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与圆有关的最值(范围)问题


与圆有关的最值(范围)问题
圆是数学中优美的图形,具有丰富的性质.由于其图形的对称性和完美性,很多与圆有 关的最值问题都可以运用圆的图形性质,利用数形结合求解.当然,根据《教学要求》的说 明, “平面解析几何的重要内容,教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的 思想” ,因此在此类问题的求解中,有时也会用到函数思想和基本不等式思想等.本文将就 与圆的最值问题有

关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助. 类型一:圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径,减半径 例 1 已知 P 为直线 y=x+1 上任一点,Q 为圆 C:( x ? 3)2 ? y 2 ? 1上任一点,则 PQ 的最小 . 值为 【分析】 :这是求解“圆上一动点到直线距离” 的常见考题,可以通过平面几何的知识得 “圆 心到直线的距离减半径”即为最短距离,这一结论在解题时可直接应用.

Q ? P C r? ? 解: 如图 1, 圆心 C 到直线 y=x+1 的距离 d ? 2 2 , 圆半径 r ? 1 , 故P
变题 1: 已知 A(0,1),B(2,3),Q 为圆 C ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1上任一点, 则 SVQAB 的最小值为

2? 21
.

【分析】本题要求 SVQAB 的最大值,因为线段 AB 为定长,由三角形面积公式可知,只需求 “Q 到 l AB 的最小值” ,因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离” ,即例 1. 解: 如图 2, 设 hQ 为 Q 到 l AB 的距离, 则 SVQAB ? y P A Q O 图1 C x Q O 图2 C x

1 AB ? hQ ? 2hQ ? 2(2 2 ? 1) ? 4 ? 2 2
y B

变题 2:由直线 y=x+1 上一点向圆 C: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1引切线,则切线长的最小值为 【分析】一般地,当直线和圆相切时,应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解.因为

PA2 ? PC 2 ? r 2 ,故即求 PC 的最小值,即例 1.
解:如图 3, PA2 ? PC 2 ? r 2 ? PC 2 ? 1 ,∵ PCmin ? 2 2 ,∴ PAmin ? 7 变题 3:已知 P 为直线 y=x+1 上一动点,过 P 作圆 C: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1的切线 PA,PB,A、 时, ?APB 最大. 【分析】 ?APB ? ?APC ,故即求角 ?APC 的最大值,利用其正弦值即可转化为求 PC 的 最小值,即例 1. B 为切点,则当 PC=

解:如图 4,∵ ?APB ? ?APC , sin ?APC ?

1 ,∵ PCmin ? 2 2 ,∴ PC ? 2 2 时, PC

?APC 最大,即 ?APB 最大.
y P A O 图3 C x O 图4 B C y P A x

变题 4:已知 P 为直线 y=x+1 上一动点,过 P 作圆 C: ( x ? 3)2 ? y 2 ? 1的切线 PA,PB,A、 B 为切点,则四边形 PACB 面积的最小值为 .

【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积,从而转化为 PA 的最小值,问题又 转化为求切线段的最小值问题. 解:如图 4, S四边形PACB ? S ?PAC ? S ?PAB ? 2S ?PAB ? 2 ?

1 ? PA ? AC ? PA ,由变式 2 可知, 2

PAmin ? 7 ,故四边形 PACB 面积的最小值为 7
【解题回顾】在上面例 1 及几个变试题的解题过程中,我们可以总结一句“万变不离其宗” , 一般地,求“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直 线的距离减半径”即为最短距离, “圆心到直线的距离加半径”即为最大距离,这一结论在 解题时可直接应用. 另: 和切线段有关的问题常利用 “连接圆心和切点, 构造直销三角形 “进 行求解.也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题” .如下例. y 例 2 已知圆 C: x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 ,从圆 C 外一点 P( x1 , y1 ) 向该 圆引一条切线,切点为 M,O 为坐标原点,且有 PM=PO,求使得 PM 取得 最小值的点 P 坐标. 【分析】本题中,由于点 P 和点 M 均在动,故直接做很难求解.联系到 PM 是切线段,因此可利用 PM 2 ? PC 2 ? r 2 将条件 PM=PO 转化为只含 有一个变量 P 的式子即可求解. 解:由题意,令 P( x, y) ,∵ PM 2 ? PC 2 ? 2 ,∴ PC 2 ? 2 ? PO2 , 即 ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 2 ? x2 ? y 2 ,化简得: 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ∵PM=PO,∴即求直线 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 到原点 O(0,0)的最小距离. C O x

d?

2? 0 ? 4? 0 ? 3 2 5

?

3 3 5. 5 ,易得 PM 的最小值为 10 10

类型二:利用圆的参数方程转化为三角函数求最值

例 3 若实数 x、y 满足 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 ,求 x-2y 的最大值. 【分析】 本题是典型的用圆的参数方程解决的题型, 利用圆的参数方程将所求式转化为三角 函数求最值,利用辅助角公式即得最大值. 解: ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 5 ,令 ?

? ? x ? ?1 ? 5 cos ? ? ? y ? 2 ? 5 sin ?

(? ? R) ,

则 x ? 2 y ? ?5 ? 5 cos? ? 2 5 sin ? ? 5cos(? ? ? ) ? 5 (其中 cos ? ? ∴当 cos(? ? ? ) ? 1时, ( x ? 2 y)max ? 5 ? 5 ? 0 ,故 x-2y 的最大值为 0.

5 2 5 ) ,sin ? ? 5 5

【解题回顾】和圆有关的一次式的求解,利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值. y 类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值 若所求式子具有较明显的几何意义,可以转化为线性规划问题求最 值.比如例 2,除了用圆的参数方程求解,还可以联想到在线性规划问题 C 中,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解. 解法二:令 x ? 2 y ? z ,则 y ?

1 1 x ? z ,由题意,当直线的纵截距最 2 2

O

x

小时, z 最大,此时直线和圆相切,故圆心到直线的距离 d ? 故 z ? 0或 ? 10 ,由题意, zmax ? 0 ,即 x-2y 的最大值为 0.

?5 ? z 5

? 5,

除了转化为直线的截距求解,还有一些式子具有明显的几何意义,比如斜率、两点间距 离、点到直线的距离等.比如在上例中,改为求 值范围,则可以分别用如下方法求解: 对

y ?1 , ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 , x ? y ? 1 的取 x?2

y ?1 ,转化为圆上任意一点 P 到点 A(2,1) 连线斜率的最大值,可设过点 A(2,1) 的直线 x?2

为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ,直线和圆相切时,即圆心到直线的距离 d ?

?3k ? 1 k 2 ?1

? 5 ,可得

1 1 k ? 2或 ? ,故 k ? [2, ??) ? (??, ? ] . 2 2
对 ( x ? 2)2 ? ( y ? 1)2 ,转化为圆上任意一点 P 到点 A(2,1) 距离的平方的取值范围,由例 1 易得 PA ?[CA ? 5, CA ? 5] ,即 PA2 ? ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ?[50 ?10 2,50 ?10 2] 对 x ? y ?1 , 联想到点到直线的距离公式中有类似的元素. 可将问题转化为圆上任意一点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离的问题,易得,圆心到直线的距离为 2 2 ,故圆上任一点 P(x,y)

到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离

x ? y ?1 2

? [2 2 ? 5, 2 2 ? 5] ,

即 x ? y ? 1 ?[4 ? 10, 4 ? 10] . 【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时,注意联系线性规划,用线性规划的思路求 解可将问题简单化和直观化. 类型四:向函数问题转化 平面解析几何的重要内容,教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思 想.有些问题,单纯利用圆的几何性质无法求解.此时应考虑如何利用代数思想将问题转化 为函数问题. 例 4( 2010 年高考全国卷 I 理科 11)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1,PA、 PB 为该圆的两条切线,A、B 为两切点,则 PA ? PB 的最小值为 【分析】本题中,由于 A、B 都是动点,故将 PA ? PB 转化为坐标形 A O P B

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 式较难求解.此时考虑到向量数量积的定义,令 ?APB ? 2? ,PA ? PB ? PA PB cos 2? ,
而切线段 PA=PB 也可用 ? 表示,故所求式可转化为关于 ? 的三角函数求解. 解:令 ?APB ? 2? ∴ PA ? PB ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 (? ? (0, )) , PA ? PB ? PA PB cos 2? , PA ? PB ? , 2 tan ?

??? ? ??? ?

cos 2? cos 2 ? ? cos 2? (1 ? sin 2 ? )(1 ? 2sin 2 ? ) , ? ? tan 2 ? sin 2 ? sin 2 ?
??? ? ??? ? (1 ? t )(1 ? 2t ) 1 ? 2t ? ? 3 ? 2 2 ? 3 t t

令 sin 2 ? ? t (t ? 0) ,则 PA ? PB ? (当且仅当 t ?

2 2 ,即 sin 2 ? ? 时取等号) 2 2

【解题回顾】本题以向量定义为载体,巧妙地利用了设角为变量,将与圆有关的问题转化为 三角函数的问题求解.将几何问题代数化,利用函数思想求解.同时运用了换元思想,基本 不等式思想等解题方法,是一道综合题. 类型五:向基本不等式问题转化
2 例 5 已知圆 C: (x+2) ? y 2 ? 4 , 过点 A(?1,0) 做两条互相垂直的直线 l1、l2 , l1 交圆 C

与 E、F 两点, l2 交圆 C 与 G、H 两点, (1)EF+GH 的最大值. (2) 求四边形 EGFH 面积的最大值. 【 分 析 】 由 于 EF 和 GH 都 是 圆 的 弦 长 , 因 此 可 利 用 难点是转化后要利 半径2 =半弦长 2+弦心距 2将 EF+GH 转化, 用基本不等式的相关知识点. G E M C A N

y

H O F x

解: (1)令圆心 C 到弦 EF 的距离为 d1 ,到弦 GH 的距离为 d2 ,则 EF+GH ? 2( 4 ? d12 ? 4 ? d 2 2 ) ,又 d12 ? d22 ? CA2 ? 1 , 由:

4 ? d12 ? 4 ? d22 8 ? (d12 ? d22 ) 8 ?1 14 ? ? ? 2 2 2 2
2 取等号) 2

(当且仅当 d1 ? d 2 ?

故 EF+GH ? 2

8 ?1 ? 14 2

(2)∵ EF ? GH , ∴ S四边形EFGH ?

8 ? (d12 ? d 2 2 ) 1 EF ? GH ? 2 4 ? d12 ? 4 ? d 2 2 ? 2 ? ?7 2 2

(当且仅当 d1 ? d 2 ?

2 取等号) 2
a?b a?b a 2 ? b2 , (2)是利用 ab ? .基本不等式 ? 2 2 2

【解题回顾】本题(1)是利用

是求最值的基本方法.在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量” . 由于圆的对称性,在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想” :几何思想和代数思 想.所谓几何思想,即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题.所谓代数思想,即 利用圆的参数方程.同时,由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密,因此在解 题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的.


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