不等式变形得: ab ? ? ? .如和 a ? b ? S (定值),则积 ab有最大值( ) 2 ? 2 ?
即:积定和最小,和定积最大 运用基本不等式求最值的三要素:一正二定三相等 运用基本不等式求最值时,对于有些题目,可以直接利用公式求解,但是有些题目必须进行必要的变形才能利用基本不等式求解。下面是一些常用的变形方法。 1. 凑系数 例 1. 当 0 时,求 y 的最大值。 ?? x4 ? x ( 8 ? 2 x )
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
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2

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分析:利用基本不等式求积的最大值,和须为定值,注意到 2 为定值,故只需将 y 凑上一个系数即可。 x ?? ( 82 x ) ? 8 ? x ( 8 ? 2 x ) 解: ∵ 0 ?? x4 ? 8 ? 2x ? 0

1 1 2x ? 8 ? 2x 2 ? y ? x(8 ? 2 x) ? [2 x · (8 ? 2 x)] ? ( ) ?8 2 2 2 x ? 8 ? 2 x 当且仅当 2 ,即 x=2 时取等号. 所以当 x=2 时, y 的最大值为 8. ? x ( 8 ? 2 x )
评注:无法直接运用基本不等式求解,但凑系数后可得到和为定值,从而可利用基本不等式求最大值。 2. 凑项 例 2. 求函数 y?

1 ? xx ( ? 3 )的最小值 x? 3 解: ? x ? 3 ? x ? 3 ? 0
1

?y ?

1 1 1 ?x? ? (x ? 3) ?3? 2 ? ( x ? 3) ? 3 ? 5 x?3 x ?3 x ?3 1 ? x ? 3 ,即 x ? 4 时等号成立。 x?3

当且仅当

评注:无法直接运用基本不等式求解,但凑项后可得到积为定值,从而可利用基本不等式求最小值。 3. 分离 例 3. 求 y ?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? ?1) 的最小值 x ?1

分析:本题看似无法运用基本不等式,不妨将分子配方凑出含有(x+1)的项,再将其分离,从而应用基本不等式。

? 解: y

2 2 x ? 7 x ? 1 0 ( x ? 1 ) ? 5 ( x ? 1 ) ? 4 4 ? ? ( x ? 1 ) ?? 5 x ? 1 x ? 1 x ? 1

? x ? ?1 ? x ? 1 ? 0

4 。 ? y ? 2 ( x ? 1· ) ? 5 ? 9 (当且仅当 x=1 时取“=”号) x ?1
∴y?

x 2 ? 7 x ? 10 ( x ? -1) 的最小值为 9. x ?1

评注:分式函数求最值,通常化成 y ? m g () x ?

A ,g(x)恒正的形式,然后运用基本不等式来求最值。 ? B ( A ? 0 , m ? 0 ) g () x

4.整体代换

? 0 , b ? 0 , a ?? 2 b 1 例 4. 已知 a ,求 t ?
分析:不妨将

1 1 ? 的最小值。 a b

1 1 ? 乘以 1,而 1 用 a+2b 代换。 a b 1 1 1 1 2b a )1? ( ? · ) ( a ? 2b) ? 1 ? ? ?2 解: t ? ( ? · a b a b a b
? 3? 2b a 2b a ? ? 3? 2 · ? 3? 2 2 a b a b

2

? b a a ? 2 ?1 ?2 2b a ? ? ? 得 当且仅当 ? 时取等号,由 ? a b , ? 2 a b b?1? ? ? a ? 2 b ? 1 ? 2 ? ?a ? 2 ? 1 1 1 ? 即? 2 时, t ? a ? b 的最小值为 3?2 2 ?b ? 1 ? 2 ?
练习: 1.设 a ? 0, b ? 0. 若 3是3 与3 的等比中项,则
a b

1 1 ? 的最小值为 a b

A 8

B 4

C 1

D

1 4

2.已知 a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 则 ( ) (A) ab ?

1 2

(B) ab ?

1 2

(C) a ? b ? 2
2 2

(D) a ? b ? 3
2 2

3 已知

5 3 ? ? 2, ( x ? 0, y ? 0) ,则 xy 的最小值是_____________ x y

? 4 已知 x, y ? R ,且 x ? 4 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值为 _____

5 函数 y ? loga ( x ? 3) ?1(a ? 0, a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在直线 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中 mn ? 0 ,则 6 若正数 a,b 满足 ab=a+b+3,则 ab 的取值范围是_______. 7.已知 x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小值是_______. (1)恒成立问题(或解集为 R)的等价转换:

1 2 ? 的最小值为_______. m n

f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min ; f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?min ; f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?max ; f ? x ? ? a 恒成立 ? a ? f ? x ?max .
(2)有解问题的等价转换:
3

f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x ?max ; f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x ?max ; f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x ?min ; f ? x ? ? a 有解 ? a ? f ? x ?min .
(3)解集为空的等价转换:

f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?max ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?max ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?min ; f ? x ? ? a 解集为空集 ? a ? f ? x ?min .

三、含绝对值不等式的解法
解含绝对值不等式的关键是设法去掉绝对值符号,下面介绍几种去掉绝对值符号的方法: 方法 1 利用绝对值的定义

a , 当 a ?0 ? a ?? ? a , 当 a ?0 ?
x? 1? 2 x 例 1. 解不等式 3
分析:利用绝对值的定义去掉绝对值的符号,转化为不等式组。

解:原不等式化为: ?

?3x ? 1 ? 0 ?3x ? 1 ? 0 或? ?3x ? 1 ? 2x ??3x ? 1 ? 2x

1 1 ?? x ? ? ?x ? ? 3 即? 3 或? ? ?x ? 1 ?x ? 1 ?? 5
∴ x? 或x ? 1

1 5

∴原不等式的解集为 ? xx | ?1或x? ?

? ?

1 ? 5 ?

4

方法 2 公式法

f ( x) ? g( x) ? ?g( x) ? f ( x) ? g( x) f ( x) ? g( x) ? f ( x) ? g ( x) 或 f ( x) ? ? g ( x)
例 2. (1)| x +1|>2- x ;(2)| x -2 x -6|<3 x 解:(1)原不等式等价于 x +1>2- x 或 x +1<-(2- x ) 解得 x >
2

1 1 或 x ? ? ,∴原不等式的解集是{ x | x > } 2 2
2

(2)原不等式等价于-3 x < x -2 x -6<3 x 即?

? x 2 ? 2 x ? 6 ? ?3x ? ? x2 ? x ? 6 ? 0 ?( x ? 3)( x ? 2) ? 0 ? x ? ?3或x ? 2 ? ? ?? ?? ? 2 2 ? x ? 2 x ? 6 ? 3x ? x ? 5 x ? 6 ? 0 ?( x ? 1)( x ? 6) ? 0 ??1 ? x ? 6 ? ?

?2< x <6 ∴原不等式的解集是{ x |2< x <6}
方法 3 零点分段讨论法 例 3 解不等式:|x-3|-|x+1|<1
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特级教师 王新敞
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分析:如何去掉两个绝对值的符号?首先找出零点,第一个绝对值的式子的零点为 3,第二个式子的零点为-1,两个零点把数轴分成三段,故可分为三段讨论 解:原不等式等价于

? x ? ?1 ?? 1 ? x ? 3 或? ? ?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1 ?? ( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1
或?

?x ? 3 ?( x ? 3) ? ( x ? 1) ? 1
1 1 ? x ? 3或 x ? 3 2 1 2

解得: x ? ? 或

∴原不等式的解集为 { x | x ? } 方法 4 平方法 若不等式两边均为非负数,对其两边同时平方,再解不等式。 (切记:若用平方法,则不等式两边必须都是非负数,只有这样,才能运用平方法。 ) ① | ax ? b |? c(c ? 0) ? (ax ? b) ? c
2 2

5

② | f ( x) |?| g ( x) |? [ f ( x)]2 ? [ g ( x)]2 例 4. 解不等式 x ? 1 ?x? 0 解:原不等式变为: x? 1? x 等价于 ? x? 1 x ? 10 ? ? ?x ,即 2
2 2

∴原不等式的解集为 ?x| x ? ? ? 方法 5 利用绝对值的几何意义

? ?

1? 2?

x 的几何意义是数轴上的点 x 到原点的距离, x ? a 的几何意义是数轴上点 x 到点 a 的距离。
? 3 ? x ? 2 ? a 例 5. 若对一切实数 x,不等式 x 恒成立,求实数 a 的取值范围。 () x???? x3 x2 分析:本题可转化为求函数 f 的最小值问题。 ? 3 ?x ? 2 解:把 x 看成数轴上的动点 x 到点 ? 时, y ,则实数 a 的取值范围应为 a? 。 2和 3 的距离之和。显然,当 ? 2 ?? x3 5 5 m in ?
练习: 1、不等式 | x 2 ? x |? 2 的解集为( A、 (-1,2) B、 (-1,1) ) C、 (-2,1) D、 (-2,2)

2、不等式 | 2 x ? 1 | ? x ? 1的解集是

3、不等式 | x ? 3 |? 2 x 的解集是
2

4、不等式 1 ?| x ? 2 |? 5 的解集是
6

5、不等式 x 2 ? | x | ?2 ? 0( x ? R) 的解集是( A、 {x | ?2 ? x ? 2} C、 {x | ?1 ? x ? 1} 6、不等式 2x ? 1 ? x ? 2 ? 0 的解集为



B、 {x | x ? ?2或x ? 2} D、 {x | x ? ?1或x ? 1} . .

7、如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段 OM 上的动点.设 x 表示 C 与原点的距离,y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和.

(1)将 y 表示为 x 的函数; (2)要使 y 的值不超过 70,x 应该在什么范围内取值?

8、设函数 f ( x) ? x ? a ? 3x ,其中 a ? 0 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ?x | x ? ?1

?

,求 a 的值。

7

9、已知函数 f(x)=|x-2|-|x-5|. (1)证明:-3≤f(x)≤3; (2)求不等式 f(x)≥x -8x+15 的解集.
2

10、设函数 f ( x) ? 2x ? 4 ? 1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图像 (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围。

11、设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 4 | . (1)求不等式 f ( x) ? 4 的解集; (2)若 ?x ? R, f ( x) ? ?? ?
2

9 ? ,求实数 ? 的取值范围。 2

8

12、已知函数 f(x)=|x-1|+|x-2|.若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f (x)(a≠0,a、b∈R)恒成立,求实数 x 的取值范围.

13、设不等式|2x-1|<1 的解集为 M. (1)求集合 M; (2)若 a,b∈M,试比较 ab+1 与 a+b 的大小.

14、设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,试求 a 的取值范围。

9

15、已知关于 x 的不等式 2x ?1 ? x ?1 ? log2 a (其中 a ? 0 ) 。 (1)当 a=4 时,求不等式的解集; (2)若不等式有解,求实数 a 的取值范围。

16、设函数 f ( x) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | , x ? R . ⑴解不等式 f ( x) ≤5; 1 ⑵若 g ( x) ? 的定义域为 R ,求实数 m 的取值范围. f ( x) ? m

17、已知 f ( x) ? 2x ? 1 ? ax ? 5 (a 是常数,a∈R)

10

①当 a=1 时求不等式 f ( x) ? 0 的解集。 ②如果函数 y ? f ( x) 恰有两个不同的零点,求 a 的取值范围。

18、已知函数 f ( x ) = | x ? a | ? | x ? 2 | . (Ⅰ)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x ) ≥3 的解集; (Ⅱ) 若 f ( x ) ≤ | x ? 4 | 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围.

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