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2014年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷


2014 年湖南省普通高中学业水平考试试卷

数 学
本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分。 时量 120 分钟,满分 100 分。
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为 A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.球 2.已知元素 a ∈{0,1,2,3},且 a ?{0,1,2},则 a 的值为 A.0 B.1 C.2 D.3 3.在区间[0,5]内任取一个实数,则此数大于 3 的概率为 A.

1 5 3 5

B.

2 5 4 5

C.

D.

4.某程序框图如图所示,若输入 x 的值为 1,则输出 y 的值是 A.2 B.3 C.4 D.5 5.在△ABC 中,若 AB ? AC ? 0 ,则△ABC 的形状是 A.直角三角形 C.锐角三角形 6.sin120?的值为 A. B.等腰三角形 D.钝角三角形

2 2

B.-1

C.

3 2

D.-

2 2

7.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,直线 BD 与 A1C1 的位置关系是 A.平行 C.异面但不垂直 A.{x|-1≤x≤2} C. {x|x≥2 或 x≤-1} B.相交 D. 异面且垂直 B. {x|-1<x<2} D. {x|x>2 或 x<-1}

8.不等式(x+1)(x-2)≤0 的解集为

9.点 P(m,1)不在不等式 x+y-2<0 表示的平面区域内,则实数 m 的取值范围是 A.m<1 B.m≤1 C.m≥1 D.m>1

10.某同学从家里骑车一路匀速行驶到学校,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间,下 列函数的图像最能符合上述情况的是

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,满分 20 分。 11.样本数据-2,0,6,3,6 的众数是______。 12.在△ABC 中,角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c,已知 a=1,b=2,sinA= ,则 sinB =______。 13.已知 a 是函数 f(x)=2-log2x 的零点,则实数 a 的值为______。 14.已知函数 y=sin?x(?>0)在一个周期内的图像如图所示,则?的值为______。

1 3

15.如图 1,在矩形 ABCD 中,AB=2BC,E、F 分别是 AB、CD 的中点,现在沿 EF 把这个矩形 折成一个直二面角 A-EF-C(如图 2),则在图 2 中直线 AF 与平面 EBCF 所成的角的大小 为______。 三、解答题:本大题共 5 小题,满分 40 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

? x , x ? [0,2], 16.(本小题满分 6 分)已知函数 f ( x ) ? ? ?4 , x ? ( 2,4]. ? ?x
(1)画出函数 f(x)的大致图像; (2)写出函数 f(x)的最大值和单调递减区间。

17.(本小题满分 8 分) 某班有学生 50 人, 其中男同学 30 人, 用分层抽样的方法从该班抽取 5 人去参加某社区服务活动。 (1)求从该班男、女同学中各抽取的人数; (2)从抽取的 5 名同学中任选 2 名谈此活动的感受,求选出的 2 名同学中恰有 1 名男同学的概率。

18.(本小题满分 8 分) 已知等比数列{an}的公比 q=2,且 a2,a3+1,a4 成等差数列。 (1)求 a1 及 an; (2)设 bn=an+n,求数列{bn}的前 5 项和 S5。

19.(本小题满分 8 分)已知向量 a=(1,sin?),b=(2,1)。 (1)当?=

? 时,求向量 2a+b 的坐标; 6 ? ? ), ,求 sin(?+ )的值。 2 4

(2)若 a∥b,且?∈(0,

20.(本小题满分 10 分) 已知圆 C:x2+y2+2x-3=0。 (1)求圆的圆心 C 的坐标和半径长; (2)直线 l 经过坐标原点且不与 y 轴重合, l 与圆 C 相交于 A(x1,y1)、 B(x2,y2)两点, 求证:

1 1 ? x1 x 2

为定值; (3)斜率为 1 的直线 m 与圆 C 相交于 D、E 两点,求直线 m 的方程,使△CDE 的面积最大。

2014 年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷 参考答案及评分标准
一、选择题(每小题 4 分,满分 40 分) CDBBA CDACA 二 、填空题(每小题 4 分,满分 20 分) ? 2 11.6;12. ;13.4;14.2;15.45?(或 ) 4 3 三 、解答题(满分 40 分) 16. 解:(1)函数 f(x)的大致图象如图所示(2 分); (2)由函数 f(x)的图象得出,f(x)的最大值为 2(4 分), 其单调递减区间为[2,4](6 分) 30 20 17. 解: (1) ? 5 ? 3 (人), ? 5 ? 2 (人),所以从男同学中抽取 3 人,女同学中抽取 2 人(4 分); 50 50 (2)过程略。 18.解:(1)由已知得 a2=2a1,a3+1=4a1+1,a4=8a1,又 2(a3+1)=a2+a4, 所以 2(4a1+1)=2a1+8a1,解得 a1=1(2 分),故 an=a1qn-1=2n-1(4 分); 1 ? ( 2 5 ? 1) (1 ? 5) ? 5 (2)因为 bn=2n-1+n,所以 S5=b1+b2+b3+b4+b5= =46(8 分) ? 2 ?1 2 ? 1 1 19.解:(1)因为? ? ,所以 a= (1, ) ,于是向量 2a+b= 2(1, ) ? ( 2,1) ? ( 4,2) (4 分) 6 2 2 (2)因为 a∥b,所以 sin? ?

3 1 ? (5 分),又因为? ? (0, ) ,所以 cos ? ? (6 分), 2 2 2

所以 sin(? ?

?
4

) ? sin? cos

?
4

? cos ? sin

?
4

?

2? 6 (8 分)。 4

20. 解:(1)配方得(x+1)2+y2=4,则圆心 C 的坐标为(-1,0)(2 分), 圆的半径长为 2(4 分);

?x2 ? y2 ? 2x ? 3 ? 0 (2)设直线 l 的方程为 y=kx,联立方程组 ? ? y ? kx
消去 y 得(1+k2)x2+2x-3=0(5 分),则有: x1 ? x 2 ? ? 所以

2 3 (6 分) , x1 x 2 ? ? 2 1? k 1? k 2

x ? x2 2 1 1 ? ? 1 ? 为定值(7 分)。 x1 x 2 x1 x 2 3

(3)解法一 设直线 m 的方程为 y=kx+b,则圆心 C 到直线 m 的距离 d ?

| b ?1| 2



所以| DE |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 (8 分),

S ?CDE ?

(4 ? d 2 ) ? d 2 1 ? 2, | DE | ?d ? 4 ? d 2 ? d ≤ 2 2

当且仅当 d ? 4 ? d 2 ,即 d ? 2 时,△CDE 的面积最大(9 分) 从而

| b ?1| 2

? 2 ,解之得 b=3 或 b=-1,

故所求直线方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0(10 分) 解法二 由(1)知|CD|=|CE|=R=2, 1 所以 S ?CDE ? | CD | ? | CE | ? sin?DCE ? 2 sin?DCE ≤2, 2 当且仅当 CD⊥CE 时,△CDE 的面积最大,此时| DE |? 2 2 (8 分) 设直线 m 的方程为 y=x+b,则圆心 C 到直线 m 的距离 d ?

| b ?1| 2

(9 分)

由| DE |? 2 R 2 ? d 2 ? 2 4 ? d 2 ? 2 2 ,得 d ? 2 , 由

| b ?1| 2

? 2 ,得 b=3 或 b=-1,

故所求直线方程为 x-y+3=0 或 x-y-1=0(10 分)。


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