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【成才之路】2014高中数学 2-1-2-3 习题课能力强化提升 新人教A版必修1


【成才之路】2014 高中数学 2-1-2-3 习题课能力强化提升 新 人教 A 版必修 1
一、选择题 1.下列以 x 为自变量的函数中,是指数函数的是( A.y=(-3)
x x

)

B.y=e (e=2.718 28…) C.y=-4 D.y=a
x

x+2

>(x>0 且 a≠1)

[答案] B 1 - 2

2.函数 f(x)=(x-5) +(x-2) A.{x|x∈R,且 x≠5,x≠2} B.{x|x>2} C.{x|x>5} D.{x|2<x<5 或 x>5} [答案] D [解析] 由题意得:?
?x-5≠0 ? ? ?x-2>0

0

的定义域是(

)

,∴x>2 且 x≠5.

3.(2011-2013 曲阜一中月考试题)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x<0 时,f(x) 1 x 1 =( ) ,那么 f( )的值是( 3 2 A. 3 3 B. 3 ) D.9

C.- 3

[答案] C 1 - 1 1 1 2 [解析] f( )=-f(- )=-( ) =- 3. 2 2 3 1 x 4.函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)满足 f(4)=81,则 f(- )的值为( 2 A. 1 3 B.3 C. 3 3 D. 3 )

[答案] C [解析] f(4)=a =81 ∵a>0,∴a=3
4

1

f(- )=3- =

1 2

1 2

3 ,故选 C. 3

1 1 2 ?2?-1, 3 5.2 ,? ? 3 的大小顺序为( ?3? 1 1 3 2 ?2?-1 A.3 <2 <? ? ?3? 1 1 ?2?-1 2 3 C.? ? <2 <3 ?3? [答案] B 1 27 3 3 ?2?-1 [解析] ∵3< ∴3 < =? ? , 8 2 ?3?

) 1 1 2 3 ?2?-1 B.2 <3 <? ? ?3? 1 1 2 ?2?-1 3 D.2 <? ? <3 ?3?

1 1 1 1 2 6 3 6 2 3 3 又(2 ) =2 =8<9=(3 ) ,∴2 <3 ∴选 B. 6.若 2 +2 =5,则 4 +4 的值是( A.29 [答案] D [解析] 4 +4 =(2 +2 ) -2=23. 7.下列函数中,值域为(0,+∞)的是( 1 3-x A.y=4 ) 1 1-2x B.y=( ) 4
x
-x

x

-x

x

-x

) D.23

B.27

C.25

x

-x 2

C.y= ? [答案] B

1 ? 4

x

-1

D.y= 1-4

x

1 3-x [解析] y=4 的值域为{y|y>0 且 y≠1};

y=
?

1 ? 4

x

-1的值域为{y|y≥0};

y= 1-4x的值域为{y|0≤y<1},故选 B.
8.当 0<a<1 时,函数 y=a 和 y=(a-1)x 的图象只能是下图中的(
x
2

)

2

[答案] D [解析] 0<a<1,y=a 单调递减排除 A,C,又 a-1<0 开口向下,∴排除 B,∴选 D. 二、填空题 9.a =3,a =2,则 a [答案] 3 4
m-2n m n m-2n x

=________.

[解析] a

=a ·a

m

-2n



am 3 = . a2n 4

3

10.右图的曲线 C1、C2、C3、C4 是指数函数 y=a 的图象,而 a∈{

x

2 1 , , 3,π },则 2 2

图象 C1、C2、C3、C4 对应的函数的底数依次是______、________、________、________. [答案] 2 1 、 、π 、 3 2 2

[解析] 由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知,C2 的底数<C1 的底数<C4 的底数 <C3 的底数. 11.若函数 y=f(x)的定义域是(1,3),则 f(3 )的定义域是________. [答案] (-1,0) [解析] 因为函数 y=f(x)定义域是(1,3),所以要使函数 y=f(3 )有意义,应有 1<3
-x -x -x

1 x 1 x 1 0 1 -1 <3,即 1<( ) <3,又因为指数函数 y=( ) 在 R 上单调递减,且( ) =1,( ) =3,所以 3 3 3 3

-1<x<0. 1 a 1 b 12.已知实数 a,b 满足等式( ) =( ) ,则下列五个关系式: 2 3 ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式为______________. [答案] ③④ [解析]

1 x 1 x 在同一平面直角坐标系内作出函数 y=( ) 和 y=( ) 的草图,如右图所示,由图可得 2 3 ①②⑤可能成立,不可能成立的关系式为③④. 三、解答题 13.求下列函数的定义域和值域: 1 (1)y=2

x-1


4

(2)y=3

1-x



(3)y=5 -1. 1 [解析] (1)要使函数 y=2

-x

x-1

有意义,只需 x-1≠0,即 x≠1,

所以函数的定义域为{x|x≠1}. 因为 1

x-1

≠0,所以 y≠1,所以函数的值域为{y|y>0,且 y≠1}.
1-x

(2)要使函数 y=3

有意义,只需 1-x≥0,即 x≤1.

所以函数的定义域为{x|x≤1}. 设 y=3 ,u= 1-x,则 u≥0,由函数 y=3 在[0,+∞)上是增函数,得 y≥3 =1, 所以函数的值域为{y|y≥1}. (3)函数 y=5 -1 对任意的 x∈R 都成立,所以函数的定义域为 R. 因为 5 >0,所以 5 -1>-1,所以函数的值域为(-1,+∞). 14.解下列不等式: 1 x x 2-x (1)2 >8;(2)( ) > 2;(3)0.3 >1. 2 [解析] (1)因为 8=2 ,则原不等式可化为 2 >2 , 由函数 y=2 在 R 上是增函数,得 x>3. 故原不等式的解集为{x|x>3}. 1 2 1 1 - - 2 1 2 1 x 1 1 x =( ) ,则原不等式可化为( ) >( ) ,由函数 y=( ) 在 R 上 2 2 2 2
x
3 -x -x -x

u

u

0

x

3

(2)因为 2=2

1 1 是减函数,得 x<- .故原不等式的解集为{x|x<- }. 2 2 (3)因为 0.3 =1,则原不等式可化为 0.3
x
0 2-x

>0.3 .

0

由函数 y=0.3 在 R 上是减函数,得 2-x<0,解得 x>2.故原不等式的解集为{x|x>2}. 15.(2012~2013 四川省双流中学高一上学期期中测试)已知函数 f(x)=2 ,g(x)=-
x

x2+2x+b,(b∈R),h(x)=f(x)- . f? x?
(1)判断 h(x)的奇偶性并证明. (2)对任意 x∈[1,2],都存在 x1,x2∈[1,2],使得 f(x)≤f(x1),g(x)≤g(x2),若 f(x1) =g(x2),求实数 b 的值. 1 x [解] (1)函数 h(x)=2 - x为奇函数,现证明如下: 2 ∵h(x)定义域为 R,关于原点对称,又 h(-x)=2 -
-x

1

1 1 x -x= x-2 =-h(x), 2 2
5

1 x ∴h(x)=2 - x为奇函数. 2 (2)由题意知 f(x1)=f(x)max, 由 f(x)=2 在[1,2]上递增 ∴f(x1)=4,又∵g(x2)=g(x)max 且 g(x)=-x +2x+b 在[1,2]递增,g(x2)=g(1)=1 +b, ∴f(x1)=g(x2), ∴1+b=4,∴b=3. 1 1 16.(2011~2012·聊城高一期中检测)设函数 f(x)= - x . 2 2 +1 (1)证明函数 f(x)是奇函数; (2)证明函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数; (3)求函数 f(x)在[1,2]上的值域. [解析] (1)由题意,得 x∈R,即函数的定义域关于原点对称, 1 1 1 2 f(-x)= - = - x 2 1 2 2 +1 x+1 2 = 1-2 1 1 =- + x x 2? 2 +1? 2 2 +1
x x
2

x

=-f(x), ∴函数 f(x)为奇函数. (2)设 x1,x2 是(-∞,+∞)内任意两实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2) 1 1 1 1 = - - + 2 2x1+1 2 2x2+1 = ? 2x1-2x2 2x1+1? ? 2x2+1?

∵x1<x2, ∴2x1-2x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数. (3)∵函数 f(x)在(-∞,+∞)内是增函数, ∴函数 f(x)在[1,2]上也是增函数, 1 ∴f(x)min=f(1)= , 6

f(x)max=f(2)= ,
1 3 ∴函数 f(x)在[1,2]上的值域为[ , ]. 6 10
6

3 10


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