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广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题(2013深圳二模)


2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(理科)
一、选择题 1. i 为虚数单位,则 i ? ? A.0 B. 2i C. 1 ? i D. ?1 ? i

2013.4

1 i

2.已知集合 A ? ?0,1 ,满足条件 A ? B ? ?2,0,1,3? 的集合 B 共有 ? A.2个 B.2个

C.3个 D.4个

3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是 A. y ?

x

B. y ? ex ? e? x

C. y ? x sin x

D. y ? lg

1? x 1? x

4.一支田径队有男运动员56人, 女运动员42人, 若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样 本,则样本中女运动员的人数为 A.9 5.已知双曲线 等于 A. B.10 C.11 D.12

x2 y 2 ? ? 1 的渐近线方程为 y ? ? 3x ,则以它的顶点为焦点,焦点为顶点的椭圆的离心率 a 2 b2

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1

6.已知 x ? R ,则 x ? 1 是 | x ? 1| ? | x ? 1|? 2 | x | 的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件

7.由曲线 y ? sin x, y ? cos x 与直线 x ? 0, x ?

?
2

所围成的平面图形(图1中的阴影部分)的面积是

A.1

B.

? 4
2 3

C.

2 2 3
4 5

D. 2 2 ? 2

8.在 1 ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) ? (1 ? x) 的展开式中,含 x 的系数是
2

A.10

B.15

C.20

D.25
1页

二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分) (一)必做题:第9、10、11、12、13题为必做题。 9.某简单组合体的三视图如图2,其中正视图与侧视图相同(尺寸如图,单位:cm),则该组合体的体积是

cm3 (结果保留 ? )

10.若直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 相切,则 k ? 11.执行图3中程序框图表示的算法,其输出的结果 s 为 或为“: ? ”)

。 。(注:框图中的“ ? ”,即为“←”

? x ? 0, y ? 0 ? ???? ? ? ? 12.已知向量 a ? (1, ?2) , M 是平面区域 ? x ? y ? 1 ? 0 内的动点, O 是坐标原点,则 a ? OM 的最小值 ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
是 。 13.在 n ? n 的方格中进行跳棋游戏。规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行 走的路径中不能重复经过同一小方格。设 f ( n) 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆” 位置结束的所有不同路径的条数。如图4,给出了 n ? 3 时的一条路径。则 f (3) ? ; f ( n) ? 。

2页

(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题。 14.在极坐标系中,圆 ? ? 3cos ? 上的点到直线 ? cos(? ?

?
3

) ? 1 的距离的最大值是



15.如图, P 是圆 O 外一点, PT 为切线, T 为切点,割线 PAB 经过圆心 O , PT ? 2 3, PB ? 6 ,则

?PTA ?



三、解答题 16.已知 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边, sin(2C ? (1)求角 C 的大小;(2)求

?
2

)?

1 2 2 2 ,且 a ? b ? c 。 2

a?b 。 c

17.一个箱中原来装有大小相同的 5个球, 其中 3个红球,2个白球. 规定: 进行一次操作是指“从箱中随机 取出一个球,如果取出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则该球不放回,并另补一个红 球放到箱中。” (1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为4的概率; (2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望。

18.如图6,已知四边形 ABCD 是矩形, AB ? 2 BC ? 2 ,三角形 PAB 是正三角形,且平面 ABCD ? 平面 PCD 。
3页

(1)若 O 是 CD 的中点,证明: BO ? PA ; (2)求二面角 B ? PA ? D 的余弦值。

19.已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足: a1 ? 0, b1 ? 2013 ,且对任意 n, an , an?1 , bn 和 an?1 , bn?1 , bn 均为等差数列。 (1)求 a2 , b2 的值; (2)证明: ?an ? bn ? 和 ?an ? 2bn ? 均成等比数列; (3)是否存在唯一的正整数 c ,使得 an ? c ? bn 恒成立?证明你的结论。

20.已知动点 M 到点 F (0,1) 的距离与到直线 y ? 4 的距离之和为5。 (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并画出图形; (2)若直线 l : y ? x ? m 与轨迹 E 有两个不同的公共点 A, B ,求 m 的取值范围; (3)在(2)的条件下,求弦长 | AB | 的最大值。

4页

21.定义 ? ( x, y) ?| e x ? y | ? y | x ? ln y | ,其中 x ? R, y ? R? 。 (1)设 a ? 0 ,函数 f ( x) ? ? ( x, a) ,试判断 f ( x ) 的定义域内零点的个数; (2)设 0 ? a ? b ,函数 F ( x) ? ? ( x, a) ? ? ( x, b) ,求 F ( x) 的最小值; (3)记(2)中最小值为 T (a, b) ,若 ?an ? 是各项均为正数的单调递增数列,证明:

? T (a , a
i ?1 i

n

i ?1

) ? (an?1 ? a1 ) ln 2 。

5页

参考答案 一、选择题 1.A 2.D 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C 9. 1 ? 10.

? 3

1 e

11.341 12. ?3 13. 9 14.

n n ?1

7 4

15. 30?

16.

6页

17.

7页

18.

8页

9页

19.

10 页

20.

11 页

12 页

21.

13 页

14 页


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