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2012高三数学寒假作业2(覃祖光编写


2012 高三数学寒假作业 2
姓名: 学号: )
{ ( 0 , 0 ) , (1 , 1) }

1.已知集合 M ? { y | y ? x } , N ? { y | y ? x 2 } ,那么 M ? N ? (
(A )

N
6 3

(B )

M
4

(C )

R

(D )

2. sin 23? ? cos( ? 26? ) ? tan( ? 21? ) ? (
(A )


(C )

1
x

(B )

0

3 ?1

(D )

?2

3.若 ( 3 x ? 1 ) n 的展开式的各项系数之和为 64,则 x 2 项的系数为(
(A )


?1215

135

(B )

1215

(C )

?135

(D )

4.已知 { an } 是等差数列, { bn } 是等比数列,若 b1 ? a2 , b2 ? a6 , b3 ? a14 ,则公比为(
(A )



1 4

(B )

1 2

(C )

2

(D )

4

5.已知命题 p : | 2 x ? 3 | ? 1 , q : x ? 6 ? x ,则 ? p 是 ? q 的(
( A ) 充分不必要条件 (B ) 必要不充分条件 (C ) 充要条件


(D ) 既不充分也不必要条件

6.函数 y ? 2 cos x( sin x ? cos x ) 的最大值为(
(A ) 2 (B )


2

2 ? 1 (C )

2 ?1

(D )

7.半径为 3 的球内接正四面体的体积为(
(A )

) 2
(D )

8 3

(B )

4 3 3

(C )

16 3 9

8.非零向量 a 、 b 满足 | a ? b | ? | a ? b | ,则 a 与 b 的夹角为(
(A )


(D )

? 6

(B )

? 3

(C )

? 2

2? 3

9.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ,且 x ? ( ? 1 , 1] 时, f ( x ) ? x 2 ,若函数 y ? f ( x ) 的图 象与函数 y ? k x 的图象恰有 3 个交点,则实数 k 的取值范围是(
(A ) (



1 , 1) 3

1 1 1 (B ) ( ? 1 , ? ) ? ( , 1) (C ) ( ? ? , ? ) 3 3 3

(D ) (

1 , ? ?) 3

10.过点 ( 2 , ? 1 ) 的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 相切,则直线 l 的倾斜角的大小为(
( A ) 30? 或 150 ? (B ) 45? 或 135 ? (C ) 75? 或 105 ?
-1-



(D ) 105 或 165 ? ?

11.函数 f ( x ) ? 2 ln x ? a x 2 ? 4a 2 x ( a? R )在 x ? 1 处有极值,则 a 的值为(
(A )



?

1 2

(B )

1

(C )

1 或? 1

2

(D )

0或1

12.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为一同族函数.函数的解 析式为 y ? x 2 ,值域为 { 4 , 9 } 的同族函数共有(
(A )


(D )

7个

(B )

8个

(C )

9个

10 个

13. lim

x2 ? 1 ? x ?1 x 2 ? 3x ? 2

14.若 x , y ? 0 ,且 1 ? 3 ? 1 ,则 x ? 3 y 的最小值为 x y 15.数列 { an } 满足 an ?1 ? 2an ? 2n ?1 , a1 ? 2 ,若 bn ?
an ( n ? N *) ,则数列 { bn } 的通项公式为 bn ? 2n

16.点 P 是圆 C : ( x ? 2 ) 2 ? y 2 ? 4 上的动点,定点 F ( 2 , 0 ) ,线段 PF 的垂直平分线与直线 CP 的交点为
Q ,则点 Q 的轨迹方程为

17.在 ?ABC中, a 、 b 、 c 分别为角 A 、 B 、 C 的对边,且满足 4 sin2 B ? C ? cos 2 A ? 7 .
2 2

(1)求角 A 的度数; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,且 b ? c ,求 b 、 c 的值.

18. 高二某班的一个研究性学习小组在网上查知, 某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 1 ,
2

该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性实验. (1)第一小组做了 5 次这种植物种子的发芽实验(每次均种下一粒种子).求他们的实验至少有 3 次成功的概率; (2)第二小组做了若干次发芽实验(每次均种下一粒种子),如果在一次实验中种子发芽成功就停 止实验,否则将继续进行下次实验,直到种子发芽成功为止,但发芽实验的次数最多不超过 5 次, 求第二小组所做种子发芽实验的次数 ? 的概率分布列和期望.

-2 -

19. 如图,平面 ? 、 ? ,? ? ? ,? ? ? ? l , A ?? , B ? ? ,点 A 在直线 l 上的射影为 A1 ,点 B 在 l 上 的射影为 B1 ,已知 AB ? 4 , AA1 ? 2 , BB1 ? 2 2 ,求: (1)直线 AB 分别与平面 ? , ? 所成角的大小; (2)二面角 A1 ? AB ? B1 的大小.
?
l A A1 B
第 19 题

?
B1

20.已知等差数列 { an } 中, a1 ? 2 ,前 10 项的和等于 15,又记 An ? a2 ? a4 ? a8 ? ? ? a2n ( n ? N * ) . (1)求数列 { an } 的通项公式; (2)求 An ; (3)求 An 的最大值. (参考数据 ln 2 ? 0.6931 )

2 y2 21.已知: F1 、 F2 为椭圆 C : x 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右两个焦点,直线 l : y ? 2 x ? 5 与椭圆 C 交 a b 于两点 P1 、 P2 ,椭圆中心 O 点关于 l 的对称点恰好落在 C 的左准线 l ? 上.

(1)求左准线 l ? 的方程; (2)若 F1P ? OF2 , ? 5 a 2 , F2 P2 ? OF2 成等差数列,求椭圆 C 的方程. 1
9

22.已知两条曲线 y ? e x , y ? ln x ( e 为自然对数的底数) . (1)求过曲线 y ? e x 上的点 ( a , e a ) 的切线方程; (2)由(1)求出的切线与曲线 y ? ln x 相切,求 a 满足的关系式; (3)在(2)的条件下,若 a ? ( t , t ? 1 ) , t ? Z ,求 t 的值.

-3-

2012 高三数学寒假作业 2 参考答案与评分标准(理科)

5. p : 1 ? x ? 2 , q : 0 ? x ? 9 , ? x ? ? q ? x ? ? p ,但 x ? ? p ?? x ? ? q ,即 ? p 是 ? q 的必要不充分 条件,选 (B ) 6. y ? 2 cos x( sin x ? cos x ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin( 2 x ? ? ) ? 1 ,当 sin(2 x ? ? ) ? 1 时, y 的最 大值为 4
4

2 ? 1 ,选 (C )

7.设正四面体所在的正方体棱长为 a ,正方体外接球半径为 R ? 3 ,则由 3a ? 2R 得 a ? 2 ,正四面 体的体积为 a 3 ? 4 ? 1 a 3 ? 1 a 3 ? 8 ,选 ( A )
6 3 3

8.由 | a ? b | ? | a ? b | 得 | a ? b | 2 ? | a ? b |2

y
1 -3 -2 -1 0 第9题 1 2 3

? | a |2 ?2a ? b? | b |2 ? | a |2 ?2a ? b? | b |2 ? a ? b ? 0 ,选 (C )
9.由 f ( x ? 2 ) ? f ( x ) 得 f ( x ) 的周期 T ? 2 , y ? f ( x ) 与 y ? k x 的图象如图, 由图可知交点的个数为 3 时, ? 1 ? k ? ? 1 或 1 ? k ? 1 ,选 (B )
3 3

x

10.设直线 l 为 y ? k ( x ? 2 ) ? 1 ,代入 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k ( k ? 1) x ? 4( k ? 1) 2 ? 2 ? 0 , 由 ? ? 16 k 2 ( k ? 1) 2 ? 4(1 ? k 2 ) [ 4( k ? 1) 2 ? 2 ] ? 0 得 k ? ?2 ? 3 ,倾斜角为 105? 或 165? ,选 (D ) 11.依题意 x ? 0 ,由 f ?( x ) ? 2 ? 2ax ? 4a 2 | x?1 ? 2 ? 2a ? 4a 2 ? 0 得 a ? 1 或 ? 1 ,当 a ? 1 时, 2
x

2( x ? 1) 1 2 ? 2x ? 4 ? ? 0 ,即 f ( x ) 在 (0 , ? ?) 上是增函数,没有极值;当 a ? ? 时, 2 x x ?( x ? 2 )( x ? 1) 2 f ?( x ) ? ? x ? 1 ? ? 0 的解为 x ? 1 ,且 f ( x ) 在 ( 0 , 1 ) 上是增函数,在 ( 1 , ? ? ) 上是减 x x 函数,有极大值 f (1 ) ,选 ( A ) f ?( x ) ?
2

12.由 x 2 ? 4 得 x ? ? 2 ,由 x 2 ? 9 得 x ? ? 3 ,定义域的元素个数可为 2,3,4,同族函数个数为
1 1 2 1 1 2 2 2 C2C2 ? C2 C2 ? C2C2 ? C2 C2 ? 9 ,选 (C )

二、填空题: (共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. lim
x ?1 x2 ? 1 ? ?2 . ? lim x ?1 x ? 2 x ?1 x ? 3x ? 2
2

-4-

1 3 3 x 3 y 10 ? 2 9 ? 16 ? 14. x ? 3 y ? ( x ? 3 y ) ? 1 ? ( x ? 3 y ) ? ( ? ) ? 10 ? ? ,当 x ? y ? 4 时,取得最小值为 x y y x

16. 15.由 bn ?
an a 得 an ? 2n bn , ? 2n ?1bn ?1 ? 2 ? 2n bn ? 2n ?1 ,即 bn ?1 ? bn ? 1 ,又 b1 ? 1 ? 1 , n 2 2 ? bn ? b1 ? n ? 1 ? n .

16.依题意有 | QP | ? | QF | ,? || QC | ? | QF || ? | CP | ? 2 ,又 | CF | ? 4 ? 2 ,故点 Q 的轨迹是以 C 、 F 为焦
y2 ?1. 3 三、解答题: (共 6 小题,第 17 题 10 分,第 18-22 题每题 12 分,共 70 分) 1 ? cos(B ? C ) 7 ? 2 cos2 A ? 1 ? ,…………3 分 17.解: (1)由 4 sin2 B ? C ? cos 2 A ? 7 得: 4 ? 2 2 2 2 即 4 cos2 A ? 4 cos A ? 1 ? 0 ,? cos A ? 1 ,? A ? 60? ; ………………………5 分 2

点的双曲线, a ? 1 , c ? 2 ,? b 2 ? 3 ,所求轨迹方程为 x 2 ?

(2)由余弦定理有 a ? b ? c ? 2bc ? cos A ,且 a ? 3 得:
2 2 2

3 ? ( b ? c ) 2 ? 2bc (1 ? cos A ) ,解得: bc ? 2 ,
?b ? c ? 3 ? 联立方程组 ?bc ? 2 ,解得: b ? 1 , c ? 2 . ?b ? c ?
1 2
1 2

………………………………………7 分 …………………………………10 分

18. (1)至少有 3 次发芽成功,即有 3 次,4 次,5 次发芽成功, 所以所求概率为 P ? C53 ( ) 5 ? C 54 ( ) 5 ? C 55 ( ) 5 ? ; (2) ? 可取的值为:1,2,3,4,5,
1 2 1 2

………………………………6 分 ………………………………7 分

1 1 1 1 1 P( ? ? 1 ) ? , P( ? ? 2 ) ? ( ) 2 ? , P ( ? ? 3 ) ? ( ) 3 ? , 2 2 4 2 8 1 4 1 1 4 1 1 1 P( ? ? 4 ) ? ( ) ? , P( ? ? 5 ) ? ( ) ( ? ) ? , ………………………………9 分 2 16 2 2 2 16 ? 的概率分布列为:

?

1
1 2

2
1 4

3
1 8

4
1 16

5
1 16

…………………10 分

P
E? ? 1 ?

1 1 1 1 1 31 . ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 5? ? 2 4 8 16 16 16 19.解法一: (1)连结 A1 B , AB1 ,? ? ? ? , ? ? ? ? l ,

………………………12 分

AA ? l , BB1 ? l , ? AA ? ? , BB1 ? ? ,则 ?BAB , 1 1 1 ?ABA 分别是 AB 与 ? 和 ? 所成的角, 1

?
A l F A1 B
第 19 题

………………3 分

E B1

BB Rt?BB1 A 中,BB ? 2 2 , AB ? 4 ,? sin?BAB ? 1 ? 2 , 1 1 AB 2

? ?BAB ? 45? , Rt?AA B 中, AA ? 2 , AB ? 4 , 1 1 1
AA 1 1 ? sin?ABA ? ? , ? ?ABA ? 30? ,故 AB 与平面 1 1 AB 2

?

? 、 ? 所成的角分别是 45? 、 30? ;

…………………………………………6 分
-5-

(2) ? BB1 ? ? , ? 平面 ABB ? ? ,在平面 ? 内过 A1 作 A1 E ? AB1 交 AB1 于 E , 1 则 A1 E ? 平面 ABB ,过 E 作 EF ? AB 交 AB 于 F ,连结 A1 F ,则由三垂线定 1 理得 A1F ? AB ,? ?A1FE 是所求二面角的平面角, ………………………9 分

在 Rt?ABB 中, ?BAB ? 45? ,? AB1 ? BB1 ? 2 2 ,在 Rt?AA B1 中, AA ? A1B1 ? 2 , 1 1 1 1
? A1E ? 1 AB ? 2 ,在 Rt?AA B 中, A1 B ? 1 2 1

AB 2 ? AA12 ? 16? 4 ? 2 3 ,
4

1 由 AA ? A1B ? A1F ? AB ,得 A1F ? AA ? A1B ? 2 ? 2 3 ? 3 ,在 Rt?A1EF 中, 1

AB

sin?A1FE ?

A1E 6 ,所以二面角 A ? AB ? B 的大小为 arcsin 6 . ? 1 1 3 A1F 3

…………12 分

解法二:如图,建立坐标系,则 A1 ( 0 , 0 , 0 ) , A( 0 , 0 , 2 ) , AB1 ? 16 ? 8 ? 2 2 ,
A1B1 ? 8 ? 4 ? 2 , ?
B1 ( 0 , 2 , 0 ) , B( 2 2 , 2 , 0 ) , ……2 分
A l A1 v u B
第 19 题

z

(1) AB ? ( 2 2 , 2 , ? 2 ) ,平面 ? 的法向量为 m ? (1 , 0 , 0 ) ,
? cos ? AB , m ?? AB ? m ? 2 2 ? 2 ,即 ? AB , m ?? 45? , 4 2 | AB | ? | m |

?
B1

故 AB 与平面 ? 所成的角是 45? ,

…………………4 分

平面 ? 的法向量为 n ? ( 0 , 0 , 1) ,? cos ? BA , n ?? BA ? n | BA | ? | n |
? 2 1 ,即 ? BA , n ?? 60? ,故 AB 与平面 ? 所成的角是 30? ; ? 4 2

?

x

y

…………………6 分

(2) A1B ? ( 2 2 , 2 , 0 ) , AB1 ? ( 0 , 2 , ? 2 ) ,设平面 A1 AB 、平面 B1 AB 的法向量分别 为 u 、 v ,则由 ?u ? AA1 ? 0 得 u ? ( ? 1 , 2 , 0 ) ,由 ?v ? AB1 ? 0 得 v ? ( 0 , 1 , 1 ) , ………10 分 ? ?
?u ? A1B ? 0 ? ?v ? B1B ? 0 ?
? cos ? u , v ?? u?v ? | u|?| v |

?

?

3 .12 分 2 3 ,所以二面角 A ? AB ? B 的大小为 ? arccos 1 1 3 3 3? 2

20.解: (1)由 S10 ? 10 a1 ? 10 ? 9 ? d ? 10 ? 2 ? 45d ? 15 得 d ? ? 1 , 9 2
? an ? a1 ? ( n ? 1 )d ? 2 ? ( n ? 1 )( ? 1 ) ? 19 ? n ; 9 9

……………………………………4 分

(2) An ? na1 ? d [ 1 ? 3 ? 7 ? ? ? ( 2 n ? 1 ) ] ? na1 ? d ( 2 ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ? n )
? 2n ? 1 2 ? 2 n ?1 1 ( ? n ) ? ( 19 n ? 2 ? 2 n ?1 ) ; 9 9 1? 2

…………………………………………8 分

(3) An ? f ( n ) ? 1 ( 19n ? 2 ? 2 n ?1 ) , f ?( n ) ? 1 ( 19 ? 2n ?1 ln 2 ) ,
9 9

由 ln 2 ? 0.6931 计算得 f ?( 3 ) ? 0 , f ?( 4 ) ? 0 ,

…………………………10 分

所以极大值点 n 0 满足 3 ? n0 ? 4 ,但 n ? N * ,所以只需要比较
f ( 3 ) 与 f ( 4 ) 的大小: f ( 3 ) ? 43 , f ( 4 ) ? 46 ,? 9 9
( An ) max ? A4 ?
-6-

46 . 9

…………12 分

? x1 ? x 2 ? ?

80 ,? ? 80 ? ? 40 , 20 ? c 9 20 ? c

…………………………………10 分 ……………………12 分

2 y2 ? c ? 2 ,此时 ? ? 0 ,∴ 所求椭圆方程为 x ? ?1 . 8 4

-7-


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