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2013届杭州二中高三第五次月考数学试卷(理科)


2013 届杭州二中高三第五次月考数学试卷(理科)
2013.3
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.卷面共 150 分,考试时间 120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知 R 是实数集, M ? ? x (B) ?0,2?

? 2 ? ? 1?, N ? y y ? x ? 1 ? 1 ,则 N ? CR M ? ? x ?
(C) ? D ?1,2 ?

?

?

(A) (1,2)

2.设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和, 8a2 ? a5 ? 0 ,则 (A) 5 (B) 8 (C) ? 8

S4 ? S2

(D) 15 ks5u

3.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ?

?
6

) ,若存在 a ? (0, ? ) ,使得 f ( x ? a) ? f ( x ? a) 恒成立,则

a 的值是
(A)

? 6

(B)

? 3

(C)

? 4

(D)

? 2

4.下列四个条件中, p 是 q 的必要不充分条件的是 (A) p : a ? b, q : a ? b
2 2 2 2

(B) p : a ? b, q : 2 ? 2
a 2

b

(C) p : ax ? by ? c 为双曲线, q : ab ? 0 (D) p : ax ? bx ? c ? 0 , q :

c b ? ?a?0 x2 x

5.已知函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) ,且满足 f ( x) ? 2 xf ?(e) ? ln x ,则 f ?(e) ? (A) 1 (B) ?1 (C) ? e
?1

(D) ? e

6.若等边 ?ABC 的边长为 2 ,平面内一点 M 满足 CM ? (A)

1 1 CB ? CA ,则 MA ? MB ? 3 2
13 9

8 9

(B)

13 9

(C) ?

8 9

(D) ?

7.在平面直角坐标系中,有两个区域 M , N , M 是由三个不等式 y ? 0, y ? x, y ? 2 ? x 确 定的; N 是随 t 变化的区域,它由不等式 t ? x ? t ? 1(0 ? t ? 1) 所确定.设 M , N 的公共 部分的面积为 f (t ) ,则 f (t ) 等于

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(A) ? 2t ? 2t
2

(B)

1 (t ? 2) 2 2

(C) 1 ?

1 2 t 2

(D) ? t ? t ?
2

1 2

8.已知椭圆:

x2 y2 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 和圆 O : x 2 ? y 2 ? b 2 ,过椭圆上一点 P 引圆 O 的两条 2 a b

切线,切点分别为 A, B . 若椭圆上存在点 P ,使得 PA ? PB ? 0 ,则椭圆离心率 e 的取值范 围是 (A) [ ,1)

1 2

(B) (0,

2 ] 2

(C) [ ,

1 2

2 ] 2

(D) [

2 ,1) 2

9.已知函数 f ( x) ? x x ? a ? 2 x. 若存在 a ? ?? 4,4? ,使得关于 x 的方程 f ( x) ? tf (a ) 有三 个不相等的实数根,则实数 t 的取值范围是 (A) ?1, ? ( ) (C) ? , ?

? 9? ? 8?

(B) ?1, ?

? 3? ? 2?

?9 3? ?8 2?

(D) ?1, ?

? 5? ? 4?

10.设 R 表示一个正方形区域, 是一个不小于 4 的整数. X 位于 R 的内部 n 点 (不包括边界) , 如果从点 X 可引出 n 条射线将 R 划分为 n 个面积相等的三角形,则称点 X 是一个“n 维分 点” .由区域 R 内部的“100 维分点”构成集合 A, “60 维分点”构成集合 B,则集合{x | x?A 且 x?B}中的元素个数是 (A) 1560 (B) 2320 (C) 2480 (D) 2500

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.复数

1 ? 2i ( i 是虚数单位)的虚部是 ▲ .. 1? i

12.在总体中抽取了一个样本,为了便于计算,将样本中的每个数据除以 100 后进行分析, 得出新样本的方差为 9 ,则估计总体的标准差为 ▲ .. ... 13.已知 a, b 为直线, ? , ? 为平面.在下列四个命题中, ① ③ 若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b ; ② 若 a // ? , b // ? ,则 a // b ; 若 a ? ? , a ? ? ,则 ? // ? ; ④ 若 a // ? , b // ? ,则 ? // ? .

正确命题的个数是 ▲ 14.定义:a ? b 的运算原理如图所示, f ( x) ? (0 ? x) x ? (2 ? x) , f (x) 在区间 [?2,2] 上 设 则 的最小值为 ▲ .

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15.将 2 个相同的 a 和 2 个相同的 b 共 4 个字母填在 3? 3 的方格内, 每个小方格内至多填 1 个 字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 ▲ 种(用数字作答) 16.已知 l1 和 l 2 是平面内互相垂直的两条直线, 它们的交点为 A , 动点 B, C 分别在 l1 和 l 2 上, 且 BC ? 3 2 ,则过 A, B, C 三点的动圆扫过的区域的面积为 .. 17.若 x ? 0 时,不等式 x(e ? 1) ? ax 恒成立,则 a 的取值范围是
x 2

▲ ▲

. .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过 程或演算步骤.

18.(本小题满分 14 分) 已知 a ? ( ,

?

? 1 1 3 ? ? sin x ? cos x), b ? (1, y ) ,且 a // b .设函数 y ? f (x) 2 2 2

(1) 求函数 y ? f (x) 的解析式; (2) 若在锐角 ?ABC 中, f ( A ?

?
3

) ? 3 ,边 BC ? 3 ,求 ?ABC 周长的最大值.

19.(本小题满分 14 分) 四枚不同的金属纪念币 A, B, C , D , 投掷时,A, B 两枚正面向上的概率均为

1 , 另两枚 C, D 2

(质地不均匀)正面向上的概率均为 a ( 0 ? a ? 1 ).将这四枚纪念币同时投掷一次,设ξ 表示出现正面向上的枚数. (1)求ξ 的分布列(用 a 表示) ; (2)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大,求 a 的取值范围.

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BF1

20.( 本题满分 14 分 ) 已知,如图四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, PG ? 平面 ABCD ,垂 足为 G , G 在线段 AD 上,且 AG ? 中点,四面体 P ? BCG 的体积为

1 GD , BG ? GC , BG ? GC ? 2 , E 是 BC 的 3

8 . 3 PF 的值. FC

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成角的余弦值; (2)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF ? GC ,求

21.(本小题满分 15 分) 如图,椭圆 和 (e,

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c,0),F2 (c,0) ,已知点 (1, e) a 2 b2

3 ) 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. 2

(1)求椭圆的方程; (2)设 A, B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 与直线 BF2 平行, AF2 与交于点 P , (I)若 AF1 ? BF2 ?

6 ,求直线 AF 的斜率;(II)求证: PF1 ? PF2 是定值. 1 2

y

A P B F2 x

22.(本小题满分 15 分) 设函数 f ( x) ? ax ? 8 x ? 3 (a ? R).
2

F1

O

(1)若 g ( x) ? xf ( x), f ( x) 与 g (x) 在 x 为同一个值时都取得极值,求 a 的值. (2) 对于给定的负数 a , 使得 x ? [0, M (a)] 时, 恒有 | f ( x) |? 5. .. .. 有一个最大的正数 M (a) , 求① M (a) 的表达式;② M (a) 的最大值及相应的 a 值.

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杭州二中高三第五次月考数学试卷答案(理科)
1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D → → 8.D 解析:∵ PA·PB=0?PA⊥PB.又 PA,PB 为圆 O 切线,∴ OA⊥PA,OB⊥PB. ∴ 四边形 OAPB 为正方形.∴ OP= 2b≤a,即 a ≥2b =2(a -c )?a ≤2c ,∴ 9.A 10.B 11
2 2 2 2 2 2

2 ≤e<1. 2

1 2

12.300 13. 2
? ?-x +x,-2≤x≤0 14.-6 解析:f(x)=? ?-x,0<x≤2 ?
2

,画出其图象易知:f(x)min=-6.

15.198 16.18π

解析:分别以 l1、l2 为 x 轴、y 轴建立直角坐标系,

3 设线段 BC 中点为 E,则过 A、B、C 三点的圆即为以 E 为圆心、 2为半径的圆, 2 3 ∵ B、C 分别在 l1 和 l2 上运动,∴ 圆心 E 在以 A 为圆心、AE= 2为半径的圆上运动, 2 所以,过 A、B、C 三点的动圆所形成的面积为以 A 为圆心、3 2为半径的圆的面积为 18π . 17. (??,1]

18.(本小题满分 14 分) 解:(1) ? a // b, ? y ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin(x ? (2) 由(1)及 f ( A ? π ∵ 0<A< , 2 ∴ A=60°.(8 分) 2 2 2 由余弦定理得 3=b +c -2bccos60°,即(b+c) =3+bc,(10 分)

?
3

) (4 分)
3 . 2

?
3

) ? 3 知:2sinA= 3,sinA=

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∴ (b+c) =3+bc≤3+ ( ?b+c≤2,(12 分)

2

b?c 2 ) 2

∴ △ABC 周长 l=a+b+c=b+c+ 3≤3 3, 所以,△ABC 周长最大值为 2+ 3.(14 分)

19.(本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意可得ξ 的可能取值为 0, 1, 2, 3, 4 .

1 1 2 P(? ? 0) ? (1 ? ) 2 ?1 ? a ? ? (1 ? a) 2 2 4
1 P(? ? 1) ? C 2

1 1 1 1 2 1 (1 ? )?1 ? a ? ? C 2 a(1 ? a)(1 ? ) 2 ? (1 ? a) 2 2 2 2

1 1 1 1 2 1 1 1 P(? ? 2) ? ( ) 2 ?1 ? a ? ? C2 a(1 ? a)C 2 (1 ? ) ? (1 ? ) 2 a 2 ? (1 ? 2a ? 2a 2 ) 2 2 2 2 4 1 1 a 1 1 1 P(? ? 3) ? ( ) 2 C 2 a?1 ? a ? ? a 2 C 2 (1 ? ) ? 2 2 2 2 1 1 P(? ? 4) ? ( ) 2 a 2 ? a 2 2 4
∴ξ 的分布列为 ξ ξ 0 ξ 1 2 2 3 4 2 3

P P
1 (1 ? a) 2 4

1 (1 ? a) 2 4
1 (1 ? a) 2

1 (1 ? a) 2 1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 4

1 a 2 1 a 2 1 2 a 4

1 2 a 4

???????????7 分 (Ⅱ)∵ 0 ? a ? 1 ∴ P(? ? 0) ? P(? ? 1) , P(? ? 4) ? P(? ? 3)

?10 分

?1 ? (1 ? a ) ? ?2 ∴? ? 1 (1 ? a ) ? ?2 ?

? 1 2? 2 2? 2 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 或a ? ?a ? ? 4 2 2 ,解得 ? ?13 分 1 1 ?a ? a ? 2 2 ?
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∴ a 的取值范 (0,

2? 2 ) 2

. ?????14 分

20.( 本题满分 14 分 ) 解法一: (1)由已知

1 1 1 8 VP ? BGC ? S ?BCG ? PG ? ? BG ? GC ? PG ? 3 3 2 3
∴PG=4 如图所示,以 G 点为原点建立空间直角坐标系 o—xyz,则 B(2,0,0) ,C(0,2,0) ,P(0,0,4) 故 E(1,1,0)

??? ? ??? ? GE ? (1,1, 0), PC ? (0, 2, ?4)

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? GE ? PC ? ??? ? ? cos ? GE , PC ?? ??? | GE | ? | PC |
(2)设 F(0,y , z)

2 10 ? 10 2 ? 20

???? ??? ???? ? 3 3 3 3 则DF ? OF ? OD ? (0, y, z ) ? (? , , 0) ? ( , y ? , z ) 2 2 2 2 ???? ???? ???? ???? ? DF ? GC ,? DF ? GC ? 0 3 3 3 ? ( , y ? , 0) ? (0, 2, 0) ? 2( y ? ) ? 0 2 2 2 ?y ? 3 2

???? GC ? (0, 2, 0)

在平面 PGC 内过 F 点作 FM⊥GC,M 为垂足,则 GM ?

3 1 PF GM , MC ? ? ? ?3 2 2 FC MC

解法二: (1) 由已知 VP ? BGC ?

1 1 1 8 S ?BCG ? PG ? ? BG ? GC ? PG ? 3 3 2 3

∴PG=4 在平面 ABCD 内,过 C 点作 CH//EG 交 AD 于 H,连结 PH, 则∠PCH(或其补角)就是异面直线 GE 与 PC 所成的角. 在△PCH 中, CH ?

2 , PC ? 20 , PH ? 18
10 10

由余弦定理得,cos∠PCH=

(2)在平面 ABCD 内,过 D 作 DM⊥GC,M 为垂足,连结 MF, 又因为 DF⊥GC ∴GC⊥平面 MFD, ∴GC⊥FM

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由平面 PGC⊥平面 ABCD,∴FM⊥平面 ABCD ∴FM//PG 由 GM⊥MD 得:GM=GD·cos45°=

3 2

3 PF GM 2 ? ? ? ?3 FC MC 1 2

?由DF ? GC可得

PF ?3 FC

21.(本小题满分 15 分) 解 (1) 由题设知 a ? b ? c , e ?
2 2 2

c . a 1 c2 由点(1,e)在椭圆上,得 2 ? 2 2 ? 1 a a b 2 2 2 解得 b ? 1 ,于是 c ? a ? 1, e2 3 a2 ?1 3 3 ( ) ? 1 ,即 4 ? ? 1 ,解得 a 2 ? 2 又点 e, 在椭圆上,所以 2 ? 2 2 4 a 4b a 2 x ? y 2 ? 1 .....................4 分 因此,所求椭圆的方程是 2 (2) 由(1)知 F1 (?1,0), F2 (1,0) ,又直线 AF1 与 BF2 平行,所以可设直线 AF1 的方程为 x ?1 ? my , 直线 BF2 的方程为 x ?1 ? my .设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), y1 ? 0, y 2 ? 0
? x1 2 2 m ? 2m 2 ? 2 ? y1 ? 1 ? 2 2 由? 2 得 (m ? 2) y1 ? 2my1 ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? m2 ? 2 ? x ? 1 ? my 1 ? 1

2 2 故 AF1 ? ( x1 ? 1) ? y1 ? (my1 ) ? y1 ? 2 2

2 (m 2 ? 1) ? m m 2 ? 1 ?① m2 ? 2

同理, BF2 ?

2 (m 2 ? 1) ? m m 2 ? 1 ?② m2 ? 2

2m m 2 ? 1 6 2 ? 解得 m ? 2 ,..........9 分 2 2 m ?2 1 2 因为 m ? 0 ,故 m ? 2 ,所以直线 AF1 的斜率为 ? m 2 PB ? PF1 BF2 ? AF1 PB BF2 ? ? (ⅱ)因为直线 AF1 与 BF2 平行,所以 ,于是 PF1 AF1 PF1 AF1 AF1 BF1 .由点 B 在椭圆上知 BF1 ? BF2 ? 2 2 故 PF1 ? AF1 ? BF2
(ⅰ)由①②得 AF1 ? BF2 ?
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从而 PF1 ? 因此

AF1 BF2 (2 2 ? BF2 ) .同理 PF2 ? (2 2 ? AF1 ) AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 2 AF1 ? BF2 AF1 BF2 (2 2 ? BF2 ) ? (2 2 ? AF1 ) ? 2 2 ? AF1 ? BF2 AF1 ? BF2 AF1 ? BF2

PF1 ? PF2 ?

2 2 (m 2 ? 1) m2 ? 1 , AF1 ? BF2 ? 2 m2 ? 2 m ?2 2 3 2 所以 PF1 ? PF2 ? 2 2 ? .因此 PF1 ? PF2 是定值.....15 分 ? 2 2
又由①②知 AF1 ? BF2 ? 22.(本小题满分 15 分) 解:⑴ 易知 a ? 0 , f ( x) 在 x ? ?

4 时取得极值. a

g ( x) ? ax3 ? 8x 2 ? 3x, g ' ( x) ? 3ax 2 ? 16 x ? 3 ,

16 . ???5 分 3 16 4 2 16 ⑵ ① 由 a ? 0 , f ( x) ? a ( x ? ) ? 3 ? ,知 f max ( x) ? 3 ? . a a a 16 当 3? ? 5 ,即 ?8 ? a ? 0 时,要使 | f ( x) |? 5 ,在 x ? [0, M (a )] 上恒成立,而 a
2 由题意得 3a(? ) ? 16(? ) ? 3 ? 0 ,解得 a ?

4 a

4 a

M (a) 要最大的,所以 M (a) 只能是方程 ax2 ? 8x ? 3 ? 5 的较小根.
因此, M (a ) ? 当3?

2a ? 16 ? 4 . a

16 ? 5 ,即 a ? ?8 时,同样道理 M (a) 只能是方程 ax 2 ? 8x ? 3 ? ?5 的较大根, a

M (a) ?

?2 4 ? 2a ? 4 . a a ? (?8, 0) a ? (??, ?8]

? 2a ? 16 ? 4 ? ? a 综上得 M ( a ) ? ? ? ?2 4 ? 2 a ? 4 ? a ?
② 当 a ? (?8, 0) 时, M (a ) ?

???10 分

2a ? 16 ? 4 2 1 ? ? ;ks5u a 2a ? 16 ? 4 2

当 a ? (??, ?8] 时, M (a ) ?

?2 4 ? 2a ? 4 4 4 5 ?1 ? ? ? . a 2 4 ? 2a ? 2 20 ? 2

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故当且仅当 a ? ?8 时, M (a) 有最大值

5 ?1 . 2

???15 分

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