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第1讲 集合的表示和基本关系


第 1 课时
第一部分 知识梳理

集合及其表示

1. 一般地, 指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合 的元素.把一些元素组成的总体叫作集合(set) ,其元素具有三个特征,即确定性、互异性、 无序性. 【例】看看下面这几个例子,了解集合的概念: (1)1—20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程 x ? 5 x ? 6 ? 0 的所有实数根;
2

(8)不等式 x ? 3 ? 0 的所有解; (9)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 讨论: 这 9 个实例的共同特征是么?_________________________________________________ 【注意】如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A . 2. 通常用大写拉丁字母 A, B, C , ? ? ? 表示集合. 要记住一些常见数集的表示, 如自然数集 N, 正整数集 N * 或 N ? ,整数集 Z,有理数集 Q,实数集 R. 3. 集合的表示方法有两种:列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{ }” 括起来,基本形式为 {a1 , a2 , a3 , ? ? ?, an } ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法, 即用集合所含元素的共同特征来表示,基本形式为 {x ? A | P( x)} ,既要关注代表元素 x,也 要把握其属性 P( x) ,适用于无限集. 【例】(1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9}; (2)用例举法表示集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8} 4. 元素与集合之间的关系是属于(belong to)与不属于(not belong to) ,分别用符号
? 、 ? 表示,例如 3 ? N , ?2 ? N .

第二部分
例1

精讲点拨

完成下面一组经典基础习题 【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)由方程 x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0 的所有实数根组成的集合; (2)大于 2 且小于 7 的整数.

解: (1)用描述法表示为: {x ? R | x( x2 ? 2 x ? 3) ? 0} ; 用列举法表示为 {0, ?1,3} . (2)用描述法表示为: {x ? Z | 2 ? x ? 7} ; 用列举法表示为 {3, 4,5,6} . 【例 2】用适当的符号填空:已知 A ? {x | x ? 3k ? 2, k ? Z } , B ? {x | x ? 6m ? 1, m ? Z } ,则有: 17

A; -5

A;

17

B.

解:由 3k ? 2 ? 17 ,解得 k ? 5 ? Z ,所以 17 ? A ; 7 由 3k ? 2 ? ?5 ,解得 k ? ? Z ,所以 ?5 ? A ; 3 由 6m ? 1 ? 17 ,解得 m ? 3 ? Z ,所以 17 ? B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合: (教材 P6 练习题 2, P13 A 组题 4) (1)一次函数 y ? x ? 3 与 y ? ?2 x ? 6 的图象的交点组成的集合; (2)二次函数 y ? x 2 ? 4 的函数值组成的集合; 2 (3)反比例函数 y ? 的自变量的值组成的集合. x y ? x?3 ? } ? {(1, 4)} . 解: (1) {( x, y) | ? ? y ? ?2 x ? 6 (2) { y | y ? x2 ? 4} ? { y | y ? ?4} . 2 (3) {x | y ? } ? {x | x ? 0} . x x?a 【例 4】已知集合 A ? {a | 2 ? 1有唯一实数解} ,试用列举法表示集合 A. x ?2 x?a 解:化方程 2 ? 1 为: x2 ? x ? (a ? 2) ? 0 .应分以下三种情况: x ?2 9 1 ⑴方程有等根且不是 ? 2 :由 △=0,得 a ? ? ,此时的解为 x ? ,合. 4 2 ⑵方程有一解为 2 ,而另一解不是 ? 2 :将 x ? 2 代入得 a ? ? 2 ,此时另一解
x ? 1 ? 2 ,合.

⑶方程有一解为 ? 2 ,而另一解不是 2 :将 x ? ? 2 代入得 a ? 2 ,此时另一解为
x ? 2 ? 1 ,合.

9 综上可知, A ? {? , ? 2, 2} . 4

第三部分 基础过关
1.方程 x 2 ? 1 ? 0 的解集是( (A){1} (B){ ?1 } ) (C)1, ?1 ) (D) ?? ?, 2 ? (D){1, ?1 }

2.不等式 2x-3<1 的解集是( (A) (-∞,2]

(B) (-∞,2) (C) (2,+∞)

(注:区间是一类特殊集合的一种表示方法,请参阅函数一节内容)

3.用列举法表示小于 10 的正奇数所组成的集合 4.用描述法表示被 3 除余 1 的集合 5.设集合 A={ x│x >2},a= 3 ,则 a 【组合掌握】 6.选择适当的方法表示下列集合: (1)方程 x2-16=0 的解集; A. .



(2)不等式 3x-1>5 的解集.

7.若集合 {x ax ? 1 ? 0} ? ? ,求实数 a 的值.

8.若集合 {x x 2 ? ax ? 1 ? 0} 有且只有一个元素,求实数 a 的取值范围.

9.若集合 {x x 2 ? x ? a ? 0} ? ? ,求实数 a 的取值范围.

10.已知集合 A ? {x x 2 ? x ? a ? 0} ,若 2∈A,求实数 a 和集合 A.

第 2 课时
第一部分 知识梳理

集合间的基本关系

1. 一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素, 我们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为 B 的子集. 记作: A ? B

(或B ? A)

读作:A 含于 B(或 B 包含 A). 【例】观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2)设 A 为新华中学高一(2)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成

的集合; (3)设 C ? {x | x是两条边相等的三角形}, D ? {x | x是等腰三角形}; 2. 如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等. 得出结论: 若 A ? B, 且B ? A, 则A ? B 【例】观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1) E ? {2, 4,6}, F ? {6, 4, 2} 3. 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ? ,并规定空集是任何集合的子 集. 【例】思考回答下例问题: (1)集合 A 是集合 B 的真子集的含义是什么?什么叫空集? (2)集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? (3)0,{0}与 ? 三者之间有什么关系? 4. 知识要点总结: 1). 一般地,对于两个集合 A、B,如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素, 则说两个集合有包含关系,其中集合 A 是集合 B 的子集(subset) ,记作 A ? B(或 B ? A ) , 读作“A 含于 B”(或“B 包含 A”). 2). 如果集合 A 是集合 B 的子集( A ? B ) ,且集合 B 是集合 A 的子集( B ? A ) ,即 集合 A 与集合 B 的元素是一样的,因此集合 A 与集合 B 相等,记作 A ? B . 3) . 如果集合 A ? B , 但存在元素 x ? B , 且 x? A, 则称集合 A 是集合 B 的真子集 (proper ? ? subset) ,记作 A B(或 B A).

?

?

4.) 不含任何元素的集合叫作空集(empty set) ,记作 ? ,并规定空集是任何集合的 子集. 5.) 性质: A ? A ;若 A ? B , B ? C ,则 A ? C ; 若A 第二部分
B ? A ,则 A ? B ;若 A B ? A ,则 B ? A .

精讲点拨

【例 1】用适当的符号填空: (1){菱形} (2) ? 解: (1) , {平行四边形};
{x ? R | x ? 2 ? 0} ;
2

{等腰三角形} 0 {0};

{等边三角形}.

?

{0};

N

{0}.

(2)=, ∈, , . n 1 【例 2】设集合 A ? {x | x ? , n ? Z}, B ? {x | x ? n ? , n ? Z} ,则下列图形能表示 A 与 B 关 2 2 系的是( ).



A B
A. D.

B A

A
B.

B

A

B

C.

3 1 1 3 解:简单列举两个集合的一些元素, A ? {???, ? ? 1, ? ,0, ,1, , ???} , 2 2 2 2 3 1 1 3 B ? {???, ? , ? , , , ???} , 2 2 2 2 易知 B ? A,故答案选 A.

2n ? 1 , n ? Z} ,易知 B ? A,故答案选 A. ? 2 【例 3】若集合 M ? ?x | x2 ? x ? 6 ? 0?, N ? ?x | ax ? 1 ? 0? ,且 N ? M ,求实数 a 的值.
另解:由 B ? {x | x ? 解:由 x 2 ? x ? 6 ? 0 ? x ? 2或 ? 3 ,因此, M ? ?2, ?3? . (i)若 a ? 0 时,得 N ? ? ,此时, N ? M ; 1 1 1 1 1 (ii)若 a ? 0 时,得 N ? { } . 若 N ? M ,满足 ? 2或 ? ?3 ,解得 a ? 或a ? ? . a a a 2 3 1 1 故所求实数 a 的值为 0 或 或 ? . 2 3 【例 4】已知集合 A={a,a+b,a+2b},B={a,ax,ax }. 若 A=B,求实数 x 的值. ?a ? b ? ax 2 2 解:若 ? ? a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1) =0,即 a=0 或 x=1. 2 ?a ? 2b ? ax 当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去; 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去. ?a ? b ? ax 2 2 若? ? 2ax -ax-a=0. a ? 2 b ? ax ?
2

?

1 2 因为 a≠0,所以 2x -x-1=0, 即(x-1)(2x+1)=0. 又 x≠1,所以只有 x ? ? . 2 1 经检验,此时 A=B 成立. 综上所述 x ? ? . 2
第三部分 课堂练习 1.已知集合 A={a,b,c},下列可以作为集合 A 的子集的是( (A ) a (B) {a,c} (C) {a,e} ) (D){a,b,c,d} )

2.下列与集合 A={1,2}相等的是(

(A){1,2,3} (B) {x ? 1 ? x ? 3} (C) {x x 2 ? 3x ? 2 ? 0} (D)N 3.已知集合 M ? {x x ? 2 ? 0} , N ? {x x ? 1} ,则( (A) M=N (B) M ? N (C) M ? N )

(D)M 与 N 无包含关系 )

4.下列图形中,表示 M ? N 的是(

M

N (A)

N

M (B) )

M

N (C)

M

N (D)

5.下列表述正确的是(

(A) ? ? {0} (B) ? ? {0} (C) ? ? {0} 6.用适当的符号填空: (1) ? (3){1}
{x x 2 ? 1 ? 0} ; (2){1,2,3} { x x 2 ? x} ; (4)0

(D) ? ? {0}

N;

{x x 2 ? 2 x} .

7.设集合 A={1,2,3,4}, B ? {x ? N x 2 ? a ? 0} ,若满足 B ? A ,求实数 a 的值集合.

8.设集合 A={a,b,c,d,e},试写出包含 a, c 的集合 A 的子集.

9.已知集合 A ? {x x 2 ? 4 ? 0} ,集合 B ? {x ax ? 2 ? 0},若 B ? A ,求实数 a 的值的集合.

10.已知集合 A ? {x ? 1 ? x ? 1} , B ? {x x ? a ? 0} ,若满足 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

第五部分
A组

章节练习
).

1.以下元素的全体不能够构成集合的是( A. 中国古代四大发明 C. 方程 x 2 ? 1 ? 0 的实数解

B. 地球上的小河流 D. 周长为 10cm 的三角形

2.方程组

3 ?2xx??2 yy ? ? 11
, ?51 ?

的解集是(
5? B. ?1,

). C.

A .

, ?? ??51

D.

, ?? ??15
) .

1 3. 给出下列关系: ① ? R ; ② 2 ?Q ; ③ 3? N* ; ④ 0 ? Z . 其中正确的个数是 ( 2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

4.有下列说法: (1)0 与{0}表示同一个集合; (2)由 1,2,3 组成的集合可表示为 {1, 2,3} 或 {3,2,1}; (3)方程 ( x ? 1)2 ( x ? 2) ? 0 的所有解的集合可表示为{1,1,2}; (4)集合
{x 4 ? x ? 5} 是有限集. 其中正确的说法是(

).

A. 只有(1)和(4) C. 只有(2) A. M ? {? } , N ? {3.14159}

B. 只有(2)和(3) D. 以上四种说法都不对 ). B. M ? {2,3} , N ? {(2,3)} D. M ? {1, 3, ? } , N ? {? ,1,| ? 3 |} . .

5.下列各组中的两个集合 M 和 N, 表示同一集合的是( C. M ? {x | ?1 ? x ? 1, x ? N } , N ? {1}

6.已知实数 a ? 2 ,集合 B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,则 a 与 B 的关系是 7.已知 x ? R ,则集合 {3, x, x2 ? 2 x} 中元素 x 所应满足的条件为 B组

1. 已知集合 A ? ?x x ? 3k , k ? Z ?, B ? ?x x ? 6k , k ? Z ? , 则 A 与 B 之间最适合的关系是 ( A. A ? B B. A ? B C. A ? B D. A ? B 2.设集合 M ? ?x | ?1 ? x ? 2? , N ? ?x | x ? k ? 0? ,若 M ? N ,则 k 的取值范围是( A. k ? 2
2

) .

?

?

).

B. k ? ? 1
2007

C. k ? ? 1
2007

D. k ? 2 ).

3.若 {a ,0, ?1} ? {a, b,0} ,则 a A. 0

?b

的值为(

B. 1 C. ?1 D. 2 k 1 k 1 4.已知集合 M={x|x= + ,k∈Z}, N={x|x= + , k∈Z}. 若 x0∈M,则 x0 与 N 的关系是 2 4 4 2 ( ). A. x0∈N
2

B. x0 ? N

C. x0∈N 或 x0 ? N

D.不能确定 ).

5.已知集合 P={x|x =1},集合 Q={x|ax=1},若 Q ? P,那么 a 的值是( A. 1 B. -1 C. 1 或-1 . 6.已知集合 A ? ?a, b, c,? ,则集合 A 的真子集的个数是

D. 0,1 或-1

b 7.当 {1, a, } ? {0, a2 , a ? b} 时,a=_________,b=_________. a
8.已知 A={2,3},M={2,5, a 2 ? 3a ? 5 },N={1,3, a 2 ? 6a ? 10 },A ? M,且 A ? N,求实数 a 的值. 9.已知集合 A ? ?x ?2 ? x ? 5? , B ? ?x m ? 1 ? x ? 2m ? 1? .若 B ? A ,求实数 m 的取值范围.


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