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(新课程)高中数学《3.2一元二次不等式及其解法》课件1 新人教A版必修5


3.2

一元二次不等式及其解法

第1课时 一元二次不等式的解法

自学导引
1. 一元二次不等式 2 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是__的不等式,称为

一元二次不等式. 2. 二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
Δ=b2-4ac y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 Δ>0 Δ=0 Δ<0

Δ=b2-4ac ax2+bx+c =0(a>0)的 根 ax2+bx+ c>0(a>0)的 解集 ax2+bx+ c<0(a>0)的 解集

Δ<0 Δ=0 有两相等实 有两相异实 没有实数根 b ___________ 根 x1,x2 根 x0=- 2a

Δ>0

{x|x<x1或 __________ x>x2} ________
{x|x1<x<x2}

b x|x≠- 2a

R

? __

?

:一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)具备哪些 条件时,解集为R或?? 提示:当a>0,Δ<0时,解集为R.当a<0,Δ≤0时,解 集为?.

名师点睛
1. 解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的 关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0),或ax2+bx+ c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+ bx+c图象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方 求解. 当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得x>n或x<m; 若(x-m)(x-n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两 边,小于取中间.

含参数的一元二次型的不等式 2. 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进 行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下 三个方面进行考虑: (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0. (2)关于不等式对应的方程根的讨论:二根(Δ>0),一根 (Δ=0),无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2, x1=x2,x1<x2.

题型一

一元二次不等式的解法

【例1】 求下列一元二次不等式的解集. (1)x2-5x>6; (2)4x2-4x+1≤0; (3)-x2+7x>6. [思路探索] 先将二次项系数化为正,再求对应方程的根.并 根据情况结合二次函数图象,写出解集. 解 (1)由x2-5x>6,得x2-5x-6>0. ∴x2-5x-6=0的两根是x=-1或6. ∴原不等式的解集为{x|x<-1或x>6}. (2)4x2-4x+1≤0,即(2x-1)2≤0,

1 方程(2x-1) =0 的根为 x= . 2
2

∴4x -4x+1≤0

2

? ? ? 1 ?x?x= 的解集为 ? ? 2 ?

? ? ?. ? ?

(3)由-x2+7x>6,得x2-7x+6<0, 而x2-7x+6=0的两个根是x=1或6. ∴不等式x2-7x+6<0的解集为{x|1<x<6}. 当所给不等式是非一般形式的不等式时,应先 化为一般形式,在具体求解一个一般形式的一元二次不 等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以 及二次函数的图象.

【变式1】 解下列不等式 (1)2x2-x+6>0; 1 2 (2)- x +3x-5>0; 2 (3)(5-x)(x+1)≥0. 解 (1)∵方程2x2-x+6=0的判别式Δ=(-1)2-4×2×6<0, ∴函数y=2x2-x+6的图象开口向上,与x轴无交点. ∴原不等式的解集为R. (2)原不等式可化为x2-6x+10<0, ∵Δ=62-40=-4<0, ∴原不等式的解集为?. (3)原不等式可化为(x-5)(x+1)≤0, 所以原不等式的解集为{x|-1≤x≤5}.

题型二

解含参数的一元二次不等式

【例2】 解关于x的不等式(a∈R): (1)2x2+ax+2>0; (2)ax2-(a+1)x+1<0. [思路探索] (1)对相应方程的判别式进行讨论,按照一元二次 不等式的解法求解; (2)先对不等式中二次项的参数讨论,再按照不等式的求法求 解. 解 (1)Δ=a2-16,下面分情况讨论: ①当Δ<0,即-4<a<4时,方程2x2+ax+2=0无实根,所以 原不等式的解集为R. ②当Δ≥0,即a≥4或a≤-4时,方程2x2+ax+2=0的两个 根为

1 1 2 x1= (-a- a -16),x2= (-a+ a2-16). 4 4 当 a=-4 时,原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠1}; 当 a>4 或 a<-4 时,原不等式的解集为
? 1 x?x< ?-a- ? 4

1 a -16?,或x> ?-a+ a2-16? ; 4
2

当 a=4 时,原不等式的解集为{x|x∈R,且 x≠-1}. (2)若 a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得 x>1. 若
? 1? a<0,则原不等式等价于?x- ?(x-1)>0, a? ?

1 解得 x< ,或 x>1. a 若
? 1? a>0,原不等式等价于?x- ?(x-1)<0. a? ?

? 1? 1 ①当 a=1 时, =1,解?x- ?(x-1)<0 得,解集为 ?; a? a ? ? 1? 1 1 ?x- ?(x-1)<0 得 <x<1; ②当 a>1 时, <1,解 a? a a ?

1 ③当 0<a<1 时, >1, a
? 1? 解?x- ?(x-1)<0 a? ?

1 得 1<x< . a

综上所述:当

? ? 1 ? a<0,解集为?x?x< ,或x>1 ? ? a ?

? ? ?; ? ?

当 a=0 时,解集为{x|x>1}; 当 0<a<1
? ? ? 1 ?x?1<x< 时,解集为 ? ? a ? ? ? ?; ? ? ? ? ?. ? ?

当 a=1 时,解集为?;当 a>1

? ?1 ? 时,解集为?x? <x<1 ? ?a ?

含参数不等式的解题步骤为:(1)将二次项 系数化为正数;(2)判断相应的方程是否有根(如果 可以直接分解因式,可省去此步);(3)根据根的情 况写出相应的解集.(若方程有两个相异实根,为了 写出解集还要比较两个根的大小).另外,当二次项 含有参数时,应先讨论二次项系数是否为0,这决 定不等式是否为二次不等式.

【变式2】解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0. 解 (i)当a=0时,原不等式可化为-2x+4>0,解得x<2, 所以原不等式的解集为{x|x<2}.
(ii)当 a>0 时,原不等式可化为(ax-2)(x-2)>0,对应方程 2 的两个根为 x1= ,x2=2. a 2 ①当 0<a<1 时, >2,所以原不等式的解集为 a
? ? 2 ? ?x?x> ,或x<2 ? ? a ? ? ? ?; ? ?

2 ②当 a=1 时, =2,所以原不等式的解集为{x|x≠2}; a

2 ③当 a>1 时, <2,所以原不等式的解集为 a
? ? ? 2 ?x?x>2,或x< ? ? a ? ? ? ?. ? ?

(iii)当 a<0 时,原不等式可化为(-ax+2)(x-2)<0,对应方程 2 2 的两个根为 x1= ,x2=2,则 <2,所以原不等式的解集为 a a
? ?2 ? ?x? <x<2 ? ?a ? ? ? ?. ? ?

题型三

三个“二次”间对应关系的应用

【例3】 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试求 关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 审题指导 可知1,2是方程x2+ax+b=0的两根,故由根与 系数的关系可求出a,b的值,从而得解. [规范解答] 由根与系数的关系,可得
?-a=1+2, ? ? ?b=1×2, ? ?a=-3, ? 即? ?b=2, ?

(6 分)

∴不等式 bx2+ax+1>0,就是 2x2-3x+1>0. 1 由于 2x -3x+1>0?(2x-1)(x-1)>0?x< 或 x>1. 2
2

(10 分) (12 分)

∴bx +ax+1>0

2

? 1? 的解集为?-∞, ?∪(1,+∞). 2? ?

【题后反思】 求一般的一元二次不等式ax2+bx+ c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0)的解集,可由二次函数的零 点与相应一元二次方程根的关系,先求出一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根,再根据函数图象与x轴的相关位 置确定一元二次不等式的解集.因此一元二次不等式解集 的区间端点,就是其对应的函数的零点,也就是其对应的 方程的根.

【变式3】 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1<x<2},求 a,b的值. 解 法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0 的两实根. b ? ?1+2=a, 由根与系数的关系,知? ?1×2=2, ? a
?a=1, ? 解得? ?b=3. ?

法二

把 x=1,2 分别代入方程 ax2-bx+2=0 中,
?a=1, ? 解得? ?b=3. ?

?a-b+2=0, ? 得? ?4a-2b+2=0. ?

误区警示

忽略二次项系数为零而出错

【示例】 若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0的解集为R,求实 数a的取值范围.
[错解] 不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 的解集为 R,
?a-2<0, ? ∴? ?Δ<0 ? ?a<2, ? ?? ?4?a-2?2-4?a-2??-4?<0. ?

?-2<a<2.

当a-2=0时,原不等式不是一元二次不等式, 不能应用根的判别式,应当单独检验不等式是否成立. [正解] 当a-2=0,即a=2时,原不等式为-4<0, 所以a=2时成立. 当a-2≠0时,由题意得 即解得-2<a<2. 综上所述可知:-2<a≤2. 二次项系数含参数时,要严格分系数为正,系 数为0,系数为负三种情况进行讨论,缺一不可,只要题 目没有明确说明不等式是一元二次不等式,就必须讨论这 种情况.


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