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江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质(2)教学案


江苏赣榆县智贤中学高三数学总复习 专题一 第 2 讲 函数的概念、 图象与性质 (2)教学案
复备栏 教学内容:函数的概念、图象与性质(2) 教学目标: 理解函数及其表示,掌握函数的图象;掌握函数的性质。 教学重点: 一是识图,二是用图,通过数形结合的思想解决问题。 教学难点: 单调性、奇偶性、周期性等综合应用. 教学过程: 一、基础训练: 1. 若函数 y=ax+b-

1 (a>0 且 a≠1)的图象经过第二、 三、 四象限, 则一定有________. 答案 0< a<1 且 b<0 解析 (1)当 0<a<1 时,不论上下怎样平移,图象必过 第二象限; 当 a>1 时,不论上下怎样平移,图象必过第一象限. ∵y=ax+b-1 的图象经过第二、三、四象限,∴只可能 0<a<1. (2)如图,这个图可理解为 y=ax (0<a<1)的图象向下平移大于 1 个单位长度.
? ?b-1<0, ∴? 解得 b<0. ?|b-1|>1, ?

由(1)、(2)可知 0<a<1 且 b<0. 2.(2013· 课标全国Ⅱ改编)设 a=log36,b=log510,c=log714,则 a,b,c 的大小顺 序为________. 答案 a>b>c 解析 1 1 因为 a=log36=1+log32=1+log23,b=log510=1+log52=1+log25,c=

1 log714=1+log72=1+log27,显然 a>b>c. 3. 若函数 f(x)=logax(0<a<1)在区间[a,2a]上的最大值是最小值的 3 倍, 则 a=________. 答案 2 4

解析 ∵0<a<1,∴f(x)=logax 在[a,2a]上为减函数, ∴f(x)max=logaa=1,f(x)min=loga2a=1+loga2,∴1=3(1+loga2), 2 2 即 loga2=-3,∴a= 4 . 4.函数 f(x)= 1-2log6x的定义域为________. 答案 (0, 6] 解析 要使函数 f(x)= 1-2log6x有意义,

1

?x>0, ? 则? 解得 0<x≤ 6. ? ?1-2log6x≥0.

二、例题教学: 例 1 (1)(2014· 太原模拟)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义 .对于给定的正数 k,
? ,f? x? , ≤k ?f? x? 1 定义函数 fk(x)=? 取函数 f(x)=2-|x|.当 k=2时,函数 fk(x)的单 ?k,f? x? >k, ?

调递增区间为______. (2)(2014·潍坊模拟 ) 设偶函数 f(x) 在 (0 ,+ ∞) 上为减函数,且 f(2) = 0 ,则不等式 f? x? +f?-x? >0 的解集为________. x 1 [解析] (1) 由 f(x)>2,得-1<x<1. 1 由 f(x)≤2,得 x≤-1 或 x≥1. 2-x,x≥1, ? ? 1 1 所以 f2(x)=?2,-1<x<1, ? ?2x,x≤-1. 1 故 f2(x)的单调递增区间为(-∞,-1). (2)∵f(x)为偶函数, ∴ f? x? +f?-x? 2f? x? = x >0, x

∴xf(x)>0. ∴?
? ?x>0, ? ?x<0, 或? 又 f(-2)=f(2)=0, f(x)在(0,+∞)上为减函数, ?f? x? >0 ? ?f? x? <0. ?

故 x∈(0,2)或 x∈(-∞ ,-2). [答案] (1)(-∞,-1) (2)(-∞,-2)∪(0,2) [方法归纳] (1) 求函数的单调区间的常用方法 ①利用已知初等函数的单调性, 即转化为已知函数的和、 差或复合函数, 求单调区间. ②定义法:先求定义域,再利用单调性定义求解. ③图象法:如果 f(x)是以图象形式给出的,或者 f(x)的图象易作出,可由图象的直观 性写出它的单调区间. ④导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间. (2)函数奇偶性与单调性分别是函数整体与局部的性质, 它们往往在研究函数中“并驾” 而行,解题时往往先通过函数奇偶性进行变形,再利用单调性求解. 变式训练: (1)(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)已知偶函数 f(x)在[0, +∞)单调递减, f(2)=0.若 f(x-1)>0, 则 x 的取值范围是________.

2

(2) 设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,若 n≥2 且 n∈N*,则 f(-n),f(1-n),f(n -1),f(n+1)的大小关系为________. 解析:(1)∵f(x)是偶函数,∴图象关于 y 轴对称.又 f(2)=0,且 f(x) 在[0, +∞)单调递减, 则 f(x)的大致图象如图所示, 由 f(x-1)>0, 得 -2<x-1<2,即-1 <x<3. (2)∵f(x)为偶 函数,所以 f(-n)=f(n), f(1-n)=f(n-1). 又∵函数 y=f(x)在(0,+∞)上为减函数, 且 0<n-1<n<n+1, ∴f(n+1)<f(n)<f(n-1). ∴f(n+1)<f(-n)<f(n-1)=f(1-n). 答案:(1)(-1,3) (2)f(n+1)<f(- n)<f(n-1)=f(1-n) 1 3 例 2 (2014· 石家庄模拟)已知 f(x)的图象如图,则 f(2)+f(2)的值为________. [解析] 由图象知每段为线段.

? 3? ? 3? 设 f(x)=ax+b,把(0,0), 1,2 和 1,2 ,(2,0)分别代入, ? ? ? ?
3 ? ?a1=2, 解得? ?b1=0, ? 3 3 ? ?a2=-2, ? ?b2=3. ?

?2x,0≤x≤1, 所以 f(x)=? 3 ?3-2x,1<x≤2.
1 3 3 故 f(2)+f(2)=2. 3 [答案] 2 [方法归纳] 求分段函数的函数值时,应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式 求解, 有时每段交替使用求值. 若给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围, 应根据每一段的解析式分别求解, 但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段 的自变 量的取值范围. 变式训练: (2014· 高考四川卷)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数,当 x∈[-1,1)时,f(x)=
? ?-4x2+2,-1≤x<0, ?3? ? 则 f 2 =________. ? ? ? x, 0≤x<1, ?

?3? ?3 ? ? 1? 解析:函数的周期是 2,所以 f 2 =f 2-2 =f -2 , ? ? ? ? ? ?

3

? 1? ? 1? 根据题意 f -2 =-4× -2 2+2=1. ? ? ? ?
答案:1 巩固练习: 1.“lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“y2=xz 成立”的________条件. 答案 充分不必要 解析 由 lg x,lg y,lg z 成等差数列,可以得出 2lg y=lg x+lg z,根据对数函数的基 本运算可得,y2=xz,但反之,若 y2=xz,并不能保证 x,y,z 均为正数,所以不能 得出 lg x,lg y ,lg z 成等差数列. 2.已知函数 f(x)=lg x,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=________. 答案 2 解析 ∵f(x)=lg x,∴f(a2)+f(b2)=2lg a+2lg b=2lg ab. 又 f(ab)=1,∴lg ab=1,∴f(a2)+f(b2)=2. 3.已知 0<a<1,则函数 f(x)=ax-|logax|的零点个数为________. 答案 2 解析 分别画出函数 y=ax(0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的 图象,如图所示,图象有两个交点.

?1? 4.若函数 y= 2 |1-x|+m 的图象与 x 轴有公共点,则实 ? ?
数 m 的取值范围是________. 答案 [-1,0)

解析

? ?? ?2?1-x+m,x≤1 由题意得,函数 y=? ?1? ??2?x-1+m,x>1
1 1

.

? ?? ?2?1-x,x≤1 首先作出函数 y=? ?1? ??2?x-1,x>1
1

的图象,如图所示.

? ?? ?2?1-x+m,x≤1 由图象可知要使函数 y=? ?1? ??2?x-1+m,x>1
1,0). 课后反思:

的图象与 x 轴有公共点,则 m∈[-

4


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