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广东省惠州一中2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析


2014-2015 学年广东省惠州一中高一(上)期中数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)已知 U={1,2,3,4},A={1, 3,4},B={2,3,4},那么?U(A∪B)=() A.{1,2} B.{1,2,3,4} C. φ D.{φ} 2. (5 分)下列从集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是(



A. 3. (5 分)设 α∈ A.1

B.

C.
α

D.

,则使函数 y=x 为奇函数 α 值的个数为() B. 2
2

C. 3

D.4
*

4. (5 分)中心城区现有绿化面积为 1000hm ,计划每年增长 4%,经过 x(x∈N )年,绿化 2 面积为 y hm ,则 x,y 间的函数关系式为() x * * A.y=1000(1+4%) (x∈N ) B. y=(1000×4%)x(x∈N ) x * x * C. y=1000(1﹣4%) (x∈N ) D.y=1000(4%) (x∈N ) 5. (5 分)下列四组函数中表示相等函数的是() A.f(x)= B. f(x)=
2

与 g(x)=x ? 与 g(x)=

C. f(x)=lnx 与 g(x)=2lnx D.f(x)=logaa (a>0,a≠1)与 g(x)=
x

6. (5 分)若 x0 是方程 lnx+x=3 的解,则 x0 属于区间() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) 7. (5 分)设 A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3 ,则() C.y1>y3>y2

D.(3,4)

D.y1>y2>y3

8. (5 分)设函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过点(2,1) ,其反函数的图象过 点(2,8) ,则 a+b 等于. ()

A.1

B. 2

C. 3

D.4

9. (5 分)已知 f(x)=

是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是()

A.(1,2)

B.

C.

D.

10. (5 分)对于函数 f(x) 中任意的 x1、x2(x1≠x2)有如下结论: ①f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ; ②f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ; ③f(﹣x1)= ;



<0 (x1≠0) ;


x

>0.

当 f(x)=2 时,上述结论中正确结论的个数是() A.2 个 B. 3 个 C. 4 个

D.5 个

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 11. (5 分)函数 f(x)= + 的定义域是.

12. (5 分)当 x∈(0,+∞)时,幂函数 y=(m ﹣m﹣1)?x 为

2

﹣5m﹣3

为减函数,则实数 m 的值

13. (5 分)函数

的单调增区间为.

14. (5 分)已知函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数.当 x∈(﹣∞,0)时,f(x) 4 =1﹣x﹣x .则 f(x)={. 15. (5 分)函数 f(x)=4 +2
x x+1

+2(x≤0)的值域是.
2

16. (5 分)直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是.

三、解答题:本大题共 5 小题,每项小题 14 分,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17. (14 分)化简或求值: (1)

(2)计算



18. (14 分)已知全集 U={x|x>0},集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5﹣a<x<a}. (1)求 A∪B, (?UA)∩B; (2)若 C?(A∪B) ,求 a 的取值范围.

19. (14 分)已知函数 f(x)= ﹣

(a 为常数)

(1)是否存在实数 a,使函数 f(x)是 R 上的奇函数,若存在求出来,若不存在,也要说明 理由. (2)探索函数 f(x)的单调性,并利用定义加以证明. (3)当 a=0 时,求函数 f(x)的值域. 20. (14 分) 已知 a>0 且 a≠1, 指数函数 y=a 在 (﹣∞, +∞) 上是增函数; 如果函数 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,求实数 a 的值.
2 x

x

21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+3 在区间[0,1]上的最大值是 g(a) ,最小值是 p(a) . (1)写出 g(a)和 p(a)的解析式. (2)当函数 f(x)的最大值为 3、最小值为 2 时,求实数 a 的取值范围.

2014-2015 学年广东省惠州一中高一(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1. (5 分)已知 U={1,2,3,4},A={1,3,4},B={2,3,4},那么?U(A∪B)=() A.{1,2} B.{1,2,3,4} C. φ D.{φ} 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合.

分析: 由 A 与 B,求出两集合的并集,根据全集 U=R 求出并集的补角即可. 解答: 解:∵A={1,3,4},B={2,3,4}, ∴A∪B={1,2,3,4}, ∵全集 U={1,2,3,4}, ∴?U(A∪B)=?. 故选:C. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 2. (5 分)下列从集合 A 到集合 B 的对应 f 是映射的是()

A.

B.

C.

D.

考点: 映射. 专题: 图表型. 分析: 逐一分析各个选项中的对应是否满足映射的概念,即前一个集合中的每一个元素在 后一个集合中是否都有唯一确定的元素和它对应. 解答: 解:如果一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一个元素和它对应, 则此对应构成映射. 故选项 D 构成映射, 对于选项 A:集合 B 中 4 在集合 A 中对应两个数 1,2,故此对应不是映射. 对于选项 B:不能构成映射,因为前边的集合中的元素 2,4 在后一个集合中没有元素和它对 应,故此对应不是映射. 对于选项 C:集合 B 中 5 在集合 A 中对应两个数 1,2,所以 C 是错误的. 故选 D. 点评: 本题考查映射的概念,即一个集合中的任何元素在另一个集合中都有唯一确定的一 个元素和它对应,则此对应构成映射. 3. (5 分)设 α∈ A.1 B. 2
α

,则使函数 y=x 为奇函数 α 值的个数为() C. 3 D.4

考点: 幂函数的单调性、奇偶性及其应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据奇函数的概念进行判断. α 解答: 解:当 α=﹣1,1,3 时,函数 y=x 为奇函数. ﹣1 验证:f(x)=y=x . 定义域为{x|x≠0}关于原点对称,f(﹣x)= 因此函数 f(x)是奇函数. =﹣ =﹣f(x) ,

其余同理可得. 故选 C. 点评: 本题主要考查奇函数的定义,根据奇函数的定义进行判断即可. 4. (5 分)中心城区现有绿化面积为 1000hm ,计划每年增长 4%,经过 x(x∈N )年,绿化 2 面积为 y hm ,则 x,y 间的函数关系式为() x * * A.y=1000(1+4%) (x∈N ) B. y=(1000×4%)x(x∈N ) x * x * C. y=1000(1﹣4%) (x∈N ) D.y=1000(4%) (x∈N ) 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题;应用题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可知增长率问题属于指数函数问题,可以用等比数列的通项公式解决,即每 年的绿化面积构成首项为 1000,公比为(1+4%)的等比数列,利用等比数列的通项公式可求 得 x,y 间的关系. 2 解答: 解:∵现有绿化面积 1000hm ,且每年增长 4%, ∴每年的绿化面积构成首项为 1000,公比为(1+4%)的等比数列,设为{an},a1=1000, * x ∴经过 x(x∈N )年,绿化面积即为 y=ax+1=1000(1+4%) , x * ∴y=1000×(1+4%) (x∈N ) , 故选 A. 点评: 本题考查函数模型在实际问题中的应用,属基础题,仔细审题,正确建立数学模型 是解决问题的关键. 5. (5 分)下列四组函数中表示相等函数的是() A.f(x)= B. f(x)=
2 2 *

与 g(x)=x ? 与 g(x)=

C. f(x)=lnx 与 g(x)=2lnx D.f(x)=logaa (a>0,a≠1)与 g(x)=
x

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可. 解答: 解:A.函数 f(x)= B.要使函数 f(x)有意义,则 =|x|,对应法则和 g(x)不一致,所以 A 不是相等函数. ,解得 x≥1,要使函数 g(x)有意义,则 x ﹣1≥0,
2

解得 x≥1 或 x≤﹣1,即两个函数的定义域不相同,所以 B 不是相等函数. C.函数 f(x)的定义域为{x|x≠0},函数 g(x)的定义域为{x|x>0},两个函数的定义域不相 同,所以 C 不是相等函数. D.函数 f(x)=x,g(x)=x,两个函数的定义域和对应法则完全相同,所以 D 是相等函数. 故选 D.

点评: 本题主要考查判断两个函数是否为同一函数,判断的标准是判断两个函数的定义域 和对应法则是否完全相同. 6. (5 分)若 x0 是方程 lnx+x=3 的解,则 x0 属于区间() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

D.(3,4)

考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由方程 lnx+x=3,设对应函数 f(x)=lnx+x﹣3,然后根据根的存在性定理进行判断 即可. 解答: 解:∵方程 lnx+x=3, ∴设对应函数 f(x)=lnx+x﹣3, ∵f(2)=ln2+2﹣3=ln2﹣1<0,f(3)=ln3+3﹣3=ln3>0, ∴根据根的存在性定理可知在区间(2,3)内函数存在零点, 即 x0 属于区间(2,3) . 故选:C. 点评: 本题主要考查函数零点的判断,利用根的存在性定理是解决本题的关键,将方程转 化为函数即可.

7. (5 分)设 A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3

,则() C.y1>y3>y2 D.y1>y2>y3

考点: 指数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 化简这三个数为 2 的形式,再利用函数 y=2 在 R 上是增函数, 从而判断这三个数的 大小关系. 解答: 解:∵
x x x

=2 ,

1.8

=(2 )

3

0.48

=2

1.44



=2 ,

1.5

函数 y=2 在 R 上是增函数,1.8>1.5>1.44, 1.8 1.5 1.44 ∴2 >2 >2 ,故 y1>y3>y2, 故选 C. 点评: 本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,体现了转化的数学思想,属于基础题. 8. (5 分)设函数 f(x)=loga(x+b) (a>0 且 a≠1)的图象过点(2,1) ,其反函数的图象过 点(2,8) ,则 a+b 等于. () A.1 B. 2 C. 3 D.4 考点: 反函数;对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系、指数式和对数式的互化等函数知识; 根据反函数的图象过点(2,8) ,则原函数的图象过(8,2)点,再由函数 f(x)=loga(x+b) (a>0,a≠1)的图象过点(2,1) ,构建方程即可求得 a,b 的值.

解答: 解:函数 f(x)=loga(x+b) (a>0,a≠1)的图象过点(2,1) ,其反函数的图象过 点(2,8) , 则 ,





解得:a=3 或 a=﹣2(舍) ,b=1, ∴a+b=4, 故选:D. 点评: 本题的解答时,要巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系,将反函数图象上的 点转化为原函数图象上的点,过程简捷.这要比求出原函数的反函数,再将点的坐标代入方便 得多,值得借鉴.

9. (5 分)已知 f(x)=

是 R 上的增函数,那么 a 的取值范围是()

A.(1,2)

B.

C.

D.

考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 因为 f(x)是 R 上的正函数,所以 x<1 时, (2﹣a)x+1 递增,2﹣a>0;x≥1 时, a 递增,a>1,且(2﹣a)+1≤a,从而可求出 a 的范围. 解答: 解:由题意得: ,解得 ≤a<2,
x

所以 a 的取值范围是[ ,2) . 故选 B. 点评: 本题考查函数单调性的性质, 解决本题的关键是准确理解增函数的定义, 深刻领会“随 着自变量增大,函数值增大”的内涵. 10. (5 分)对于函数 f(x) 中任意的 x1、x2(x1≠x2)有如下结论: ①f(x1?x2)=f(x1)+f(x2) ; ②f(x1+x2)=f(x1)?f(x2) ; ③f(﹣x1)= ;



<0 (x1≠0) ;


x

>0.

当 f(x)=2 时,上述结论中正确结论的个数是() A.2 个 B. 3 个 C. 4 个 考点: 专题: 分析: 解答:

D.5 个

抽象函数及其应用. 计算题;函数的性质及应用. 利用指数函数的性质对①②③④⑤逐个讨论分析即可求得答案. x 解:①∵f(x)=2 , ≠ = = = + ? =f(x1)+f(x2) ,故①错误; =f(x1)?f(x2) ,故②正确; ,故③正确;
x

∴f(x1?x2)= ②f(x1+x2)= ③f(﹣x1)=
x

④∵k=y′=2 ln2>0(k 为曲线 f(x)=2 上任意两点的连续的斜率) , ∴ = >0,故④错误;

⑤由 k=y′=2 ln2>0 得,k=
x

x

>0,故⑤正确.

综上所述,当 f(x)=2 时,上述结论中正确结论的个数是②③⑤, 故选:B. 点评: 本题考查抽象函数及其应用,着重考查指数函数的性质,属于中档题. 二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 11. (5 分)函数 f(x)= + 的定义域是[0,1) .

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数成立的条件建立不等式关系即可求出函数的定义域.

解答: 解:要使函数有意义,则





,则



解得 0≤x<1, 故函数的定义域为[0,1) . 故答案为:[0,1) . 点评: 此题主要考查函数定义域的求法问题,题中涉及到对数函数和幂函数的定义域求法, 计算量小,属于基础题目. 12. (5 分)当 x∈(0,+∞)时,幂函数 y=(m ﹣m﹣1)?x 为2 考点: 幂函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据幂函数的定义得 m ﹣m﹣1=1 解出 m,又因为函数为减函数舍去一个 m 即可得 到. 2 解答: 解:利用幂函数的定义得 m ﹣m﹣1=1,解得 m=2,m=﹣1; ﹣13 2 则幂函数解析式为 y=x 为减函数和 y=x 为增函数,所以 m=2 故答案为 2 点评: 考查学生利用幂函数的性质的能力.
2 2
﹣5m﹣3

为减函数,则实数 m 的值

13. (5 分)函数

的单调增区间为(﹣∞,2) .

考点: 对数函数的单调性与特殊点;二次函数的性质. 专题: 计算题. 分析: 本题即求函数 t=x ﹣5x+6=(x﹣2) (x﹣3)>0 时的减区间,再由函数 t 的图象可得 结果. 解答: 解:令 t=x ﹣5x+6=(x﹣2) (x﹣3) ,则 y= 则可得, 的单调增区间,即函数 t=x ﹣5x+6=(x﹣2) (x﹣3)>0 时的减区 间. 2 由 x ﹣5x+6>0 可得 x<2 或 x>3.故函数的定义域为(﹣∞,2)∪(3,+∞) . 2 2 而由函数 t 的图象可得函数 t=x ﹣5x+6>0 时的减区间为 (﹣∞,2) ,t=x ﹣5x+6>0 时的增 区间为(3,+∞) . 故答案为 (﹣∞,2) .
2 2 2

,根据复合函数的同增异减的原

点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点,二次函数的性质的应用,复合函数的单 调性,体现了转化的数学思想,属于中档题. 14. (5 分)已知函数 f(x)是定义在(﹣∞,+∞)上的奇函数.当 x∈(﹣∞,0)时,f(x)
4

=1﹣x﹣x .则 f(x)={



考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 坚持求谁设谁的原则,设 x>0,则﹣x<0,将﹣x 代替 x 代入 1﹣x﹣x 中,得 f(﹣ 4 x)=1+x﹣x ,利用函数奇偶性即可求得 f(x) . 4 解答: 解:设 x∈(0,+∞) ,则﹣x∈(﹣∞,0) ,由 x∈(﹣∞,0)时,f(x)=1﹣x﹣x 4 4 得 f(﹣x)=1﹣(﹣x)﹣(﹣x) =1+x﹣x ,又 f(x)是奇函数,得 f(﹣x)=﹣f(x) , 4 故 f(x)=﹣f(﹣x)=x ﹣x﹣1,且 f(0)=0,
4



故答案为:f(x)=

点评: 本题开除了利用函数奇偶性求函数解析式的法﹣﹣﹣代入法,所以基础题,但是容 易出错. 15. (5 分)函数 f(x)=4 +2 考点: 专题: 分析: 解答:
x x+1

+2(x≤0)的值域是(2,5].

函数的值域. 函数的性质及应用. 利用指数函数和二次函数的单调性即可得出. x x+1 x 2 x x 2 解:f(x)=4 +2 +2=(2 ) +2?2 +2=(2 +1) +1,

∵x≤0,∴0<2 ≤1, x 2 ∴1<(2 +1) ≤4, x 2 ∴2<(2 +1) +1≤5. ∴函数 f(x)的值域是(2,5]. 故答案为: (2,5]. 点评: 本题考查了指数函数和二次函数的单调性,属于基础题.
2

x

16. (5 分)直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 有四个交点,则 a 的取值范围是(1, ) .

考点: 二次函数的性质. 专题: 作图题;压轴题;数形结合. 分析: 在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a 的图象,观察求解. 2 解答: 解:如图,在同一直角坐标系内画出直线 y=1 与曲线 y=x ﹣|x|+a, 观图可知,a 的取值必须满足 解得 . ,
2

故答案为: (1, )

点评: 本小题主要考查函数的图象与性质、不等式的解法,着重考查了数形结合的数学思 想. 三、解答题:本大题共 5 小题,每项小题 14 分,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17. (14 分)化简或求值: (1)

(2)计算



考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用指数幂的运算法则即可得出; (2)利用对数的运算法则即可得出. 解答: 解: (1)原式 =
2

=



(2)分子=lg5(3+3lg2)+3(lg2) =3lg5+3lg2(lg5+lg2)=3; 分母=(lg6+2)﹣lg6+1=3; ∴原式=1. 点评: 本题考查了指数幂的运算法则、对数的运算法则,属于基础题. 18. (14 分)已知全集 U={x|x>0},集合 A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},C={x|5﹣a<x<a}. (1)求 A∪B, (?UA)∩B; (2)若 C?(A∪B) ,求 a 的取值范围. 考点: 交、并、补集的混合运算;集合的包含关系判断及应用;并集及其运算. 专题: 计算题. 分析: (1)根据 A 与 B,求出两集合的并集;根据全集 U 求出 A 的补集,找出 A 补集与 B 的交集即可; (2)根据 C 为 A 与 B 并集的子集,分 C 为空集与不为空集两种情况考虑,求出 a 的范围即 可. 解答: 解: (1)∵A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10}, ∴A∪B={x|2<x<10}; ∵全集 U={x|x>0}, ∴?UA={x|0<x<3 或 x≥7}, 则(?UA)∩B={x|2<x<3 或 7≤x<10}; (2)由 C?(A∪B) ,分两种情况考虑: ①若 C=?,则 5﹣a≥a,解得:a≤ ; ②若 C≠?,则 2≤5﹣a<a,解得: <a≤3, 综上所述,a≤3. 点评: 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

19. (14 分)已知函数 f(x)= ﹣

(a 为常数)

(1)是否存在实数 a,使函数 f(x)是 R 上的奇函数,若存在求出来,若不存在,也要说明 理由. (2)探索函数 f(x)的单调性,并利用定义加以证明. (3)当 a=0 时,求函数 f(x)的值域.

考点: 函数奇偶性的判断;函数的值域;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)f(x)的定义域为 R,根据奇函数的性质,可知 f(0)=0,求出 a 的值,再根 据奇函数的定义,进行验证,即可得到答案; (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2,作差 f(x1)﹣f(x2)化简到能直接判断符号为止,利用 x1 <x2,判断出 f(x1)>f(x2) ,利用函数单调性的定义,即可证得函数 f(x)为 R 上的单调 递减函数; (3)方法一:根据 a=0,求出 y=f(x)的解析式,从而用 y 表示出 2 ,再利用指数的性质 2 >0,即可列出关于 y 的不等式,求解不等式即可得到 y 的取值范围,从而得到函数 f(x)的 值域. 方法二:根据 a=0,求出 f(x)的解析式,利用分离常数法,可得 f(x)=﹣1+ 2 >0,依次求解即可得到﹣1+
x x x

,根据

的取值范围,从而得到函数 f(x)的值域.

解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ﹣ ∴函数 f(x)的定义域为 R, ∵f(x)是 R 上的奇函数, ∴f(0)=0,即 =0,

(a 为常数) ,

∴ ∴a=1,



又∵当 a=1 时,f(x)= ﹣

=

的定义域为 R,且对∈R,又 f(﹣x)

=

=﹣f(x) ,

∴存在 a=1,使函数 f(x)R 上的奇函数; (2)任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, ∴f(x1)﹣f(x2)= ﹣
x

﹣ +

=



=



∵y=2 是 R 上的增函数,且 x1<x2, ∴ 又 > , +1>0,

+1>0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) , ∴f(x)是 R 上的减函数; (3)方法一:

∵函数 f(x)= ﹣

(a 为常数) ,

∴当 a=0 时,f(x)= ∵2 >0, ∴ >0,即 y(y+1)<0,
x

=

=﹣1+

,得 2 =

x



∴﹣1<y<0, 故函数 f(x)的值域为(﹣1,0) . 方法二: ∵函数 f(x)= ﹣ (a 为常数) ,

∴当 a=0 时,f(x)= ∵2 >0, x ∴2 +1>1, ∴0< <1, <0,
x

=

=﹣1+



∴﹣1<﹣1+

故函数 f(x)的值域为(﹣1,0) . 点评: 本题主要考查函数奇偶性的应用,函数的单调性的判断与证明.奇偶性的判断一般 应用奇偶性的定义和图象,要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称,然后判断 f(﹣x) 与 f(x)之间的关系.函数单调性的证明一般选用定义法证明,证明的步骤是:设值,作差, 化简,定号,下结论.利用 f(0)=0,是解决本题的关键.属于中档题. 20. (14 分) 已知 a>0 且 a≠1, 指数函数 y=a 在 (﹣∞, +∞) 上是增函数; 如果函数 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,求实数 a 的值.
x

x

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 因为 y=a 在(﹣∞,+∞)上是增函数,所以 a>1,所以
x

在[a,2a]

上为减函数,结合函数

x 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为 ,构造方

程,可得答案. x 解答: 解:因为 y=a 在(﹣∞,+∞)上是增函数,

所以 a>1,…(2 分) 所以 在[a,2a]上为减函数,…(4 分)

从而得



…(6 分)

所以

,…(10 分)

所以

,…(12 分)

解得 a=4.…(14 分) 点评: 本题考查的知识点是指数函数的图象和性质,对数函数的图象和性质,难度不大, 属于基础题. 21. (14 分)已知函数 f(x)=x ﹣2ax+3 在区间[0,1]上的最大值是 g(a) ,最小值是 p(a) . (1)写出 g(a)和 p(a)的解析式. (2)当函数 f(x)的最大值为 3、最小值为 2 时,求实数 a 的取值范围. 考点: 二次函数在闭区间上的最值;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 计算题. 分析: (1)根据所给的二次函数的性质,写出对于对称轴所在的区间不同时,对应的函数 的最大值,是一个分段函数形式,同理写出函数的最小值也是一个分段函数的形式. (2)当 时,g(a)=f(x)max=f(0)=3,p(a)=f(x)min=3﹣a =2,解得 a=1;
2 2

当 a>1 时,g(a)=f(x)max=f(0)=3,p(a)=f(x)min=4﹣2a=2,解得 a=1(舍) ,得到 结果. 2 2 解答: 解: (1)f(x)=(x﹣a) +3﹣a . 当 当 时,g(a)=f(x)max=f(1)=4﹣2a; 时,g(a)=f(x)max=f(0)=3;

所以

当 a<0 时,p(a)=f(x)min=f(0)=3; 2 当 0≤a<1 时,p(a)=f(x)min=3﹣a ; 当 a≥1 时,p(a)=f(x)min=f(1)=4﹣2a; 所以

(2)当

时,g(a)=f(x)max=f(0)=3,p(a)=f(x)min=3﹣a =2,

2

解得 a=1; 当 a>1 时,g(a)=f(x)max=f(0)=3,p(a)=f(x)min=4﹣2a=2,解得 a=1(舍) . 当 时,验证知不符合题意.

所以 a=1 就是所求值. 点评: 本题看出二次函数的性质,针对于函数的对称轴是一个变化的值,需要对对称轴所 在的区间进行讨论,本题是一个综合题目,是一个易错题.


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