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圆内接四边形


复习提问:
1、圆周角定理的内容是怎样

叙述的? 答:一条弧所对的圆周角等于它 所对的圆心角的一半。

2、知识巩固练习:
1、如图(1),△ABC叫⊙O的_____三角形,⊙O叫△ABC的 外接 圆。 ____ 内接 100° 2、 如上图(1),若弧BC的度数为1000, 则∠BOC=__ ,∠A= 50° __
3、如图(2)四边形ABCD中, ∠B与∠1互补,AD的延长线与DC所夹∠2=600 , 则∠1=___ ,∠B=___ . 120° 60° 4. 判断: 圆上任意两点之间分圆周为两条弧,这两条弧的度数和为3600( √ )
A
A D

O B C
B

1 2
E

C

图1

图2

新课讲解:
若一个多边形各顶点都在同一 个圆上,那么,这个多边形叫做圆 内接多边形,这个圆叫做这个多边 形的外接圆。
D E C B
O

B

C

A
A F

O

D E

如图,四边形ABCD为 ⊙O的内接四边形; ⊙O为四边形ABCD的外 接圆。 思考:∠A与∠C有什 么关系?∠B与∠D有 什么关系?
A
O

D

B

C

如图:圆内接四边形ABCD中, ∵ 弧BCD和弧BAD所对的 D 圆心角的和是周角
∴∠A+∠C=180°A 同理∠B+∠D=180°
B
O

C

圆的内接四边形的对角互补。

如果延长BC到E,那么 ∠DCE+∠BCD = 180°
A
O

D

B

C

E

又 ∠A +∠BCD= 180°
所以∠A=∠DCE

因为∠A是与∠DCE相邻的内 角∠DCB的对角,我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 D
A
O

圆内接四边形的一个

B

C

E

外角等于它的内对角。

6 D
A 5
O

7

4 3 B 2

E

C 1

定理: 圆的内接四边形的 对角互补,并且任何一个 外角都等于它的内对角。
要会背,你会背了吗?

要会用到解题中
? 定理:圆的内接四边形的对角互补,并且任 何一个外角都等于它的内对角。

几何表达式: ∵ ABCD是⊙O的内接四边形, A ∴ ∠A+∠C=180° 且∠B=∠1
B

D 1

E

C

例 如图⊙O1与⊙O2都经过A、B两点, 经过点A的直线CD与⊙O1 交于点C,与 ⊙O2 交于点D。经过点B的直线EF与⊙O1 交于点E,与⊙O2 交于点F。 求证:CE∥DF
C E
O1

D A
O2

B

F

连结AB ABEC是⊙O1 ABFD是⊙O2 的内接四边形 的内接四边形 ∠E+∠1=180°、∠1=∠F
A

D

∠E+∠F=180° C CE∥DF
E

1
O1

O2

B

F

证明:连结AB ∵ABEC是⊙O1的内接四边形, ∴∠E+∠1=180° ∵ADFB是⊙O2的内接四边形, ∴∠1=∠F D ∴∠E+∠F=180° A 1 ∴CE∥DF C
O1 O2

E

B

F

D

G
C E
O1

A
O2

H
F

B

反思与拓展
证明两条直线平行的方法很多,但常用的还是通过证明同位角 相等、内错角相等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁 内角互补证明了CE ∥ DF,想一想还能否通过同位角相等或者 内错角相等证明结果? 1)延长EF,是否有∠E=∠BAD= ∠1 ?
A C O1 E B O2 F
D
2

D

1 M

2) 延长DF, 能否证明∠E=∠2=∠3?A
C O1 E B O2

3

F

D
A E C
1
O1

O2

B F

巩固练习:
1、如图,四边形ABCD为⊙O 的内接四边形,已知∠BOD= 100°,求∠BAD及∠BCD的度 A 数。
O

B

D C

2.求证:圆内接平行四边形是矩 形。 3.已知:如图,四边形ABCD是 圆的内接四边形并且ABCD是 平行四边形。 A B 求证:四边形ABCD O 是矩形。
D

C

4.填空
180° (1)如图5,四边形ABCD内接于⊙O,则∠A+∠C=__ , ∠B+∠ADC=_____;若∠B=800, 180° 80° 100° 则∠ADC=______ ∠CDE=______ (2)如图6,四边形ABCD内接于⊙O,∠AOC=1000 50° 130° 则∠B=______∠D=______ 45° (3)四边形ABCD内接于⊙O, ∠A:∠C=1:3,则∠A=_____,
A D E
A

80
B C
B

100
O C

D

图5

( 图6)

75° (4)梯形ABCD内接于⊙O,AD∥BC, ∠B=750,则∠C=_____
A D

O B C

圆的内接梯形一定是_____梯形。 等腰

补充练习:
若ABCD为圆内接四边形,则下列哪 个选项可能成立( B )
(A)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 1∶2∶3∶4 (B)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 2∶1∶3∶4

(C)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 3∶2∶1∶4
(D)∠A∶∠B∶∠C∶∠D = 4∶3∶2∶1

布置作业:
教科书 86页A组 15、16、17 题; B组1、5 题


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