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专题六 解析几何问题的题型与方法(教师版)


解析几何问题的题型与方法专题
一、考纲解读 高考解析几何试题一般共有 4 题(2 个选择题, 1 个填空题, 1 个解答题),共计 30 分左右,考查的知识 点约为 20 个左右。 其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲 线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链 接,使知识形成网络,

着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基本知识和向量的 ........... 基本方法,这一点值得强化。 .... 二、重点知识回顾 (一)圆及其方程 1.圆的标准方程

( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (r>0) ,称为圆的标准方程,其圆心坐标为(a,b) ,半径为 r.
特别地,当圆心在原点(0,0) ,半径为 r 时,圆的方程为 x ? y ? r . 2.圆的一般方程
2 2 2

x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D 2 ? E 2 ? 4F >0)称为圆的一般方程,
其圆心坐标为( ? D , ? E ) ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F . 2 2 2 2 2 当 D ? E ? 4F =0 时,方程表示一个点( ? D , ? E ) ;
2 2

当 D ? E ? 4F <0 时,方程不表示任何图形. 3.圆的参数方程 圆的普通方程与参数方程之间有如下关系: x 2 ? y 2 ? r 2 ? ? x ? r cos ? (θ 为参数) ? ? y ? r sin ? (θ 为参数) ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ? ? x ? a ? r cos ? ? ? y ? b ? r sin ? (二)椭圆及其标准方程 1.椭圆的定义:椭圆的定义中,平面内动点与两定点 F1 、 F2 的距离的和大于| F1 F2 |这个条件不可忽
2 2

视.若这个距离之和小于| F1 F2 |,则这样的点不存在;若距离之和等于| F1 F2 |,则动点的轨迹是线 段 F1 F2 .
2 2 2.椭圆的标准方程: x ? y ? 1 ( a > b >0) y 2 , 2 2 2

a

b

a

?

x2 (a >b ?1 b2

>0).
2
2

3.椭圆的标准方程判别方法:判别焦点在哪个轴只要看分母的大小:如果 x 项的分母大于 y 项的分 母,则椭圆的焦点在 x 轴上,反之,焦点在 y 轴上. 4.求椭圆的标准方程的方法:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定系数法求解. (三)椭圆的简单几何性质
2 2 1.椭圆的几何性质:设椭圆方程为 x ? y ? 1 ( a > b >0). 2 2

⑴ 范围: -a≤x≤a,-b≤x≤b,所以椭圆位于直线 x= ? a 和 y= ? b 所围成的矩形里. ⑵ 对称性:分别关于 x 轴、y 轴成轴对称,关于原点中心对称.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心. ⑶ 顶点:有四个 A1 (-a,0) A2 (a,0) B1 (0,-b) B2 (0,b). 、 、 线段 A1 A2 、 B1 B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于 2a 和 2b,a 和 b 分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长. 所以椭圆和它的对称轴有四个交点,称为椭圆的顶点. ⑷ 离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比 e ? c 叫做椭圆的离心率.它的值表示椭圆的扁平程度.0<e<1.e
a

a

b

越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近于圆. 2.椭圆的第二定义 ⑴ 定义:平面内动点 M 与一个顶点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 e ? c (e<1=时,这个动点的轨迹是椭圆.

a

1

2 2 2 ⑵ 准线:根据椭圆的对称性, x ? y ? 1 ( a > b >0)的准线有两条,它们的方程为 x ? ? a .对于椭 2 2

a

b

c

2 2 2 圆 y ? x ? 1 ( a > b >0)的准线方程,只要把 x 换成 y 就可以了,即 y ? ? a . 2 2 c a b

3.椭圆的焦半径:由椭圆上任意一点与其焦点所连的线段叫做这点的焦半径.
2 2 设 F1 (-c,0) F2 (c,0)分别为椭圆 x ? y ? 1 ( a > b >0)的左、右两焦点,M(x,y)是椭圆 , 2 2

a

b

上任一点,则两条焦半径长分别为 MF1 ? a ? ex , MF2 ? a ? ex . 椭圆中涉及焦半径时运用焦半径知识解题往往比较简便.
2 2 2 椭圆的四个主要元素 a、b、c、e 中有 a = b + c 、 e ? c 两个关系,因此确定椭圆的标准方程只需两

a

个独立条件. (四)椭圆的参数方程
2 2 椭圆 x ? y ? 1 ( a > b >0)的参数方程为 ? x ? a cos ? (θ 为参数). ? a2 b2 ? y ? b sin ? 说明 ⑴ 这里参数θ 叫做椭圆的离心角.椭圆上点 P 的离心角θ 与直线 OP 的倾斜角α 不同:

tan? ?

b tan? ; a
2 2 2 2 ⑵ 椭圆的参数方程可以由方程 x ? y ? 1 与三角恒等式 cos ? ? sin ? ? 1相比较而得到, 所以 2 2

a

b

椭圆的参数方程的实质是三角代换. (五)双曲线及其标准方程 1.双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(小于| F1 F2 |)的动 点 M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中,要注意条件 2a<| F1 F2 |,这一条件可以用“三角形的两边之差 小于第三边”加以理解.若 2a=| F1 F2 |,则动点的轨迹是两条射线;若 2a>| F1 F2 |,则无轨迹. 若 MF1 < MF2 时,动点 M 的轨迹仅为双曲线的一个分支,又若 MF1 > MF2 时,轨迹为双曲线的 另一支.而双曲线是由两个分支组成的,故在定义中应为“差的绝对值”.
2 2 2 2 2 2.双曲线的标准方程: x ? y ? 1 和 y ? x ? 1 (a>0,b>0).这里 b ? c ? a ,其中| F1 F2 |=2c. 2 2 2 2

2

2

a

b

a

b

要注意这里的 a、b、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 项的系数是正 数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样,通过比较分母的大小来判断焦 点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程后,运用待定 系数法求解. (六)双曲线的简单几何性质 1.双曲线 越大.
2 2 2 2 2. 双曲线 x ? y ? 1 的渐近线方程为 y ? ? b x 或表示为 x ? y ? 0 .若已知双曲线的渐近线方程是 2 2 2 2 a a b a b m ,即 mx ? ny ? 0 ,那么双曲线的方程具有以下形式: y?? x

2

2

c x2 y2 ? 2 ? 1 的实轴长为 2a,虚轴长为 2b,离心率 e ? >1,离心率 e 越大,双曲线的开口 2 a a b

n

m 2 x 2 ? n 2 y 2 ? k ,其中 k 是一个不为零的常数. 3.双曲线的第二定义:平面内到定点(焦点)与到定直线(准线)距离的比是一个大于 1 的常数(离
2 2 心率)的点的轨迹叫做双曲线.对于双曲线 x ? y ? 1 ,它的焦点坐标是(-c,0)和(c,0) ,与它们对应 2 2

a

b

的准线方程分别是 x ? ? a 和 x ? a 2 .
c
c
2 2 2 在双曲线中,a、b、c、e 四个元素间有 e ? c 与 c ? a ? b 的关系,与椭圆一样确定双曲线的标准 a 方程只要两个独立的条件.

2

2

(七)抛物线的标准方程和几何性质 1.抛物线的定义:平面内到一定点(F)和一条定直线(l)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。这个 定点 F 叫抛物线的焦点,这条定直线 l 叫抛物线的准线。 需强调的是,点 F 不在直线 l 上,否则轨迹是过点 F 且与 l 垂直的直线,而不是抛物线。 2.抛物线的方程有四种类型:

y 2 ? 2 px 、 y 2 ? ?2 px 、 x 2 ? 2 py 、 x 2 ? ?2 py .
对于以上四种方程:应注意掌握它们的规律:曲线的对称轴是哪个轴,方程中的该项即为一次项;一次项 前面是正号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴的正方向;一次项前面是负号则曲线的开口方向向 x 轴或 y 轴 的负方向。 3.抛物线的几何性质,以标准方程 y2=2px 为例 (1)范围:x≥0; (2)对称轴:对称轴为 y=0,由方程和图像均可以看出; (3)顶点:O(0,0) ,注:抛物线亦叫无心圆锥曲线(因为无中心) ; (4)离心率:e=1,由于 e 是常数,所以抛物线的形状变化是由方程中的 p 决定的; (5)准线方程 x ? ?

p ; 2

(6)焦半径公式:抛物线上一点 P(x1,y1) 为抛物线的焦点,对于四种抛物线的焦半径公式分 ,F 别为(p>0) :

p ; y 2 ? ?2 px : PF ? ? x1 ? 2 p x 2 ? 2 py : PF ? y1 ? ; x 2 ? ?2 py : PF ? ? y1 ? 2 y 2 ? 2 px : PF ? x1 ?

p 2 p 2

(7)焦点弦长公式:对于过抛物线焦点的弦长,可以用焦半径公式推导出弦长公式。设过抛物线 y2=2px(p>O)的焦点 F 的弦为 AB,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的倾斜角为α ,则有①|AB|=x 1 +x 2 +p

以上两公式只适合过焦点的弦长的求法,对于其它的弦,只能用“弦长公式”来求。 (8)直线与抛物线的关系:直线与抛物线方程联立之后得到一元二次方程:x +bx+c=0,当 a≠0 时, 两者的位置关系的判定和椭圆、双曲线相同,用判别式法即可;但如果 a=0,则直线是抛物线的对称轴或 是和对称轴平行的直线,此时,直线和抛物线相交,但只有一个公共点。 三、考点范例剖析 题型 1 :圆锥曲线的概念、方程及性质 类型 1:圆的方程 例 1.(1)(2009 辽宁卷文)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, 则圆 C 的方程为( B ) (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

2

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(C)

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

【解析圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等于半径 2即可. (2) (2010 年高考福建卷理科 2)以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为(
2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

A. x +y +2x=0 B. x +y +x=0 C. x +y -x=0 D. x +y -2x=0 【答案】D 【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1,0) ,即所求圆的圆心,又圆过原点,所以圆的半径为 r=1 ,故

( 所求圆的方程为 x-1) +y =1 ,即 x -2x+y =0 ,选 D。 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及圆的方程的求法,属基础题。 类型 2:椭圆的概念及标准方程
2 2
2 2

例 2. ( 2009 广 东 卷 理 )巳知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 ,且 G (1)
2

3

上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 【解析】 e ?



2 2 3 , 2a ? 12 , a ? 6 , b ? 3 ,则所求椭圆方程为 x ? y ? 1 . 2 36 9

(2) (06 天津理 8)椭圆的中心为点 E (?1 0) ,它的一个焦点为 F (?3 0) ,相应于焦点 F 的准线方程 , , 为 x ? ? 7 ,则这个椭圆的方程是(
2 2 2 A. 2( x ? 1) ? 2 y ? 1 21 3 2 C. ( x ? 1) ? y 2 ? 1 5

) B. 2( x ? 1) ? 2 y ? 1
2 2

【解析】椭圆的中心为点 E (?1, 0), 它的一个焦点为 F (?3,0), ∴ ∴ 半焦距 c ? 2 ,相应于焦点 F 的准线方程为 x ? ? .

21 3 2 D. ( x ? 1) ? y 2 ? 1 5

7 2

2 a2 5 ? , a2 ? 5, b2 ? 1 ,则这个椭圆的方程是 ( x ? 1) ? y 2 ? 1 ,选 D。 c 2 5 类型 3:椭圆的性质

x2 y 2 3 例 3. 全国 2) (10 (12) 已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 , 过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 2 a b ??? ? ??? ? 的直线与 C 相交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ?
(A)1 (B) 2 (C) 3 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. (D)2

【解析】设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B 为垂足,过

B 作 BE 垂直于 AA1 与 E,由第二定义得,

,由

,得



∴ 即 k= ,故选 B.

例 4. (2009 全国卷Ⅰ理)已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点为 F ,右准线为 l ,点 A ? l ,线段 AF 交 2

??? ? ??? ? ???? ? C 于点 B ,若 FA ? 3FB ,则 | AF | =( A )
A.

2

B. 2

C. 3

D. 3

【解析】 过点 B 作 BM ? l 于 M,并设右准线 l 与 X 轴的交点为 N, 易知 FN=1.由题意 FA ? 3FB ,故 | BM |? 又由椭圆的第二定义,得 | BF |?
2 2 2 ?| AF |? 2 .故选 A ? ? 2 3 3

??? ?

??? ?

2 . 3

类型 4:双曲线的方程
例 5. (1)已知焦点 F1 (5, 0), F2 (?5, 0) ,双曲线上的一点 P 到 F1 , F2 的距离差的绝对值等于 6 ,求双 曲线的标准方程;

4

2 2 (2)求与椭圆 x ? y ? 1 共焦点且过点 (3 2, 2) 的双曲线的方程;

25

5

(3)已知双曲线的焦点在 y 轴上,并且双曲线上两点 P , P2 坐标分别为 (3, ?4 2), ( 9 ,5) ,求双曲线的标 1
4

准方程。
2 2 解析: (1)因为双曲线的焦点在 x 轴上,所以设它的标准方程为 x ? y ? 1 (a ? 0, b ? 0) , 2 2

a

b

∵ 2a ? 6, 2c ? 10 ,∴ a ? 3, c ? 5 ,∴ b ? 5 ? 3 ? 16 。
2 2 2

所以所求双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 9 16

2 2 2 2 2 2 (2)椭圆 x ? y ? 1 的焦点为 (2 5, 0), (?2 5, 0) ,可以设双曲线的方程为 x ? y ? 1 ,则 a ? b ? 20 。 2 2 25 5 a b

又∵过点 (3 2, 2) ,∴ 18 ? 2 ? 1 。 2 2
a b

x2 y2 ? ?1。 20 ? 2 10 2 10 点评:双曲线的定义;方程确定焦点的方法;基本量 a, b, c 之间的关系。

综上得, a 2 ? 20 ? 2 10, b 2 ? 2 10 ,所以

(3)因为双曲线的焦点在 y 轴上,所以设所求双曲线的标准方程为 y ? x ? 1(a ? 0, b ? 0) ①; 2 2
a b

2

2

∵点 P , P2 在双曲线上,∴点 P , P2 的坐标适合方程①。 1 1 将 (3, ?4 2), ( ,5) 分别代入方程①中,得方程组: ?

9 4

? (?4 2) 2 32 ? 2 ?1 2 b ? a ? 9 2 ? 25 ( ) ? 2 ? 42 ? 1 b ?a



1 1 1 ?1 和 2 看着整体,解得 ? a 2 ? 16 , ? 2 a b ? 1 1 ? ? ? b2 9 ?
16

? ∴ ? a 2 ? 16 即双曲线的标准方程为 y 2 ? x 2 ? 1 。 ? 2 ?b ? 9 ?
9

点评:本题只要解得 a , b 即可得到双曲线的方程,没有必要求出 a, b 的值;在求解的过程中也可以 用换元思想,可能会看的更清楚 例 6.(2010 年高考天津卷理科 5) 已知双曲线
2

2

2

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线方程是 y ? 3 x , a 2 b2

它的一个焦点在抛物线 y ? 24 x 的准线上,则双曲线的方程为

x2 y 2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 (B) 36 108 9 27 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 (C) (D) 108 36 27 9 x2 y 2 2 【解析】因为双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一个焦点在抛物线 y ? 24 x 的准线上,所以 F(-6,0) a b b 2 2 2 是双曲线的左焦点, a ? b ? 36 , 即 又双曲线的一条渐近线方程是 y ? 3 x , 所以 ? 3 , 解得 a ? 9 , a 2 2 x y ? 1 ,故选 B。 b 2 ? 27 ,所以双曲线的方程为 ? 9 27
(A)

类型 5:双曲线的性质
例 7. (2009 安徽卷理)下列曲线中离心率为 6 的是B (1)
2

5

A.

x2 y 2 ? ?1 2 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 2
2

2 2 C. x ? y ? 1

4

6

2 2 D. x ? y ? 1

4

10

【解析】由 e ?

3 b 3 b 1 6 c 得 2 ? ,1 ? 2 ? , 2 ? ,选 B. 2 a 2 a 2 a 2
3 ?1 2 5 ?1 2

2

2

(2) (2010 年高考辽宁卷理科 9)设双曲线的—个焦点为 F;虚轴的—个端点为 B,如果直线 FB 与该 双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 (A)

2

(B) 3

(C)

(D)

(3) (2010 年高考浙江卷 8)设 F1 , F2 分别为双曲线 双曲线右支上存在点,满足 线的渐近方程为 (A) 3x ? 4 y ? 0 (C) 4 x ? 3 y ? 0 【答案】C

PF2 =

F1 F2

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左,右焦点。若在 a2 b2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲

(B) 3x ? 5 y ? 0 (D) 5 x ? 4 y ? 0

2 2 x2 y 2 例 8. (1)(2009 湖北卷理)已知双曲线 x ? y ? 1 的准线过椭圆 ? 2 ? 1 的焦点,则直线 y ? kx ? 2 与椭 4 b 2 2 圆至多有一个交点的充要条件是( A ) 1 1 A. K ? ? ? 1 , 1 ? B. K ? ? ??, ? ? ? ? , ?? ? ? ? ? ?2 ? ? 2 2? 2? ? ? ? ?

C. K ? ? ? 2 , 2 ? ? ?
? 2 2 ?
2

D. K ? ? ??, ? 2 ? ? 2 , ?? ? ? ? ??? ? ? 2 2
? ? ? ?

【解析】易得准线方程是 x ? ?

a 2 ? ? ? ?1 b 2

x2 y 2 ? ?1 4 3 联立 y ? kx ? 2 可得 3x2 +(4k 2 +16k)x ? 4 ? 0 由 ? ? 0 可解得 A.

所以 c2 ? a2 ? b2 ? 4 ? b2 ? 1 即 b2 ? 3 所以方程是

2 2 (2) (2009 四川卷文、理)已知双曲线 x ? y 2 ? 1(b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 、 F2 ,其一条渐近线方 2 b

程为 y ? x ,点 P( 3, y 0 ) 在双曲线上.则 PF1 · PF2 =( C ) A. -12 B. -2 C. 0 D. 4
2 2

【解析】由渐近线方程为 y ? x 知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是 x ? y ? 2 ,于是两焦点坐标 分别是(-2,0)和(2,0) ,且 P ( 3 ,1) 或 P( 3,?1) .不妨去 P ( 3 ,1) ,则 PF1 ? (?2 ? 3 ,?1) ,

PF2 ? (2 ? 3,?1) .
∴ PF1 · PF2 = (?2 ? 3 ,?1)( 2 ? 3,?1) ? ?(2 ? 3 )( 2 ? 3 ) ? 1 ? 0
6

(3) (2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: 2 ?

x2 a

y2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线 b2
( A )

交 C 于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为
m

7 5 9 B. C. D. 5 8 5 2 2 x y 【 解 析 】 设 双 曲 线 C: 2 ? 2 ? 1 的 右 准 线 为 l , 过 A、B 分 别 作 A M ? l 于 M , BN ? l 于 N , a b 1 BD ? AM 于D ,由直线 AB 的斜率为 3 ,知直线 AB 的倾斜角 60???BAD ? 60?,| AD |? | AB | , 2
由双曲线的第二定义有

6 A. 5

? ??? ? ? ??? ? 1 ??? 1 1 ??? | AM | ? | BN |?| AD |? (| AF | ? | FB |) ? | AB |? (| AF | ? | FB |) . e 2 2 ??? 5 ??? ? ? 1 6 又? AF ? 4 FB ? ? 3 | FB |? | FB |? e ? . e 2 5
类型 6:抛物线方程
例 9. (1)焦点到准线的距离是 2; (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0, ? 2),求它的标准方程 解析: (1)y 2 =4x,y 2 = ? 4x,x 2 =4y,x 2 = ? 4y;

方程是 x 2 = ? 8y。 点评:由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中都只含一个系数 p,因此只要给出确定 p 的一个条件,就可以求出抛物线的标准方程。当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后,它的标准方程就 唯一确定了;若抛物线的焦点坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程就会有多解。 类型 7:抛物线的性质 例 10. (1)若抛物线 y ? 2 px 的焦点与椭圆
2

A. ?2
2

B. 2 (B)

C. ?4

x2 y2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( D ) 6 2 D. 4

(2)抛物线 y ? 8 x 的准线方程是( A ) (A) x ? ?2 (C) y ? ?2 (D) y ? ?4 x ? ?4 2 (3) (2009 湖南卷文)抛物线 y ? ?8 x 的焦点坐标是( B ) B. 2,0) (C. (4,0) D. 4,0) (-

A. (2,0) 解析: (1)椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0), 6 2 则 p ? 4 ,故选 D;
2

(2)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A; (3) 【解析】由 y ? ?8 x ,易知焦点坐标是 (?
2

p , 0) ? (?2, 0) ,故选 B. 2

点评:考察抛物线几何要素如焦点坐标、准线方程的题目根据定义直接计算机即可。 例 11. (1)抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 距离的最小值是(A) 8 A. 4 B. 7 C. D. 3 5 5 3 (2)对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件: ①焦点在 y 轴上; ②焦点在 x 轴上; ③抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6; ④抛物线的通径的长为 5;

7

⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 。 能使这抛物线方程为 y2=10x 的条件是 ②,⑤ . (要求填写合适条件的序号) (3)对于抛物线 y2=4x 上任意一点 Q,点 P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则 a 的取值范围是( B ) A.(-∞,0) B.(-∞,2 ] C.[0,2] D.(0,2) 解析: (1)设抛物线 y ? ? x 上一点为(m,-m2),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为 | 4m ? 3m 2 ? 8 | ,
2

5

当 m= 2 时,取得最小值为 4 ,选 A; 3 3 (2)答案:②,⑤ 解析:从抛物线方程易得②,分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程,从而确定⑤。 (3)答案:B 2 2 解析:设点 Q 的坐标为( y 0 ,y0) ,由 |PQ|≥|a|,得 y02+( y 0 -a)2≥a2.
4
4

整理,得:y02(y02+16-8a)≥0,∵y02≥0,∴y02+16-8a≥0. 2 2 即 a≤2+ y 0 恒成立.而 2+ y 0 的最小值为 2.∴a≤2.选 B。
8 8

点评:抛物线问题多考察一些距离、最值及范围问题 题型 2 : 直线与圆锥曲线之间的关系 类型 1:直线与圆的位置关系 例 1.直线 y ? x ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系为( B ) A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心
2 2

D.相离
2 2

【解析】圆心 (0,0) 为到直线 y ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ? 1 ? 2 ,而 0 ? 2 ? 1 ,选 B。
2

(2)(2009 陕西卷文)过原点且倾斜角为 60? 的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 0 所截得的弦长为(D )
2 2


(A) 3
3?0 ? 2

(B)2

(C) 6

(D)2 3 故选 D.

解 析 : 直线方程y= 3 x,圆的标准方程x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 , 圆 心 ( 0 , 到 ) 2 直 线 的 距 离
d? ( 3) ? (?1)
2

?1
2

,由垂径定理知所求弦长为 d * ? 2 22 ? 12 ? 2 3

类型 2:直线与椭圆的位置关系

x2 ? ? y 2 ? 1 ,过左焦点 F 作倾斜角为 的直线交椭圆于 A、B 两点,求弦 AB 的 例 2.已知椭圆: 9 6
长 解析:a=3,b=1,c=2 2 ,则 F(-2 2 ,0) 。 1 x2 由题意知: l : y ? (x ? 2 2) 与 ? y 2 ? 1 9 3 联立消去 y 得: 4 x ? 12 2 x ? 15 ? 0 。
2

设 A x1 , y1 ) 、( x2 , y 2 ) , x1 , x 2 是上面方程的二实根, ( B 则 由违达定理,x1 ? x 2 ? ?3 2 ,x1 ? x 2 ? 15 , 4

xM ?

x1 ? x2 3 2 又因为 A、B、F 都是直线 l 上的点, ?? 2 2

所以|AB|= 1 ? 1 ? | x1 ? x 2 |? 2 ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 18 ? 15 ? 2 3 3 3 点评:也可让学生利用“焦半径”公式计算。 例 3.中心在原点,一个焦点为 F1(0, 50 )的椭圆截直线 y ? 3x ? 2 所得弦的中点横坐标为 求椭圆的方程 解析:设椭圆的标准方程为 x 2 ? y 2 ? 1(a ? b ? 0) ,由 F1(0, 50 )得? a ? b ? 50 a b 2 2 2 2 2 2 把直线方程 y ? 3x ? 2 代入椭圆方程整理得: (a ? 9b ) x ? 12b x ? b (4 ? a ) ? 0 。
2 2
2 2

1 , 2

8

设弦的两个端点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则由根与系数的关系得:
2 1 12b 2 1 ,又 AB 的中点横坐标为 ,? x1 ? x2 ? 6b ? 2 2 2 2 2 a ? 9b a ? 9b 2 2 ? a 2 ? 3b 2 ,与方程 a 2 ? b 2 ? 50 联立可解出 a 2 ? 75, b 2 ? 25

x1 ? x 2 ?

2 2 故所求椭圆的方程为: x ? y ? 1 。

75

25

点评:根据题意,可设椭圆的标准方程,与直线方程联立解方程组,利用韦达定理及中点坐标公式,
2 2 求出中点的横坐标,再由 F1(0, 50 )知,c= 50 ,? a ? b ? 50 ,最后解关于 a、b 的方程组即可

例 4. (2009 北京理)点 P 在直线 l : y ? x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y ? x 于 A, B 两点,且
2

| PA ?| AB | ,则称点 P 为“
A.直线 l 上的所有点都是“ B.直线 l 上仅有有限个点是“ C.直线 l 上的所有点都不是“

点” ,那么下列结论中正确的是 点” 点” 点” 点”

( A )

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

设 A ? m, n ? , P ? x, x ? 1? ,则 B ? 2m ? x, 2n ? x ? 2 ? ,∵ A, B在y ? x 上 ,
2

【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能 力. 属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解,如图,

? 2 2 n ? m2 ∴? 消去 n,整理得关于 x 的方程 x ? (4m ? 1) x ? 2m ? 1 ? 0 (1) 2 ?2n ? x ? 1 ? (2m ? x) ∵ ? ? (4m ? 1)2 ? 4(2m2 ? 1) ? 8m2 ? 8m ? 5 ? 0 恒成立,∴方程(1)恒有实数解,∴应选 A.

例 5.已知椭圆 C 的焦点分别为 F1( ? 2 2 ,0)和 F2(2 椭圆 C 于 A、B 两点,求线段 AB 的中点坐标。 2 2 解析:设椭圆 C 的方程为 x ? y ? 1 , a2 b2 由题意 a=3,c=2 ∴椭圆 C 的方程为 由?

2 ,0) ,长轴长为 6,设直线 y=x+2 交

2 ,于是 b=1.
x2 +y2=1. 9

?y ? x ? 2 得 10x2+36x+27=0, ? x2 2 ? 9 ? y ?1 ?

因为该二次方程的判别式Δ >0,所以直线与椭圆有两个不同的交点, 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 则 x1+x2= ? 18 ,故线段 AB 的中点坐标为( ? 9 , 1 ) .
5

5 5

点评:本题主要考查椭圆的定义标准方程,直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式。 类型 3:直线与双曲线的位置关系
2 2 例 6. (1)过点 P( 7,5) 与双曲线 x ? y ? 1 有且只有一个公共点的直线有几条,分别求出它们的方

7

25

程。 (2)直线 y ? kx ? 1 与双曲线 3x ? y ? 1 相交于 A、B 两点,当 a 为何值时,A、B 在双曲线的同一 支上?当 a 为何值时,A、B 分别在双曲线的两支上?
2 2

解析: (1)解:若直线的斜率不存在时,则 x ? 7 ,此时仅有一个交点 ( 7, 0) ,满足条件; 若直线的斜率存在时,设直线的方程为 y ? 5 ? k ( x ? 7) 则 y ? kx ? 5 ? k 7 ,

x 2 (kx ? 5 ? k 7) 2 2 2 ? ? 1, ∴ 25 x ? 7(kx ? 5 ? k 7) ? 7 ? 25 , 7 25
9

(25 ? 7k 2 ) x 2 ? 7 ? 2kx(5 ? k 7) ? (5 ? k 7) 2 ? 7 ? 25 ? 0 ,
当k ?
5 7 时,方程无解,不满足条件; 7

当 k ? ? 5 7 时, 2 ? 5 7 x ?10 ? 75 方程有一解,满足条件;
7 当 k 2 ? 25 时,令 ? 7

? [14k (5 ? k 7)]2 ? 4(25 ? 7k 2 )[(5 ? k 7) 2 ? 165] ? 0 ,

化简得: k 无解,所以不满足条件; 所以满足条件的直线有两条 x ? 7 和 y ? ? 5 7 x ? 10 。
7

(2)把 y ? kx ? 1 代入 3x ? y ? 1 整理得: (3 ? a ) x ? 2ax ? 2 ? 0 ??(1)
2 2 2 2

2 当 a ? ? 3 时, ? ? 24 ? 4a 。

由 ? >0 得 ? 6 ? a? 6 且 a ? ? 3 时,方程组有两解,直线与双曲线有两个交点。 若 A、B 在双曲线的同一支,须 x1 x2 ?
2 >0 ,所以 a?? a2 ? 3

3 或 a? 3 。

故当 ? 6 ? a?? 3 或 3 ? a 6 时,A、B 两点在同一支上;当 ? 3 ? a 3 时,A、B 两点在双曲线的两 支上。 点评: 与双曲线只有一个公共点的直线有两种。 一种是与渐近线平行的两条与双曲线交于一点的直线。 另一种是与双曲线相切的直线也有两条 2 例 7. (1)求直线 y ? x ? 1 被双曲线 x 2 ? y ? 1 截得的弦长; 4
2 (2)求过定点 (0,1) 的直线被双曲线 x 2 ? y ? 1 截得的弦中点轨迹方程

4

解析:由

? 2 y2 ?1 ?x ? 4 ? ? y ? x ?1 ?

2 2 2 得 4 x ? ( x ? 1) ? 4 ? 0 得 3x ? 2 x ? 5 ? 0 (*)

2 5 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? ? 3 3 设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则有
d ? 2 | x1 ? x2 |? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 4 20 8 ? ? 2 9 3 3

得,

(2)方法一:若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点,则设直线的方程为 y ? kx ? 1 ,它被双曲线 截得的弦为 AB 对应的中点为 P( x, y ) ,
? y ? kx ? 1 ? ? 2 y2 2 2 ?1 ?x ? 4 由? 得 (4 ? k ) x

? 2kx ? 5 ? 0 (*)
2 2

设方程(*)的解为 x1 , x2 ,则 ? ? 4k ? 20(4 ? k ) ? 0 , 2k 5 16k 2 ? 80,| k |? 5 ,且 x1 ? x2 ? 4 ? k 2 , x1 x2 ? ? 4 ? k 2 , ∴ 1 k 1 1 4 x ? ( x1 ? x2 ) ? , y ? ( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 2 2 4?k 2 2 4 ? k2 , ∴
k ? ?x ? 4 ? k 2 ? ? ?y ? 4 ? 4 ? k2 ?

得 4 x ? y ? y ? 0( y ? ?4 或 y ? 0) 。
2 2

方法二:设弦的两个端点坐标为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,弦中点为 P( x, y ) ,则
?4 x12 ? y12 ? 4 ? ? 2 2 ?4 x2 ? y2 ? 4 得: 4( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? ?

y2 )( y1 ? y2 ) ,

10

y1 ? y2 4( x1 ? x2 ) ? y1 ? y2 , ∴ x1 ? x2

即 4 x ? y ? y ? 0 (图象的一部分) 点评: (1)弦长公式 | AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? 12 | y1 ? y2 | ; (2)有关中点弦问题的两种处理方法。 k 例 8.过双曲线的一焦点的直线垂直于一渐近线,且与双曲线的两支相交,求该双曲线离心率的范围。
2 2
2 2 b 解析:设双曲线的方程为 x 2 ? y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) , F (c,0) ,渐近线 y ? x ,则过 F 的直线方程为 a a b

y 4x ? 即 x y ?1 ,

?b 2 x 2 ? a 2 y 2 ? a 2b 2 ? 0 a , y ? ? ( x ? c) ,则 ? ? a b y ? ? ( x ? c) ? ? b

代入得 (b

4

? a ) x ? 2a 4cx ? a 4c 2 ? a 2b4 ? 0 ,
4 2
4 4

∴ ?? ? 0 即得 b ? a , ?
? x1 x2 ? 0

∴ b ? a ,即得到 e ? 2 。 点评:直线与圆锥曲线的位置关系经常和圆锥曲线的几何要素建立起对应关系,取值范围往往与判别 式的取值建立联系 类型 4:直线与抛物线的位置关系 例 9.已知抛物线方程为 y ? 2 p( x ? 1)( p ? 0) ,直线 l : x ? y ? m 过抛物线的焦点 F 且被抛物线截 得的弦长为 3,求 p 的值。 解析:设 l 与抛物线交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 则 | AB |? 3.
2

由距离公式|AB|= ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 = 1 ? 1 | y1 ? y2 |? 2 | y1 ? y2 |, 则有( y1 ? y2 ) 2 ? 9 . 2
k 2

p ? 由 ? x ? y ? ?1 ? 2 ,消去x, 得y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0. ? ? y 2 ? 2 p ( x ? 1). ?

? ? (2 p) 2 ? 4 p 2 ? 0.

? y1 ? y 2 ? ?2 p, y1 y 2 ? ? p 2 .
2

从而 ( y1 ? y 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ,即(?2 p) 2 ? 4 p 2 ? 9 . 由于 p>0,解得 p ? 3 .
4

点评:方程组有两组不同实数解或一组实数解则相交;有两组相同实数解则相切;无实数解则相离。 例 10.直线 y=x-1 被抛物线 y2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 答案: (3,2) 解法一:设直线 y=x-1 与抛物线 y2=4x 交于 A(x1,y1),B(x2,y2),其中点为 P(x0,y0) 。 由题意得 ? y ? x ? 1 , (x-1)2=4x,x2-6x+1=0。
? 2 ? y ? 4x

∴x0=

x1 ? x 2 =3.y0=x0-1=2.∴P(3,2) 。 2

解法二:y22=4x2,y12=4x1,y22-y12=4x2-4x1,

( y 2 ? y1 )( y 2 ? y1 ) =4.∴y1+y2=4,即 y0=2,x0=y0+1=3。 x2 ? x1

故中点为 P(3,2) 。 点评: 本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求 法。 例 11.(2009 山东卷文)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△
2

OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( B ). A. y ? ? 4 x
2
2

B. y ? ? 8 x
2

C. y ? 4 x
2

D. y ? 8 x
2

【解析】 抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 坐标为 ( , 0) ,则直线 l 的方程为 y ? 2( x ? ) ,它与 y 轴的交

a 4

a 4

11

a 点为 A (0, ? ) ,所以△OAF 的面积为 1 | a | ? | a |? 4 ,解得 a ? ?8 .所以抛物线方程为 y 2 ? ? 8 x ,故选 B. 2 2 4 2
【命题立意】:本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角形面积的计算.考查 数形结合的数学思想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数 a 的符号不定而引发的抛物线开口方向的不定 以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加绝对值号可以做到合二为一. 例 12. (2009 全国卷Ⅱ文)已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y ? 8 x 相交 A、B 两点,F 为 C 的
2

焦点。若 FA ? 2 FB ,则 k= A. 1 3 B. 2
3

( D ) C. 2
3

D. 2 2
3

【解析】本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0) ,由 FA ? 2 FB 及 第二定义知 x A ? 2 ? 2( xB ? 2) 联立方程用根与系数关系可求 k= 2 2 .
3

四.方法总结
解析几何是代数与几何的完美结合,解析几何的问题可以涉及函数、方程、不等式、三角、几何、 数列、向量等知识,形成了轨迹、最值、对称、范围、参系数等多种问题,因而成为高中数学综合能力要 求最高的内容之一.直线和圆锥曲线位置关系问题是解析几何问题大题的难点问题,通常学生在解决直线 和圆锥曲线问题上,往往要做三步,一就是联立方程组,二就是求判别式,并且判别符号..第三,运用韦 达定理,如果这三步做完了,就是解不等式,或者求函数的值域或定义域的问题了. 具体如下: (1)直线与圆锥曲线的位置关系(含各种对称、切线)的研究与讨论仍然是重中之重. 由于导数的介入,抛物线的切线问题将有可能进一步“升温”. (2)抛物线、椭圆与双曲线之间关系的研究与讨论也将有所体现. (3)与平面向量的关系将进一步密切,许多问题会“披着”向量的“外衣”. (4)函数、方程与不等式与《解析几何》问题的有机结合将继续成为数学高考的“重头戏”. (5)有几何背景的圆锥曲线问题一直是命题的热点. (6)数列与《解析几何》问题的携手是一种值得关注的动向. 求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参 数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题.重点题型要熟练掌握,如: (1)中点弦问题 具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法) :设曲线上两点为 代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数 (2)焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点,与两个焦点构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭桥. (3)直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判别式,应特别注意 数形结合的办法 (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题 圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决; <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函数,三角函数,均 值不等式)求最值 (5)求曲线的方程问题 <1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决; <2>曲线的形状未知-----求轨迹方程 (6) 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题, 可以按如下方式分三步解决: 求两点所在的直线, 求这两直线的交点, 使这交点在圆锥曲线形内(当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决) 五.历年考题再现(全国卷Ⅱ) 一. 选择与填空题

12

(2010 年)

x2 y 2 3 ,过右焦点 F 且斜率为 k (k>0) 的直线与 C 相 ? 2 ? 1(a>b>0) 的离心率为 2 2 a b ??? ? ??? ? 交于 A、B 两点.若 AF ? 3FB ,则 k ?
(12)已知椭圆 C : (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2 【解析】设直线 l 为椭圆的有准线,e 为离心率,过 A,B 分别作 AA1,BB1 垂直于 l,A1,B 为垂足,过

B 作 BE 垂直于 AA1 与 E,由第二定义得,

,由

,得



∴ 即 k= ,故选 B.
2

(15) 已知抛物线 C : y ? 2 px( p>0) 的准线为 l , M 1) 过 (0 ,

???? ???? ? 一个交点为 B .若 AM ? MB ,则 p ?

且斜率为 3 的直线与 l 相交于点 A , C 的 与



【解析】过 B 作 BE 垂直于准线 l 于 E,∵ AM ? MB ,∴M 为中点,∴ BM ?

???? ?

????

1 AB ,又斜率为 3 , 2

?BAE ? 300 ,∴ BE ?

1 AB ,∴ BM ? BE ,∴M 为抛物线的焦点,∴ p ? 2. 2

(21) (本小题满分 12 分) 己知斜率为 1 的直线 l 与双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1? a>0,b>0 ? 相交于 B、D 两点,且 BD 的中点为 a 2 b2

M ?1,3 ? .
(Ⅰ)求 C 的离心率; (Ⅱ)设 C 的右顶点为 A,右焦点为 F, DF ?BF ? 17 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切. 【命题意图】 本题主要考查双曲线的方程及性质, 考查直线与圆的关系, 既考查考生的基础知识掌握情况, 又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】

13

14

【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目,命题者将好多考点以圆锥曲线为背景来考查, 如向量问题、三角形问题、函数问题等等,试题的难度相对比较稳定.

x2 y 2 3 (文) (12)已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,过右焦点 F 且斜率为 k(k>0)的直线 2 a??? b ??? ? ? 于 C 相交于 A、B 两点,若 AF ? 3FB 。则 k = (A)1 (B) 2 (C) 3 (D)2
3 ??? ? ??? ? e? y1 ? ?3 y2 2 , a ? 2t , c ? 3t ,b ? t , 【解析】 B: , AF ? 3FB , ∵ ∴ ,∵ 设 2 2 2 2 2 2 ∴ x ? 4 y ? 4t ? 0 ,直线 AB 方程为 x ? sy ? 3t 。代入消去 x ,∴ ( s ? 4) y ? 2 3sty ? t ? 0 ,∴
A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

2 3st t2 y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 s ?4 s ?4, ?2 y2 ? ? 2 3st t2 1 2 , ?3 y2 ? ? 2 s2 ? 2 s ?4 s ? 4 ,解得 2 ,k ? 2
的直线与 l 相交于 A,与 C

(文)(15)已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的准线 l,过 M(1,0)且斜率为 的一个交点为 B,若 ,则 p=_________ 【解析】2:本题考查了抛物线的几何性质

设 直 线 AB : y ? 3x ? 3 , 代 入 y ? 2 px 得 3x ? (?6 ? 2 p) x ? 3 ? 0 , 又 ∵
2 2

???? ???? ? AM ? MB , ∴

x?

1 p?2 2 2 ,解得 p ? 4 P ? 12 ? 0 ,解得 p ? 2, p ? ?6 (舍去)
(2009 年)
2 2 1. ( 2009 全 国 卷 Ⅱ 文 ) 双 曲 线 x ? y ? 1 的 渐 近 线 与 圆 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相 切 , 则 r= (A)

6

3

(A) 3

(B)2

(C)3

(D)6 近线的距离等

解析:本题考查双曲线性质及圆的切线知识,由圆心到渐 于 r,可求 r= 3

15

2 x2 (2009 全国卷Ⅱ理)已知双曲线 C: ? y ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线交 C 2 2

a

b

于 A、B 两点,若 AF ? 4 FB ,则 C 的离心率为 A. 6 B. 7 C. 5 D. 9 5 5 8 5 2 2 x 解:设双曲线 C: 2 ? y2 ? 1的右准线为 l ,过 A、B 分 别作 AM ? l 于 M , BN ? l 于 N , BD ? AM 于D , a b
w.w.w. k.s.5. u.c.o. m

由直线 AB 的斜率为 3 ,知直线 AB 的倾斜角为 60???BAD ? 60?,| AD |? 1 | AB | ,
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 由双曲线的第二定义有 | AM | ? | BN |?| AD |? 1 (| AF | ? | FB |) ? 1 | AB |? 1 (| AF | ? | FB |) . 2 2 e
2

??? ? ??? ? 又? AF ? 4 FB ? 1 ? 3 | FB |? 5 | FB |? e ? 6 故选 A e 2 5 2 2.(2009 全国卷Ⅱ文)已知直线 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) 与抛物线 C: y ? 8 x 相交 A、B 两点,F 为 C 的焦

点。若 FA ? 2 FB ,则 k=( D ) (A) 1
3

(B)

2 3

(C) 2
3

(D) 2
3

2

解析:本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(2,0) ,由 FA ? 2 FB 及 第二定义知 x A ? 2 ? 2( xB ? 2) 联立方程用根与系数关系可求 k= 2
2 3



2 (2009 全国卷Ⅱ理)已知直线 y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 与抛物线 C : y ? 8 x 相交于 A、B 两点, F 为 C 的焦

点,若 | FA |? 2 | FB | ,则 k ? A. 1
3

B. 2
3
2

C. 2
3

D. 2 2
3

解 : 设 抛 物 线 C : y ? 8 x 的 准 线 为 l : x ? ?2 直 线

y ? k ? x ? 2 ?? k ? 0 ? 恒过定点 P ? ?2, 0 ? .如图过 A、B 分 别

作 AM ? l 于 为 AP 的中点.

M , BN ? l 于 N , 由 | FA |? 2 | FB | ,则 | AM |? 2 | BN | ,点 B 1 连结 OB ,则 | OB |? | AF | , ? OB |?| BF | 点 B 的横坐标为 | 2
坐标为 (1, 2 2) ? k ? 2 2 ? 0 ? 2 2 , 故选 D
1 ? (?2) 3

1 , 故点 B 的

(2008 年) (文)11. △ABC 是等腰三角形, ABC ? 120 , 设 则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为 B ) ( ?
?

A. 1 ? 2
2

B. 1 ? 3
2
2

C. 1? 2

D. 1? 3

(文)15.已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点, A,B 是 C 上的两个点,线段 AB 的中点为 M (2, ,则 2)

△ABF 的面积等于 2
2

. )

2 (理)9.设 a ? 1 ,则双曲线 x ? y ? 1 的离心率 e 的取值范围是( B a 2 (a ? 1) 2

2) A. ( 2,

B. ( 2,5)
2

C. (2, 5)

D. (2,5)

(理)15.已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交 C 于 A,B 两点.设 FA ? FB , 则 FA 与 FB 的比值等于

3? 2 2



二. 解答题 1.(2009 全国卷Ⅱ文理) (本小题满分 12 分) 2 2 已知椭圆 C : x 2 ? y2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 3 ,过右焦点 F 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,当 l a b 3

16

的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为 2
2

(I)求 a , b 的值;

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP ? OA ? OB 成立? 若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。 解:(I)设 F (c,0) ,直线 l : x ? y ? c ? 0 ,由坐标原点 O 到 l 的距离为 2
2

??? ?

??? ??? ? ?

c 3 则 | 0 ? 0 ? c | ? 2 ,解得 c ? 1 .又 e ? ? ,? a ? 3, b ? 2 . a 3 2 2
2 2 (II)由(I)知椭圆的方程为 C : x ? y ? 1 .设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 )

由题意知 l 的斜率为一定不为 0,故不妨设 l : x ? my ? 1 代入椭圆的方程中整理得 (2m ? 3) y ? 4my ? 4 ? 0 ,显然 ? ? 0 。
2 2

3

2

由韦达定理有: y1 ? y2 ? ?

.假设存在点 P,使 OP ? OA ? OB 成立,则其充要条件为: 点 P的坐标为( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,点 P 在椭圆上,即 ( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 1 。
2 2

??? ?

??? ??? ? ?

4 4m ....① , .... , y1 y2 ? ? 2 2m 2 ? 3 2m ? 3

3

2

整理得 2 x1 ? 3 y1 ? 2 x2 ? 3 y2 ? 4 x1 x2 ? 6 y1 y2 ? 6 。
2 2 2 2

又 A、B 在椭圆上,即 2 x1 ? 3 y1 ? 6, 2 x2 ? 3 y2 ? 6 .
2 2 2 2

故 2 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 3 ? 0 ................ ................② 将 x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? m y1 y2 ? m( y1 ? y2 ) ? 1 及①代入②解得 m 2 ? 1
2

2

? y1 ? y2 ?

2 2 , x ? x = 4m 3 2 . 3 或? ) ? 2 ? ,即 P ( , ? 1 2 ? 2 2 2 2 2m 2 ? 3 2
2

2 3 2 2 时, P( , ? ), l : x ? y ?1 ; 2 2 2 2 当 m ? ? 2 时, P( 3 , 2 ), l : x ? ? 2 y ? 1 . 2 2 2 2 评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算” ,主要讲的是算理和算法。算法是
当m ?
解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是 本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如:三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹

角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?在具体处理的时候,要根据具体问题及题意边做边调整, 寻找合适的突破口和切入点。 2. (2008 文 22 理 21). (本小题满分 12 分) 设椭圆中心在坐标原点, A(2,,B(0, 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与椭圆 0) 1) y 相交于 E、F 两点. ??? ? ???? B F (Ⅰ)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值; D (Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值. x O A 2 x 2 解析:(Ⅰ)解:依题设得椭圆的方程为 ? y ? 1, E 直线 AB,EF 的方程分别为 x ? 2 y ? 2 , y ? kx(k ? 0) .················2 分 ··········· ····· ·········· ······ 如图,设 D( x0,kx0 ),E ( x1,kx1 ),F ( x2,kx2 ) ,其中 x1 ? x2 , 且 x1,x2 满足方程 (1 ? 4k ) x ? 4 ,故 x2 ? ? x1 ?
2 2

4

2 1 ? 4k 2

.①

10 由 ED ? 6 DF 知 x0 ? x1 ? 6( x2 ? x0 ) ,得 x0 ? 1 (6 x2 ? x1 ) ? 5 x2 ? ; 7 7 7 1 ? 4k 2 10 由 D 在 AB 上知 x0 ? 2kx0 ? 2 ,得 x0 ? 2 .所以 2 ? , 1 ? 2k 1 ? 2k 7 1 ? 4 k 2
17

??? ?

????

化简得 24k 2 ? 25k ? 6 ? 0 ,解得 k ? 2 或 k ? 3 . ······················ 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· 6
3 8

( Ⅱ ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为
h1 ? x1 ? 2kx1 ? 2 5 ? 2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) , 5(1 ? 4k 2 )

h2 ?

x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) . 9 分 5(1 ? 4k 2 )

又 AB ?
S?

22 ? 1 ? 5 ,所以四边形 AEBF 的面积为

2 1 AB (h1 ? h2 ) ? 1 ? 5 ? 4(1 ? 2k ) ? 2(1 ? 2k ) ? 2 1 ? 4k ?24k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 5(1 ? 4k 2 )

≤2 2 ,

1 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 . ··········· 分 ·········· 12 ·········· 2 解法二:由题设, BO ? 1 , AO ? 2 .
当 2k ? 1 ,即当 k ? 设 y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 , 故四边形 AEBF 的面积为 S ? S△BEF ? S△ AEF ? x2 ? 2 y2 ………………..9 分
2 2 2 2 ? ( x2 ? 2 y2 ) 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ? 2 2 ,

当 x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .……… 12 分

18


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