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导数的加减法法则


复习回顾
* 计算导数的步骤: 求导“三步曲”: 求?y * 导函数定义: 求
?y ?x

?y 求 lim ?x ?0 ?x

f ( x ? ?x ) ? f ( x ) f ?( x ) ? lim ?x ?0 ?x
f ?( x) 是 x 的函数,称之为 f ( x) 的导函数,也简称导


数。

* 常用导数公式: (1) C ? ? 0 (C为常数)
n n ?1 ? ( x ) ? nx (n ? R ) ( 2)

(3) (sin x )? ? cos x (4) (cos x)? ? ? sin x

? ?
问题:
我们前面学习了求单个函数的导数的方法, 如果给出两个函数并已知它们的导数,如何求它 们的和、差、积、商的导数呢?

求 f ( x ) ? x ? x 2 的导函数。 2 ? y ? x ? 2 x ? x ? ? x ?y ? ( x ? ?x ) ? ( x ? ?x ) 2 ? x ? x 2 ? ?x ?x 2 ? ?x ? 2 x?x ? ?x ? 1 ? 2 x ? ?x

f ?( x ) ? 1 ? 2 x
2

∴ x? ? ( x )? ? 1 ? 2 x ? ( x ? x )?
2

2 ? ? ( x ? x ) ? x ? ( x )? 2

所以

同理

? f ( x) ? g ( x)? ? f ?( x ) ? g ?( x) ? ? f ( x) ? g ( x )? ? f ?( x) ? g ?( x)

?

概括

两个函数和(差)的导数,等于这两个函数导 数的和(差),即

? f ( x ) ? g ( x )? ? f ( x) ? g ( x )?

?

? f ?( x ) ? g ?( x ) ? f ?( x ) ? g ?( x )

?

例1 求下列函数的导数: ( 1) y

? x ?2
2

x

( 2) y

? x ? ln x
分析

1 例2 求曲线 y ? x ? 过点 (1,0) 的切线方程。 x
3

分析

动手做一做
1. 求下列函数的导数:

y? ?

2 3 x
x

3

?2

(1) y ? 3 x 2 ? 2 x ( 2) y ? 4 ? log 3 x
x

1 y? ? 4 ln 4 ? x ln 3

( 3) y ? sin x ? e

x

y? ? cos x ? e x
1 y? ? ? 2 2 x cos x 1

(4) y ? x 0.5 ? tan x
2. 使得函数 y 个?
3

? 2 x ? 6 x 的导数等于0的 x 值有几
两个,±1 例2

动手做一做
1. 求曲线 程。

y ? cosx 在 x ?
1 k ?? 2

?
6

处的切线斜率和方

x ? 2y ? 3 ?

?
6

?0

2. 若曲线 f ( x ) ? x 4 ? x 在 P 处的切线平行于直 线 y ? 3 x ,求 P 点坐标。 (1,0) 提示:导数等于切线斜率时,可求得P的坐标。 3. 已知 y ? ax 3 ? 3 x 2 ? 2,它在 x ? ?1处的切

线斜率是 4 ,求 a 值。

10 a? 3

小结
* 求导的加减法法则: 两个函数和(差)的导数,等于这两个函数导 数的和(差),即

? f ( x ) ? g ( x )? ? f ( x) ? g ( x )?

?

? f ?( x ) ? g ?( x ) ? f ?( x ) ? g ?( x )

?

课后练习
1. 求下列函数的导数:
(1) y ? 3 x 4 ? 23 x 2 ? 40 x ? 10 2 3 4 ( 2) y ? 1 ? ? 2 ? 3 x x x 1 3 2 ( 3) y ? 3 ? x ? 7 x ? 3 x

2. 函数 f ( x ) ? a 4 ? 5a 2 x 2 ? x 6 的导数是_______
3 3. 求曲线 y ? x ? x ? 1 在点 (1,3) 处的切线方程。

结束

分析:
直接考查导数加减法的计算法则,基础题型, 需要熟悉运算法则:两函数和(差)的导数等于这 两个函数导数的和(差)。

? f ( x) ? g ( x)?

?

? f ?( x ) ? g ?( x )
解答

解:
2

x g ( x ) ? 2 ,则 (1)设 f ( x ) ? x 与

它们的导数分别 是?依据是?

f ?( x ) ? 2 x
由函数和的求导法则

g?( x ) ? 2 x ln 2

导数公式

? f ( x ) ? g ( x )?
可得:

?

? f ?( x ) ? g ?( x )

( x 2 ? 2 x )? ? 2 x ? 2 x ln 2

(2)由函数差的求导法则

? f ( x) ? g ( x )?
可得:

?

? f ?( x ) ? g ?( x )

1 ( x ? ln x )? ? ( x )? ? (ln x )? ? ? 2 x x
巩固练习

1

分析: 本题中,要求过已知点的切线方程,应求出切线 的斜率,而前面学习了导数的几何意义,导数即是切 线的斜率,所以只要求出函数在 可写出切线方程。

x ? 1处的导数,即

解答

解:

1 设 f ( x) ? x 和 g ( x) ? , x 由函数差的求导法则 ? f ( x ) ? g ( x )?? ? f ?( x ) ? g ?( x )
3

及求导公式可得:

1 1 1 3 2 ( x ? )? ? ( x )? ? ( )? ? 3 x ? ( ? 2 ) x x x
3

将 x ? 1 代入上式得:

1 3 ? 1 ? ? 4 即 k切线 ? 4 1 故所求切线方程为: y ? 0 ? 4( x ? 1)
即 4x ? y ? 4 ? 0
巩固练习

* 导数公式:
(1) C ? ? 0 (C为常数)
n n ?1 ? ( x ) ? nx (n ? R ) ( 2)

(3) (sin x )? ? cos x (4) (cos x)? ? ? sin x
x x ? ( a ) ? a ln a ( a ? 0, a ? 1) ( 5)

(e x )? ? e x

(6) (log a x )? ?
1 (ln x )? ? x

1 ( a ? 0, a ? 1) x ln a

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