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烟台市2013-2014届高三第一次模拟考数学试题及答案(理)试题


烟台市 2013-2014 届高三第一次模拟考数学试题(理)
注意事项: 1.本试题满分 150 分,考试时间为 120 分钟. 2.使用答题纸时,必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔书写,作图时,可用 2B 铅笔.要字迹 工整,笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效;在草稿纸,试题卷上答题无效. 3.答卷前将密封线内的项目填写清楚. 一、选择题:本大题共 10 小题;每小题 5 分,共 50 分.每小题给出四个选项,只有一个选项符 合题目要求,把正确选项的代号涂在答题卡上. 10 1.设 i 是虚数单位,复数 的虚部为 3?i A.-i B.-1 C.i D.1 2. 已知集合 M ? {x | y ? ln(1 ? x)} ,集合 N ? { y | y ? e , x ? R} (e 为自然对数的底数) 则 M∩N= A. {x | x ? 1} B. {x | x ? 1} C. {x | 0 ? x ? 1} D. ?
x

3.一个空间几何体的三视图如下左图所示,则该几何体的表面积为 A. 48 B.

48 ? 8 17
4

C. 32 ? 8 17

D. 80
开始 输入

p

4

n ? 1, S ? 0
正视图 左视图

1 2 1
俯视图

S ? p?


否 输出 n, S

S ? S ? 3n

结束

n ? n ?1

4.某程序的框图如上右图所示. 执行该程序,若输入的 p 为 16,则输出的 n 的值为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 以 q 为公比的等比数列{ an }中, a1 >0,则“ a1 ? a3 ”是“ q ? 1 ”的 A.必要而不充分条件 C.充分必要条件 B.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

6.已知不重合的直线 m 、 l 和平面 ?、? ,且 m ? ? , l ? ? . 给出下列命题: ①若 ? ∥ ? ,则 m ? l ;② 若 ? ⊥ ? ,则 m // l ; ③若 m ? l ,则 ? ∥ ? ; ④ 若 m // l ,则 ? ? ? ,其中正确命题的个数是 A.1 B. 2 C. 3
高三数学(理)第 1 页 共 9 页

D. 4

7.已知圆 O : x ? y ? 1 及以下三个函数:① f ( x) ? x ;② f ( x) ? tan x ;③ f ( x) ? x sin x .
2 2

3

其中图象能等分圆 O 面积的函数个数为 A. 3 B. 2 C. 1

D. 0

8. 双曲线 C1 的中心在原点,焦点在 x 轴上,若 C1 的一个焦点与抛物线 C2 : y 2 ? 12 x 的焦点重合, 且抛物线 C2 的准线交双曲线 C1 所得的弦长为 4 3 ,则双曲线 C1 的实轴长为 A. 6 B. 2 6 C. 3 D. 2 3

9.下列四个图象可能是函数 y ?

10 ln x ? 1 x ?1

图象的是

10. 已知函数 f ( x) ? x ? sin x ( x ? R ), 且 f ( y ? 2 y ? 3) ? f ( x ? 4 x ? 1) ? 0 , 则当 y ? 1 时,
2 2

y 的取值范围是 x ?1
A. [ , ]

1 3 4 4

B. [0, ]

3 4

C. [ , ]

1 4 4 3

D. [0, ]

4 3

二、填空题:本大题共有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把正确答案填在答题卡的相应位置.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 11. 若实数 x, y 满足 ? x ? 2, 则 z ? y ? x 的最小值是 ? y ? 3, ? 2sin 2 ? ? 1 ? 12. 已知 tan ? ? 2 ,则 sin 2?
13.设 a ?

?

?

0

1 ? ? 2 sin xdx ,则二项式 ? a x ? ? 的展开式中含有 x 的项是 x? ?

6

14. 有 6 人入住宾馆中的 6 个房间,其中的房号 301 与 302 对门,303 与 304 对门,305 与 306 对门,若每人随机地拿了这 6 个房间中的一把钥匙,则其中的甲、乙两人恰好对门的概率为 15.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“ ? ”为全体实数排了一个“序”.类似的,我们在平 面 向 量 集 D ? a a ? ? x,y ?,x ? R,y ? R 上 也 可 以 定 义 一 个 称 为 “ 序 ” 的 关 系 , 记 为
高三数学(理)第 2 页 共 9 页

?

?

“ ? ” . 定 义 如 下 : 对 于 任 意 两 个 向 量 a1 ? ? x1,y1 ? , a2 ? ? x2,y2 ? , a1 ? a 2 当 且 仅 当 “ x1 ? x2 ”或“ x1 ? x2 且 y1 ? y2 ”. 按上述定义的关系“ ? ”,给出如下四个命题:

, 0 ?,e2 = ? 0, 1?,0= ? 0, 0 ? ,则 e1 ? e 2 ? 0 ; ①若 e1 = ?1
②若 a1 ? a 2 , a 2 ? a3 ,则 a1 ? a3 ; ③若 a1 ? a 2 ,则对于任意 a ? D , ( a1 + a ) ? ( a 2 + a ) ;

0 ? ,若 a1 ? a 2 ,则 a ? a1 ? a ? a2 . ④对于任意向量 a ? 0 , 0= ? 0,
其中真命题的序号为 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤. 16. (本题满分 12 分)

1), n ? (cos x, ? y) ,满足 m ? n ? 0 . 已知 m ? (2cos x ? 2 3 sin x,
(1)将 y 表示为 x 的函数 f ( x) ,并求 f ( x) 的最小正周期; (2)已知 a,b ,c 分别为 ?ABC 的三个内角 A ,B,C 对应的边长, f ( x) ( x ? R ) 的最大值是

A f ( ) ,且 a ? 2 ,求 b ? c 的取值范围. 2
17. (本题满分 12 分) 已知数列 ? an ? 前 n 项和为 S n ,首项为 a1 ,且 ,an,S n 成等差数列. (1)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)数列 ?bn ? 满足 bn ? (log2
a2 n ?1

1 2

) ? (log2 a2 n ?3 ) ,求证:

1 1 1 1 1 ? ? ??? ? . b1 b2 b3 bn 2

18. (本题满分 12 分) PM 2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,对人体健康 和大气环境质量的影响很大.我国 PM 2.5 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 PM 2.5 日均值在 35 微克/立方米以下空气质量为一级;在 35 微克/立方米~75 微克/立方米之间空气质量为二级; 在 75 微克/立方米以上空气质量为超标. 某市环保局从 360 天的市区 PM 2.5 监测数据中,随机抽取 15 天的数据作为样本,监测值如 茎叶图所示(十位为茎,个位为叶). (1)从这 15 天的数据中任取 3 天的数据,记 ? 表示空气质量达到一级的天数,求 ? 的分布列; (2)以这 15 天的 PM 2.5 日均值来估计这 360 天的空气质量情况,则其中大约有多少天的空气 质量达到一级.

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C?
B C

19. (本题满分 12 分) 已知平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 10 , BD ? 8 , E 是线段 AD 的中点.沿直 线 BD 将△ BCD 翻折成△ BC?D , 使得平面 BC ?D ⊥平面 ABD . (1)求证: C?D ? 平面 ABD ; (2)求直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值. 20. (本题满分13分) y P 1 已知椭圆 C 的中点在原点,焦点在 x 轴上,离心率等于 , 2 B 它的一个顶点恰好是抛物线 x 2 ? 8 3 y 的焦点. (1)求椭圆 C 的方程; A O Q x

3? , Q ? 2, ? 3? 在椭圆上,点 A、B 是椭圆上不同的两个动点,且满足 (2)已知点 P ? 2,

?APQ ? ?BPQ ,试问直线 AB 的斜率是否为定值,请说明理由.
21. (本题满分 14 分) 已知函数 f n ( x) ?

x2 ? 2x ? a ? ,其中 n ? N , a ? R, e 是自然对数的底数. nx e

(1)求函数 g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的零点; (2)若对任意 n ? N , f n ( x) 均有两个极值点,一个在区间 (1, 4) 内,另一个在区间 ?1, 4 ? 外,
?

求 a 的取值范围; (3)已知 k , m ? N , k ? m, 且函数 f k ( x) 在 R 上是单调函数,探究函数 f m ( x) 的单调性.
?

高三数学(理)第 4 页 共 9 页

2014 年高三诊断性测试

数学答案(理)
一、选择题: 二、填空题: 11. ?3 三、解答题: 16.解: (1)由 m ? n ? 0 得 2cos x ? 2 3 sin x cos x ? y ? 0 ,???? 2 分
2

DCBBA BBDCA
13 4
13. ? 192 x
2

12.

14.

1 5

15.①②③

即 y ? 2 cos x ? 2 3 sin x cos x= cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1
2

?? ? ? 2sin ? 2 x ? ? ? 1 , 6? ?
所以 f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??

? ? 1 ,其最小正周期为 ? .????????? 6 分 6?

(2)由题意得 f ( ) ? 3 , 所以 A ?

?
6

A 2

? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) ,因为 0 ? A ? ? ,所以 A ? 4 4 3 sin B , c ? 3 sin C , 3 3

?
3

. ??? 8 分

由正弦定理得 b ?

b?c ?

4 3 4 3 sin B ? sin C 3 3

?

4 3 4 3 2? ? sin B ? sin( ? B) ? 4sin( B ? ) , ????????? 10 分 3 3 3 6

? 1 ? 2? ? 1] ,? b ? c ? (2,4] , ? B ? ? 0, ? ,? sin( B ? ) ? ( , 6 2 ? 3 ?
所以 b ? c 的取值范围为 (2, 4] . ??????????????? 12 分

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17.解(1) ? ,an,S n 成等差数列,∴ 2an ? Sn ? 当 n ? 1 时, 2a1 ? S1 ?

1 2

1 ,?????? 1 分 2

1 1 ,? a1 ? ,????????????? 2 分 2 2 1 1 当 n ? 2 时, Sn ? 2an ? , Sn ?1 ? 2an ?1 ? , 2 2
两式相减得: an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 , ? 所以数列 ?a n ? 是首项为

an ? 2 , ???? 4 分 an ?1

1 ,公比为 2 的等比数列, 2
???????????????????? 6 分
2 n ?1? 2

an ? a1 ? 2n ?1 ? 2n ?2
(2) bn ? log 2
a2 n ?1

.

? log 2 a2 n ?3 ? log 2 2

? log 2 2

2 n ? 3? 2

? (2n ? 1)(2n ? 1)

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ???????? 10 分 bn 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ( [ 1 ? )( + - ) + ? +( ? )] b1 b2 b3 bn 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=

1 1 1 (1 ? )? 2 2n ? 1 2 .

????????????????? 12 分

解: (1)∵ N ? 15, M ? 6, n ? 3 , ? 的可能值为 0,1,2,3 其分布列为 P (? ? k ) ?
3? k C 6k ? C 9 (k ? 0 , 1 , 2 , 3) ??????? 3 分 3 C15

?
p

0

1

2

3

84 455

216 455

135 455

20 455
??????? 6 分

(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级的概率为 p ? 一年中空气质量达到一级的天数为? 则 ? ~ B? 360 , ? , 所以 E? ? 360 ?

6 2 ? 15 5

? ?

2? 5?

2 ? 144 (天) ????????11 分 5

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一年中空气质量达到一级的天数为 144 天 ???????????? 12 分 19. 证明: (1)平行四边形 ABCD 中, AB ? 6 , AD ? 10 , BD ? 8 , 沿直线 BD 将△ BCD 翻折成△ BC ?D 可知 CD ? 6 , BC? ? BC ? 10 , BD ? 8 , 即 BC '2 ? C ' D2 ? BD2 , ??????????????????? 2 分 C ' D ? BD . ∵平面 BC ?D ⊥平面 ABD ,平面 BC ?D ? 平面 ABD = BD , C?D ? 平面 BC?D ,∴ C?D ? 平面 ABD . ???????????? 5 分 (2)由(1)知 C?D ? 平面 ABD ,且 CD ? BD , 如图,以 D 为原点,建立空间直角坐标系 D ? xyz . ???????? 6 分 则 D(0,0,0) , A(8,6,0) , B(8,0,0) , C '(0,0,6) . ∵ E 是线段 AD 的中点, ??? ? ∴ E (4,3,0) , BD ? (?8,0,0) . ??? ? ???? ? 在平面 BEC ? 中, BE ? (?4,3,0) , BC ' ? (?8,0,6) , 设平面 BEC? 法向量为 n ? ( x, y, z ) , ??? ? ? ??4 x ? 3 y ? 0 ? BE ? n ? 0 ∴ ? ???? ,即 ? , ? ? 8 y ? 6 z ? 0 BC ' ? n ? 0 ? ? ? A

z

C?
x B C

令 x ? 3 ,得 y ? 4, z ? 4 ,故 n ? (3,4,4) .???9 分 设直线 BD 与平面 BEC ? 所成角为 ? ,则 ??? ? ??? ? | n ? BD | 3 41 ??? ? ? sin ? ?| cos ? n, BD ?|? . ???????????? 11 分 41 | n | ? | BD | ∴ 直线 BD 与平面 BEC ? 所成角的正弦值为 20.解:(1)设椭圆 C 的方程为 则b ? 2 3 . 由

E

D y

3 41 . ???????? 12 分 41

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) a2 b2

c 1 2 ? , a ? c 2 ? b 2 ,得 a ? 4 , a 2

∴椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 16 12

????????????? 5 分

(2) 当 ?APQ ? ?BPQ 时, PA 、 PB 的斜率之和为 0,设直线 PA 的斜率为 k , 则 PB 的斜率为 ? k , PA 的直线方程为 y ? 3 ? k ( x ? 2) ,

? y ? 3 ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 整理得 y2 ? ?1 ? ?16 12
高三数学(理)第 7 页 共 9 页

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8(3 ? 2k )kx ? 4(3 ? 2k ) 2 ? 48 ? 0 , ????????? 9 分

x1 ? 2 ?

8(2k ? 3)k 3 ? 4k 2

,

同理 PB 的直线方程为 y ? 3 ? ? k ( x ? 2) , 可得 x 2 ? 2 ? ∴ x1 ? x2 ?

? 8k (?2k ? 3) 8k (2k ? 3) ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

16k 2 ? 12 ?48k , ???????????? 12 分 , x1 ? x2 ? 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

k AB ?

y1 ? y 2 k ( x1 ? 2) ? 3 ? k ( x 2 ? 2) ? 3 k ( x1 ? x 2 ) ? 4k 1 , ? ? ? x1 ? x 2 x1 ? x 2 x1 ? x 2 2

所以 AB 的斜率为定值

1 . 2

????????????????? 13 分

21.解: (1) g ( x) ? f1 ( x) ? f 2 ( x) ? 设 h( x) ? x ? 2 x ? a , ? ? 4 ? 4a
2

x 2 ? 2 x ? a x 2 ? 2 x ? a ( x 2 ? 2 x ? a)(e x ? 1) , ? ? ex e2 x e2 x

①当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有一个零点: x1 ? 0.

…………… 1 分 ……… 2 分

②当 a ? ?1 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 1.

③当 a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 2. ………… 3 分 ④当 a ? ?1, a ? 0 时, ? ? 0, 函数 g ( x) 有三个零点:

x1 ? 0, x2 ? 1 ? a ? 1, x3 ? 1 ? a ? 1.

………………………………… 4 分

(2 x ? 2)enx ? n( x 2 ? 2 x ? a)e nx ?nx 2 ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 ? ? . …… 5 分 (2) f n ( x) ? e2 nx enx
设 g n ( x) ? ?nx ? 2(n ? 1) x ? a ? n ? 2 , g n ( x) 的图像是开口向下的抛物线.
2

由题意对任意 n ? N , g n ( x) ? 0 有两个不等实数根 x1 , x2 , 且 x1 ? ?1, 4 ? , x2 ? ?1, 4?.

?

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则对任意 n ? N , g n (1) g n (4) ? 0 ,即

?

6 ? ? n ? (a ? 1) ? n ? ? a ? (8 ? ) ? ? 0 , n ? ?
又任意 n ? N , 8 ?
?

………………………………………… 7 分

6 6 关于 n 递增, 8 ? ? ?1 , n n

故 ?1 ? a ? (8 ? ) min , ?1 ? a ? 8 ? 6 ? 2. 所以 a 的取值范围是 ? ?1, 2 ? . ……………………………………………… 9 分

6 n

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ? (3)由(2)知, 存在 x ? R, f k ( x) ? ? 0 ,又函数 f k ( x) 在 R 上是单调 ekx
函数,故函数 f k ( x) 在 R 上是单调减函数,
2 2 2

………………… 10 分

从而 ? k ? 4(k ? 1) ? 4k (ka ? 2) ? 4(k a ? k ? 1) ? 0, 即 a ? ?(1 ?
2 2

1 ). k2

…11 分

1 ? 4(k 2 ? m2 ) ? 2 2 . 所以 ? m ? 4(m ? 1 ? m a) ? 4 ? m ? 1 ? m (1 ? 2 ) ? ? k ? k2 ?
由 k , m ? N , k ? m, 知 ? m ? 0. 即对任意 x ? R, f k ? ( x) ?
?

…………………………………13 分

?kx 2 ? 2(k ? 1) x ? a ? k ? 2 ?0 ekx
……………………………………14 分

故函数 f m ( x) 在 R 上是减函数.

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