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浦东新区2010学年度第一学期期末质量抽测高二数学试题(含答案)


浦东新区 2010 学年度第一学期期末质量抽测

高 二 数 学 试 卷
(完卷时间:90 分钟 座位号: 一 题 号 得 分 1-12 二 13-16 17 18 满分:100 分) 解 答 题 19 20 21 总分 2011 年 1 月

一、填空题(本大题满分 36 分)本大题共有 12 题,只要求直接填写结果,每小题填对 得 3 分,否则一律得零分. 班级: 1.方程组 ?

? x ? y ? ?1 的增广矩阵是_______________ ?x ? 2 y ? 2
n an ? 1 ,则 lim n?? n

2 2.已知 an ? 1 n ?1
姓名: 3.若 ?

? 1 x ? ? 1 1 ? ? ?1 1 ? ? ? 2? ??? ? ,则 x ? y ? _______ ? 6 3 ? ? y 3 ? ? 2 ?3 ?

4.已知数列 {an } 的通项公式是 an ? 2n ? 11 ,当前 n 项和 Sn 取到最小值时, n =____ 5.在等比数列 ?an ? 中, a4 ? 2, a7 ? ?16 ,则 a1 ? ______ 6.已知向量 a ? (1,1) 与 b ? (2,3) ,用坐标表示 2a ? b 为______
? 7.定义矩阵方幂运算:设 A 是一个 n ? n n ? N

学校:

?

?

开始

1 ? ?A ? A 的矩阵,定义 ? k ?1 .若 k ? A ? A ? A k ? N ? ? ? ?

k=1 S= 0

? 1 1? n A?? ? ,试猜测 A ? _________ ? 0 1?
8.已知点 A(1, ?2) ,若向量 AB 与 a ? (2,3) 同向,

k ? 10




k ? k ?1

输出S
结束

AB ? 2 13 ,则点 B 的坐标为____
9.若执行的程序框图如右图所示,那么输出的 S ? _______.
S ? S ? 2k

第 9 题图

10.已知向量 a, b 满足 a ? 1, b ? 2, a 与 b 的夹角为 60°,则 a ? 2b ? _______ 11.在 ?ABC 内有任意三点不共线的 2007 个点,加上 A,B,C 三个顶点,共有 2010 个点, 把这 2010 个点连线形成互不重叠的小三角形, 则一共可以形成的小三角形的个数为_______ 12 .若对 n 个向量 a1 , a2 ,

, an ,存在 n 个不全为零的实数 k1 , k2 ,?, kn ,使得
。依次规定,请你求 , an 为“线性相关”

k1 a1 ? k2 a2 ?

? kn an = 0 成立,则称向量 a1, a2 ,

出一组实数 k1 , k2 , k3 的值,它能说明 a1 ? (1,0) , a2 ? (1, ?1) , a3 ? (2, 2) “线性相关” :

k1 , k2 , k3 的值分别是







二、选择题(本大题满分 12 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A、B、C、D 的四个结 论,其中有且只有一个结论是正确的. 13.下列三阶行列式可以展开为

a b b c a c 的是( ? ? d e e f d f



a
A. d

b c e f

1 1 1
B. a

b c

1 1 1

d e f

a
C. 1

b c 1 1

a
D. d

b

c

d e f

e f 1 -1 1

14. 算法:第一步 x ? a ;第二步 若 b ? x 则 x ? b ;第三步 若 c ? x ,则 x ? c ; 第 四步 若 d ? x ,则 x ? d ; 第五步 输出 x . 则输出的 x 表示( ) A. a, b, c, d 中的最大值 C.将 a, b, c, d 由小到大排序 B. a, b, c, d 中的最小值 D.将 a, b, c, d 由大到小排序

15. 把矩阵 ?

? 1 ?2 5 ? ?1 0 x ? ? 变为 ? ? 后,与对应的值是( ?3 1 8? ?0 1 y?
B. ?



A. ?

?x ? 1 ?y ? 3

?x ? 3 ?y ?1

C. ?

?x ? 3 ? y ? ?1

D. ?

? x ? ?1 ?y ? 3

16.已知 O 为原点,A,B 点的坐标分别为 ( a, 0) , (0, a ) ,其中常数 a ? 0 ,点 P 在线段 AB 上.且 AP =t AB (0≤t≤1) ,则 OA ? OP 的最大值为( A. a B. 2 a C. 3a D. a
2



-2-

三、解答题(本大题满分 52 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. (本题满分 10 分) 用行列式解关于 x、 y 的二元一次方程组: 阅卷人 得分 【解】

?x ? y ? 1 ? ?2 x ? (k ? 1) y ? k

-3-

阅卷人 总分 (1) (2) (3)

18.(本题满分 10 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 3 分,第 3 小题 4 分) 已知向量 a ? (6, 2) , b ? (?3, k ) ,当 k 为何值时: (1)a ∥ b ? (2)a ⊥ b ? (3)a 与 b 所成角θ 是钝角 ? 【解】

-4-

阅卷人 得分

19. (本题满分 10 分)某林场去年年末有森林木材量为 a,木材 以每年 25%的增长率生长,而每年冬天要砍伐的木材量为 x。从今 年起,为了实现到第 20 年年末木材的存有量达到 4 a 的目标,则 x 的最大值是多少?(取 lg 2 ? 0.30 )

【解】

-5-

阅卷人 总分 (1) (2)

20.(本题满分 10 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分) 已知 i , j 分别是与 x 轴, y 轴正方向相同的单位向量,

OB1 ? ai ? 6 j (a ? R) ,对任意正整数 n , Bn Bn?1 ? 6?i ? 3 ? 2n?1 j .
(1)若 OB1 ? B2 B3 ,求 a 的值; (2)求向量 OBn .

【解】

-6-

阅卷人 总分 (1) (2) (3)

21.(本题满分 12 分,第 1 小题 3 分,第 2 小题 4 分,第 3 小题 5 分) 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ? 3n2 ? 5n ,数列 {bn } 中 b1 ? 8 ,

bn ? 64bn?1.
(1)求 {bn } 的通项 bn ; (2)证明 ?an ? 是等差数列; ( 3 ) 是 否 存 在 常 数 a、 b , 使 得 对 一 切 正 整 数 n 都 有

an ? l o g a bn ? b 成立.若存在,求出 a 、 b 的值;若不存在,说明理由.
【解】

-7-

浦东新区 2010 学年度第一学期期末质量抽测

高二数学试卷答案及评分细则
注:填空题结果只要等价就得分;解答题其他解法相应给分。 1. ?

2011-1-11

?1 ?1 ?1? ?; ?1 2 2 ?

2. ?1 ;

3. 5 ;

4. 5 ;

5. ?

1 ; 4

6. (4,5) ; 11. 4015 ; 13. D ; 14. A ;

7. ?

?1 n? ? ; ?0 1?

8. (5, 4) ;

9. 130 ;

10. 13 ;

12.只要满足 ?4 : 2 :1 即可 15. C; 16. D.

17.【解】 D ?

1 1 ? k ? 1 , ?????????????????????2 分 2 k ?1
1 ?1,
???????????????????????4 分

Dx ?

1 k

k ?1

Dy ?

1 1 ?k ?2, 2 k

??????????????????????6 分

(1)当 D ? 0 时 k ? 1 ,方程组有唯一解,

1 ? x? ? Dy k ? 2 Dx 1 ? k ? 1 。??????????8 分 ? ,y? ,即 ? x? ? D k ?1 D k ?1 ?y ? k ? 2 ? k ?1 ?
(2) 当D=0时,k ? 1,此时Dx ? 0, 方程组无解 。????????????10 分 18.【解】 (1)由 a // b 得 6k ? ?6 ? k ? ?1 ???????????????3 分

(2)由 a ⊥ b 得 a ? b ? 0 ? 6 ? (?3) ? 2k ? 0 ? k ? 9 ????????6 分 (3) ?1 ? cos? ?

a ?b a?b

? 0 得 ?1 ?

2k ? 18 2 10 ? 9 ? k 2

?0

解得 k ? 9, k ? ?1 ????????????????????????10 分 19. 【解】第 20 年末木材存有量为
20 ? 5 ? 5 ?2 ?5? ? ? ? a ? x ?1 ? ? ? ? ? ?4? ? ? 4 ?4?

?5? ?? ? ?4?

19

? ? 5 ?20 ?? 5 ?20 ? ? ? ? ? ? a ? 4 ?? ? ? 1? x ? ? ? ? ?4? ?? 4 ? ?

?5? ? ? ? (a ? 4 x) ? 4 x ????????????????????????5 分 ?4?

20

-8-

由题设,可得 ? ? (a ? 4 x) ? 4 x ? 4a ?????????????????7 分 解得 x ?

?5? ?4?

20

8 a 33

????????????????????????????9 分

所以每年砍伐的量最大值是

8 a 。????????????????????10 分 33

20.【解】 (1)依题可知 B2 B3 ? 6i ? 6 j ????????????????????2 分 由 OB1 ? B2 B3 知 6a ? 36 ? 0 , 所以 a ? 6 ?????????????????4 分 (2) OBn ? OB1 ? B1B2 ?

? Bn?1Bn ? (a, ?6) ? (6,3) ? (6,3 ? 2) ?
n?1

? (6,3 ? 2n?2 )

? (6n ? a ? 6,3 ? 2n?1 ? 9)
所以 OBn ? (6n ? a ? 6,3 ? 2 21.【解】 (1) bn ? 64bn ?1 ?

? 9) ????????????????????10 分

1 bn?1 1 ∴q ? , ? 64 bn 64

∴ bn ? 83?2n ?????????????????????????3 分 (2)当 n ? 2 时: an ? Sn ? Sn?1 ? 3n2 ? 5n ? 3(n ?1)2 ? 5(n ?1) ? 6n ? 2 又 n ? 1 时: a1 ? S1 ? 8 ? 6 ?1 ? 2 ∴ an ? 6n ? 2. ????????????????????????6 分 ∴ an ? an?1 ? 6n ? 2 ? 6(n ?1) ? 2 ? 6 ∴ ?an ? 是等差数列 ??????????????????????7 分 ( 3 )假设存在这样的 a、 b ,使得对一切自然数 n 都有 an ? loga bn ? b成立 , 则

6n ? 2 ? loga bn ? b ? loga 83?2n ? b ? (3 ? 2n)loga 8 ? b ? n loga 8?2 ? b ? 3loga 8.
令?

?6 ? log a 8?2 ? ?????????????????????10 分 ? ? 2 ? b ? 3log a 8

1 1 6 ? ? 6 ?2 ?a ? , ?a ? 8 ? ( ) 即? 2 2 ,?? ? ? ?b ? 11. ?b ? 2 ? 3log a 8
∴存在这样的数 a ?

1 , b ? 11 。????????????????12 分 2
-9-


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