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【创新设计】(全国通用)2016高考数学二轮复习 专题七 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件 文


第2讲

分类讨论思想、转化与化归思想

高考定位

分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年

必考,一般都在解答题中,难度较大.

1.在解某些数学问题时,我们常常会遇到这样一种情况:解到

某一步之后,发现问题的发展是按照不同的方向进行的.当被
研究的问题包含了多种情况时,就必须抓住主导问题发展方 向的主要因素,在其变化范围内,根据问题的不同发展方向, 划分为若干部分分别研究.其研究的基本方向是“分”,但分 类解决问题之后,还必须把它们整合在一起,这种“合 —

分—合”的解决问题的思想,就是分类讨论法.分类讨论是一
种逻辑方法,是一种重要的数学思想,同时也是一种重要的 解题策略,它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理 的方法.

2.中学数学中可能引起分类讨论的因素 (1)由数学概念而引起的分类讨论:如绝对值的定义、不等式的 定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等. (2)由数学运算要求而引起的分类讨论:如除法运算中除数不为 零,偶次方根为非负数,对数运算中真数与底数的要求,指数 运算中底数的要求,不等式中两边同乘以一个正数、负数、三 角函数的定义域,等比数列{an}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论:如函数的单 调性、基本不等式等. (4)由图形的不确定性而引起的分类讨论:如二次函数图象、指 数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论:如某些含有参数的问题, 由于参数的取值不同会导致所得的结果不同,或者由于对不同 的参数值要运用不同的求解或证明方法等.

3.转化与化归思想方法,就是在研究和解决有关数学问题时,采

用某种手段将问题通过变换使之转化,进而使问题得到解决的

一种数学方法.一般是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题, 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问 题通过变换转化为已解决的问题.转化与化归思想是实现具有相 互关联的两个知识板块进行相互转化的重要依据,如函数与不

等式、函数与方程、数与形、式与数、角与边、空间与平面、
实际问题与数学问题的互化等,消去法、换元法、数形结合法 等都体现了等价转化思想,我们也经常在函数、方程、不等式 之间进行等价转化,在复习过程中应注意相近主干知识之间的 互化,注重知识的综合性.

4.常见的转化与化归的方法 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时,思维受阻或寻 求简单方法或从一种状况转化到另一种情形,也就是转化到另一

种情境使问题得到解决,这种转化是解决问题的有效策略,同时
也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有: (1) 直接转化法:把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基 本图形问题.

(2) 换元法:运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等,

把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.
(3) 数形结合法:研究原问题中数量关系 ( 解析式 ) 与空间形式 ( 图 形)关系,通过互相变换获得转化途径.

(4)等价转化法:把原问题转化为一个易于解决的等价命题,达到

化归的目的.
(5)特殊化方法:把原问题的形式向特殊化形式转化,并证明特殊 化后的问题、结论适合原问题.

(6)构造法:“构造”一个合适的数学模型,把问题变为易于解决
的问题. (7)坐标法:以坐标系为工具,用计算方法解决几何问题是转化方 法的一个重要途径. (8)类比法:运用类比推理,猜测问题的结论,易于确定. (9)参数法:引进参数,使原问题转化为熟悉的形式进行解决. (10) 补集法:如果正面解决原问题有困难,可把原问题的结果看 做集合A,而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U,通过 解决全集U及补集?UA获得原问题的解决,体现了正难则反的原则.

热点一 分类讨论思想的应用 [微题型1] 运用分类讨论思想解决数列问题
【例 1-1】 (人教 A 必修 5P61)求和:1+2x+3x2+?+nxn 1.




记 Sn=1+2x+3x2+?+nxn

-1

当 x=0 时,Sn=1, n(n+1) 当 x=1 时, Sn=1+2+3+?+n= , 2 当 x≠0,x≠1 时, Sn=1+2x+3x2+?+nxn-1,① xSn=x+2x2+3x3+?+(n-1)xn-1+nxn.②

①-②得:(1-x)Sn=1+x+x2+?+xn 1-nxn


n n 1-xn 1 - x nx = -nxn.∴Sn= . 2- 1-x (1-x) 1-x

探究提高

利用等比数列的前 n 项和公式时,需要分公比 q = 1

和 q≠1 两种情况进行讨论,这是由等比数列的前 n 项和公式决 定的.一般地,在应用带有限制条件的公式时要小心,根据题目 条件确定是否进行分类讨论.

[微题型2] 运用分类讨论思想解决导数中的参数问题
【例 1-2】 (2015· 武汉调研)已知函数 f
? 1? (x)=m?x-x ?+2ln ? ?

x(m∈R).

(1)若m=1,求曲线y=f (x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论函数f (x)的单调性.
解 1 (1)当 m=1 时,函数 f (x)=x-x +2ln x,

x2+2x+1 函数的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= , x2 所以 f (1)=0,f ′(1)=4, 所以曲线 y=f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为 4x-y-4=0.

mx2+2x+m (2)函数的定义域为(0,+∞),且 f′(x)= . x2 (ⅰ)当 m≥0 时, f′(x)>0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递增. (ⅱ)当 m<0 时,若 m≤-1, f′(x)≤0 对 x∈(0,+∞)恒成立, 所以 f(x)在(0,+∞)上单调递减. 若-1<m<0, -1+ 1-m2 -1- 1-m2 由 f′(x)=0,得 x1= ,x2= 且 0<x1<x2. m m

当x变化时,f′(x),f (x)的变化情况如下表: x f′(x) f (x)
所以

(0,x1) - 减

x1 0

(x1,x2) + 增

x2 0

(x2,+∞) - 减

2? ? ?-1- 1-m2 ? - 1 + 1 - m ? ? ? ? f(x)在?0, 和 上单调递减, ,+∞ ? ? ? m m ? ? ? ?

?-1+ 1-m2 -1- 1-m2? ? f(x)在? 上单调递增. , ? ? m m ? ?

综上所述: 当 m≥0 时, f (x)在(0, +∞)上单调递增.当 m≤-1 时, f (x) 在 (0 , + ∞) 上 单 调 递 减 , 当 - 1 < m < 0 时 , f (x) 在
? ?-1- 1-m2 ? -1+ 1-m2? ? ? ? ? 和 0 , ,+∞ ? ? ? ?上单调递减,f m m ? ? ? ? ?-1+ 1-m2 -1- 1-m2? ? ? , ? ?上单调递增. m m ? ?

(x) 在

探究提高

分类讨论思想在解决导数中的参数问题时的常见类型:

(1)含参数的函数的单调性问题:对于含参数的不等式,应注意分

类讨论的原因、标准、顺序.如一元二次不等式,应按“开口方向
→相应方程有无实根→根的大小”进行讨论. (2) 含参数的函数的极值 (最值 )问题:常在以下情况下需要分类讨 论:①导数为零时自变量的大小不确定需要讨论;②导数为零的 自变量是否在给定的区间内不确定需要讨论;③端点处的函数值 和极值大小不确定需要讨论;④参数的取值范围不同导致函数在 所给区间上的单调性的变化不确定需要讨论.

(3)含参数的函数的零点个数问题:常需要根据参数与极值的大小
关系分类讨论.

[微题型3] 运用分类讨论思想解决圆锥曲线中的参数问题
【例 1-3】 (2015· 北京卷)已知椭圆 C:x2+3y2=3,过点 D(1,0)且 不过点 E(2,1)的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,直线 AE 与直线 x =3 交于点 M. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)若 AB 垂直于 x 轴,求直线 BM 的斜率; (3)试判断直线 BM 与直线 DE 的位置关系,并说明理由. x2 2 解 (1)椭圆 C 的标准方程为 3 +y =1,
所以 a= 3,b=1,c= 2. 6 c 所以椭圆 C 的离心率 e=a= . 3

(2)因为 AB 过点 D(1,0)且垂直于 x 轴,所以可设 A(1,y1), B(1,-y1), 直线 AE 的方程为 y-1=(1-y1)(x-2), 令 x=3,得 M(3,2-y1), 2-y1+y1 所以直线 BM 的斜率 kBM= =1. 3-1 (3)直线 BM 与直线 DE 平行,理由如下: 当直线 AB 的斜率不存在时,由(2)可知 kBM=1. 1-0 又因为直线 DE 的斜率 kDE= =1, 2-1 所以 BM∥DE.

当直线 AB 的斜率存在时, 设其方程为 y=k(x-1)(k≠1), 设 A(x1,y1),B(x2,y2), y1-1 则直线 AE 的方程为 y-1= (x-2). x1-2 令 x=3,得点 M
? y1+x1-3? ? ? 3 , , ? ? x1-2 ? ?

2 2 ? ?x +3y =3, 由? ? ?y=k(x-1),

得(1+3k2)x2-6k2x+3k2-3=0, 3k2-3 6k2 所以 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1+3k 1+3k

y1+x1-3 -y2 x1-2 直线 BM 的斜率 kBM= , 3-x2 因为 kBM-1 k(x1-1)+x1-3-k(x2-1)(x1-2)-(3-x2)(x1-2) = (3-x2)(x1-2) (k-1)[-x1x2+2(x1+x2)-3] = (3-x2)(x1-2)
2 ?-3k2+3 ? 12 k ? ? + - 3 (k-1)? 2 2 ? 1 + 3 k 1 + 3 k ? ?



(3-x2)(x1-2)

=0

所以 kBM=1=kDE.

所以BM∥DE, 综上可知,直线BM与直线DE平行. 探究提高 见类型: 与圆锥曲线有关的参数问题中应用分类讨论思想的常

(1)判断曲线的类型:判断曲线的类型,常依据二元方程对其参数
进行分类讨论,分类标准一般考虑二次项系数的正负、大小关系. (2)参数方程、不等式的求解:如求离心率、渐近线方程时对圆锥 曲线焦点位置的讨论,或者对方程系数的讨论,或者求解过程中 分母是否为0的讨论.

(3)直线与圆锥曲线位置关系的判定:对于含参数的直线与圆锥曲
线位置关系问题的求解,如对直线斜率存在与否的讨论、消元后 二次项系数是否为0的讨论,判别式与0的大小关系的讨论等.

热点二 转化与化归思想的应用 [微题型1] 特殊与一般的转化
【例 2-1】 (1)过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F,作一直线交抛物线 1 1 于 P、Q 两点,若线段 PF 与 FQ 的长度分别为 p,q,则p+q等 于( A.2a ) 1 B. 2a C.4a 4 D.a

3 (2)已知 f (x)= x ,则 f (-2 015)+f (-2 014)+?+f (0)+ 3+ 3 f (1)+?+f (2 016)=________.

解析 焦点 F

1 (1)抛物线 y=ax (a>0)的标准方程为 x =a y (a>0).
2 2

? 1? ?0, ?, 4a? ?

取过焦点 F 的直线垂直于 y 轴, 1 1 1 则|PF|=|QF|=2a,所以p+q=4a.
x 3 + 3 3 3 3 3 (2) f (x)+f (1-x)= x + - = + = 3 + 3 31 x+ 3 3x+ 3 3+3x 3x+ 3 x

=1, ∴f (0)+f (1)=1,f (-2 015)+f (2 016)=1, ∴f (-2 015)+f (-2 014)+?+f (0)+f (1)+?+f (2 016)=2 016.

答案 (1)C (2)2 016 探究提高 一般问题特殊化,使问题处理变得直接、简单 .

特殊问题一般化,可以使我们从宏观整体的高度把握问题
的一般规律,从而达到成批处理问题的效果.

[微题型2] 常量与变量的转化
【例 2-2】对任意的|m|≤2,函数 f(x)=mx2-2x+1-m 恒为负,则 x 的取值范围为________.
解析 对任意的|m|≤2,有 mx2-2x+1-m<0 恒成立,即|m|≤2

时,(x2-1)m-2x+1<0 恒成立.设 g(m)=(x2-1)m-2x+1,则原 问题转化为 g(m)<0 恒成立(m∈[-2,2]).
2 ? ?g(-2)<0, ? ?2x +2x-3>0, 所以? 即? 2 ? ? ?g(2)<0, ?2x -2x-1<0.

? 7-1 7-1 3+1 3+1? ? ? 解得 2 <x< 2 ,即实数 x 的取值范围为? , ?. 2 2 ? ?

答案

? ? ? ?

7-1 3+1? ? , 2 2 ? ?

探究提高

在处理多变元的数学问题时,我们可以选取其

中的常数(或参数),将其看做是“主元”,而把其它变元看

做是常量,从而达到减少变元简化运算的目的.

[微题型3] 换元转化问题
5 3 是否存在实数 a,使得函数 y=sin x+acos x+8a-2在
2

【例 2-3】

? π? 闭区间?0,2?上的最大值是 ? ?

1?若存在,则求出对应的 a 的值;若

不存在,则说明理由.



5 3 y=sin x+acos x+8a-2
2 2

5 3 =1-cos x+acos x+8a-2
? =-?cos ?

a?2 a2 5 1 x- ? + + a- . 2? 4 8 2

π ∵0≤x≤ , 2 ∴0≤cos x≤1,令 cos x=t, 则
? a?2 a2 5 1 y=-?t-2? + 4 +8a-2,0≤t≤1. ? ?

? a?2 a2 5 1 a 当2>1,即 a>2 时,函数 y=-?t-2? + 4 +8a-2在 t∈[0,1] ? ?

上单调递增, 5 3 ∴t=1 时,函数有最大值 ymax=a+ a- =1, 8 2 20 解得 a=13<2(舍去);

a 当 0≤2≤1, 即 0≤a≤2 时, a t=2函数有最大值, a2 5 1 ymax= 4 +8a-2=1, 3 解得 a=2或 a=-4(舍去); a 当2<0,即 a<0 时, 函数
? a?2 a2 5 1 ? ? t - y=- 2? + 4 +8a-2在 ?

t∈[0,1]上单调递减,

5 1 ∴t=0 时,函数有最大值 ymax=8a-2=1, 12 解得 a= 5 >0(舍去), 3 综上所述,存在实数 a= 使得函数有最大值 1. 2 探究提高 换元法的特点是通过引进新的变量,可以把分散的

条件联系起来,隐含的条件显露出来,把条件与结论联系起来, 把陌生的形式转变为熟悉的形式 .高中数学中主要换元法有整体 换元、三角换元、对称换元、均值换元等等.换元法应用广泛,

如解方程、解不等式、证明不等式、求函数的值域、求数列的
通项与和等,在解析几何中也有广泛的应用 .解题过程中要注意 换元后新变量的取值范围.

1.分类讨论思想的本质是“化整为零,积零为整”.用分类讨论的
思维策略解数学问题的操作过程:明确讨论的对象和动机→确定 分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备 (即分类对象彼此交集为空集,并集为全集).做到“确定对象的全 体,明确分类的标准,分类不重复、不遗漏”的分析讨论.

常见的分类讨论问题有:
(1)集合:注意集合中空集?讨论. (2)函数:对数函数或指数函数中的底数 a,一般应分a>1和0<a <1的讨论;函数y=ax2+bx+c有时候分a=0和a≠0的讨论;对 称轴位置的讨论;判别式的讨论.

(3)数列:由Sn求an分n=1和n>1的讨论;等比数列中分公比q=1 和q≠1的讨论. (4)三角函数:角的象限及函数值范围的讨论. (5)不等式:解不等式时含参数的讨论,基本不等式相等条件是 否满足的讨论.

(6)立体几何:点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论;
(7)平面解析几何:直线点斜式中k分存在和不存在,直线截距式 中分 b = 0和 b≠0 的讨论;轨迹方程中含参数时曲线类型及形状 的讨论. (8)概率中的分类问题.

(9)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.

2.转化与化归思想遵循的原则

(1)熟悉已知化原则:将陌生的问题转化为熟悉的问题,将未知的
问题转化为已知的问题,以便于我们运用熟知的知识、经验和问 题来解决. (2)简单化原则:将复杂问题化归为简单问题,通过对简单问题的 解决,达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.

(3)和谐统一原则:转化问题的条件或结论,使其表现形式更符合
数与形内部所表示的和谐统一的形式;或者转化命题,使其推演 有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律. (4)正难则反原则:当问题正面讨论遇到困难时,应想到问题的反 面,设法从问题的反面去探讨,使问题获得解决.


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