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长沙市高中四大名校自主招生考试试卷附答案


长郡中学 2008 年高一实验班选拔考试试卷
注意: (1) 试卷共有三大题 16 小题,满分 120 分,考试时间 80 分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效. 一、 选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)下面每小题给出的四个选项中,只 有一个是正确的,请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内. 1.在直角坐标系中,

若一点的横坐标与纵坐标互为相反数,则该点一定不在( (A) 直线 y = –x 上 (C) 直线 y = x 上 (B) 抛物线 y = x 2 上 (D) 双曲线 xy = 1 上 )

2.以等速度行驶的城际列车,若将速度提高 25%,则相同距离的行车时间可节省 k%,那么 k 的值是 ( (A) 35 ) (B) 30 (C) 25 (D) 20 )

3.若-1< a <0,则 a, a 3 , 3 a , (A) (C)

1 一定是 ( a
(B) (D)
3

1 最小, a 3 最大 a
1 最小,a 最大 a

a 最小, a 最大
3

1 最小, a

a 最大

4.如图,将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°,得 △ABF,连结 EF 交 AB 于 H,则下列结论错误的是( (A) AE⊥AF (C) AF = FH〃FE
2


第4题

(B)EF:AF = 2 :1 (D)FB :FC = HB :EC

5.在△ABC 中,点 D,E 分别在 AB,AC 上,且 CD 与 BE 相交于点 F,已知△BDF 的面积为 10,△BCF 的面积为 20,△CEF 的面积为 16,则四边形区域 ADFE 的面积等于( (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)44 )

6.某医院内科病房有护士 15 人,每 2 人一班,轮流值班,每 8 小时换班一次,某两人同 值一班后,到下次两人再同班,最长需要的天数是( (A)30 (B)35 (C)56 (D) 448 )

二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分) 7.若 4sin2A – 4sinAcosA + cos2A = 0, 则 tanA = ___ ___ .

1

8.在某海防观测站的正东方向 12 海浬处有 A、B 两艘船相会之后,A 船以每小时 12 海浬 的速度往南航行,B 船则以每小时 3 海浬的速度向北漂流. 则经过 观测站 h 及 A、B 两船恰成一个直角三角形. 9.如右图,在坐标平面上,沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形, 其长、宽分别为 4、2,则通过 A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式 是 .
( 第 9 题)

小时后,

10.桌面上有大小两颗球,相互靠在一起。已知大球的半径为 20cm, 小球半径 5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm. 11. 物质 A 与物质 B 分别由点 A(2,0)同时出发, 沿正方形 BCDE 的周界做环绕运动, 物质 A 按逆时针方向以 l 单位/秒等速运 动,物质 B 按顺时针方向,以 2 单位/秒等速运动,则两个物 质 运 动 后 的 第 是 11 . 次 相 遇 地 点 的 坐 标

(第 11 题)

12.设 C1 , C 2 , C 3 , … … 为一群圆, 其作法如下:C1 是半径为 a 的圆, 在 C1 的圆内作四个 相等的圆 C 2 ( 如图 ), 每个圆 C 2 和圆 C1 都内切 , 且相 邻的两个圆 C 2 均外切, 再在每一个圆 C 2 中, 用同样的 方 法 作 四 个 相 等 的 圆 C3 , 依 此 类 推 作 出
C 4 , C 5 , C 6 , …… , 则

(1) 圆 C 2 的半径长等于 表示); (2) 圆 C k 的半径为 为正整数,用 a 表示,不必证明)

(用 a
第 12 题

(

k

三、解答题(本题有 4 个小题,共 60 分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。 13.(本小题满分 12 分)如图,四边形 ABCD 内接于圆 O,且 AD 是圆 O 的直径,DC 与 AB 的延长线相交于 E 点,OC∥AB. (1) 求证 AD = AE; (2) 若 OC=AB = 4,求△BCE 的面积.

第 13 题

2

14.(本题满分 14 分)已知抛物线 y = x + 2px + 2p –2 的顶点为 M, (1) 求证抛物线与 x 轴必有两个不同交点; (2) 设抛物线与 x 轴的交点分别为 A,B,求实数 p 的值使△ABM 面积达到最小.

2

15 (本小题满分 16 分)某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表: 胜一 场 积分 3 平一 场 1 700 负一 场 0 0

奖励(元/每人) 1500

当比赛进行到 12 轮结束(每队均要比赛 12 场)时,A 队共积 19 分。 (1) 试判断 A 队胜、平、负各几场? (2) 若每一场每名参赛队员均得出场费 500 元,设 A 队中一位参赛队员所得的奖金与 出场费的和为 W(元) ,试求 W 的最大值.

3

16(本小题满分 18 分)已知:矩形 ABCD, (字母顺序如图) 的边长 AB=3,AD=2,将此矩形放在平面直角坐标系 xOy 中, 使 AB 在 x 轴正半轴上,而矩形的其它两个顶点在第一象限, 且直线 y =
3 x-1 经过这两个顶点中的一个. 2
(第 16 题)

(1)求出矩形的顶点 A、B、C、D 的坐标; (2) 以 AB 为直径作⊙M, 经过 A、 B 两点的抛物线, y = ax2 +bx+c 的顶点是 P 点. ① 若点 P 位于⊙M 外侧且在矩形 ABCD 内部,求 a 的取值范围; ② 过点 C 作⊙M 的切线交 AD 于 F 点,当 PF∥AB 时,试判断抛物线与 y 轴的交点 Q 是 位于直线 y =

3 x-1 的上方?还是下方?还是正好落在此直线上?并说明理由. 2

2009 年长郡中学高一招生数学试题(B)
时间 60 分钟 满分 100 分 一.选择题:(本题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。每小题只有一个符合题意的答案) 1. 下列四个图形中,每个小正方形都标上了颜色。若要求一个正方体两个相对面上的颜色 都一样,那么不可能是这一个正方体的展开图的是(
红 黄 绿 红 绿 绿 黄 红 黄 绿
4


红 黄 绿 黄 红 黄 绿 红 绿



绿 黄

2.某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 x%,第三季度的产值又比第二季度的 产值增长了 x%,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 A.2x% B. 1+2x% C. (1+x%)x% ( )

D. (2+x%)x%

3.甲从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条 a 元,又从另—个鱼摊上买了两条鱼,平均每条

b 元,后来他又以每条
A.a>b

a?b 元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( 2
C.a=b D.与 a 和 b 的大小无关



B.a<b

4.若 D 是△ABC 的边 AB 上的一点,∠ADC=∠BCA,AC=6,DB=5,△ABC 的面积是 S,则△ BCD 的面积是 A. ( B. ) C.

3 S 5

4 S 7

5 S 9

D.

6 S 11

5.如图,AE⊥AB 且 AE=AB,BC⊥CD 且 BC=CD,请按照图中所 标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积 S 是( A.50 B.62 C.65 D.68 )

6.如图,两个标有数字的轮子可以分别绕轮子的中心旋转,旋转停止时,每个轮子上方的 箭头各指着轮子上的一个数字,若左图轮子上方的箭头指着的数 字为 的个

a,右图轮子上方的箭头指着的数字为 b,数对(a,b)所有可能
数为 n,其中 a+b 恰为偶数的不同数对的参数为 m,则 m/n 等于 ( A. )

1 2

B.

1 6

C.

5 12

D.

3 4

7.如图,甲、乙两动点分别从正方形 ABCD 的顶点,A、C 同时沿正方形 的边开始移动,甲点依顺时针方向环行,乙点依逆时针方向环行,若乙 的速度是甲的速度的 4 倍,则它们第 2000 次相遇在边 A.AB 上 B.BC 上 C.CD 上 D.DA 上 ) ( )

8.已知实数 a 满足 | 2006 ? a | ? a ? 2007 ? a ,那么 a ? 20062 的值是(
5

A.2005

B.2006

C.2007

D.2008

二.填空题:(本题有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。) 9.小明同学买了一包弹球,其中

1 1 1 是绿色的, 是黄色的,余下的 是蓝色的。如果有 8 5 4
)个弹球

12 个蓝色的弹球,那么,他总共买了(

10.已知点 A(1,1)在平面直角坐标系中,在坐标轴上确定点 P 使△AOP 为等腰三角形. 则符合条件的点 P 共有( 11.不论 m 取任何实数,抛物线 y=x2+2mx+m2+m-1 的顶点都在一条直线上,则这条直线的函数解析式是( ) . )个.

12.将红、白、黄三种小球,装入红、白、黄三个盒子中,?每个盒子中装有相同颜色的小 球.已知: (1)黄盒中的小球比黄球多; (2)红盒中的小球与白球不一样多; (3)白球比白盒中的球少. 则红、白、黄三个盒子中装有小球的颜色依次是( ).

13.在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AC.BD 相交于点 O,若 AC=5,BD=12,中位线长为 AOB 的面积为 S1,△COD 的面积为 S2,则 S1 ? S 2 =( )

13 ,△ 2

14.已知矩形 A 的边长分别为 a 和 b,如果总有另一矩形 B,使得矩形 B 与矩形 A 的周长之 比与面积之比都等于 k,则 k 的最小值为( )

15.已知 x、y 均为实数,且满足 xy+x+y=17,x2y+xy2=66, 则 x4+x3y+x2y2+xy3+y4=( )

16. 如图 5,已知在圆 O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶 点分别在半径 OM,OP 以及圆 O 上,并且∠POM=45°,则 AB 的长为 ( )

三.解答题:(本题有 2 小题,每小题 10 分,满分 20 分。) 17.甲、乙两班同时从学校 A 出发去距离学校 75km 的军营 B 军训,甲班学生步行速度为 4km/h,乙班学生步行速度为 5km/h,学校有一辆汽车,该车空车速度为 40km/h,载人时的

6

速度为 20km/h,且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生,现在要求两个班的学生同时到 达军营,问他们至少需要多少时间才能到达?

18.如图,已知矩形 ABCD,AD=2,DC=4,BN=2AM=2MN,P 在 CD 上移动, AP 与 DM 交于点 E , PN 交 CM 于点 F ,设四边形 MEPF 的面积为 S,求 S 的是大值 .

7

师大附中 2011 年高一自主招生考试

数学测试题
本卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 三 1 2 3 4 5 题号 得分 阅卷 教师 一、选择题(每小题 6 分,共 30 分。每小题均给出了代号为 A、B、C、D 的四个选项,其 中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里,不填、多填或错 填均得 0 分) 一 二 总 分 复 核

3 ?1? 1、下列图中阴影部分面积与算式 ? ? ? ? ? 2?1 的结果相同的是………………【 4 ?2?

2



2、下列命题中正确的个数有……………………………………………………………【 】 ① 实数不是有理数就是无理数;② a<a+a;③121 的平方根是 〒11;④在实数范 围内, 非负数一定是正数;⑤两个无理数之和一定是无理数 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 3、某家庭三口人准备在“五一”期间参加旅行团外出旅游。甲旅行社告知:父母买全票, 女儿按 半价优惠;乙旅行社告知:家庭旅行可按团体票计价,即每人均按八折收费。若这两家旅 行社每人的原标价相同,那么…………………………………………………………………… 【 】 A、甲比乙更优惠 B、乙比甲更优惠 C、甲与乙相同 D、与原标价有关 4、如图,∠ACB=60○,半径为 2 的⊙O 切 BC 于点 C,若将⊙O 在 CB 上向右 滚动,则当滚动到⊙O 与 CA 也相切时,圆心 O 移动的水平距离为【 】

A、2π B、π C、 2 3 D、4 5、 平面内的 9 条直线任两条都相交, 交点数最多有 m 个, 最少有 n 个, 则 m? n 等于……………………………………………………………………………【 】 A、36 B、37 C、38 D、39 二、填空题(每小题 6 分,共 48 分)

8

1、甲、乙两人骑自行车,同时从相距 65 千米的两地相向而行,甲、乙两人的速度和为 32.5 千米/时,则经过 小时,两人相遇。 2 、 若 化 简 1 ? x ? x 2 ? 8x ? 16 的 结 果 为 2x ? 5 , 则 x 的 取 值 范 围 是 。 3、某校把学生的笔试、实践能力和成长记录三项成绩分别按 50%、20%和 30%的比例 计入学期总评成绩,90 分以上为优秀。甲、乙、丙三人的各项成绩(单位:分)如下表, 学期总评成绩优秀的学生是 。 笔试 实践能力 成长记录 甲 90 83 95 乙 88 90 95 丙 90 88 90 4、已知点 A 是一次函数 y ? x 的图像与反比例函数 y ?

点 B 在 x 为 。 2 5 、 如 果 多 项 式 x ? px ? 12 可 以 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 积 , 那 么 整 数 p 的 值 是 。 6、如右图所示,P 是边长为 1 的正三角形 ABC 的 BC 边上一点,从 P 向 AB 作垂线 PQ,Q 为垂足。延长 QP 与 AC 的延长线交于 R,设 BP= x ( 0 ? x ? 1 ) ,△BPQ 与△CPR 的面积之 和为 y ,把 y 表示为 x 的函数是 。 7、已知 x1,x2 为方程 x2 ? 4 x ? 2 ? 0 的两实根, 则 x13 ? 14 x2 ? 55 ? 。 8、小明、小林和小颖共解出 100 道数学题,每人都解出了其中的 60 道,如果将其中只有 1 人解出的题叫做难题,2 人解出的题叫做中 档题,3 人都解出的题叫做容易题,那么难题比容易题多 道。

2 的图像在第一象限内的交点, x 轴 的 负 半 轴 上 , 且 OA ? OB ( O 为 坐 标 原 点 ) , 则 ?AOB 的 面 积

三、解答题(本大题 6 小题,共 72 分) 1、 (10 分)在 ?ABC中, AB ? AC , ?A ? 45? 。 AC 的垂直平分线分别交 AB 、 AC 于 D 、 E 两点,连结 CD ,如果 AD ? 1 ,求: tan ?BCD的值。 2、 (12 分)某公司为了扩大经营,决定购买 6 台机器用于生产活塞。现有甲、乙两种机 器供选择,其中每种机器的价格和每台机器的日生产活塞数量如下表所示。经过预算, 本次购买机器所需的资金不能超过 34 万元。 甲 乙 价格(万元/台) 7 5 每台日产量(个) 100 60 ⑴ 按该公司的要求,可以有几种购买方案? ⑵ 若该公司购进的 6 台机器的日生产能力不能低于 380 个,为了节约资金,应选择哪 种购买方案?

3、 (12 分)如图所示,已知边长为 4 的正方形钢板有一个角锈蚀,其中 AF ? 2 , BF ? 1 。 为了合理利用这块钢板.将在五边形 EABCD 内截取一个矩形块 MDNP,使点 P 在 AB 上, 且要求面积最大,求钢板的最大利用率。

9

4、 (12 分)如图所示等腰梯形 ABCD 中, AB ∥ CD , AD ? CB ,对角线 AC 与 BD 交 于 O , ?ACD ? 60? , 点 S、P、Q 分别是 OD、OA、BC 的中点。 求证:△ PQS 是等边三角形。

5、 (12 分)如右图,直线 OB 是一次函数 y ? 2 x 的图像,点 A 的坐标是(0,2) , 点 C 在直线 OB 上且△ACO 为等腰三角形,求 C 点坐标。

6、 (14 分)已知关于 x 的方程 (m 2 ? 1) x 2 ? 3(3m ? 1) x ? 18 ? 0 有两个正整数根(m 整数) 。 △ABC 的三边 a、b、c 满足 c ? 2 3 , m 2 ? a 2 m ? 8a ? 0 , m 2 ? b 2 m ? 8b ? 0 。 求:⑴ m 的值;⑵ △ABC 的面积。



10

2008 年高一实验班选拔考试数学卷评分标准
一、 选择题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.D 2.D 3.A 4.C 5.D 6.B

二、填空题(本题有 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)

1 7. . 2
10.20.

8. 2. 11.( –

9. y = –

5 2 1 20 x – x+ . 12 2 3

4 ,–2). 3
.

n – 1 12.(1) 圆 C 2 的半径 ( 2 ? 1) a ; (2)圆 C k 的半径 ( 2 –1 ) a

三、解答题 13.(本小题满分 12 分) (1)证 1.∵AD 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, ∴∠ACD = 90?,即 AC⊥DE. 又∵OC∥AE,O 为 AD 中点, ∴AD = AE. 4分

证 2 ∵O 为 AD 中点,OC∥AE,
∴2OC = AE, 又∵AD 是圆 O 的直径, ∴ 2OC = AD, ∴AD = AE. 分 (2)由条件得 ABCO 是平行四边形, ∴BC∥AD, 又 C 为中点,∴AB =BE = 4, ∵AD = AE, ∴BC = BE = 4,
11

4

4分

连接 BD,∵点 B 在圆 O 上, ∴∠DBE= 90?, ∴CE = BC= 4, 即 BE = BC = CE= 4, ∴ 所求面积为 4 3 . 4分

14.(本题满分 14 分) 解:(1) ∵⊿ = 4p2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2 + 4 >0 , ∴抛物线与 x 轴必有两个不同交点. (2) 设 A (x1, 0 ), B( x2, 0), 则|AB|2 = |x2 – x1|2 = [ (x1 + x2)2 – 4x1x2]2 = [4p2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p – 1) + 4] , ∴|AB| = 2 (p ? 1) 2 ? 1 . 又设顶点 M ( a , b ), 由 y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 ) – 1 . 当 p =1 时,|b|及|AB|均取最小,此时 S△ABM =
1 |AB||b|取最小值 1 . 2
2 2 2

4分

5分

5分

15 (本小题满分 16 分) 解: (1)设 A 队胜 x 场,平 y 场,负 z 场, 得?
? x ? y ? z ? 12 ? y ? 19 ? 3x ,可得: ? ?3x ? y ? 19 ?z ? 2 x ? 7

4分

依题意,知 x≥0,y≥0,z≥0,且 x、y、z 均为整数,
?19 ? 3x ? 0 ? ∴ ?2 x ? 7 ? 0 ?x ? 0 ?

解得: ≤x≤

7 2

19 3

,∴ x 可取 4、5、6

4分

∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况: 当 x=4 时, y=7,z=1; 当 x=5 时,y= 4,z = 3 ; 当 x=6 时,y=1,z= 5. (2)∵W=(1500+500)x + (700+500)y +500z= – 600x+19300 当 x = 4 时,W 最大,W 最大值= – 60〓4+19300=16900(元) 答略. 4分 4分

12

16(本小题满分 18 分) 解:(1)如图,建立平面直有坐标系, ∵矩形 ABCD 中,AB= 3,AD =2, 设 A(m 0)( m > 0 ), 则有 B(m+3 0);C(m+3 2), D(m 2); 若 C 点过 y =

3 3 x-1;则 2= (m+3)-1, 2 2

m = -1 与 m>0 不合; ∴C 点不过 y= 若点 D 过 y=

3 x-1; 2

3 3 x-1,则 2= m-1, m=2, 2 2
B(5,0),C(5,2 ), D(2,2); 5

∴A (2, 0), 分

(2)①∵⊙M 以 AB 为直径,∴M(3.5 0), 由于 y = ax +bx+c 过 A(2, 0)和 B(5 ,0)两点, ∴?
2

?0 ? 4a ? 2b ? c ?b ? ?7a ∴? ?0 ? 25a ? 5b ? c ?c ? 10a
2 2 2

2分

∴y = ax -7ax+10a ( 也可得:y= a(x-2)(x-5)= a(x -7x+10) = ax -7ax+10a ) ∴y = a(x-

7 2 9 ) - a; 2 4
7 9 , - a) 2 4
2分

∴抛物线顶点 P(

∵顶点同时在⊙M 内和在矩形 ABCD 内部, ∴

3 9 8 2 <- a < 2,∴- <a<– . 2 4 9 3

3分

② 设切线 CF 与⊙M 相切于 Q,交 AD 于 F,设 AF = n, n>0; ∵AD、BC、CF 均为⊙M 切线,∴CF=n+2, DF=2-n; 在 Rt?DCF 中, ∵DF +DC =CF ; ∴32+(2-n)2=(n+2)2, ∴n=
2 2 2

9 9 , ∴F(2, ) 8 8 9 9 9 1 ;∴- a = ,∴a = - ; 8 4 8 2

∴当 PF∥AB 时,P 点纵坐标为

13

∴抛物线的解析式为:y= -

1 2 7 x + x-5 2 2

3分

抛物线与 y 轴的交点为 Q(0,-5) , 又直线 y =

3 x-1 与 y 轴交点( 0,-1) ; 2

∴Q 在直线 y=

3 x-1 下方. 2

3分

2009 年长郡中学高一招生数学试题(B) 参考答案: 一、1、C 2、D 3、A 4、C 二、9、 96 10、 8 5、A 6、C 7、A 8、C 14、

11、 x+y=-1 12、黄、红、白.13、 30

4ab ( a ? b) 2

15、 12499 三、17.解:

16、

5

设甲班学生从学校 A 乘汽车出发至 E 处下车步行,乘车 akm,空车返回至 C 处,乙班 同学于 C 处上车,此时已步行了 bkm.

? a a?b b ? ? ? ? 20 40 5 则? ? a ? b ? 75 ? b ? 75 ? a ? 20 4 ? 40
解得 a=60 b=20 ∴至少需要

60 15 3 ? ? 6 (h) 20 4 4

18、 解:连结 PM,设 DP=x,则 PC=4-x,∵AM//OP

?

PE PD PE PD PE x ? ? ? 即 ? EA AM PA PD ? AM PA x ? 1 S PE 1 x 又 ?MEP ? 且S ?APM ? AM ? AD ? 1? S ?MPE ? S ?APM PA 2 x ?1
14

同理可求 S ?MPF ? 因此 S ?

4? x ……………………(8 分) 5? x

x 4? x 1 1 6 ? ? 2? ? ? 2? 2 1? x 5 ? x 1? x 5 ? x ? x ? 4x ? 5

? 2?

6 2 4 ? 2 ? ? ………………(13 分) 2 3 3 ( x ? 2) ? 9

当 x=2 时,上式等号成立.………………………(15 分)

师大附中 2011 年高一自主招生考试
数学试题参考答案
一、1、B,2、B,3、B,4、C,5、B 二、1、2 20 三 1、有已知可得 ?ADE 和?CDE 均为等腰直角三角形,计算得 BD ? 形 BCD 中, tan ?BCD ? 2、1 ? x ? 4 3、甲、乙 4、 2 5、?7, ?8, ?13 6、

3 (3x 2 ? 4 x ? 2) 8

7、7 8、

2 ? 1,在直角三角

BD ? 2 ? 1。 CD 2、 (1)设购买 x 台甲机器,则 7 x ? 5(6 ? x) ? 34 ,所以 x ? 2 。即 x 取 0、1、2 三个值,
有三种购买方案:①不购买甲机器,购 6 台乙机器;②购买 1 台甲机器,5 台乙机器;③ 购买 2 台甲机器,购 4 台乙机器。 (2)按方案①,所需资金 6 ? 5 ? 30 (万元) ,日产量为 6 ? 60 ? 360 (个) ;按方案②,所 需资金 1 ? 7 ? 5 ? 5 ? 32 (万元) ,日产量为 1 ? 100 ? 5 ? 60 ? 400 (个) ;按方案③,所需 资金为 2 ? 7 ? 5 ? 4 ? 34 (万元) ,日产量为 2 ? 100 ? 4 ? 60 ? 440 (个) 。所以,选择方案 ②。 3、如图所示,为了表达矩形 MDNP 的面积,设 DN=x,PN=y,则面积 S=xy, ① 因为点 P 在 AB 上,由△APQ∽△ABF 得

4? y 1 ? ,即 x ? 10 ? 2 y . 2 ? ( 4 ? x) 2 代入①,得 S ? (10 ? 2 y) y ? ?2 y 2 ? 10y , 5 2 25 即 S ? ?2( y ? ) ? . 2 2

E M

A P

Q

F B

D

N

C

15

5 5 不在自变量的取值范围内,所以 y= 不是最值点, 2 2 当 y=3 时,S=12;当 y=4 时,S=8.故面积的最大值是 S=12.
因为 3≤y≤4,而 y= 此时,钢板的最大利用率是 80%。 4、连 CS。 ∵ABCD 是等腰梯形,且 AC 与 BD 相交于 O, ∴AO=BO,CO=DO. ∵∠ACD=60°,∴△OCD 与△OAB 均为等边三角形. ∵S 是 OD 的中点,∴CS⊥DO. 在 Rt△BSC 中,Q 为 BC 中点,SQ 是斜边 BC 的中线,∴SQ= BC. 同理 BP⊥AC. 在 Rt△BPC 中,PQ= BC. 又 SP 是△OAD 的中位线,∴SP= AD= BC. ∴SP=PQ=SQ. 故△SPQ 为等边三角形. 5、若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 A 为顶点,则 AO=AC1=2. 设 C1( x, 2 x ) ,则得 x 2 ? (2 x ? 2)2 ? 22 ,解得 x ? ,得 C1( ,
8 5 8 16 ) 5 5
1 2 1 2 1 2 1 2

若此等腰三角形以 OA 为一腰,且以 O 为顶点,则 OC2=OC3=OA=2.
2 4 4 .得 C2( 5, 5 ) 5 5 5 2 4 又由点 C3 与点 C2 关于原点对称,得 C3( ? 5, ? 5 ) 5 5 1 1 若此等腰三角形以 OA 为底边,则 C4 的纵坐标为 1,从而其横坐标为 ,得 C4( ,1 ). 2 2

设 C2( x ' , 2 x ' ) ,则得 x'2 ? (2 x' )2 ? 22 ,解得 x ' ?

所以,满足题意的点 C 有 4 个,坐标分别为: ( ,
1 8 16 2 4 2 4 ) , ( 5, 5 ) , ( ? 5, ? 5 ) ,C4( ,1 ) 2 5 5 5 5 5 5

6、 (1)方程有两个实数根,则 m 2 ? 1 ? 0 ,解方程得

?m ? 0,1,2,5, ?m ? 1 ? 1, 2,3,6, 6 3 , x2 ? .由题意,得 ? 即? m ?1 m ?1 ?m ? 1 ? 1,3, ?m ? 2,4. 故m ? 2. (2)把 m ? 2 代入两等式,化简得 a 2 ? 4a ? 2 ? 0 , b 2 ? 4b ? 2 ? 0 , 当 a ? b 时, a ? b ? 2 ? 2 . 当 a ? b 时, a 、 b 是方程 x 2 ? 4 x ? 2 ? 0 的两根,而△>0,由韦达定理得, a ? b ? 4 >0, ab ? 2 >0,则 a >0、 b >0. ① a ? b , c ? 2 3 时,由于 a 2 ? b 2 ? (a ? b) 2 ? 2ab ? 16? 4? 12? c 2 1 故△ABC 为直角三角形,且∠C=90°,S△ABC= ab ? 1 . 2 ② a ? b ? 2 ? 2 ,c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) ? 2 3 ,故不能构成三角形,不合题意,
x1 ?
舍去. ③ a ? b ? 2 ? 2 , c ? 2 3 时,因 2(2 ? 2 ) > 2 3 ,故能构成三角形. S△ABC= ? 2 3 ? (2 ? 2)2 ? ( 3)2 ? 9 ? 12 2
1 2

16

综上,△ABC 的面积为 1 或 9 ? 12 2 .

17


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