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谈谈共轭根式法


1

9 8

3

年 第 五 期


















A

,

>
B

,



( 刀厂 一
+
x

不刃 + 粼 刃 (粼无


根式 法




什 么 叫 共扼 根 式 法
,

护厂

乏 ,



利 用共 扼 根 式 解 有 关根 式 问 题 的 方 法 法
B
,


叫共扼


刀于 石 尹
=



?

+


刀 厂石 )



y

共 扼 根 式 法是代数解 题 巾 的 一 种 重 要 方 所谓 共扼 根 式 是 指 两 个 不 等 于零 的 根式 A
, ,

A


:

B
x

Z



(刀 刃 +
y
+

刀 了) (令
x



-



若 它 们 的 积 A B 不 含 根式


则称 A




B
d

互 为共扼


A




一“


.

一 “

y

Z



=

兀 一

y

一 刀y 一



)

B

3

=

根式


例如


万与 护


夕尹
,

,

亿 孚十



了 了与

(
+


粼 厂 十 刀刀 刀
y


(


刀王 ‘至
刀y






x

一“y
二 x

x





y“ -







)

侧了

d

了 百等



共 扼 根 式 的 一 个 显著 特 点 是 通


过 相 乘 能 把根 号 去 掉 这 对 解 题很 有 帮 助 下 面 提 供 几 对 中 学 阶 段常 用 的 共 扼 根 式
1
.

:





怎 样 掌握 共 扼 根 式 法
,




A



刀 沙y
=

,

.



z

,

,


2
.

B


不不 刀又
x




,

不两
则B
=

.

要掌 握 住 一 种 方法 关 键 是 要 准 确 把 握 这 种方 法 的特 点 共 扼 根 式 法 的 特 点 是 什 么 呢 ? 从 前 面 己 经 知 道 共扼 根式 相 乘可 以 把 根式 化 掉 因 此 我
,


,

若A




=





y


,

x




:

Y

.

们 可 以 从 含有根式 的 分式和整 式 着 手 法解题 分 戌 以 下 四 种 基木 类 型


,

把 共 扼根 式

3

.

若A
=



x



了y
z




=

Z

则B
y 一
, z

=

B


B

:

.


y
.

第一 种 类 型
_

:

有 理 化 今毋




中B
4

,



:

x

+

y
3




+

;

B



(x

+

)

2


S

x

_

.

A

,


3

_
x

_ 了y
3 ,

,

A
3

:




+

一一
x
S

了y
b
,

_

1 设 下歹 丫 , 例 M 3 一
,



.

1

_

~
+


+

二的 整 曰 “ 数部 目曰 7 ~ ~
7

a 分是 一
z
J

,


_
曰 ,廿 /
J




小 数部 分 是 ~ ~


J



则B
3

=

(了 )
3


_x

)
3

2





_x

亿

_y
S

( 亿y
2
.

_



a Z

( 1



) a b 之值





2

,

3 十

B

:

=

(侧

_x



+




.

_
x
,

3



一 y +

y ) (了 _


,



7
+

3
_




2

7

(3
7
,



亿

7 ) (3



7

)



2



4


若根 号 前有 系 数
2

也可类似




3 + —



地 写 出 共 扼 根式
则B
二 a

为例

,

若A

二 。

侧了

b“





2

< 亿 7 <


3



,

<

兰奥 卫<


,

,


.

x



b
,

亿y
=

3 十


1



5
+



A

刀了

刀了
+

,

则B

:



刀矛 不
;

了7



1

3
=



+ 刀 王丙 于
n

刀 矛 丁弓愁 + .

A
,

” 十

粼于 不
刀杯 则
.




B

为偶 数时
=

,

=

刀了
,

2

了7 一 了7 犷 十 一一 二

~

2 1






:



一 + 刀王 刃 刀 云‘万 n , 了 当 为奇 数 时 刀歹 ‘

粼护币 户 ‘

.



A

:

=

粼 了

因此

,

a

=

2

,

了7
2



1




刀干 粼



,

则B
一 “

3

=
?

万厂 不
+

~



粼 不布 了



2
+

a 艺

+

( 1
+

+



7 )

a

b

=

2 4
+

yZ

-



粼y 一

( 1



7

) (了 7



1 )

=

6

=

10

这是 因 为

例 2 已知 k 为 不 等 于
.

。 的 实数

,

且 1 k l<

l

,

丫 解

x

Z



sx



2



丫护 十 弧 二 东

+
1
2

=

1二

(1 )

求证

:




纽 兰正 二 i 至 三亘
1
+

在 (

1 )


的 两 端同 乘以 共扼根 式
十 +

k




一 一

1



k

i


+

x “ +

sx
+

2


sx
+



5

,


5


了 了
证明
.

1 1

k

+




1

k

一 是实数



侧 由

工:

sx
+





二2

sx
+



=

3
=

.

(2 )
2

k



1 十 k

(1 )

(2 )
6
=

2

得了

x “

sx

2



}k l<

l

,

仁亚 I

1



k
l

x 乞

+

5

盆 一
x
:

0
,

.

土必工三 止


k




1 k



解之得 经 检 验知
+

=
,

1
:
: :

x

:


x
:

-

6




=

1


1
x



6

都 是 原 方 程的 根
x





1

+


一 、/

1

k



第四 种 类 型
例6
k +
.


(4






了 i
+ (了 1 k

二f
1


飞干 飞i
(了 1
+


:

1im


a x

a 二“



b

+



=

3



,

+

亿


k i)

了1
+



k


i) k i)



a



b

.

) O
(4 x
C, J

(了 1

+ +


k

丫l一
k i

k i)

, (丫 1 k

召1
+


=



’ lim .
X
~) ,







b
e
?

x

+

e

(记 1 (了 1




k

了l 了


+

) (亿 1



k

+

了l
k
+

k i)
+

1i m

(4 x




X

a x 么 一

bx +

竺全竺丝二竺些
lx
;

X 气卜 C 翔习



a x “



bx

+

e


.

k

1 + k i)

(了 1



训1

k i)

(1 6
4

一 a

)

+

b

Zk

+

故 原 式是 实数
第二 种 类 型

:
1 :


=

有 理 化分 子



由 条 件有 - 臼 三 少卜 旦二 一互
4
.

3

,

+

一 例3 求 x
?

, ,

”m



1

十 x
l





1


,

a

16



a

=

0

) c o



,

2im
)


之生止 兰 上 工

0 0

l

m 止 、二 i 1 士 丝1 1 1
(训 1



+

一 ?





4

十 V

产 a

(里
2

孚‘



竺生 2

解之得

a

=

16

,

b

=

2 4

.

X 曰卜 C 心

:

+

1 ) 1


-



共 鞭根 式 法 的 应 用



这 两 种 类 型 适 用 于 含有 根 式 的 分 式 ( 或 分 数 ) 问 题 它 们 有 时 单独 使 用 有时 在 同 一 道 题 中 既 要 有 理 化 分 母 又要 有 理 化 分 子



.




,

:

蒸 称圣 北杯
,


,

三 角 几 何 巾 都有 含 根 式 的 题 目 因 此 往 往 要 用 到 共 扼 根 式 法 为此 我 们 归 纳 出 它的 一些 应 用
,
。 。

由于 在 代 数

1

.

求值
.

例7

已知 y
y

=

5 、/

例4 求
x

, *。
0

述全
x Z

‘ 了

兰里 兰
+
n
:



(m > 。
,

n

>

o)

.

石二 1 污



2

侧 I

二云

+

1
2

一 n


子 卜


x

h 。 匕 里土 里 1 二

二 一 了 了
x

~

丫 r



~

侧 训
X

y

之值
y

,

y

+


x

卞 0 训x
(了
0
.



+ n +
+

Z

一 n
一 一 n


m ) (了
盆:
:
+

由 题 设可 知
,

3



1



1im
二. ,

: 名 x

m

z

n

乞 +

n
n

1
,



3X

)

) )

0 0

( 杯x



n Z

)

(了 :

+ n



+

)

解之
从而
,


,

:





l


m i

=

里兰 二 旦 (了 扩生 业 卜匕 犷竺
o
x
x


圣 丝丝 红匕 兰平 兰见
Z

y



(



+ +

x

Z

+

m m

+

m )




1i m
x


0



+

n

n

)



x “

+

m



m







-

匕里



y
+



《 x 一一



v

x






y)

x



了y
y

下面 两种类型 用 于 庭 式 中 含有 根 式 的 间 题 第三 种 类 型
.

:

等 式两 端 同 乘 共 耗 根 式

(了
x





勺匕毛 二 创 和
工 一

~



例 5 解 方程

y

y

9

8

3
_
_

年 第 五 期
_
y
‘ ‘

29




2





. . 目曰. . ~ - 叨. . . 曰. . . ‘


x
.

x

我 们 给 出证 明 如 下
2




+

6

.

r声 刀



y
=


2

a

+

训b

2
a 艺

丫 二丙


=

? 一 ‘ >

o ’


v =

8

已知x
2

(3
-


+

2 ) 1 )
+

l 2 贝 }



+

2

b

=

x Z ,

?

(3




2 )



,

x 求 (

(v

+

1 )

之值

一杯


二 。了

不百


:

汀 l 犷 r 2 .
.

a

+

亿
2

a ,



b

,


3

’ . ,

x

=

(3

+

2



2 )

一 ‘



?

+

召f

+


?

?

了b



a

+


2

a Z



b



2

了2


(1 )
2训 2 )
,

(3

+

2





2 ) (3



3



2



2

.

类似可得
:

’ .

y为
x
x


共扼 根式
=

于是 有
2
.

厂万 杯 万 杯
a





y

=



3

+

2


+

(
+
.

+

1 )
+

一 ’+

(y

1 )


-

=

(4
1
.



2



2 )

一 ‘







2

a ,



b

(2 )

( 4

2
x
:




2 )




et

解 (
x

1 )
?

(2 ) 得

a +

例 9 若 方程 根是 流


(t g e
十 。t



g e)

+
,

1

=

0

的一
20

2



侧百

,

且tgo

g。 为 有理 数

s i 求 n

丫 万 杯了

+

a :



b


不 酥 瓦 万 杯


_


,

2


一 .





因 有 理 系 数 方 程 的 无 理 根 总是 成 对 出 现
2

e

斌 、百 杯了
a +

a





a Z

b

2


杯了


a



a :



b

2
a :

故 方程 的 另 一 根式 是
5


o

3
=

.


4
,

田 韦达 定 理有 t g 。千
二 亏 白 石 即下 石 若 白+ 飞

tg

丫 而 斌
:

a





二义 旦 b 少


,

万一万



,

a 一







b

2

特 殊 情况
遵 2
,

in o

e o s

o

4 1 2

1

舀 i石 百舀 碗后



s

in 2 0

=

1

若 >
a

b>

O

贝 “


=
x

(?

+

b , 士” 了

a



. ’ :
2
.



n 20 i





?



杯(训



a



了b )
x


2

a


,



b

.

化简
4 _
.

1

.

当 )
+

1





+

化简


例 10

化简

:

_



(



_

_

45 )

_

_

+




1

一 ’ 2 一

一一一二 二


(x






‘ 40

y

=

(x

2了x




])
2

2



1

x



1)

解 丫6 0

’ yZ . ,

(x

+

侧 牙巧 )




8






〕 。+

4 了“



2 +

(二
(


2 +
x

了 至几 )
2




l)
一 ’

(:



2

二五) 训云







45

望 士、 匕 丛丛二 塑 9 一
2 1

_ 丝 斌
~
~ ~




~

~

~




-

一一
~



~

-

-

-


-




4

x





二 尽“ 区坦盛
(i )

2 4

X
x

2

卡 l玩 二 乏
2时
,



i

x 毛 <

y“



2x

2 2 )


(x







2



8

+

岁 6

/

4



60


=

10

+



100 2




_


8
-



了 64
2



60

4

(x



2 )

“ ’

2

84

+



一 二 坦 匕亚三二


~



.

.

-

-

又 y>


,



y



4

_

2


(x



2 )

(x



2)

2



x

.

了 : 此 题 用 了下 述 定 理 若 >
a

3

5

.

(2 )
a “

当 >
x

2



,

yZ

2


x

2

0

,

b

夕0

,


a

>


b

(x



2

)

2

+

x





,


4



?

士了 b





+



a



b 士





生 宜亚一 b 三

(x
(x




1)

2 )

.

30











(了 x



+


3
.

,

=


卜 丫



x



1

=

10

g

1
a



2
=




一二 二二 二 工… x Z + ] +
a

一 x
1


=

Io

g

a

比较大小
.

lo g

(亿 x



+

+

x

)

=



f (x )


1


+

x

)

一 1

, 比较 例“

4


=



鹉祷



2




Z

大小



’ f (x ) . 6
.

是奇 函 数

解方程
.



?




=

7

4

了 5



2

(2



“ 百)

例 16

解 方程

:

(




5

+


10
.

了 百)

2



了万

=

一 毛二


“六
,

万舜砂





3




=

5



2

、 百=

丫了 ‘

,

(



了 ‘,
’原 .


)


1

Y


“ +

Z v/ 6



3



亿


一=
2

二万

1

召2 了
3

一 + v

一了


.

方程 变形 为 (训 百 万
: 10

舜宕

)



3



2



亿

3

> 订 <
-

2

一一 l
+

2

+

了3



4


.

7

4

训2 了 畜<




3

(丫

y
=

、‘
5


x





:

(犷


2

而)
=



,



y 十

10

,

了百

?



yZ
,

〕 oy+ y
=

i

0

,

求 函 数 的 定 义城
,

解之





6


士 2

了6

+

.

例 1: 求函 数y 解
x



,


二吕
+

1



侧1
x






的 定 义域





5


2
;

杯 了
.

6




2



/

万)

x

,

一 x

得 得

1

忿

2


丫 :

=



1


X



x x


1
_



兰 士

x




x
,

5


2 2

6

=


X
:

。 /

2

了 万)
2都

x



1 一
+


(x

千 +

1 十 1 )



(1
1





1

+



1



x

经 检验 知
7 例1
.

,

x

,


:

2

1I 手



是 原 方程 的 根
N



)

2x

解 方程

十 古

X



) )

0
0

,

即} )




1
,
.

,

x

,


少二

{ 斗
x



{ x



1
0
x

(

0

X

-

X l i

、 了 . 、 了



/



x 一 i

、、 .

.



一 X 一

(1 )


1

音 在


( 1 )
I

的 两 端 乘以 共 扼 根 式


故 函数 的 定 义 域 为
5
.

:



攫 <
x “



。<

:



1

.

2


、 ,
.

判 断 函 数 的 增 减性 或 奇 偶 性
,

1

4 例1 减性


判定函 数y
,

=

X





-



1

x ) 1 ( ) 的增
+



x

1


I

)

1








贾少

,

开 化间 得
一 一

一一

禅卜

~



一;
工二

y

二 x 一

(

x

斌x 一

了 了 一 一x二二二 二 一 x + 一 1 了
~

x Z 一

l ) (x
Z

x Z 一

~

1)

(一 普 )觉小 封 告
尹 、 r (1 由

,

二丁
X

1



( 艺〕

1
x



x

、 +

(2 )

,


.

1 2

、告





X 一

工 一 一

1

i 一
x

+


、 x Z

x Z



1
,

)



当 增加时
x



x




,

1

随之 增加

,






、/



1

也 随 之 增加
=

由此 可 知 f ( y ) 是减 函


(一 童 )
,



2

(
l
?

?




函数
,

15

.

x 函 数f ( )

10 9

(了 x

Z

+

i

+

) 是奇


化简

:



\十 下 夕 =

i



还 是偶 函数 ?


整 理得
x

x ”

一 ‘ 一

1



0



:


=

x Z

+

1

-

1
X










x 而f ( 一 )

x “

+


1

— +

一一

x

解之
x

=

1 士
9




5

10 9



〔 了 (一
+

x

)

+

1 +

(一

) 〕



10 9

.

(了 x

:

i

一 :

)

经 检验 知

x

=

l

2

亿 5 为增 根

,

x

召5

+

1

1
曰目, . . . . . ‘. . . . . . 口

9

8

3
召二卜 二二二, r

年 第 五 期
. 叫r. 口 昌里
, 畏 . . .

31
~

.

是原方程的根
7
.





. . . . . . 叫.

. . ~



,

.

月. . . 网‘

‘知

. . .

.

亡. . . . . .

计 算 极限
.


。r。 ,

1





昌 十

旦 十 匕多二 匕卫 二2 二
2


-

例1 8 解


X

1 主r n
、宁,

in

(

x



了挤 丁 I )

3
丁 二

义i 夕
4

3







(加二





些三 l少 不 述 卫

n



m
X
~ 夕卜

x ‘




x

x 乞



x




1

一 n

n



(n

宜泣+ 1
+



C义


.

n

+

l



1

.

=

1 1 扣

‘ 丫,

X ~ 卜





(







x

争 1)

9

求极值
.



X
~

1 i m
, 沪

一 、/

x

e 书一部 价 1 把 氏l o m 的 线 段 分 成 两 部 分 ) 例2 长 不 二 角 作 为正 三 角 形 的 一 条 边 作 一 个 形 曰皇一
,


+

。(


l

x




+

x



i

1 功
十 O


J

e勃 ‘ l w

1



J 土




x 1 一


x

,

不卞形 部分 作 为正 方 形 脚 一 边 作 一个 l 匕 一 ” 刀/沙 忆 ‘护 一刁 厂 面 积之和的 极小值
矛’

J








,



刘弋 匕 们 { 子 付

御夕 们 的


(1 0
一 x

c 设线 段 旧 一 部 分 为 x ) 所以
c n,
.

r ll

.

另 一 部 分 为

1 1 m
X
,

a r e s

i l,



令户

+

CK





+



)

S 正 三 角形

2

1 玉
.


一 盆)

3


.

一矛
2

x



=


~

3
~













=

a

r C , 一n

L 一

21

5一







S 正方形



(I D

o c

设它 们 的 面 积之 和
1 飞

c 为S m

Z ,


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,

以 圆 台 下底 面 为 底 面
, ,

,

上底面的圆 心 为





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1

作 一 个圆 锥

如 果 送 圆 锥 的 测 面 分 圆 台 的体
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+

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2

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下底 面 半 径 之

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2


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1

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,

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,



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Z

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2


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1

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( 作 者 单位

:

四 川 省 宜 宾市 五 中 )

“ 十



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1


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