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《三角函数》高考真题理科小题总结及答案


《三角函数》小题总结
1.【2015 高考新课标 1,理 2】 sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( (A) ?
3 3 1 1 (B) (C) ? (D) 2 2 2 2

)

?? 2.【2015 高考山东,理 3】要得到函数 y ? sin ? ? 4 x ? ? 的图象,只需要
? 3?

将函数 y ? sin 4 x 的图象() (A)向左平移
?
12

个单位

(B)向右平移
? 3

?
12

个单位

(C)向左平移 个单位

? 3

(D)向右平移 个单位

3.【2015 高考新课标 1,理 8】函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图 所示,则 f ( x) 的单调递减区间为( ) (A) (k? ? , k? ? ), k ? Z
1 4 3 4

1 4

3 4

(B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z
1 4 3 4

1 4

3 4

(C) (k ? , k ? ), k ? Z (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z

4.【2015 高考四川,理 4】下列函数中,最小正周期为且图象关于原 点对称的函数是(
?


?

( A) y ? cos(2 x ? ) ( B) y ? sin(2 x ? ) 2 2
(C ) y ? sin 2 x ? cos 2 x ( D) y ? sin x ? cos x

3? ) 10 ? ( 5.【2015 高考重庆,理 9】若 tan ? ? 2 tan ,则 ? 5 sin(? ? ) 5

?

cos(? ?



A、1

B、2

C、3

D、4

6.【2015 高考陕西,理 3】如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变 化曲线近似满足函数 y ? 3sin( x ? ? ) ? k ,据此函数可知,这段时间水
6

?

深(单位:m)的最大值为( A .5 B.6

) C .8 D.10

7.【2015 高考安徽,理 10】已知函数 f ? x ? ? ? sin ?? x ? ? ?( ? ,? ,? 均 为正的常数) 的最小正周期为 ? , 当x? 则下列结论正确的是( ) (B) f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? ?2 ? (D) f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? ?2 ?
?
2 2? 时, 函数 f ? x ? 取得最小值, 3

(A) f ? 2 ? ? f ? ?2 ? ? f ? 0 ? (C) f ? ?2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 2 ?

8. 【2015 高考湖南, 理 9】 将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? ) 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,若对满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有
x1 ? x2 min ?

?
3

,则 ? ? ( D.
? 6



A.

5? ? ? B. C. 12 3 4

9.【2015 高考上海,理 13】已知函数 f ? x ? ? sin x .若存在 x1 ,x2 ,??? ,
xm 满足 0 ? x1 ? x2 ? ??? ? xm ? 6? ,且

, f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 ( m ? 2 , m ? ? ? )

则 m 的最小值为. 10.【2015 高考天津,理 13】在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别 为 a, b, c ,已知 ?ABC 的面积为 3 15 , b ? c ? 2, cos A ? ? , 则 a 的值为. 11.【2015 高考上海,理 14】在锐角三角形 ??C 中, tan ? ? , D 为 边 ?C 上的点, 过 D 作 D? ? ?? 于 ? , ???D 与 ??CD 的面积分别为 2 和 4 .
DF ? ?C 于 F ,则 D? ? DF ? .
??? ? ??? ?

1 4

1 2

12.【2015 高考广东,理 11】设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为
1 π a , b , c ,若 a ? 3 , sin B ? , C ? ,则 b ? . 2 6

13..【2015 高考北京,理 12】在 △ ABC 中,a ? 4 ,b ? 5 ,c ? 6 ,则 sin 2 A ?
sin C

. 14.【2015 高考湖北,理 12】 函数 f ( x) ? 4 cos2 x cos( π ? x) ? 2sin x? | ln( x ? 1) | 的
2 2

零点个数为. 15.【2015 高考四川,理 12】 sin 15? ? sin 75? ? .

16.【2015 高考湖北,理 13】如图,一辆汽车在一条水平的公路上向 正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30? 的方向上, 行驶 600m 后到达 B 处, 测得此山顶在西偏北 75? 的方向上, 仰角为 30? , 则此山的高度 CD ? m.

17.【2015 高考重庆,理 13】在 ? ABC 中,B= 120o ,AB= 2 ,A 的角平 分线 AD= 3 ,则 AC=_______. 18.【2015 高考浙江,理 11】函数 f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 的最小正周 期是,单调递减区间是. 19. 【 2015 高 考 福 建 , 理 12 】 若 锐 角 ?ABC 的 面 积 为 10 3 , 且
AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于________.

20.【2015 高考新课标 1,理 16】在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B= ∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是. 21.【2015 江苏高考,8】已知 tan ? ? ?2 , tan ?? ? ? ? ? ,则 tan ? 的值 为_______.
1 7

《三角函数》小题答案
1.【答案】D 【解析】原式= sin 20o cos10o ? cos 20o sin10o = sin 30o = 2.【答案】B 【解析】因为 y ? sin ? 4 x ?

1 ,故选 D. 2

? ?

??

? ? ?? ? ? ? ? sin 4 ? x ? ? ,所以要得到函数 y ? sin ? 4 x ? ? 的图 3? 12 ? 3? ? ?
? 个单位.故选 B. 12

象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象向右平移 3.【答案】D

4.【答案】A 【解析】对于选项 A,因为 y ? ? sin 2 x, T ? 5.【答案】C 【解析】

2? ? ? ,且图象关于原点对称,故选 A. 2

3? ) 10 ? 由 已 知 , ? sin(? ? ) 5 3? ? 3? cos ? 2 tan sin 10 5 10 ? cos(? ? 2 tan cos

cos ? cos

3? 3? ? sin ? sin 10 10

sin ? cos

?

5

? cos ? sin

?

?

cos

3? 3? ? tan ? sin 10 10

5

tan ? cos

?

5

? sin

?

5

?

5

cos

?

5

? sin

?

5


?
5

?

cos

3? ? 3? ? 2sin sin 10 5 10

sin

?

5

cos

?

5

1 5? ? ? 5? (cos ? cos ) ? (cos ? cos ) 2 10 10 10 10 1 2? sin 2 5

?

3cos cos

? ?
10 ? 3 ,选 C.

10

6.【答案】C 【解析】由图象知: ymin ? 2 ,因为 ymin ? ?3 ? k ,所以 ?3 ? k ? 2 ,解得: k ? 5 ,所以 这段时间水深的最大值是 ymax ? 3 ? k ? 3 ? 5 ? 8 ,故选 C.

7.【答案】A

8.【答案】D. 【解析】 试题分析:向右平移 ? 个单位后,得到 g ( x) ? sin( 2 x ? 2? ) ,又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 ,∴ 不妨

2 x1 ?

?
2

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?

?
2

? 2m? , ∴ x1 ? x2 ?

?
2

? ? ? (k ? m)? , 又 ∵

x1 ? x2 min ?


?
3



?
2

?? ?

?
3

?? ?

?
6

,故选 D.

9.【答案】 8 【解析】因为 f ? x ? ? sin x ,所以 f ? xm ? ? f ? xn ? ? f ( x ) max ? f ( x ) min ? 2 ,因此要使得

满足条件 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? f ? x2 ? ? f ? x3 ? ? ??? ? f ? xn ?1 ? ? f ? xn ? ? 12 的 m 最小,须取
x1 ? 0, x2 ?

?
2

, x3 ?

3? 5? 7? 9? 11? , x4 ? , x5 ? , x6 ? , x7 ? , x8 ? 6? , 即 m ? 8. 2 2 2 2 2

10.【答案】 8 【解析】因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 1 ? cos 2 A ?

15 , 4

又 S ?ABC ?

?b ? c ? 2 1 15 得 b ? 6, c ? 4 , bc sin A ? bc ? 3 15,? bc ? 24 ,解方程组 ? 2 8 ?bc ? 24

由余弦定理得

? 1? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 62 ? 4 2 ? 2 ? 6 ? 4 ? ? ? ? ? 64 ,所以 a ? 8 . ? 4?
11.【答案】 ?

16 15

12.【答案】 1 . 【解析】因为 sin B ?

1 ? 5? ? ? 且 B ? ? 0, ? ? ,所以 B ? 或 B ? ,又 C ? ,所以 B ? , 2 6 6 6 6

A ?? ? B ?C ?

3 b 2? a b ,又 a ? 3 ,由正弦定理得 即 解得 ? ? 3 sin A sin B sin 2? sin ? 3 6

b ? 1 ,故应填入 1 .
13.【答案】1【解析】 :

sin 2A 2 sin A cos A 2a b 2 ? c 2 ? a 2 2 ? 4 25 ? 36 ? 16 ? ? ? ? ? ? 1 sin C sin C c 2bc 6 2?5?6
14.【答案】2
x π 【解析】因为 f ( x) ? 4 cos 2 cos( ? x) ? 2sin x ? | ln( x ? 1) | 2 2

? 2(1 ? cos x) sin x ? 2 sin x ? | ln( x ? 1) |

? sin 2 x ? | ln( x ? 1) |
所以函数 f ( x) 的零点个数为函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln( x ? 1) | 图象的交点的个数, 函数 y ? sin 2 x 与 y ?| ln( x ? 1) | 图象如图,由图知,两函数图象有 2 个交点, 所以函数 f ( x) 有 2 个零点.

15.【答案】

6 . 2
? ? ? ?

【解析】法一、 sin15 ? sin 75 ? sin15 ? cos15 ?

2 sin(15? ? 45? ) ?
? ? ?

6 . 2 6 . 2

法二、 sin15 ? sin 75 ? sin(45 ? 30 ) ? sin(45 ? 30 ) ? 2sin 45 cos 30 ?
? ? ? ? ?

法三、 sin15 ? sin 75 ?
? ?

6? 2 6? 2 6 ? ? . 4 4 2

16.【答案】 100 6

17.【答案】 6

【解析】由正弦定理得

2 3 AB AD ,即 ,解得 ? ? sin ?ADB sin120? sin ?ADB sin B

sin ?ADB ?

2 2



?ADB ? 45? , 从 而 ?BAD ? 15? ? ?DAC , 所 以

C ? 180? ? 120? ? 30? ? 30? , AC ? 2 AB cos 30? ? 6 .

18.【答案】 ? , [ 【解析】

3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8

试题分析: f ( x) ? 调递减区间为

1 ? cos 2 x sin 2 x 2 ? 3 ? ?1 ? sin(2 x ? ) ? ,故最小正周期为 ? ,单 2 2 2 4 2

[

3? 7? ? k? , ? k? ] , k ? Z . 8 8

19.【答案】 7 【解析】 由已知得 ?ABC 的面积为

3 1 所以 sin A ? , AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 , 2 2

A ? (0, ) , 所 以 A ? . 由 余 弦 定 理 得 BC 2 ? AB 2 ? AC 2 ? 2 AB ? AC cos A ? 49 , 2 3

?

?

BC ? 7 .
20.【答案】 ( 6 ? 2 , 6+ 2 )

21.【答案】3
1 ?2 tan(? ? ? ) ? tan ? ?7 ? 3. 【解析】 tan ? ? tan(? ? ? ? ? ) ? 1 ? tan(? ? ? ) tan ? 1 ? 2 7


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