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2014年五一高中物理竞赛集训三导学4-光学


QBXT/JY/DX2014/4-4-7

清北学堂集中培训课程导学
(2014 年五一集中培训课程使用)

2014 年五一高中物理竞赛集训三导学
(第四次)

资料说明

本导学用于学员在实际授课之前,了解授课方向及重难点。同时还附上部分知识点的 详细解读。本班型导学共由 4

份书面资料构成。在 2014 年 4 月 10 日,公司还会发布相应 班型的详细授课大纲,敬请关注。

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2014-4-5 发布

清北学堂教学研究部

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2014 年寒假物理竞赛集训三导学
(光学) 目录
知识框架 .......................................................................................................................................... 3 重点难点 .......................................................................................................................................... 4 知识梳理 .......................................................................................................................................... 5 一、 几何光学................................................................................................................... 5 1. 几何光学理论基础 ................................................................................................... 5 2. 成像基本公式 ........................................................................................................... 5 二、 物理光学................................................................................................................... 9 1. 光的波动性............................................................................................................... 9 2. 光的量子性............................................................................................................. 16 3. 不确定关系............................................................................................................. 17 例题选讲 ........................................................................................................................................ 18

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知识框架
几何光学 几何光学理论基础 成像基本公式 光的波动性 物理光学 光的量子性 不确定关系

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重点难点
光学与近代物理是竞赛大纲与高考大纲要求相差较多的部分。 竞赛对光学与近代物理知 识的要求基本可以达到大学物理的要求, 因而对高中生而言这两部分内容从知识层面讲较难。 几何光学部分, 需要掌握大量的成像公式, 从基本成像公式出发可解决绝大部分几何光 学题目。此外掌握一定的光路作图技巧在解决几何光学问题时也十分有益。 波动光学部分,需要理解与光的波动性相关的干涉、衍射现象及相关公式,波动光学题 目在竞赛中所占比例不高,理解现象并掌握公式即可解决绝大部分问题。

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知识梳理
一、 几何光学

1. 几何光学理论基础 (1) 光线与几何光学 表示光传播方向的几何线称为光线。 光线是一个抽象的数学概念, 不是从实际光束中借 助有孔光阑分出的一个狭窄部分。 因为在孔小到一定程度时将会发生衍射现象, 不可能分出 无限窄的一条光束。 在光学成像问题中, 借助光线概念和基本实验定律及集合定律, 可以进行一切必要的计 算而不涉及光的本性问题,这部分以实验定律和集合定律为基础的光学称为几何光学。 (2) 基本实验定律 光的直线传播定律: 光在均匀介质中是沿直线传播的, 即在均匀介质中, 光线为一直线。 光的独立传播定律: 自不同方向或不同物体发出的光线相交时, 对每一光线的独立传播 不发生影响。 光的反射定律:入射光线、入射点出反射面的法线和反射光线在同一平面内,且入射光 线与法线的夹角 i1 等于反射光线与法线的夹角 i2。 光的折射定律:入射光线、折射光线和入射点处分界面的法线在同一平面内,且入射光 线和折射光线分别位于法线两侧, 入射角 i1 和折射角 i2 满足 n1 sin i1 ? n2 sin i2 。 其 中,n1 和 n2 分别是介质 1 和介质 2 的折射率。 全反射现象:光由光密介质射入光疏介质时,由折射定律知折射角大于入射角。对应折 射角为 90°时的入射角称为临界角 ic,有 ic ? arcsin

n疏 n密

。当入射角大于临界角 ic

时,折射光线不再存在,入射光全部反射,这种现象叫全反射现象。 (3) 费马原理 均匀介质中, 光线行径的几何路径长度 s 与介质折射率 n 的乘积称为光在该介质中所走 的光程,用 Δ 表示,即 ? ? ns 。又 ns ?

c s ? ct ,即光程可认为是相同时间内光在真空中 v

通过的路程。 费马原理指出:光在指定的两点间传播,实际的光程总是一个极值。也就是说,光沿光 程值为最小、最大或恒定的路径传播。费马原理是几何光学中一个最普遍的基本原理,在折 射率连续变化的介质中费马原理的应用十分重要。 2. 成像基本公式 (1) 物方空间和像方空间 对某一光学系统, 未经它变换前的实际入射单心光束所在的空间称为物方空间,经系统 变换后的实际出射单心光束所在的空间称为像方空间。所有的物方量,如物距 S、物方焦距 f 都永远属于物方空间,所有的像方量都永远属于像方空间。 (2) 正负号法则 在成像公式中涉及物距 s、像距 s′、球面曲率半径 r、物方焦距 f 和像方焦距 f′等,均可 正可负,需用一种标准来指定其正负号的取法。这里需要说明的是正负号法则不止一种,选 取任一种法则都可得到正确的结论, 使用何种法则由个人习惯决定。 这里给出一种可行的正
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负号法则: i. 轴向线段:从球面顶点算起,沿光轴向左的线段为负值,向右的线段为正值。 ii. 横向线段:从光轴算起,向上的横向线段为正,向下的为负。 iii. 示意图中线段长度均已绝对值标记,如物距 s 为负,则示意图中标记为(-s) 。 若使用这种正负号法则,则 s>0,物为虚物;s<0,物为实物;s′>0,像为实像;s′<0, 像为虚像。 (3) 平面反射成像 平面镜成像物与像关于平面镜对称。平面镜是最简 S1 单的、不改变光束单心性的、能完善成像的光学系统。 S 单平面镜反射成像很简单,像与物关于平面镜对称。 S4 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面 镜,射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多 O 次反射,因而会出现生成复像的现象。成像时遵循依次 S5 成像原则,即某一平面镜成的像是其他平面镜的物,直 S2 至所有像与物都确定。 两面平面镜 AO 和 BO 成 60? 角放置, 用, 很容易确 S3 定像的位置:①以 O 为圆心、OS 为半径作圆;②过 S 做 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S1 和 S2;③过 S1 和 S2 作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 S3 和 S4;④过 S3 和 S4 作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 S5,S1~S5 便 是 S 在两平面镜中的 5 个像。 (4) 平面折射成像 i. 单平面折射成像 平面折射成像时,入射角 i≈0 时,折射光束几乎仍保持为单心,入射角越大,折射光束 的像散越显著。当入射角 i≈0 时,像的深度 y′与实际深度 y 的关系为 y ? ? 棱镜折射与色散 入射光线经棱镜折射后改变了方向,出射光线 与入射光线之间的夹角称为偏向角,由图的几何关 系知 ii.

n2 y。 n1

A δ i1 D E B i2 i′2 F 折射率 C

? ) ? i1 ? i1? ? ? ? ? (i1 ? i2 ) ? (i1? ? i2 ? ? n sin i1? 。 其中 sin i1 ? n sin i2 , sin i2 ? ? i1? 即 ①当 i1 ,α 很小时, i1 ? ni2 , ni2
δ=(n-1)α 厚度不计顶角 α 很小的三棱镜称之为光楔, 对近轴 光线而言,δ 与入射角大小无关,各成像光线经光楔后 都偏折同样的角度 δ, 所以作光楔折射成像光路图时可 画成一使光线产生偏折角的薄平板,如右图。设物点 S 离光楔 L,则像点 S′在 S 的正上方 h ? l? ? (n ? l )? 。 S S′ h

i′1 G

δ

δ L 阳光



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图 1-3-6

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?。 ②当棱镜中折射光线相对于顶角 α 对称成等腰三角形时, i1 ? i1? , i2 ? i2

sin i1 ? sin i1? ? n sin

?
2

? ? ? 2arcsin(n sin ) ? ?
2


sin

? ??
2

? n sin

?
2




这为棱镜的最小偏向角 δ, 此式可用来测棱镜的折射 率。 由于同一种介质对不同色光有不同的折射率,各种 色光的偏折角不同,所以白光经过棱镜折射后产生色散 阳光 现象。虹和霓是太阳被大气中的小水滴折射和反射形成 的色散现象。阳光在水滴上经两次折射和一次反射如图 图 1-3-7 1-3-6。形成内紫外红的虹;阳光经小滴两次折射和两次 反射如图 1-3-7,形成内红外紫的霓。由于霓经过一次反射,因此光线较弱,不容易看到。 (5) 单球面折射成像 i. 单球面对近轴光线的折射成像公式为

n? n n? ? n ,式中 s 是物距,s′是像距, ? ? s? s r n? ? n 为光焦度,单位是[米-1] r n? r ;像距 s′?∞ n? ? n

r 是球面曲率半径,n 和 n′分别为单折射球面的物方折射率和像方折射率。定义成 像公式中仅与折射率和球面曲率半径有关的量 ? ? 或[屈光度],数值乘以 100 就是眼镜片的度数。 ii. 物距 s?∞时的像距称为像方焦距,单球面折射像方焦距 f ? ? 时的物距称为物方焦距,单球面折射物方焦距 f ? ? iii. iv. 高斯成像公式:

f? f ? ? 1。 s? s

n r。 n? ? n

垂直于光轴的线段 y 经系统变换后仍是垂直于光轴的线段 y′,且 y′可正可负,这时 像长 y′与物长 y 的比值为垂轴放大率?。单球面折射垂轴放大率 ? ?

y ? ns ? 。且 ? y n?s

有???,实物成实像,虚物成虚像,正物成倒像;???,实物成虚像,虚物成实像, 正物成正像;|?|??,得放大像;|?|<1,得缩小像;|?|=1,像与物同大小。 (6) 单球面反射成像 将折射定律中的折射率人为地规定为 n′=-n 则可得到反射定律。单球面反射成像可看做

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单球面折射成像在 n′=-n 时的特例,即 i. ii. iii.

1 1 2 ? ? s? s r 2n 2n ? 光焦度: ? ? ? ? r r r 焦距: f ? f ? ? 2
成像公式: 垂轴放大率: ? ?

iv. v.

y ? ns ? s? ? ?? y n?s s

单球面折射有关像的性质的讨论仍然成立, 高斯成像公式也成立, 但 s′>0 为虚像, s′<0 为实像。 (7) 薄透镜成像 透镜由两个共轴球面构成,若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽略, 则成为厚透 镜;若可略去不计,则称为薄透镜。 i. 设薄透镜由两个曲率半径分别为 r1 和 r2 的折射球面组成, 透镜的折射率为 n, 左右 两 侧 介 质 的 折 射 率 分 别 为 n1 和 n2 , 则 近 轴 条 件 下 薄 透 镜 的 成 像 公 式 为

n2 n1 n ? n1 n2 ? n ? ? ? s? s r1 r2
ii. 薄透镜的光焦度: ? ?

n ? n1 n2 ? n1 ? r1 r2
, f??

iii.

焦距: f ? ?

n ? n1 n2 ? n ? r1 r2

n1

n ? n1 n2 ? n ? r1 r2

n2

iv.

高斯成像公式:

f? f ? ? 1 ,对置于空气中的薄透镜,由 n1=n2=1,成像公式变为 s? s

1 1 1 ? ? s? s f ?
v. vi. 垂轴放大率: ? ?

y ? n1 s ? ? y n2 s

焦平面与副光轴 薄透镜中,过焦点且垂直于主光轴的平面为焦平面,过光心与焦平面相交的直线都可 作为透镜的副光轴。 作透镜光学系统的光路时, 任意一条光线均可使用焦平面与副光轴作出其折射光线。 方 法如下: 先取入射光线与焦平面的交点 B,过光心 O 和该交点 B 作直线 OB,则 OB 为透镜对该 入射光线的副光轴,B 称为透镜对该入射光线的副焦点。类似过焦点光线的折射规律,折射 光线平行于 OB。 (8) 共轴光具组成像
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多个光学元件组成的共轴光学系统称为共轴光具组。 在近轴条件下, 共轴光具组成像问 题可采用逐次成像法, 即把前一个元件所成的像视作后一个元件的物, 依次套用成像公式进 行求解。 (9) 视角、视角放大 物体的两端对人眼光心所张的角度叫做视角, 视角的大小跟物体的尺寸及物体到人眼的 距离有关。当两物点(或同一物体上的两点)对人眼视角大小 I′(约 2.9× 10-4md)时,才能 被人眼区分。 在看小物体时,为了增大视角就要缩短物眼间距离,但当其小于人眼近点距离时,视网 膜上所成的像反而模糊不清。为此,必须使用光学仪器来增大视角。 右图是人眼(E)通过放大镜观察物体 AB 的像 A?B? ,当人眼靠近光心时视角。

? ? ? ?A?OB? ?

A?B ? AB ? B ?O BO

若物体很靠近焦点,且成像于明视距离,则:

A B

B?O ? 25cm , BO ? f

?

E

?? ?

A?B? AB ? B?O f

若不用放大镜将物体置于明视距离,如图,BE=25cm,则视角:

? ? ?AEB ?

AB 25cm

把用光学仪器观察虚像所得视角 φ′与将物体放在虚像位置上直接观察的视角 φ 的比值 叫做光学仪器的视角放大率。用 β 表示视角放大率,即有 ? ?

?? ?

二、

物理光学

1. 光的波动性 (1) 光的速度、波长、频率和折射率 光波就是电磁波。真空中的光速 c=3.0× 108m/s,在折射率为 n 的介质中光速 v=c/n。 光波的频率 ν、光波在真空中的波长 λ 与光速 c 的关系为 νλ=c。 可见光的波长在 0.40μm 到 0.76μm 之间。波长长于 0.76μm 的光波称为红外线,波长短 于 0.40μm 光波称为紫外线。 (2) 光的干涉 i. 光的相干迭加
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两列波的迭加问题可以归结为讨论空间任一点电磁振动的矢量迭加,所以,合振 2 动平均强度为 I ? A12 ? A2 ? 2 A1 A2 cos(?2 ? ?1 ) 其中 A1 、 A2 为振幅, ?1 、 ? 2 为振动初相位。

? ?2 j? , j ? 0,1, 2, ? ? ?2 ? ?1 ? ?(2 j ? 1)? , j ? 0,1, 2, ? ? ?其他且A1 ? A2 ?
ii.

I ? ( A1 ? A2 ) 2 I ? ( A1 ? A2 ) 2 I ? 4 A2 cos 2

?2 ? ?1
2

双缝干涉 如图所示,在单色光平行光前放一狭缝 S,S 前又放有两条平行狭缝 S1、S2,它们与 S 平行并等距,这时 S1、S2 构成一对相干光源。从 S 发出的光波波阵面到达 S1 和 S2 处时,再 从 S1、S2 传出的光是从同一波阵面分出的两相干光。它们在相遇点将形成相干现象。可知, 相干光是来自同一列波面的两部分,这种方法产生的干涉称为分波阵面法。 干涉条纹的位置: P 如图所示,S1、S2 为两缝,相距 d,E 为 r1 屏,距缝为 D,O 为 S1、S2 连线与 E 交点,P x S1 为 E 上的一点, 距 O 为 x, 距 S1、 S2 为 r1、 r2, r2 ? O ? d M 由 S1、S2 传出的光在 P 点相遇时,产生的波程 差为: ? ? r2 ? r1 ,位相差为: ?? ? 2? 作 S1 B ? S2 P ,可知

? , ?

S2

B

D

E

图 14-3

? ? r2 ? r1 ? S2 B ? d sin ? ? dtg? ? d
亮纹位置:

x x ( ? 很小 d<<D) ,即 ? ? d 。 D D

当 ?? ? ?2k? 时,即 ? ? ?k ? (k ? 0,1, 2,

) 时,P 为亮纹,可有 d

x ? ? k ? ,即 D

x ? ?k

D? (k ? 0,1, 2, ) d
依次为一级、二级…明纹,明纹关于中央亮

k=0 对应 O 点,为中央明纹, k ? 0,1, 2, 纹对称,相邻明纹间距为:

?x ? xk ?1 ? xk ? (k ? 1)
暗纹位置:

D? D? D? D? ?k ? ,即 ?x ? (等间距) 。 d d d d

当 ?? ? ?(2k ? 1)? 时,即 ? ? ?(2k ? 1)

?
2

时,P 为暗纹,可有 d

x ? ? ?(2k ? 1) , D 2
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x ? ?(2k ? 1)
暗纹关于 O 对称分布,相邻暗纹间距为

D? (k ? 1, 2, ) 2d

?x ? xk ?1 ? xk ? [2(k ? 1) ? 1]
iii. 类双缝干涉

D? D? D? D? ? (2k ? 1) ? ,即 ?x ? (等间距) 。 2d 2d d d
S M

双缝干涉实验说明, 把一个光源变成 “ 两相干光源 ” 即可实现光的干涉。类似装置还有 ① 菲涅耳双面镜: d 如图 2-1-2 所示,夹角 α 很小的两个平面镜构成一 个双面镜(图中 α 已经被夸大了) 。点光源 S 经双面镜 生成的像 S 1 和 S 2 就是两个相干光源。 ② 埃洛镜 如图 2-1-3 所示,一个与平面镜 L 距离 d 很小(数 量级 0.1mm) 的点光源 S , 它的一部分光线掠入射到平面镜, 其反射光线与未经反射的光线叠加在屏上产生干涉条纹。 因此 S 和 S ′就是相干光源。但应当注意,光线从光疏 介质射入光密介质,反射光与入射光相位差 π ,即发生“并 波损失” ,因此计算光程差时,反身光应有

α

L2

N

图 2-1-2

S L

? 的 2

S?
图 2-1-3
幕 幕

附加光程差。 ③ 双棱镜 如图 2-1-4 所示,平行光垂直入射,经双棱 镜上、下两半折射后,成为两束倾角均为 θ 的相 干平行光。 ④ 对切双透镜 如图 2-1-6 所示,过光心将透镜对切,拉开 一小段距离,中间加挡光板(图 a ) ;或错开一 段距离(图 b ) ;或两片切口各磨去一些再胶合 (图 c ) 。置于透镜原主轴上的各点光源或平行

?
W L

? ?

?l

W

L0

图 2-1-4

图 2-1-4
d

(a) 图 2-1-6

(b)

(a)

于主光轴的平行光线,经过对切透镜折射后,在叠加区也可以发生干涉。 iv. 薄膜干涉
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当透明薄膜的厚度与光波波长可以相比时,入射薄膜表面的光线薄满前后两个表 面反射的光线发生干涉。 ① 等倾干涉条纹 如图 2-1-7 所示,光线 a 入射到厚度为 h ,折射率为 n 1 的薄膜的上表面,其反射 光线是 a 1 ,折射光线是 b ;光线 b 在下表面发生反射和折射,反射线图是 b 1 ,折射线 是 c 1 ;光线 b 1 再经过上、下表面的反射和折射,依次得到 b 2 、a 2 、c 2 等光线。其中之 一两束光叠加, a 1 、 a 2 两束光叠加都能产生干涉现象。 a 、 b 光线的光程差

? ? n2 ( AC ? CB) ? n1 AD
? 2n2 ? h ? 2n1 ? h tan ? ? sin i cos ?

a

a1
i
A D B

a2
n1

2n h ? 2 ? (1 ? sin 2 ? ) cos ?
2 ? 2n2 h cos ? ? 2h n2 ? n12 ? sin 2 i

b r
c

b1 b2 n 2
n3

h

如果 i=0 ,则上式化简为 ? ? 2n2 h 。 由于光线在界面上发生反射时可能出现“半 波损失” ,因此可能还必须有“附加光程差” ,? ? ?

c1 图 2-1-7

c2

?
2

是否需要增加此项,应当根据界

面两侧的介质的折射率来决定。 当 n 1 > n 2 > n 3 时,反射线 a 1 、 b 1 都是从光密介质到光疏介质,没有“半波损 失” , 对于 a 1 、 a 2 ,不需增加 δ ′ ;但反射线 b 2 是从光疏介质到光密介质,有“半波损失” , 因此对于 c 1 、 c 2 ,需要增加 δ ′。当 n 1 < n 2 < n 3 时,反射线 a 1 、 b 1 都有“半波损失” ,对 于 a 1 、 a 2 仍然不需要增加 δ ′ ;而反射线 b 2 没有“半波损失” ,对于 c 1 、 c 2 仍然必须增 加 δ ′ 。同理,当 n 1 > n 2 > n 3 或 n 1 < n 2 < n 3 时,对于 a 1 、a 2 需要增加 δ ′;对于 c 1 、c 2 不需要 增加 δ ′ 。 在发生薄膜干涉时,如果总光程差等于波长的整数倍时,增强干涉;如果总光程 差等于半波长的奇数倍时,削弱干涉。 入射角 i 越小,光程差 ( δ + δ ′ ) 越小,干涉级也越低。在等倾环纹中,半径越大的圆 环对应的 i 也越大,所以中心处的干涉级最高,越向外的圆环纹干涉级越低。此外, 从中央外各相邻明或相邻暗环间的距离也不相同。中央的环纹间的距离较大,环纹较 稀疏,越向外,环纹间的距离越小,环纹越密集。 ② 等厚干涉条纹 当一束平行光入射到厚度不均匀的透明介质薄膜上, b1 a 在薄膜表面上也可以产生干涉现象。由于薄膜上下表面的 a b 1 n1 不平行, 从上表面反射的光线 b 1 和从下面表反射并透出上 A B 表面的光线 a 1 也不平行,如图 2-1-8 所示,两光线 a 1 和 n2 h b 1 的光程差的精确计算比较困难,但在膜 很薄 的情况下, c n3 A 点和 B 点距离很近,因而可认为 AC 近似等于 BC ,并在 图 2-1-8 这一区域的薄膜的厚度可看作相等设为 h ,其光程差近似 为
2 2n2 h cos r ? ? ? ? 2h n2 ? n12 ? sin 2 i ? ? ?

当 i 保持不变时,光程差仅与膜的厚度有关,凡厚度相同的地方, 光程 差相同,
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从而对应同一条干涉条纹,将此类干涉条纹称为等厚干涉条纹。 当 i 很小时,光程差公式可简化为 2n2 h ? ? ? 。 ③劈尖膜 如图 2-1-9 所示,两块平面玻璃片,一端互 相叠合,另一端夹一薄纸片(为了便于说明问题 和易于作图,图中纸片的厚度特别予以放大) , 这时, 在两玻璃片之间形成的空气薄膜称为空气 劈尖。两玻璃片的交线称为棱边,在平行于棱边 的线上,劈尖的厚道度是相等的。劈尖的干涉条 纹是一种等厚条纹。 当平行单色光垂直( i=0 )入射于这样的两 玻璃片时,在空气劈尖( n 2 =1 )的上下两表面所 引起的反射光线将形成相干光。 如图 1-2-9 所示, 劈尖在 C 点处的厚度为 h ,在劈尖上下表面反射 的两光线之间的光程差是 2h ?

a b

a1

b1
N

M C

Q

图 2-1-9

?

2

。由于从空气劈尖的上表面(即玻璃与空气分界面)

和从空气劈尖的下表面(即空气与玻璃分界面)反射的情况不同,所以在式中仍有附 加的半波长光程差。由此

2h ? 2h ?

?

?

2

? k ? , k ? 1,2,3,

,为明纹 ,为暗纹

? (2k ? 1) ? , k ? 1,2,3, 2 2

?

干涉条纹为平行于劈尖棱边的直线条纹。每一明、暗条纹都与一定的 k 做相当, 也就是与劈尖的一定厚度 h 相当。 任何两个相邻的明纹或暗纹之间的距离 l 由下式决定:

1 1 ? l sin ? ? hk ?1 ? hk ? (k ? 1)? ? k ? ? 2 2 2

式中 θ 为劈尖的夹角。 显然, 干涉条纹是等间距的, 而且 θ 愈小, 干涉条纹愈疏; θ 愈大,干涉条纹愈密。如果劈尖的夹角 θ 相当大,干涉条纹就将密得无法分开。因 此,干涉条纹只能在很尖的劈尖上看到。 ④ 牛顿环 在一块光平的玻璃片 B 上,放曲率半径 R 很大的平 凸透镜 A ,在 A 、 B 之间形成一劈尖形空气薄层。当平 C 行光束垂直地射向平凸透镜时,可以观察到在透镜表面 R 出现一组干涉条纹, 这些干涉条纹是以接触点 O 为中心 r A h 的同心圆环,称为牛顿环。 O B 牛顿环是由透镜下表面反射的光和平面玻璃上表 面反射的光发生干涉而形成的,这也是一种等厚 条 纹 。 明暗条纹处所对应的空气层厚度 h 应该满足: 图 2-1-10 ? 2h ? ? k ? , k ? 1,2,3 ,为明环

2h ?

?

2

? (2k ? 1) ? , k ? 1,2,3 2 2

?

,为暗环
2 2 2 2

从图 2-1-10 中的直角三角形得 r ? R ? ( R ? h) ? 2Rh ? h

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因 R >> h ,所以 h 2 <<2 Rh,得 h ?

r2 2R

上式说明 h 与 r 的平方成正比,所以离开中心愈远,光程差增加愈快,所看到的 牛顿环也变得愈来愈密。 由以上两式, 可求得在反射光中的明环和暗环的半径分别为:

(2k ? 1) ? R? , k ? 1,2,3 ,为明环 2 r ? k ? R ? ? , k ? 0,1,2 为暗环 r?
随着级数 k 的增大。干涉条纹变密。对于第 k 级和第 k+m 级的暗环

rk2 ? kR? rk2?m ? (k ? m) ? R?

rk2?m ? r 2 ? mR?
由此得透镜的且率半径

R?

1 2 1 (rr ?m ? rk2 ) ? (rk ?m ? rk ) ? (rk ?m ? rk ) m? m?

牛顿环中心处相应的空气层厚度 h =0 ,而实验观察到是一暗斑,这是因为光疏介 质到光密介质界面反射时有相位突变的缘故。 (3) 光的衍射 光绕过障碍物偏离直线传播而进入几何阴影,并在屏幕上出现光强不均匀分布的 现象,叫做光的衍射。 i. 惠更斯—菲涅耳原理 惠更斯原理 惠更斯指出,由光源发出的光波,在同一 时刻 t 时它所达到的各点的集合所构成的面, 叫 做此时刻的波阵面(又称为波前) ,在同一波阵 面上各点的相位都相同,且波阵面上的各点又 都作为新的波源向外发射子波,子波相遇时可 以互相叠加,历时 Δ t 后,这些子波的包络面就 是 t+Δ t 时刻的新的波阵面。 波的传播方向与波阵面垂直, 波阵面是一个平面的波叫做平面波,其传播方向与此平 面垂直,波阵面是一个球面(或球面的一部分)的波叫 做球面波, 其传播方向为沿球面的半径方向, 如图 2-1-33 。 菲涅耳对惠更斯原理的改进(惠—菲原理) 波面 S 上每个面积单元 d s 都可看作新的波源, 它们 均发出次波,波面前方空间某一点 P 的振动可以由 S 面 上所有面积所发出的次波在该点迭加后的合振幅来表 示。 面积元 d s 所发出各次波的振幅和位相符合下列四 个假设:在波动理论中,波面是一个等位相面,因而可 以认为 d s 面上名点所发出的所有次波都有相同的初位 相(可令 ? 0 =0 ) 。次波在 P 点处的振幅与 r 成反比。从 面积元 d s 所发出的次波的振幅正比于 d s 的面积,且与 倾角 θ 有关,其中 θ 为 d s 的法线 N 与 d s 到 P 点的连线
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图 2-1-33

ds
S

?

N

r
P

图 2-1-34

I1
O

I

sin ?

? 1.22? D 图 2-1-37

1.22? D

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r 之间的夹角, 即从 d s 发出的次波到达 P 点时的振幅随 θ 的增大而减小 (倾斜因数) 。 次波在 P 点处的位相,由光程 ? ? nr 决定 ? ? 泊松亮斑 当时法国著名的数学家泊松在阅读了菲涅耳的报告后指出:按照 菲涅 耳的理论, 如果让平行光垂直照射不透光的圆盘,那么在圆盘后面的光屏上所留下的黑影中央将 会出现一个亮斑。因为垂直于圆盘的平行光照到时,圆盘边缘将位于同一波阵面上, 各点的相位相同, 它们所发生的子波到达黑影中央的光程差为零, 应当出现增强干涉。 泊松原想不能观察到这一亮斑来否定波动说,但菲涅耳勇敢地面对挑战,用实验得到 了这个亮斑。 ii. 圆孔与圆屏的菲涅耳衍射 圆孔衍射 将一束光(如激光)投射在一个小圆孔上,并在距孔 1 ~ 2 米处放置一玻璃屏, 则在屏上可看到小圆孔的衍射花样。

2?

?

?。

?2 1 1 其中波带为 k ? ( ? ) 其中由圆孔半径 P ,光的波长 λ,圆孔位置( ν 0 与 R ) ? ?0 R
确定。 圆屏衍射 不问圆屏大小和位置怎样,圆屏几何影子的中心永远有光,泊松亮斑即典型。 iii. 单缝和圆孔的夫琅和费衍射 L1 S 线 光 源 狭缝 L2

夫琅和费衍射又称远场衍射,使用的是平行光线, 即可认为光源距离为无限远。它不同于光源距离有限的 菲涅耳衍射。在实验装置中更有价值。 夫琅和费衍射指用平行光照射障碍物时在无穷远处 的衍射图像。由于无穷远与透镜的焦平面上是一对共扼 面,所以可以用透镜将无穷远处的衍射花样成像于焦平 面上

f

图 2-1-35 单缝的夫琅和费衍射装置如图 2-1-35 所示, S 为与 狭缝平行的线光源,置于 L 1 的前半焦平面上,由惠更斯—菲涅耳原理可计算出屏上任 一点 P 的光强为 I (? ) ? I 0 ? (

sin ?

?

)2 ,式中, ? ?

? b sin? , λ 为 ?

波长,b 为狭缝宽度,θ 为 P 点对 L 2 中心轴线所张的角,I 0 为中 心点光强。

I I1

m? ,m ? ? 1,? 2, 时, I=0 。其中心条纹 b 2? 2? ? f ( f 为 L 2 的焦距) 对应的夹角为 ,屏上的宽度则为 。它 b b
强分布中,可知 sin? ? 表明,当狭缝官宽 b 变小时,中心衍射条纹变宽。
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单缝的夫琅和费衍射图像和光强分布如图 2-1-36 , 在衍射光

?b

sin ? ? b 2? b

图 2-1-36

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若用点光源和圆孔分别代替图 2-1-35 中的线光源 S 和狭缝 , 在屏便可得到小圆孔的 衍射花样,其光强分布如图 2-1-37 , D 为小圆孔的直径,中央亮圆斑称为爱里斑,爱 里斑边缘对 L 2 中心光轴的夹角为 ? ? 1.22 ?

?

D



圆孔衍射是非常重要的,在光学仪强中,光学元件的边缘一般就是圆孔,对于一 物点,由于这元件边缘的衍射,所成的像不再是点,而是一个爱里斑,这将影响光学 仪器的分辩相邻物点的能力。 根据瑞利判据, 当两个爱里斑中心角距离为 1.22? 这两个像点刚好可以分辩,小于 1.22? iv. 衍射光栅

? 就不可分辨了。 D

? 时, D

由大量等宽度等间距的平行狭缝所组成的光学元件称为衍射光栅,将衍射光栅放 置在图 2-1-35 的狭缝位置上,在衍射屏上便可观察到瑞利的亮条纹,这些亮条纹所对 ? 1, ? 2, , d 为两狭缝之间的间距, m 称为衍射 应的角度 θ 应满足 d sin? ? m? ,m ? 0, 级数。上式称为光栅方程。从方程中可以看出。不同的波长 λ ,其亮条纹所对应的 θ 不同,所以光栅可以用来作光谱仪器的色散元件。 2. 光的量子性 (1) 光电效应 电子在光的作用下从金属表面发射出来的现象称为光电效应。 逃逸出的电子称为 光电子。光电效应是光的量子性的直接反映。 为解释光电效应,爱因斯坦提出光量子(简称光子)概念,单个光子的能量 E 与 频率的 ? 关系为 E ? h? ,式中 h 为普朗克常数。 光电效应方程为 h? ?

1 2 mvm ? W ,即入射光子的能量等于刚从材料打出的光电子 2

的初始动能加光电子逃逸所需的逃逸功。 光电效应方程说明,光电效应的产生只与光子能量有关,而与光线强弱无关,即 单个光子能量达到一定值后,即使光线很弱也能产生光电子;而单个光子的能量未达 到临界值时,即使光线很强也不能产生光电子。 (2) 光子的质量和动量 光子的质量 m ? (3) 康普顿效应

E h? E h? h ? 2 ,但光子的静止质量为零。光子的动量 p ? ? ? 。 2 c c c c ?

当 X 射线或 ? 射线被碳、石蜡等轻原子物质散射后,其波长会变长,这一现象称 为康普顿效应。 用 ? 表示入射射线方向与散射射线方向的夹角,则波长变化量 ? ? 与角 ? 的关系为

?? ? k (1 ? cos? )

式中 k =0.0241 ? , 是一个通过实验测出的常数, 等于散射角为 90 °时的波长变化。 (4) 光压 从光子具有动量这一假设出发还可直接说明光压的作用。光压指光子流产生的压 强,计算公式为

P ? (1 ? ? )
式中 ? 为入射光强, ? 为壁的反射系数。

?
c

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3. 不确定关系 (1) 波粒二象性与物质波 理论和实验结果表明,所有实物粒子都同时具有波动性和粒子性,也就是物质的 波粒二象性。 描述粒子特征的物理量 (能量 E 和动量 p ) 与描述波动特征的物理量 (频 率 ? 与波长 ? )的关系为

E ? h? , p ?
(2) 不确定关系

h

由此所有实物粒子都可看作物质波,其波长为 ? ? h p ,称为德布罗意波长。 海森伯从量子理论推得,测量一个微粒的位置时,如果不确定范围是 ? x ,那么同 时测量其动量也有一个不确定范围 ? p ,它们之间的关系为 ?p?x ? h ,式中 h 为普朗 克常数。 能量与时间之间也存在不确定关系。一个体系(如原子体系)处于某一状态,如 果时间有一段 ? t 不确定,那么它的能量也有一个范围 ? E 不确定,两个不确定范围的 关系为 ?E ?t ? h

?

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例题选讲
例 1.如图 1-2-6 所示,AB 表示一平直的平面镜,P1P2 是水平放置的米尺(有刻度的
一面朝着平面镜) ,MN 是屏,三者相互平行,屏 MN 上的 ab 表示一条竖直的缝(即 ab 之 间是透光的) 。某人眼睛紧贴米尺上的小孔 S(其位置如图所示) ,可通过平面镜看到米尺的 一部分刻度。试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位,并在 P1P2 上把这部分涂以标 志。 解: 方法一: 相对于平面镜 AB 作出人眼 S 的像 S′。连接 Sa 并延长交平面镜于点 C,连接 S′点 C 并 延长交米尺 P1P2 于点 E,点 E 就是人眼看到的米尺刻度的最左端;连接 S′b 长交米尺 P1P2 于点 F, 且 S′b 与平面镜交于 D, 连接 S 与点 D, 则点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。 E 与 F 之间的米尺刻度就是人眼可看到 S S 部分,如图 1-2-7 所示。 E F E F P2 P1 P2 P1 方法二: 根据平面镜成像的对称性,作米 N N M a a 尺 P1P2 及屏 MN 的像,分别是 P′1P′2 M b b 及 M′N′,a、b 的像分别为 a′、b′,如图 A B B A C D C D 1-2-8 所示。连接 Sa 交 AB 于点 C,延 N? M ? a ? b? 长并交 P′1P′2 于点 E′,过点 E′作 P1P2 (AB)的垂线,交于点 E,此点就是人 ? ? S? P1 P2 眼看到的米尺刻度的最左端;连接 Sb′ 图 1-2-7 交 AB 于点 D, 延长并交 P′1P′2 于点 F′, 图 1-2-8 过点 F′作 P1P2(AB)的垂线 P1P2 交于 点 F,点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。EF 部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺 部分。 简析:本题考查平面镜成像规律及成像作图。人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像。 由反射定律可知,米尺刻度必须经过平面镜反射后,反射光线进入人的眼睛,人才会看到米 尺刻度的像。可以通过两种方法来解这个问题。平面镜成像的特点是物与像具有对称性。在 涉及到平面镜的问题中,利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决。

例 2.给定一厚度为 d 的平行平板,其折射率按下式变化
n( x ) ? n0 x 1? r
d

r

?
A
O

一束光在 O 点由空气垂直入射平板,并在 A 点以角 α 出射(图 1-3-14) 。求 A 点的折射率 nA,并确定 A 点的位置及平板厚度。 (设

K

n0 ? 1.2 , r ? 13cm , ? ? 30? ) 。

图 1-3-14

解: 首先考虑光的路线 (图 1-3-15) 。 对于经过一系列不同折射率的平行平板的透射光, 可以应用斯涅耳定律
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sin ?1 n2 sin ? 2 n3 ? , ? ,… sin ? 2 n1 sin ?3 n2

n1 sin ?1 ? n2 sin ?2 ? n3 sin ?3 ?
这个公式对任意薄层都是成立的。在我们的情形里,折射率只沿 x 轴变化,即

nx sin ? x ? C
在本题中,垂直光束从折射率为 n0 的点 入射,即 nx ? n0 , ? x ? 90? 为常数,于是在 平板内任一点有

?
O

?2

x x
C
图 1-3-16

?1

?2

?3

n1 n 2

n3

n4

nx sin ? x ? n0
nx 与 x 的关系已知, 因此沿平板中的光束 为

图 1-3-15

sin ? x ?

n0 x r?x ? 1? ? nx r r

图(1-3-16)表明光束的路径是一个半径为 XC=r 的圆,从而有

OC ? x ? sin ? x XC
现在我们已知道光的路径,就有可能找到问题的解。按折射定律,当光在 A 点射出时, 有

nA ?
因为 nA sin ? B ? n0 ,故有

sin ? sin ? ? ? sin(90 ? ? A ) cos ? A

sin ? A ?

n0 nA

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? n0 ? cos ? A ? 1 ? ? ?n ? ? ? A?
于是

2

nA ?

sin ? (1 ? n0 2 ) nA

因此 nA ?

2 n0 ? sin 2 ?

在本题情形 nA ? 1.3 根据 nA ? 1.3 ?

1.2 得出 A 点的 x 坐标为 x=1cm。 x 1? 13

光线的轨迹方程为

y 2 ? (1 ? x) 2 ? r 2
代入 x=1cm,得到平板厚度为 y=d=5cm

例 3.玻璃圆柱形容器的壁有一定的厚度,内装一种在紫外线照
射下会发出绿色荧光的液体,即液体中的每一点都可以成为绿色光 源。已知玻璃对绿光的折射率为 n1,液体对绿光的折射率为 n2。当 容器壁的内、外半径之比 r:R 为多少时,在容器侧面能看到容器壁 厚为零? 解:

i1 B
A O n2 n1
图 1-3-23

i2
C

D

(1)当 n1 ? n2 时,因为是要求 r:R 的最小值,所以当 n1 ? n2 时,应考虑的是图 1-3-23 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 BC 光线与容器内壁相切,CD 光线和容器外壁相切,即 两次都是临界折射,此时应该有

sin i2 1 ? ? n1 sin 90
设此时容器内壁半径为 r0,在直角三角形 BCO 中, sin i2 ? r0 R 。当 r ? r0 时,C 处不

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可能发生临界折射,即不可能看到壁厚为零;当 r ? r0 时,荧光液体中很多点发出的光都能 在 C 处发生临界折射,所以只要满足

r / R ? 1 / n1
即可看到壁厚为零。 (2)当 n1 ? n2 时 此时荧光液体发出的光线将直接穿过容器内壁, 只要在 CD 及 其延长线上有发光体, 即可看到壁厚为零, 因此此时应满足条件仍 然是 r R ? 1 n1 。 (3)当 n1 ? n2 时 图 1-3-24

A
O

E r0

B

r1

C

i2
D

因为 n1 ? n2 ,所以荧光液体发出的光在容器内壁上不可能发生折射角为 90° 的临界折 射, 因此当 r ? r0 时, 所看到的壁厚不可能为零了。 当 r ? r0 时, 应考虑的是图 1-3-24 中 ABCD 这样一种临界情况,其中 AB 光线的入射角为 90° ,BC 光线的折射角为 r1 ,此时应该有

sin 90 ? n1 ? sin r 1 n2
在直角三角形 OBE 中有

sin r1 ? OE / OB
因为图 1-3-23 和图 1-3-24 中的 i 2 角是相同的,所以 OE ? r0 ,即

sin 90 ? n1 ? r 0/ r n2
将 r0 ?

R 代入,可得当 n1

r / R ? 1 / n2

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时,可看到容器壁厚度为零。 上面的讨论,图 1-3-23 和图 1-3-24 中 B 点和 C 点的位置都是任意的,故所得条件对眼 的所有位置均能成立(本段说明不可少) 。 简析:所谓“从容器侧面能看到容器壁厚为零” ,是指眼在容器截面位置看到绿光从 C 点处沿容器外壁的切线方向射出,即本题所描述为折射角为 90° 的临界折射。因为题中未给 出 n1、n2 小关系,故需要分别讨论。 AB 为一线状物体, 如图 1-5-16。 例 4. A1B1 为此物经透镜所成的像。 试用作图法确 定此镜的位置和焦距,写出作图步骤。 解:作 AA1 和 BB1 的连线,两条连线的 交点 O 就是凸透镜光心的位置。作 AB 和 A1B1 的延长线交于 C 点, C 点必定落在透镜 上。由 C、O 两点可画出透镜的位置,过 O 点且与 CO 垂直的连线 MN 就是透镜的主光 轴, 如图 1-5-17 所示。 过 A 点作平行于主光 轴的直线交透镜于 D 点,连接 DA1,该连线 与主光轴的交点 F 就是透镜的右焦点位置。 过 A1 作平行于主光轴的直线交透镜于 E 点, 连线 EA 与主光轴的交点 F′就是透镜左焦点 的位置所在。 图 1-5-16

A B

B1 A1

图 1-5-16

C
A

D
O

B1

N

M
B

F?

F
A1

E

简析:熟练掌握凸透镜、凹透镜的成像特点和规律,并能灵活运用特殊光线来作图是解 决这一类作图题的关键。像 A1B1 是倒像,所以透镜应是凸透镜。物 AB 和像 A1B1 不平行, 所以物相对于透镜的主轴是斜放的, 沿物体 AB 和其像 A1B1 所引出的延长线的交点必在过光 心且垂直于主轴的平面上, 这条特殊光线是解答本题的 关键光线。

M1

L1
A

L2
F1?
O
f f

M2 F2?

例 5.焦距均为 f 的二
凸透镜 L1 、 L2 与两个圆形 平面反射镜 M 1 、 M 2 放置 如图 1-5-22。二透镜共轴, 透镜的主轴与二平面镜垂直,
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F1
f 2

F2
f f

f

f

f 2

图 1-5-22

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并通过二平面镜的中心,四镜的直径相同,在主轴上有一点光源 O。 1、画出由光源向右的一条光线 OA(如图 1-5-22 所示)在此光学系统中的光路。 2、分别说出由光源向右发出的光线和向左发出的光线各在哪些位置(O 点除外)形成光源 O 的能看到的像, 哪 些是实像?哪些是 虚像。 3、现在用不透明板 把 L1 和 L2 的 下 半 部(包括透镜中心) 都遮住, 说出这些像 有什么变化。
f 2

M1
P

L1
A

L2
F1?
O

M2 F2?
f 2

Q

F1

F2

图 1-5-23

解: 1、光线 OA 的第一次往返光路如图 1-5-23 所示。当光线由图中左方返回经 O 点后,将继续 向右下方进行,作第二次往返。第二次往返的光路在图中未画出,可按图中光路对称于主轴 画出。以后,光线重复以上两种往返光路。 2、向右发出的光线: F2? 处成实像,右方无限远处成虚像; F1 处成实像;P 处( M 1 左方 处主轴上)成虚像。 向左发出的光线: F1 处成实像;左方无限远处成虚像; F2? 处成实像;Q 处( M 2 右方 主轴上)成虚像。 3、 向右发出的光线只在 F2? 处成实像。 向左发出的光线只在 F1 处 成实像。两像均比未遮住时暗。 ,由于 例 6.在斯涅耳的档案中有一张光学图(见 1-5-20) 墨水褪色只留下三个点;一个薄透镜的焦点 F,光源 S 和透镜上 的一点 L。此外还留下一部分从光源 S 画到其像 S ? 的直线 a。从 正文中知道 S 点比 S ? 点更靠近透镜,有可能恢复这张图吗?如 果可能,把它画出来,并确定图中透镜的焦距。

f 2

f 处 2

S
F

a

L
图 1-5-20

S
2F

a

n2

n1
O2

2F

F C

O1 L

图 1-5-21
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解: 1、令 O 为透镜的光学中心; 2、F 和 O 点应位于垂直于透镜的光轴上,因此 ?FOL 是直角; 3、连接光源及其像的直线总是通过透镜的光学中心; 4、连接 F,L 点并以线段 FL 的中点 C 为圆心,画一通过 F 及 L 点的圆; 5、由于一个圆的直径所对着的圆周角总是直角,可以判定 O 点位于圆和直线 a 的交 点上; 6、从圆中找到 O 点的两个可能的位置( O1 和 O2 ) ; 7、恢复出两种可能的示意图,如图 1-5-21 所示; 8、由于光源 S 比其像 S ? 更靠近透镜,可以断定只有透镜 n1 符合题意。实际上,对透 镜 n1 可以看到 S 到 n1 的距离大于二倍焦距,因此 S ? 到 n1 的距离小于二倍焦距。 遮住时暗。

例 7.一平凸透镜焦距为 f,其平面上镀了银,现在其凸面一侧距它 2f 处,垂直于主轴
放置一高为 H 的物,其下端在透 镜的主轴上(图 1-5-24) 。 ( 1 )用作图法画出物经镀 银透镜所成的像, 并标明该像是虚、 是实。 ( 2 )用计算法求出此像的 位置和大小。 解: ( 1 )用作图法求得物 AP 的像 H F A P/ S T 图 1-5-25
第 24 页

H F 2f F/

图 1-5-24

LM P Q A/ S/ F/ O

A?P? 及所用各条光线的光路如图
1-5-25 所示。 说明:平凸透镜平面上镀银后 构成一个由会聚透镜 L 和与它密接 的平面镜 M 组合 LM,如图 1-5-25
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? ?

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所示。图中 O 为 L 的光心, AOF ? 为主轴,F 和 F ? 为 L 的两个焦点,AP 为物。作图时利用 了下列三条特征光线: ①由 P 射向 O 的入射光线,它通过 O 后方向不变,沿原方向射向平面镜 M,然后被 M 反射,反射光线与主光轴的夹角等于入射角,均为 α。反射线射入透镜时通过光心 O,故 由透镜射出时方向与上述反射线相同,即图中的 OP ? 。 ②由 P 发出且通过 L 左方焦点 F 的入射光线 PFR, 它经过 L 折射后的出射线与主轴平 行,垂直射向平面镜 M,然后被 M 反射,反射光线平行于 L 的主轴,并向左射入 L,经 L 折射后的出射线通过焦点 F,即为图个中 RFP。 ③由 P 发出的平行于主轴的入射光线 PQ, 它经过 L 折射后的出射线将射向 L 的焦点 F ? , 即沿图中的 QF ? 方向射向平面镜,然后被 M 反射,反射线指向与 F ? 对称的 F 点,即沿 QF 方向。 此反射线经 L 折射后的出射线可用下法画出: 通过 O 作平行于 QF 辅助线 S ?OS , S ?OS 通过光心,其方向保持不变,与焦面相交于 T 点。由于入射平行光线经透镜后相交于焦面上 的同一点,故 QF 经 L 折射后的出射线也通过 T 点,图中的 QT 即为 QF 经 L 折射后的出射 光线。 上列三条出射光线的交点 P ? 即为 LM 组合所成的 P 点的像,对应的 A? 即 A 的像点。 由图可判明,像 A?P? 是倒立实像,只要采取此三条光线中任意两条即可得 A?P? ,即为正确 的答案。 (2)按陆续成像计算物 AP 经 LM 组合所成像的位置、大小。 物 AP 经透镜 L 成的像为第一像,取 u1 ? 2 f ,由成像公式可得像距 ?1 ? 2 f ,即像 在平面镜后距离 2f 处,像的大小 H ? 与原物相同, H ? ? H 。 第一像作为物经反射镜 M 成的像为第二像。第一像在反射镜 M 后 2f 处,对 M 来说是 虚物,成实像于 M 前 2f 处。像的大小 H ?? 也与原物相同, H ?? ? H ? ? H 。 第二像作为物, 再经透镜 L 而成的像为第三像。 这是因为光线由 L 右方入射。 且物 (第 二像)位于 L 左方,故为虚物,取物距 u3 ? ?2 f ,由透镜公式

1 1 1 ? ? 可得像距 u3 ? 3 f

? ?
3

fu 3 ?0 u3 ? f
2 处, 像的大小 H ??? f 3
第 25 页

上述结果表明, 第三像, 即本题所求的像的位置在透镜左方距离

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可由

H ??? ? 3 1 ? ? 求得,即 H ?? u 3 3
H ??? ?
像高为物高的

1 1 H ?? ? H 3 3

1。 3

简析: 这道题实质是一个凸透镜与一紧密接合的平面镜的组合成像问题。 虽然我们画不 出光线经透镜折射后射向平面镜的光路, 但光路仍然遵守凸透镜与平面镜成像规律, 这是我 们在具体分析光路时必须牢牢抓住的一点。 成像的计算也是遵守凸透镜与平面镜的成像计算 方法的。

例 8.如图 1-5-26 所示,凸透镜焦距 f=15cm,OC=25cm,以 C 为圆心、r=5cm 为半径
的发光圆环与主轴共面。试求出该圆环通过透镜折射后所成的像。 分析: 先考虑发光圆环上任意一点 P 经透镜所 成之像,当 P 点绕圆环一周时,对应的像点的 集合就构成整个发光圆环通过透镜所成的像。 因此可用解析几何的方法讨论本题。 解:如图 1-5-27 所示,以 O 点为直角坐标 系原点建立坐标系 xOy 和 x ?Oy ? 。考虑发光圆 环上任一点 P(x,y) ,则有 图 1-5-26 C F O F

( x ? 25) 2 ? y 2 ? 5 2
y) 发光点 P (x, 的像为 P?( x?, y ?) , 根据透镜成像公式及放大率关系 可有



y,yˊ P x C F O F xˊ Pˊ

1 1 1 ? ? x x? f y ? x? ? y x
联立②、③式解得

② 图 1-5-27 ③

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x? y?

15 x ? x ? ? 15 15 y ? x ? ? 15





将④、⑤式代入①式中并整理得

( x ? ? 45) 2 y?2 ? ?1 15 2 (5 3 ) 2



⑥式即为所需求的圆环之像。 这是一个对称中心位于光心 45cm 处, 以主光轴为长轴的椭圆。 如果把发光圆环用一球壳取代, 则根据对称性, 球壳的像是以圆环的像绕主轴旋转一周 行成的一椭圆。 简析:曲线形线状物通过透镜所成的像也是一定曲线状,至于是什么样的曲线,要视具 体情况而定。 例如本题中的发光圆环所成的像变为一椭圆环就是一例。 本题的关键是要建立 恰当的物方和像方坐标系来球解问题。 并且不同类型的透镜, 讨论可行性。 例 9.求厚透镜对两个不同波长有同一焦距的条件。 解:我们必须知道厚透镜的性质。厚透镜由下述数据表征;球形表面的半径 r1 和 r2 , 厚度 d 和折射 n(图 1-5-28) ,焦距 f=BF 由下式给出

?1 1 1 ? n ?1? 1 ? ? (n ? 1) ? ? ? d ? ? ? f ? n ? r1 r2 ? ? r1 r2
焦距是从主点 B 算起的。B 离表面的距离为 r1 B d A r2 f F

BA ? h ?

r2 d n(r1 ? r2 ) ? d (n ? 1)

上述公式对任意厚度的厚透镜都成立,但只对近 轴光线才给满意结果,因为是在一定的近似下得 到的。

图 1-5-28

光被透镜色散。透镜对波长 ? 0 的折射率是 n a ,对波长 ? b 的折射率是 n b 。按折射率 n 的幂 次整理焦距公式,得

f (r1 ? r2 ? d )n 2 ? [2 fd ? f (r1 ? r2 ) ? r1r2 ]n ? fd ? 0
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这是一个二次方程。给定一个 f 值,应有两个 n 值,因此,我们的问题可以解决。 先后以 n a 和 nb 代入方程,并令其相等

?1 1 na ? 1 ? ? (na ? 1)? ? ? d ? ?r r na r1r2 ? 2 ? 1 ?
?1 1 nb ? 1 ? ? (nb ? 1)? ?r ? r ?d?n rr ? ? 2 b 1 2 ? ? 1
整理后得到

? 1 r1 ? r2 ? d ? ?1 ? n n a b ?

? ? ? ?

如果半径 r1 , r2 与厚度 d 满足这一条件,则对两个不同的波长,即对两不同的折射率来说, 焦距是相同的。有趣的是折射率的乘积 na nb 在起作用,而不是色散( nb ? na ) 。因折射率 大于 1,于是括号内的数值小于 1,说明半径之和小于镜厚。这意味着透镜将是相当厚的。 结果讨论:首先,透镜不可以是平凸或平凹的,因为这种透镜有无限大的半径。其次,

r1 和 r2 之一为负的发散透镜是许可的,但不能是双凹透镜。如果要求的不是 f 而是(f-h)对
两个折射率有相同的值。实现这一点也是可能的,但却是一个复杂得多的问题。

例 10.以单色光照射到相距为 0.2mm 的双缝上,缝距为 1m。
(1)从第一级明纹到同侧第四级的明纹为 7.5mm 时,求入射光波长; (2)若入射光波长为 6000? ,求相邻明纹间距离。 解: (1)明纹坐标为 由题意有:

x ? ?k

D? , d

D? D? 3D? ? ? d d d d 0.2 ? 10 ?3 ?? ? ( x 4 ? x1 ) ? ? 7.5 ? 10 ?3 。 3D 3 ?1 x 4 ? x1 ? 4 ? 5 ? 10 ? 7 m ? 5000 A
(2)当 ? ? 6000 A 时,相邻明纹间距为
?

?

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?x ?

D? 1? 6000 ?10 ?10 ? ? 3 ?10 ?3 m ? 3mm ?3 d 0.2 ?10
?

例 11.白光垂直射到空气中一厚度为 3800 A 的肥皂水膜上。试问:
(1)水正面呈何颜色? (2)背面呈何颜色?(肥皂水的折射率为 1.33) 解:依题意,对正面 ? ? 2ne ? (1)因反射加强,∴有

?
2

( i ? 0 ,光有半波损失)

2ne ?

?
2

? k? (k ? 1,2, ?)

? ? 20216 A (k ? 1) ? ? 2ne 2 ?1.33 ? 3800 10108 ? ? 6739 A(k ? 2) ?? ? ? =? ? 1 1 1 ? 4043 A (k ? 3) k? k? k? ? 2 2 2 ? ? ? 2888 A(k ? 4)

因为可见光范围为 4000 ~ 7600 A , 所以, 反射光中 ? 2 ? 6739 A 和 ? 3 ? 4043 A 的光 得到加强,前者为红光,后者为紫光,即膜正面呈红色和紫色。 (2)因为透射最强时,反射最弱,所以有

?

?

?

2ne ?

?
2

? (2k ? 1)

?
2

(k ? 1,2, ?) ? 2ne ? k?

(此式即为透射光加强条件) 有:
? ? 10108 A (k ? 1) ? ? 2ne 10108 ? ?? ? ? ? 5054 A(k ? 2) k k ? ? ? 3369 A(k ? 3) ?

可知,透射光中 ? 2 ? 5054 A 的光得到加强,此光为绿光,即膜背面呈绿色。

?

例 12.借助于玻璃表面上涂 MgF2 透明膜可减少玻璃表面的反射。已知, MgF2 的折
射率为 1.38 ,玻璃折射率为 1.60。若波长为 5000 A 的光从空气中垂直入射到 MgF2 膜上, 为了实现反射最小,求: e min ? ? 解:依题意知 ? ? 2ne (膜上下表面均有半波损失)
?

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反射最小时: 2n1 e ? (2k ? 1)

?
2

(k ? 0,1,2, ?)
(2k ? 1)? 4n

?e?

e min k ? 0

?
4n

?

? 5000 ? 906 A 4 ?1.38
?

例 13.在空气牛顿环中,用波长为 6328 A 的单色光垂直入射,测得第 k 个暗环半径
为 5.63mm,第 k+5 个暗环半径为 7.96mm。求曲率半径 R。 解:空气牛顿环第 k 个暗环半径为 rk ? 第 k+5 个暗环半径为 rk ? 5 ?

kR?

(k ? 5) R?

?R?

rk2? 5 ? rk2 (7.962 ? 5.632 ) ? 10?6 ? ? 10m 5? 5 ? 6328 ? 10?10
M1 S A P

例 13.菲涅耳双面镜。如图 2-1-12 所示,平面镜 M 1
和 M 2 之间的夹角 θ 很小, 两镜面的交线 O 与纸面垂直, S 为光阑上的细缝(也垂直于图面) ,用强烈的单色光源 来照明,使 S 成为线状的单色光源, S 与 O 相距为 r 。 A 为一挡光板, 防止光源所发的光没有经过反射而直接照射 光屏 P .

?

r
O
? M2

图 2-1-12

(1) 若图中∠ SOM1 ? ? ,为在 P 上观察干涉条纹,光屏 P 与平面镜 M 2 的夹角最 好为多少? S (2) 设 P 与 M 2 的夹角取 (1) 中 所得的最佳值时, 光屏 P ? 与 O 相距为 L , 此时在 P 上观察到间距均匀 的干涉条纹,求条纹间距 △ x 。 (3) 如果以激光器作为光源, (2) 的结果又如何? 解: (1) 如图 2-1-13 , S 通过 M 1 、 M 2 两平面镜分别 成像 S1 和 S 2 ,在光屏 P 上看来, S1 和 S 2 则相当于 两个相干光源,故在光屏 P 上会出现干涉现象。为 在 P 上观察干涉条纹,光屏 P 的最好取向是使 S1 和 S 2 与它等距离,即 P 与 S1 S 2 的连 线平行。 图 2-1-13 图中 S1 和 S 关于平面镜 M 1 对称, S 2 和 S 关于平面镜 M 2 对称,所以,
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A P

M1 ? S1 d S2
2?

r
O

?

?
r0

M2 L

图 2-1-13

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O S1 S 2 为顶角为 2θ 腰长为 r 的等腰三角形,故光屏 P 的最佳取向是 P 的法线(通过 O 点)与平面镜 M 2 的夹角等于 ? ,或光屏 P 与平面镜 M 2 的夹角为 90° —? 。 (2) 由图可看出, S1 和 S 2 之间的距离为 d ? 2r sin ? , S1 和 S 2 到光屏 P 的距离为

r0 ? r cos ? ? L ? r ? L ,由此,屏上的干涉条纹间距为
?x ?
化为

(r ? l ) ? 2r sin ?

(3) 如果以徼光器作为光源,由于激光近于平行,即相当 S 位于无穷远处。上式简

?x ?

?
2 sin ?

若用两相干光束的夹角 a ? 2? 表示,上式可写成

?x ?

?
a 2 sin( ) 2

点光源 S 到镜面的距离 d =0.15 mm , 例 14. 如图 2-1-14 所示的洛埃镜镜长 l=7.5 cm , 到镜面左端的距离 b =4.5 cm ,光屏 M 垂直于平面镜且与点光源 S 相距 L =1.2 m 。如果 光源发出长 ? ? 6 ? 10 ?7 m 的单色光,求: (1) 在光屏上什么范围内有干涉的条纹? (2) 相邻的明条纹之间距离多大? (3) 在该范围内第一条暗条纹位于何处? 解: (1) 如图 2-1-14 所示,S 点光源发出的光一部分直 接射到光屏上, 另一部分经平面镜反射后再射到光屏, 这部分的光线好像从像点 S ? 发出,因为到达光屏这两 部分都是由 S 点光源发出的,所以是相干光源。这两 部分光束在光屏中的相交范围 AB 就是干涉条纹的范 围.由图中的几何关系可以得到: S d
S? b l

A B C D M

图 2-1-14

b L ? d AD b?l L ? d BD
由 ① 、 ② 两式解得

① ②

Ld ? 4(cm) b Ld BD ? ? 1.5(cm) b?l AD ?
由图中可知

AC ? AD ? d ? 3.85(cm)

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BC ? BD ? d ? 1.35(cm)
由 ③ 、④ 两式可知在距离光屏与平面镜延长线交点 C 相距 1.35 ~ 3.85cm 之间出现 干涉条纹。 (2) 相邻干涉条纹的距离为

?x ?

(3) 由于从平面镜反射的光线出现半波损失,暗条纹所在位置 S 和 S ? 的光程差应 当满足

L ? ? 2.4 ? 10 ?4 (m) ? 0.024(cm) 2d

??


2dx ? k ? 1 ? ? ? l 2 2


x?

kl? 2d

又因为条纹必须出现在干涉区,从 ① 解可知,第一条暗纹还应当满足 ⑥ x ? BC ? 1.35cm 由 ⑤ 、 ⑥ 式解得

k ?6 x ? 1.44cm
即在距离 C 点 1.44 cm 处出现第一条暗条纹。 简析:这是一个光的干涉问题,它利用平面镜成点光源的像 S`,形成有两个相干 点光源 S 和 S ? ,在光屏上出现干涉条纹。但需要注意光线由光疏媒质入射到光密媒 质时会发生半波损失现象。洛埃镜是一个类似双缝干涉的装置,分析它的干涉现象, 主要是找出点光源 S 和它在平面镜中的像 S ? ,这两个就是相干光源,然后就可利用 杨氏双缝干涉的结论来求解,但注意在计算光程差时,应考虑光线从光疏媒质入射到 光密媒质时,反射光与入射光相位差 180 。 ,即发生 “ 半波损失 ” 。 如图 2-1-19 ( a) , 例 15.将焦距 f=20 cm 的凸透镜从正中切去宽度为 a 的小部分, 再将剩下两半粘接在一起,构成一个 “ 粘合透镜 ” ,见图 2-1-19 ( b ) 。图中 D=2cm, 在 粘合透镜一侧的中心轴线上距镜 20cm 处,置一波长

? ? 500 A

0

的单色点光源 S ,另

一侧,垂直于中心轴线放置屏幕,见图 2-1-19( c ) 。屏幕上出现干涉条纹,条纹间距 △ x =0.2 mm ,试问 1 .切去部分的宽度 a 是多少? 2 .为获得最多的干涉条纹,屏幕应离透镜多远? 解: 1 、首先讨论粘合透镜的上半个透镜的成像。在图 2-1-20 中 OO 是

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a

D 屏 (a) (b) 图 2-1-19 (c)

a 2

O O’

图 2-1-20

? 2

F

粘合透镜的中心轴线,在 OO 上方用实线画出了上半个透镜,在 OO 下方未画下 半个透镜,而是补足了未切割前整个透镜的其余部分,用虚线表示。整个透镜的光轴 为 O?O? . 半个透镜产成像规律应与完整的透像相同。现在物点(即光源) S 在粘合透镜的 中心轴线上,即在图中透镜的光轴上方

a 处,离透镜光心的水平距离正好是透镜的焦 2

距。根据几何光学,光源 S 发出的光线,经透镜光心的水平距离正好是透镜的焦距。 根据几何光学,光源 S 发出的光线,经透镜折射后成为一束平行光束,其传播方向稍 偏向下方,与光轴 O?O? (对 OO 也是一样)成 O 角为

a ? 。当透镜完整时光束的宽度为:透 ? 2 2f

S d P

?

镜直径 ? cos

? 透镜直径。对于上半个透就, 2 1 光事宽度为 D 。 2
轴成

?

图 2-1-21

同理,S 所发的光,经下半个透镜折射后,形成稍偏向上方的平行光束,与 O?O?

? 角,宽度也是 D 。 2 2
谷 峰 D B E 峰 C 谷 A

于是,在透镜右侧,成为夹角为 θ 的两束平行光 束的干涉问题(见图 2-1-21 ) ,图中的两平行光束的 重叠区 (用阴影表示) 即为干涉区。 为作图清楚起见, 图 2-1-21 ,特别是图 12-1-21 中的 θ 角,均远较实际 角度为大。 图 2-1-22 表示的是两束平行光的干涉情况,其

? 2 ?

?

图 2-1-22
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中 θ 是和图 2-1-21 中的 θ 相对应的。图 2-1-22 中实线和虚线分别表示某一时刻的波 峰平面和波谷平面。在垂直于中心轴线屏幕上, A 、 B 、 C 表示相长干涉的亮纹位置, D 、 E 表示相消干涉的暗纹位置,相邻波峰平面之间的垂直距离是波长 λ 。故干涉条 纹间距 △ x 满足

2?x ? sin(? / 2) ? ?
在 θ 很小的情况下,上式成为 ?x ? ? ? ? 。 所以透镜切去的宽度

a ? f ? ? ? f? / ?x =

(0.2m) ? (0.5 ? 10 ?6 m) ? 0.5 ? 10 ?3 m ? 0.5mm ?3 (0.2 ? 10 m)

??

a 0.5 ? f 200

果然是一个很小的角度。 2 、由以上的求解过程可知,干涉条纹间距 ?x 与屏幕离透镜 L 的距离无关,这正 是两束平行光干涉的特点。但屏幕必须位于两束光的相干叠加区才行。图 2-1-22 中以 阴影菱形部分表示这一相干叠加区。因为由 (1) 式知条纹是等距的,显然当屏幕位于 PQ 处可获得最多的干涉条纹,而 PQ 平面到透镜 L 的距离

d?

D / ? ? (10 ?2 m) /(0.5 / 200) ? 4m 2

例 16. 一个由暗盒组成的针孔照相机,其小孔直径为 d,暗盒中像成在小孔后距
离为 D 的感光胶片上如图 2-1-37 ,物体位于小孔前 L 处,所用波长为 λ 。 ( 1 )估计成像清晰时小孔半径的大小。 ( 2 )若使用中算出的小孔,试问物体上两点之间 的最小距离是多少时?该两点的像是否可分辨? 解: ( 1 )物体上一点在照像底片上成的像由两个因素 d) 决定的,一是小孔的几何投影,一是小孔的夫琅禾费衍射( D? 。几何投影产生物点 的像的直径是

A

d

A?

图 2-1-37

?a ? ?
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L?D ?d L
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衍射效应扩大了几何投影区,所增加的直径大小为

?a ?? ? 2 ?
总的像直径为

1.22? ?D d

?a ? ?a ? ? ?a ?? ?

L?D 2.44?D d? L d

可见当小孔 d 小时,则第一项小,第二项大。当 d 大时,第二项小,第一项大。

当d ?

2.44?DL 时, 最小,其值是 ?a L?D 2.44 D? ( L ? D) D

?a ? 2 ?

(2) 由( 1 )知,对小孔直径为 d 的针孔照像机,物上一几何点在底片上所成像的 大小为

?a ? 2 ?

2.44?D( L ? D) L

物上相邻两点 AB 在底片上要能分辨,根据瑞利判据,其像点中心距离

A?B ? ?

1 ,由几何关系得 ?a 2

AB ?

D ? A?B? ? L

2.44?L( L ? D) D

即物上两点间的距离要大于

2.44?L( L ? D) 时,该两点的像是能分辨的。 D
U

( U) , 例 17.图 5-1 中纵坐标为光电效应实验中所加电压 横坐标为光子的频率( v ) 。若某金属的极限频率为 v 0 ,普 朗克恒量为 h ,电子电量为 e ,试在图中画出能产生光电流 的区域(用斜线表示) 。 解:爱因斯坦的光电方程 O

v

图 2-2-5

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mv 2 ? hv ? W 2
根据极限频率 v 0 可知



W ? hv0
2



由于光电子具有最大初动能为 mv , 则它可克服反向电压作功为 Ue , 故有图 5-1

2

mv 2 ? Ue 2
将②、③式代入①式可得



U A B v0 C

Ue ? hv ? hv0

O

v

Ue ? h(v ? v0 )
图 2-2-6

U h ? v ? v0 e
此即为图 2-2-5 中 BC 斜率的绝对值。据此可作出图 2-2-6 ,图中画有斜线区域即 为能产生光电流的区域。 简析:在 U-v 图第一象限中能产生光电流的区域,可根据极限频率 v 0 很容易地作 出。关键在于如何确定第四象限中能产生光电流的区域,但我们可以利用爱因斯坦的 光电方程找出这一区域。

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