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数学:第二章《圆锥曲线与方程》测试(3)(新人教A版选修1-1)


高中新课标数学选修( ) 高中新课标数学选修(1-1)圆锥曲线与方程单元测试题
一、选择题 1.椭圆 2 x 2 + 3 y 2 = 12 的两焦点之间的距离为( A. 2 10 2. 椭圆 B. 10 C. 2 2 ) D. 2

x2 + y 2 = 1 的两个焦点为 F1,F2 , F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交, 过 一个交点为 P , 4
) B. 3 C.
7 2

则 PF2 等于( A. 3 2

D.4 ) D.与 m 有关 )

3.双曲线
A.8

x2 y2 ? = 1 的焦距是( m 2 + 12 4 ? m 2 B.4 C. 2 2

4.焦点为 (0, 且与双曲线 6)
A. C. x2 y2 ? =1 12 24

x2 ? y 2 = 1 有相同的渐近线的双曲线方程是( 2 B. y 2 x2 ? =1 24 12

x2 y2 y 2 x2 ? =1 D. ? =1 24 12 12 24 5.抛物线的焦点在 x 轴上,抛物线上的点 P (?3,m) 到焦点的距离为 5,则抛物线的标准方程 ) B. y 2 = 8 x C. y 2 = ?4 x D. y 2 = ?8 x )

为(

A. y 2 = 4 x

6.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 = 0 上的抛物线的标准方程为(
A. y 2 = 16 x 或 x 2 = ?12 y B. y 2 = 16 x 或 x 2 = 16 y C. y 2 = 16 x 或 x 2 = 12 y D. y 2 = ?12 x 或 x 2 = 16 y

7.椭圆
A.1

x2 y2 + = 1 的一个焦点为 (0, ,则 m 等于( 1) m2 3 ? m B. ?2 或 1 C.



?1 ± 17 5 D. 2 3 8.若椭圆的短轴为 AB ,它的一个焦点为 F1 ,则满足 △ ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率是 ( )
1 4 1 2 2 2 3 2

A.

B.

C.

D.

-1-

9.以双曲线 ?3x 2 + y 2 = 12 的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆的方程是( A. C.
x2 y2 + =1 16 12 x2 y2 + =1 12 16



B. D.

x2 y2 + =1 16 4 x2 y2 + =1 4 16

10.经过双曲线 y 2 ? x 2 = ?8 的右焦点且斜率为 2 的直线被双曲线截得的线段的长是( A.
4 10 3



B.

20 2 3

C. 2 10

D. 7 2

11.一个动圆的圆心在抛物线 y 2 = 8 x 上,且动圆恒与直线 x + 2 = 0 相切,则动圆必过定点 ( ) A. (0, 2)
B. (0, 2) ? C. (2, 0) D. (4, 0)

12.已知抛物线 x 2 = 4 y 的焦点 F 和点 A(?1 8) P 为抛物线上一点,则 PA + PF 的最小值是 ,,
( ) A. 16 B.12 三、填空题

C.9

D.6

13 . 已 知 椭 圆
PF1·PF2 =

x2 y2 + = 1 上 一 点 P 与 椭 圆 的 两 个 焦 点 F1,F2 连 线 的 夹 角 为 直 角 , 则 49 24

. .

3 14.已知双曲线的渐近线方程为 y = ± x ,则双曲线的离心率为 4

. 15.圆锥曲线内容体现出解析几何的本质是 16.当以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积的最大值为 1 时,椭圆长轴的最小 . 值为 三、解答题 17.若椭圆的对称轴在坐标轴上,两焦点与两短轴的端点恰好是正方形的四个顶点,且焦点 到同侧长轴端点距离为 2 ? 1 ,求椭圆的方程.

18.椭圆

x2 y2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 ,椭圆与直线 x + 2 y + 8 = 0 相交于点 P,Q ,且 2 a b 2

PQ = 10 ,求椭圆的方程.

-2-

19. 如图 1, 椭圆

x2 y2 2 + = 1(a > b > 0) 的上顶点为 A , 左顶点为 B,F 为右焦点, 离心率 e = , a2 b2 2 过 F 作平行于 AB 的直线交椭圆于 C,D 两点,作平行四边形 OCED ,求证: E 在此椭圆上.

20.已知双曲线与椭圆

x2 y2 + = 1 有相同的焦点且与椭圆的一 27 36 个交点的纵坐标为 4,求双曲线的方程.

21.抛物线的顶点在原点,它的准线过双曲线

x2 y2 ? = 1 的一个焦点,且与双曲线实轴垂直, a2 b2

?3 ? 已知抛物线与双曲线的交点为 ? , 6 ? .求抛物线与双曲线的方程. 2 ? ?

22.某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成,尺寸如图 2 所示,某卡车载一集装箱,箱宽 3m,车与箱共高 4m,此车能否通过此隧道?请说明理由.

-3-

答案: 一、选择题 CCADDA BDDBCC 二、填空题 5 5 或 13. 48 14. 4 3 三、解答题 17.

15. 用代数方法研究图形的几何性质

16. 2 2

x2 y2 + = 1(a > b > 0) , a2 b2 由椭圆的对称性和正方形的对称性可知:正方形被椭圆的对称轴分割成了 4 个全等的等腰直 角三角形,因此 b = c ( 2c 为焦距) .

答案:解:设椭圆方程

?a ? c = 2 ? 1 ? a = 2, , ? ? 由题意得 ?b = c, 解得 ?b = 1 , ? 2 ?c = 1. 2 2 ?a = b + c , ?
∴所求椭圆的方程为

x2 y2 + y2 = 1 或 x2 + =1. 2 2

c 3 3 = ,则 c = a. a 2 2 由 c 2 = a 2 ? b 2 ,得 a 2 = 4b 2 .

18.解: e =

? x2 y2 , ? 2 + 2 =1 由 ? 4b b ? x + 2 y + 8 = 0, ? 消去 x ,得 2 y 2 + 8 y + 16 ? b 2 = 0 . 由根与系数关系,得 y1 + y2 = ?4 , y1 y2 =
2

16 ? b 2 . 2

PQ = ( x2 ? x1 ) 2 + ( y2 ? y1 ) 2 = 5( y1 ? y2 ) 2 = 5[( y1 + y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ] = 10 ,

即 5[16 ? 2(16 ? b 2 )] = 10 ,解得 b 2 = 9 ,则 a 2 = 36 . 所以椭圆的方程为
x2 y2 + =1. 36 9

0) 19.解:椭圆焦点 F (c, , k AB =

b b ,直线 CD 的方程为 y = ( x ? c) , a a

代入椭圆方程

x2 y2 + =1, a2 b2

得 2 x 2 ? 2cx ? b 2 = 0 . 设 C ( x1,y1 ),D ( x2,y2 ) ,则 x1 + x2 = c ,

-4-

? c bc ? CD 中点 G 的坐标为 ? , ? ?. ? 2 2a ? bc ? ? ∴ E ? c, ? ?. a ? ?

∵e =

1 c = ,∴ a = 2c . 2 a
c 2 b 2 c 2 2c 2 + = 2 = 1 满足, a 2 a 2b2 a

将点 E 的坐标代入椭圆方程
∴点 E 在椭圆上.

20. 解:可以求得椭圆的焦点为 F1 (0, 3),F2 (0, , ? 3)
故可设双曲线方程为 y 2 x2 ? = 1(a > 0,b > 0) , a2 b2

且 c = 3 ,则 a 2 + b 2 = 9 . 由已知条件知,双曲线与椭圆有一个交点的纵坐标为 4, 可得两交点的坐标为 A( 15,,B( ? 15, , 4) 4) 点 A 在双曲线上,即
16 15 ? =1. a2 b2

? a 2 + b 2 = 9, ? a 2 = 4, ? ? 解方程组 ? 16 15 得? 2 , ? ? 2 ? 2 = 1 ?b = 5. b ?a

所以双曲线方程为

y 2 x2 ? = 1. 4 5

21.解:由题意知,抛物线焦点在 x 轴上,开口方向向右,可设抛物线方程为 y 2 = 2 px( p > 0) ,
?3 ? 将交点 ? , 6 ? 代入得 p = 2 , ?2 ? 故抛物线方程为 y 2 = 4 x ,焦点坐标为 (1 0) , , 这也是双曲线的一个焦点,则 c = 1 . ?3 ? 又点 ? , 6 ? 也在双曲线上, ?2 ? 因此有

9 6 ? 2 =1. 2 4a b

1 3 又 a 2 + b 2 = 1 ,因此可以解得 a 2 = ,b 2 = , 4 4
因此,双曲线的方程为 4 x 2 ?

4 y2 = 1. 3

-5-

22.解:取抛物线顶点为原点,水平向右为 x 轴正方向建立直角 坐标系,设抛物线方程为 x 2 = ?2 py ( p > 0) , 当 x = 3 时, y = ?3 ,即取抛物线与矩形的结合点 (3, 3) , ?
代入 x 2 = ?2 py ,得 9 = 6 p ,则 p = 故抛物线方程为 x 2 = ?3 y . 已知集装箱的宽为 3m,取 x =
1 3 则 y = ? x2 = ? . 3 4 3 1 而隧道高为 5m, 5m ? m = 4 m > 4m . 4 4 3 , 2 3 , 2

所以卡车可以通过此隧道.

-6-


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